Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Пәннің қысқаша сипаттамасы
«Сандык әдістері» акпарат мамандықтарын дайындауда маңызды пәндердің бірі. Нақты әлемдегі практикадағы заңдылықтарда пайда болатын есептерді шешу үшін математикалық моделдеу және есептеу экспериментті қолданып, сандық шешудің әдістерінің идеясын дамытады.Бұл пән мамандықтарды дайындаған кезде әртүрлі дайындау формалардың арасын байланыстырады және келесі функцияларды орындайды:
-қоршаған ортаны тануда моделдеу методолгиясын түсінуге бейімдейді.
-информатикадан математикалық байланысты қамтамасыз етеді.
-программалау және ЭЕМді қолдану кезінде дағдыны тереңдетуге және дамытуға бейімдейді.
«Сандык әдістері» курсының мақсаты қолданбалы есептерді шешудің жуықтау әдістері, математикалық моделдеу әдістері, қате көздері және нәтиже дәлдігінің әдістері жайындағы түсінікті студенттерге жүйелендірілген түрде қалыптастыру. Сондай-ақ таным үрлісінде пайда болатын математикалық есептерді ЭЕМ-ның көмегімен шешудің есептеу алгоритмдерін құрып, қолдана білуге дайындау. Сонымен қатар,оны практикалық іс әрекетінде математикалық моделдеудің көмегімен өмірдегі құбылыстардың заңдылықтарына пайдалана білу.
«Сандык әдістері» пәнің міндеті
-есепті сандық шешу және зерттеу үшін математика пәні бойынша теориялық білімдерін қолдануды студенттерге үйрету;
-қолданбалы есептерді ЭЕМ-ны пайдаланып жықтап шешу үшін сандық әдістерді пайдалана білу іскерлігін қалыптастыру;
Студенттерді қойылған есептің шешу барысында сандық шешудің тиімді тәсілдерін таңдауға, әртүрлі әдістермен алынған есптің нәтижелерін салыстыруға үйрету;
-есептеу алгортимдерін математикалық пакеттер ортасында, программалаудың тілдерінің көмегімен орындай білу іскерлігін қалыптастыру.
(Оқытудың мақсаты, міндеті, тұлғалық нәтижелелері – «білу», «менгеру» және т.б. терминдердегі пәндік және жалпы мәдени құзіреттері).
Лекция 1. Абсолюттік және салыстырмалы қателер.
Есептеу кезінде қолданылатын санынан аз ғана айрмашылығы бар санын жуық сан дейміз. Егер болса, санын кемітіліп алынған, ал болса, онда артығымен алынған санының мәні дейді.
Жуықтап алынған а санының қатесі деп өрнегін айтамыз. Егер болса, онда ал болса, онда Көп жағдайда ның таңбасы белгісіз болады. Сондықтан көбінесе -абсолюттік қате қолданылады. Яғни
. (1.1)
Егер саны бізге белгісіз болса, онда (1.1) формула арқылы абсолюттік қатені анықтау мүмкін емес. Мұндай жағдайда ның жоғарғы шегі- ны анықтайды.
. (1.2)
-ны шектік абсолюттік қате деп атайды. (1.2) формуладан мына формуланы аламыз.
(1.3)
санын санының кемітілген жуық мәні, ал санын арттырылған жуық мәні дейді. Мұндайда жазуын қолданады.
Абсолюттік қате, көп жағдайларда есептеу кезінде немесе өлшеу кезінде жіберілген қатені дәл сипаттай алмайды.
Өлшеудің сапасын анықтау үшін салыстырмалы қатені қолданады. Ол былайша табылады:
. (1.4)
Ал болса, онда шектік салыстырмалы қате делінеді. Шектік салыстырмалы қате ретінде
(1.5)
санын алуға болады. Егер және болса, онда абсолюттік қате мен салыстырмалы қатені былайша жуықтап алуға болады:
(1.6)
(1.7)
Лекция 2.Арифметикалық амалдарды қолданған кездегі қателер.
Жуықтап алынған сандарға қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдарын пайдаланғанда түпкілікті қателер қалайша өзгеретінін қарастырайық.
1.Қосу және азайту.
- санының дәл мәндерінің қосындысы болсын, ал
- сандардың жуық мәндерінің қосындысы делік. Сонда
Осыдан немеcе
. (2.1)
(2.1) теңсіздігі жуық сандардың қосындысының абсолюттік қатесі қосылғыштардың абсолюттік қателерінің қосындысынан үлкен болмайтынын көрсетеді.
сандары ретімен сандарының шектік абсолюттік қатесі болсын. Сонда
немесе
(2.2)
Сандардың айырымдары үшін де (2.2) формула дұрыс.
Әртүрлі абсолюттік дәлдіктегі сандарды қосқанда есептеуді былай жүргізген жөн:
Енді сандардың қосындысының шектік салыстырмалы қатесін қарастырайық.
Бізге берілсін және болсын. дің дәл мәні дейік, ал
Сонда шектік салыстырмалы қатені былайша алуға болады.
(2.3)
Немесе
, (2.4)
себебі
салыстырмалы қателер-дің ең үлкен мәні болсын дейік сонда
демек
Егер болса, онда . (2.5)
Сондықтан
(2.6)
мұнда мен нің айрымының абсолюттік дәл мәні.
(2.6) формуладан өте жақын сандарды бір-бірінен алғанда дәлдікті жоғалтып алу қаупі бар екенін көреміз. Сондықтан, мұндай жағдайда оларды түрлендіру арқылы есептеген дұрыс.
Мысалы: а мен b саны бір-біріне өте жақын болған жағдайда өрнегін есептегеннен өрнегін есептеген дәлірек.
2.Көбейту. жуықтап алынған сандардың көбейтіндісі және болсын.
Сонда
(2.7)
формуласын пайдалана отырып (2.7) теңдіктен
теңдікті аламыз.
Соңғы өрнектен төмендегідей теңсіздікті аламыз,
Егер санының дәл мәні және болса, онда
және ,
мұнда санының салыстырмалы қатесі, ал - көбейтіндінің салыстырмалы қатесі.
Сондықтан
. (2.8)
(2.8) формуласы сандарының таңбалары әртүрлі болған жағдайда да орындалатыны айқын. Ал сандарының көбейтіндісінің шектік салыстырмалы қатесі -
(2.9)
ал шектік абсолюттік қате -
3.Бөлу. Егер болса, онда және
Осыдан
. (2.10)
Сонымен бөлу амалын қолданғанда жіберілген қателер мен көбейту амалдарында жіберілген қателер (2.8), (2.10) формулалары арқылы аңықталатындығын көреміз.
4.Дәрежелеу. (m-натурал сан) болсын, онда
, сондықтан
Осыдан
. (2.11)
Түбір табу. болсын, сонда Осыдан
(2.12)
Дәрежелеу мен түбір тапқанда функциясы жіберетін қатені жалпы былай жазуға болады: . (2.13)
Лекция 3. Интерполяциялау есебінің қойылуы.
Техникада, физикада, экономикада т.с. жаратылыс тану ғылымдарында функцияның мәні таблица түрінде беріледі. Мысалы нүктелерінде функцияның мәндері- беріледі. Таблица арқылы берілген функцияның кемшілігі- оның кез-келген, таблицада көрсетілмеген, нүктедегі мәнінің белгісіздігі.
Көп жағдайда аналитикалық жолмен берілген функциясының мәнін есептеу өте күрделі, немесе таблица арқылы берілген функцияның мәндері өте қымбатқа түсетін эксперименттер арқылы алынған болса, онда функциясын, мәні оңай есептелінетін, қарапайым функциясымен алмастырған тиімдірек болады. Қысқаша айтқанда функцияның аргументінің кез-келген мәнінде, белгілі бір мағынада, болуы керек. Осы функциясын табудың мәселелерін- интерполяциялау теориясы дейміз.
Енді осы интерполяциялау теориясының ең қарапайым түрін қарастырайық.
кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелердегі функциясының мәндері- берілген.
болатындай функциясын (интерполяциялаушы функция) табу керек.
Мұның геометриялық мағынасы:
нүктелерінен өтетін сызығын табу керек деген сөз.
1-сурет
Есептің бұл қойылымында көптеген шешулер болуы, немесе болмауы да мүмкін. Алайда кез-келген функцияның орнына дәрежесі n-нен үлкен емес, Pn(xі)=f(xі) (і=0,...,n) теңдігін қанағаттандыратын Pn(x) алгебралық көпмүшелігін алатын болсақ, онда есептің шешуі біреу ғана болады. Pn(x) көпмүшелігін-интерполяциялық көпмүше дейді.
Егер x0<x1<...<xn, ал болса, онда функциясының мәні, тар мағанада интерполяциялау, болса, экстрополяциялау арқылы табылады дейді. Алдағы уақытта жалпы функциясын табуды- интерполяциялау дейміз.
Лагранждың интерполяциялау формуласы.
кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелерде функциясының мәндері- берілген. Осы функцияны интерполяциялау үшін n дәрежелі алгебралық көпмүшені
(2.1)
қолданамыз. Мұндағы коэффициенттерін
болатындай етіп табу керек.
Кез-келген үзіліссіз функциясы үшін бұл есептің шешімі біреу ғана болады. Себебі
(2.2)
теңдеулер жүйесінің аңықтауышы нольден айырықша (Вандермонд аңықтауышы).
көпмүшесін, нүктелері бойынша тұрғызылған, функциясын интерполяциялаушы көпмүше дейміз.
(2.2) теңдеулер жүйесінің шешімдерін әртүрлі жолмен табуға болады. Оның көп қолданатын түрлері Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктері.
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін
(2.3)
түрінде қарастырамыз. (2.2) шартын ескере отырып,
(2.4)
теңдігін аламыз. Егер
(2.5)
болса, онда (2.4) шарты орындалады. дәрежелі көпмүше болғандықтан коэффициентін де n дәрежелі көпмүше ретінде іздеген дұрыс. Атап айтқанда көпмүшесін
(2.6)
түрінде іздейміз.
шартың ескере отырып, (2.6) формуладан
және
(2.7)
формуласын табамыз. Сонымен Лагранж көпмүшесі толық былайша жазылады.
. (2.8)
Егер десек, онда
ал
Сондықтан Лагранж көпмүшесін былайша ықшамдап жазуға болады:
(2.9)
Енді интерполяциялық Лагранж көпмүшесінің жіберетін қатесін қарастырайық.
функциясын көпмүшесімен алмастырғанда жіберетін қатеміз
(2.10)
Кейде функциясын Лагранж көпмүшесінің қалдығы деп те атайды.
Кез-келген нүктесіндегі қалдықты табу үшін мына көмекші функцияны қарастырамыз:
, (2.11)
мұнда -тұрақты сан. санын болатындай, яғни
(2.12)
деп алсақ, онда ең болмағанда нүктеде нольге тең болады.
Енді функциясының кесіндісінде үзіліссіз ретті туындысы бар болсын. Сонда , Роль теоремасы бойынша, кесіндісінде ең болмағанда n+1 нүктеде нөлге тең, ал -ењ , болмағанда n нүктеде нөлге тең, т.с. ең болмағанда бір нүктеде нөлге тең болады. Сонымен табылады да болады.
Ал болғандықтан . (2.13)
(2.12) және (2.13) формулаларды ескере отырып,
(2.14)
формуласын аламыз.
Осыдан функциясын жоғарыдан бағалау арқылы
. (2.15)
теңсіздігін аламыз, мұндағы .
Егер дәрежесі n-нен үлкен емес көпмүше болса, онда
Сондықтан .
Лекция 4. Бөлінген айырымдар және Ньютон формуласы.
Бізге нүктелерінде функциясының мәндері берілген және деп ұйғрасақ. Нольдік ретті бөлінген айырымдар деп нүктелеріндегі функциясының мәні- -ді айтамыз. Бір ретті бөлінген айырым деп
өрнектерін айтамыз. Бір ретті бөлінген айырымдар арқылы екі ретті бөлінген айырымдарды алуға болады:
Егер k-ретті бөлінген айырымдар
белгілі болса, онда k+1- ретті бөлінген айырым былайша табылады:
.
k-ретті бөлінген айырымды былайда табуға болады:
. (3.1)
(3.1) формуласының дұрыстығын математикалық индукция арқылы дәлелдеуге болады.
Егер k=0 болса, онда ал k=1 болса, онда
Енді (3.1) формуласы ретті бөлінген айырымдар үшін дұрыс деп алып, ретті бөлінген айырымдар үшін де дұрыс екенін көрсетейік:
(3.2)
Бұл өрнекте және бірден ғана кездеседі, ал қалған квадрат жақшаның ішіндегі қосындылардың екеуінде де кездеседі. Оларды бір-біріне қосу арқылы (3.1) формуласын аламыз. Бізге бұл формуланың, алдағы уақытта, дербес түрі
(3.3)
керек болады.
Енді Лагранж көпмүшелігі- функциясын былайша жазайық.
(3.4)
Интерполяцияның (2.4) шарты бойынша
Сондықтан j-дәрежелі, нүктелерінде нөлге тең, алгебралық көпмүшелік болады, яғни
(3.5)
мұндағы сандық коэффициент.
Бұл коэффициент мына теңдіктен табылады:
. (3.6)
Осыдан екенін ескере отырып,
(3.7)
формуласын аламыз.
Енді
екенін ескерсек, онда (3.8)
(3.8) формуласын (3.3) формуласымен салыстыра отырып,
(3.9)
екенін көреміз.
Осыдан (3.4), (3.5), (3.9) формулаларын ескере отырып,
(3.10)
формуласын аламыз. (3.10) түрінде жазылған Лагранж көпмүшесін Ньютон интерполяциялық формуласы дейміз. Алдағы уақытта оны деп белгілейміз.Біз Ньютон формуласының қалдығы Лагранж формуласының қалдығымен бірдей екенін білеміз. Енді Ньютон формуласының қалдығын басқа түрде жазайық. нүктесі қалдығының шамасын қарастыратын нүкте болсын.
Онда
теңдігінен
формуласын аламыз.
Осыдан
(3.11)
(2.14), (3.11) формулаларын салыстыра отырып, нүктесі табылып, және сол нүктеде
(3.12)
теңдігі орындалатынын көреміз.
(3.12) формуласы функцияның ретті туныдысы мен ретті бөлінген айырымының арақатынасын көрсетеді.
Лекция 5 -Лекция 6. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
Теңдеулер жүйелерін шешу жолдары әдетте, дәл және итерациялық әдістер болып екі топқа бөлінеді.
Дәл әдістер орындалатын арифметикалық амалдар саны санаулы болатын өрнектерден тұрады. Теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын Крамер, Гаусс, қуалау әдістері осы топқа жатады. Жүйені анықтайтын деректер дәл берілгенде және есептеулер дәл орындалғанда, олар жүйенің дәл шешімін беруі тиіс.
Итерациялық әдістер бір немесе бірнеше параметрлері үнемі өзгеріп тұратын алгебралық біртекті өрнектерден құралады. Олар жүйенің жуық шешімін векторлар тізбегінің шегі ретінде анықтайды. Тізбектелген алгебралық өрнектерді итерациялық әдістің есептеу алгоритмі деп атайды.
Енді жоғарыда аталған мәселелерге жеке-жеке тоқталайық.
1. Векторлар мен матрицалардың нормалары және олардың негізгі қасиеттері.
Векторлардың нормалары. Rn векторлық кеңістікте векторы берілсін. Мұндағы хі-вектордың і-координаты.
Анықтама. Х векторының нормасы-||X|| деп мна шарттарды қанағаттандыратын теріс емес санды айтамыз:
3) ||X+У|| < ||X||+||У|| (үшбұрыш теңсіздігі) .
Соңғы екі шарттан мына теңсіздікті алуға болады
||X-У|| > ||X||-||У||.
Шынында да ||X|| =||X+У-У|| < ||X-У||+||У||.
Осыдан ||X|| - ||У|| <||X-У||.
Сызықтық алгебрада вектордың төмендегі үш нормасы жиі қолданылады:
1)(кубтық норма); (1.1)
2)(октаэдрлік норма); (1.2)
3) (сфералық норма); (1.3)
Соңгы норманы вектордың ұзындығы дейді. Бұл үш нормада анықтаманың үш шартын да қанағаттандырады. Бірінші және екінші шарттардың орындалуы айқын болғандықтан, бұлар үшінші шартты да қанағаттандыратының көрсетейік.
Бірінші және екінші нормалар үшін мына теңсіздіктер орындалады:
;
;
Ал үшінші норма үшін Коши-Буняковский теңсіздігін пайдалансақ:
Осыдан .
Егер , оң нақты сандары үшін векторлардың нормалары , мына шартты қанғаттандырса
, онда оларды эквивалентті нормалар дейді. Жоғарыда көрсетілген нормалар өзара эквивалентті. өйткені олар мына теңсіздіктерді қанағаттандырады.
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.4),(1.5) теңсіздіктері мен (1.6) теңсіздігінің оң жағы айқын болғандықтан, біз (1.6) теңсіздігінің сол жағын дәлелдесек болғаны. Шынында да .
Осыдан .
Х(к)-векторлар тізбегінің Х векторына жинақталуы үшін
шартының орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт кубтық норма үшін айқын, ал қалған екі норма үшін бұл шарттың орындалуы (1.4),(1.5) теңсіздіктерінен шығады. Сондықтан итерациялық әдістердің жинақталуын зерттегенде, векторлардың кез-келген, жоғарыда көрсетілген нормаларын пайдалануға болады.
1.2.Матрицалардың нормалары.
Анықтама. Берілген А квадрат матрицаның нормасы- деп теріс емес және келесі төрт шартты қанағаттандыратын санды айтамыз:
Матрицаның нормасын әртүрлі жолдармен алуға болады. Мысалы көп қолданылатын нормаларға мына нормаларды жатқызуға болады:
,
.
Бұл нормалар бірінші үш шартты қанағаттандыратыны айқын болғандықтан 4-ші шарттың орындалуын дәлелдейік:
Айталық, А=(аіj ), B=(bіj ) болсын. Онда
Сондықтан
Дәл сол сияқты
.
Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша .
Осыдан
.
Яғни
.
3.Келісілген нормалар. Көптеген есептерде матрица мен вектордың нормалры қатар қолданылатындықтан, олар бір-бірімен келісілген болуы тиіс.
Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін шарты орындалса, онда А матрицасы мен Х векторының нормалары келісілген дейміз.
Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық нормаларымен келісілген, ал N(A) тек сфералық нормамен келісілген.
Енді Х векторының нормасымен келісілген А матрицасының, шамасы жағынан ең кіші, нормасын табуды қарастырайық.
А матрицасының нормасы ретінде ||X||=1 болған жағдайдағы АХ векторының ең үлкен нормасын алсақ, яғни
(1.7)
болса, онда бұл шама норманың анықтамасының барлық төрт шартын қанағаттандырумен қатар келісілгендіктің де шартын қанағаттандырады:
1-шарт. Айталық, . Онда ||X||=1 вектор табылып, болады. Сондықтан болғандықтан >0. Егер А=0 болса, онда .
2-шарт. Екінші шарттың орындалуы мына теңдіктерден шығады:
.
Келісілгендік шарт.
Егер кез-келген вектор болса, онда векторының нормасы ||Х||=1. Сондықтан .
3-шарт. А+В матрицасы үшін ||A+B||=||(A+B)X0|| теңдігі орындалатындай нормасы бірге тең (|(X0||=1) Х0 векторын табамыз. Сонда
4-шарт. АВ матрицасы үшін ||X0||=1 және ||ABХ0||=||AB|| теңдігін қанағаттандыратын Х0 векторын табамыз. Сонда .
Сонымен біз (1.7) нормасы норманың анықтамасының барлық шарттарын және келісілгендік шартын қанағаттандыратындығын көрдік. А матрицасының (1.7) түріндегі нормасын берілген вектордың нормасына бағынған норма дейміз.
Енді бағынған норманың мәні басқа келісілген нормалардың мәнінен үлкен еместігін көрсетейік. Шынында да, матрицаның L(A)-вектордың нормасымен келісілген нормасы, ал -вектордың нормасына бағынған нормасы болсын.
Онда нормасы бірге тең Х0 векторы табылып ||A||=||AХ0|| теңдігі орындалады. Ал екенін ескерсек, онда екенін көреміз.
Енді жоғарыда көрсетілген вектордың нормаларына бағынған матрицаның нормасын қарастырайық:
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы
. (1.8)
Шынында да, ||Х||1 =1 болсын. Сонда
,яғни . Енді шынында да өрнегіне тең екенің дәлелдейік.
Ол үшін ||X0||=1 және болатын Х0 векторын тұрғызайық. Айталық, өзінің ең үлкен мәнін і=j болғанда қабылдасын. Ал Х0 векторының координатасын
деп алсақ, онда ||X0||=1. Сонымен қоса және
,
болғандықтан
.
Осыдан .
Сонымен
.
2.
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-
. (1.9)
Шынында да болса, онда
Енді Х0 векторын былайша алайық: өрнегі өзінің ең үлкен мәнін k=j болғанда алатын, ал kj болғанда Хk(0) =0және Хj(0) =1 болсын. Сонда
.
Сонымен
.
3. .
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-
мұнда л-А*А матрицасының ең үлкен меншікті саны. Шынында да,
Бірақ |AX|2=|АХ,АХ|=|Х,А*АХ|, ал А*А-эрмиттік (симметриялы оң анықталған) матрица. Айталық, л1 ең үлкен меншікті сан болсын, онда |X|=1 болғанда мах(Х,А*АХ)= л1.
Матрицалар мен векторлар тізбегінің жинақталуы.
Сызықтық алгебрадағы шектер туралы түсініктер көбіне итерациялық әдістерді қарастырған кезде пайдаланылады. Сондықтан біз матрица мен векторлар тізбектерінің жинақталуы туралы ұғымды және матрица мен векторлар тізбегінің жинақталу шаттарын қарастырамыз.
Матрицалар мен векторлар тізбегінің шегі туралы түсінік.
Айталық, берілген векторлар тізбегінің координаталары
х1(1),…, хn(к),…; … ; х1(k),… хn(k) болсын.
Егер {X(к)} тізбегі Х=(x1, x2, … ,xn) векторына жинақталатын болса, онда оны былайша жазады:
, немесе Х(к)Х.
Бұл жағдай (і=1,…,n) болғанда орындалады.
Ал жинақталатын қатар дейміз, егер бар болса және мұны қатардың қосындысы дейміз.
Енді А(1), А(2), … , А(к), … матрицалар тізбегі берілсін және әрбір А(к)={aіj(k)} болсын. Егер барлық і,j үшін шарты орындалса, онда {А(k)} тізбегі А={aіj} матрицасына жинақталады дейміз және оны былай жазады:
, немесе A(к)A .
Егер квадрат матрицалар тізбегі {А(k)} ерекше емес А матрицасына жинақталатын болса, онда жеткілікті үлкен к үшін А(k) матрицасының кері матрицасы бар болады және .
Шынында да, егер A(к)A болса, онда A(к) матрицасына сыбайлас матрица - В(к), А матрицасына сыбайлас В матрицасына жинақталады. Себебі В(к) мен В-ның элементтері тиісінше А(к) мен А-ның элементтерінең тұратын полином.
Сол себебті және к-ның белгілі бір мәнінен бастап . Осыдан (A(к))-1A-1 , себебі .
Теорема. Егер А матрицасы {А(k)} тізбегінің, ал F-{F(k)} тізбегінің шегі болса, онда А(k) Х(k)= F(k) жүйесінің шешімі
АХ=F жүйесінің шешіміне жинақталады.
Егер матрицаның элементтері t параметрі бойынша дифференциалданатын болса, онда.
Егер A(t)={aіj(t)}1n болса, онда A'(t)={a'іj (t)}1n және мына дифференциялдау ережелері орындалады:
Жинақтылық теоремалары.
2.1-Теорема. Аm0 болуы үшін, А матрицасының барлық меншікті санының модулі бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
2.2-Теорема. болуы үшін А матрицасының ең болмағанда бір нормасы ||A||<1 болуы жеткілікті.
2.3-Теорема. Матрицаның кез-келген нормасының мәнінен меншікті санының модулінің мәні үлкен болмайды.
2.4-Теорема. қатары (Е-А)-1 матрицасына жинақталуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.
2.5-Теорема. Егер ||A||<1 болса, онда .
2.6-Теорема. Егер ||A||<1 болса, онда (Е-А)-1 бар болады және .
Лекция 7. Гаусс әдісі.
Бізге
АХ=F (4.1)
Теңдеулер жүйесі берілсін және |А|0 дейік. Онда бұл жүйенің шешуін
Х=A-1F түрінде жазуға болады. Осыдан (4.1) теңдеулер жүйесін шешу үшін А-1-ді табу керек. Бірақ А-1-ді табу көптеген жағдайда тиімді болмағандықтан, оны таппай-ақ жүйенің шешуін іздестіретін жолдарды қарастыруға тура келеді. Сондай жолдардын кең тараған түрі Гаусс әдісі болып табылады. Онын әртүрлі есептеу алгоритмдері бар болғандықтан, біз тек бір ғана қарапайым түрін қарастырамыз.
Гаусс әдісінің есептеу алгоритмі.
Айталық,
(і=1,…,n ) (4.2)
теңдеулер жүйесін шешу керек болсын.
Егер (4.2) жүйесінің матрицасының элементтері і>k болғанда aіk=0 болса , онда (4.2) жүйенің шешуі былайша табылады :
(і=1,…,n). (4.3)
Сондықтан Гаусс әдісі берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты матрица түріне түрлендіруге негізделген.
Бұл түрлендіру былайша жүргізіледі.
Айталық, (4.2) жүйесінде а110 болсын.(ал а11=0 болса, онда жүйеден аkl0 коэффициенті бар теңдеуді бірінші теңдеумен алмастырамыз) Бірінші теңдеуді а11-ге бөлу арқылы
х1+С12х2+ ...+С1nxn=y1 (4.5)
теңдеуін аламыз. Мұнда , (j=2,…,n) , .
Енді қалған
aі1x1+aі2x2+…+aіnxn=fі (і=2,…,n) (4.6)
теңдеулер жүйесінен (4.5) теңдеуін aі1 -ге көбейтіп алып тастасақ, онда мынандай теңдеулер жүйесін аламыз.
x1+С12х2+ . . .+C1jxj+. . .+C1nxn=y1
a22(1)x2+. . .+a2j(1)xj+. . .+a2n(1)xn=f2(1) (4.7)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
an2(1)x2+. . .+anj(1)xj+. . .+ann(1)xn=fn(1)
Мұнда aіj(!)=aіj-C1j aі1,
fі(1)=fі-y1aі1 (і,j=2,3,…,n) (4.8)
(4.7) теңдеулер жүйесінде х1 белгісізі тек бірінші теңдеуде болғандықтан, егер
(і=2,…,n) (4.9)
теңдеулер жүйесін қарастырамыз. Егер а22(1) 0 болса, онда жоғарыдағы тәсілді қолдану арқылы мына теңдеулер жүйесіне келеміз:
x1+C12x2+ . . . +C1nxn=y1
x2+C23x3+…+C2nxn=y2
a33(2)x3+…+C3nxn=f3(2) (4.10)
--------------------
an3(2)x3+…+Cnnxn=fn(2).
Мұнда ,
aіj(2)=aіj(1)-C2j aі2(1) ,
fі(2)=fі(1)-y2aі2 ( і,j=3,…,n).
x1+C12x2+ . . . +C1nxn=y1
x2+C23x3+…+C2nxn=y2 (4.11)
----------------------
xn=yn
теңдеулер жүйесін аламыз.
Қорыта келгенде (4.11) теңдеулер жүйесінің коэффициенттері мен оң жағы мына формулалар арқылы табылатының көреміз:
akj(0)=akj (k,j=1,2,…,n),
( j=k+1,k+2,…,n; k=1,…,n).
аіj(k)=aіj(k-1)- aіk(k-1)Ckj ( і,j=k+1,k+2,…,n; k=1,…,n),
fk(0)=fk , , (k=1,…,n),
fі(k)=fі(k-1)-aіk(k-1) yk (і=k+1,k+2,…,n.),
Ал (4.11) теңдеулер жүйесінің шешуі -х1,х2,…,хn мына формула арқылы табылады:
хn=yn , (і=n-1,n-2,…,1). (4.13)
Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін есептеу кезінде қолданылған арифметикалық амалдар саны -
N=m(m2+3m-1)/3 екенің есептеу онша қиын емес.
Гаусс әдісімен теңдеулер жүйесін шешкен кезде (4.12) формуласындағы бас элемент -акк(к-1) өте аз шама болған жағдайда дөңгелектеу қателері өсіп, есептеу дәлдігі төмендеп кетуі мүмкін. Сондықтан, кейбір жағдайда, бас элемент ретінде max|aіk(k-1)| (і=k,n) коэфициентін алады, яғни |хіk| коэфициенті ең үлкен теңдеуді к-шы теңдеумен орын ауыстыру арқылы есептеуді жалғастырады. Бұл әдіс Гаусстың тік жол боынша бас элементті таңдау әдісі деп аталады.
Егер akk -ны max|aіk(k-1)| (і=k+1,n) коэфициентімен алмастырсақ, яғни хк белгісізін хі белгісізімен орын алмастыру арқылы есептесе , онда бұл әдісті - Гаусстың жатық жол бойынша бас элементті таңдау әдісі дейді.
Лекция 8. Қуалау әдісі
Бұл әдіс көбінесе үш диогналды теңдеулер системасын шешуге арналған. Айталық,
(4.19)
(і=1,...,n), a1=cn=0
теңдеулер жүйесі берілсін. Бұл теңдеулер жүйесінің шешулерінің ара-қатынасы
і=xі+1і+1+yі+1 (і=n,...,1), (4.20)
болсын делік. xі , yі белгісіздерін табу үшін (4.20) теңдігін (4.19) теңдігіне қойсақ, онда мынандай теңдеулер системасын аламыз:
.
Осы теңдеуден
. (4.21)
Жоғарыда көрсетілген (4.20) мен (4.21) формулаларын салыстыра отырып
, (4.22)
(мұнда і=1,...,n) формуласын аламыз. Егер x1=y1=n+1=0 десек , онда xі , yі ( і=1,...,n) белгісіздерін табу арқылы , (4.20) формуласын қолданып, теңдеулер жүйесінің шешуін табамыз.
Енді осы әдістің орнықты болуы үшін аі0, сі0,
|bі|>|aі|+|cі| ( і=1,...,n) (4.23)
шарттарының жеткілікті екенің көрсетейік.
Шынында да х1=0 болғандықтан |x2|=|c1|/|b1|<1.
Енді бұл шарт кез-келген і үшін |xі|<1 деп алып |x1+і|<1 теңсіздігі де орындалатынын көрсетейік. (4.23) формуладан теңсіздігін алуға болатындықтан .
Осыдан (4.22) формулаларының бөлімі нөлге тең еместігін көреміз және , яғни
(і=1,...,n). (4.24)
(4.23) шарты (4.19) жүйесінің шешуінің бар болуын және оның біреу ғана болатындығын қамтамасыз етіп қоймай, жүйенің орнықты екенің де көрсетеді.
Шынында да (4.20) формуласы бойынша і=і0+1 болғанда і+1-дің орнына есептелінді делік. Онда і=і0 болғанда формуласының орнына формуласын аламыз және .
Осыдан болатындықтан жіберілген қатенің өспейтіндігін көреміз.
Лекция 9. Матрицаның анықтауышын есептеу.
Гаусс әдісін матрицаның анықтауышын есептеу үшін де қолдануға болады. Біз оның бір ғана түрін қарастырамыз.
Айталық,
анықтауышы берілген және а110 болсын. Осыдан
, мұнда b11=a1і/a11 .
Енді бірінші жатық жолды әр төменгі жатық жолдың бірінші элементіне көбейтіп және сол жатық жолдан алып тастап отырсақ, онда
.
Егер а22.1 0 болса жоғарыдағы қолданған әдісті қалған
(n-1) өлшемді анықтауышқа қолданамыз. Осы әдісті аяғына дейін жалғастырсақ, онда
.
Егер аіі.і-1=0 немесе нөлге жақын болған жағдайда, алдын ала жатық жолдарды немесе тік жолдарды алмастыру арқылы аіі.і-10 матрицаға түрлендіруге болады. Ең дұрысы матрицаның бірінші жатық жолының бірінші элементі, оның барлық элементтерінен, абсолют шамасы бойынша ең үлкен болғаны тиімді. Анықтауышты есептеген кезде қолданылған көбейту мен бөлудің саны- .
Гаусс әдісі бойынша кері матрицаны табу.
Бізге ерекше емес
А=[aіj] (і,j=1,2,...,n) (4.31)
матрицасы берілсін.
Оның кері матрицасы
А-1=[хіj (і,j=1,2,...,n) (4.32)
болсын.
Онда АА-1 =Е теңдігі орындалатындықтан А мен А-1 матрицаларын көбейту арқылы мына теңдеулер жүйесін аламыз:
(і,j=1,2,...,n), (4.33)
мұнда
Теңдеулер жүйесінің оң жағы n бағанадан тұратындықтан Гаусс әдісін барлығына паралель қолдану тиімді, яғни
xkj (k,j=1,2,...,n) мына формулалар арқылы табылады:
akj(0)=akj, (k,j=1,...,n), (j=k+1,k+2,...,n; k=1,...,n),
(і,j=k+1,k+2,...,n; k=1,2,...,n-1). (4.34)
(4.35)
(j=k+1,k+2,...,n; і,k=1,2,...,n)
(і=n-1,n-2,...,1). (4.36)
Лекция 10. Кері матрицаны табу әдістері.
Гаусс әдісін қолдану арқылы кері матрицаны табу жолын өткен параграфта қарастырдық. Енді кері матрицаны табудың басқа жолдарын қарастырайық.
Клеткаларға бөлу әдісі.
Кей уақыттарда матрицаның өлшемі өте үлкен болған жағдайда оны алдын-ала өлшемі аз матрицаларға бөлшектеу арқылы кері матрицасын табу тиімдірек. Біз осы әдістің, дербес жағдайын, n өлшемді матрицаны төрт клеткаға бөлу арқылы кері матрицасын табу жолын қарастырайық. Берілген S матрицасын былайша жазайық:
,
мұнда А,D-өлшемдері кезегімен p және q квадрат матрицалар және p+q=n.
Кері матрицасын да клетка түрінде іздестіреміз:
,
мұнда да K,N-өлшемдері кезегімен p және q квадрат матрицалар. Енді S және S-1 матрицаларын бір-біріне көбейітсек, онда мынандай теңдіктер жүйесін аламыз:
AK+BM=E AL+BN=0
CK+DM=0 CL+DN=E.
Үшінші теңдікті ВD-1 матрицасына сол жақтан көбейтіп, бірінші теңдіктен алсақ, онда (A-BD-1C)K=E.
Осыдан K=(A-BD-1C)-1 және үшінші теңдіктен M=-D-1CK.
N=(D-CA-1B)-1, L=A-1BN.
Бұл әдіс қарастырылған кері матрицалар бар болғанда ғана іске асатындығын естен шығармаған жөн. Жоғарыдағы формулаларды былайша өзгертуге болады:
N=(D-CA-1B)-1, M=-NCA-1, L=-A-1BN, K=A-1-A-1BM.
Немесе
K=(A-BD-1C)-1, L=KBD-1, M=-D-1CK, N=D-1-D-1CL.
Бұл формулаларда өлшемдері p және q екі матрицаның кері матрицасын табу жеткілікті.
Соңғы формулалардан, матрицаның бас диагнолындағы клеткалардың кері матрицасы оңай табылатын жағдайда, клеткаға бөлу әдісі тиімді екенің көреміз.
Көмкеру әдісі.
Берілген А матрицасын мына түрде жазайық ,
мұнда .
Егер белгілі десек, онда матрицасын мына түрде іздестіреміз:
, мұнда біз табуға тиісті pn-1-матрица, qn-жатық бағана, rn-тік бағана және 1/n-сан. Енді А мен А-1 матрицаларын бір-біріне көбейітсек, онда
.
Осыдан
An-1pn-1+unqn=E (5.1)
vnpn-1+annqn=0 (5.2)
An-1rn+un/n=0 (5.3)
vnrn+ann/n=1. (5.4)
(5.3) теңдігінен rn=An-1-1un/n ,
ал (5.4) теңдігінен
nn=ann-vnAn-1-1un (5.5)
белгісіздерін табамыз.
Ал (5.1) теңдігінен
pn-1=An-1-1-An-1-1unq n. (5.6)
Енді (5.2) және (5.5) формулаларының негізінде
vnAn-1-1-vnAn-1-1unqn+annqn=vnAn-1-1-(ann-n)qn+annqn =vnAn-1-1+nqn=0.
болғандықтан qn=-vnAn-1 -1/n
pn-1=An-1-1+An-1 -1unvnAn-1-1/n.
, (5.7)
мұнда .
Бұл әдіс арқылы А-1 матрицасын табу ретімен
(а11), матрицаларының кері матрицасын көмкеру әдісі арқылы біртіндеп табу арқылы іске асырылады. Есептеу схемасы мынандай:
(n санын екі жолмен табу, есептеу барысының дұрыстығын қадағалап отыру үшін қажет.)
4) bіk=cіk+іnnk/n , (і,k<n-1) bіn=іn/n ; bnk=nk/n , (і,k<n-1)
dnn=1/n.
Көмкеру әдісін, теңдеулер жүйесін шешкен кезде, Аn-1-1 белгілі болғанда қолдану тиімді. Мұндай жағдайлар Б.Г.Галеркин немесе В.Ритц әдісімен математикалық физика немесе механика есептерін (n-1) координатты функцияны қолданғандағы дәлдік қанағаттандырмаған, ал (n) координатты функцияны қолданғандағы дәлдік қанағаттанарлық болғанда кездеседі.
Теңдеулер жүйесін дәл әдіспен шешудің басқа да жолдары бар. Олардың кейбір түрлерімен Ө.Сұлтанғазин мен С.Атанбаевтың ,,Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы” атты оқулығының 1-кітабынан танысуға болады.
Лекция 11. Теңдеулер жүйесін қарапайым итерациялық әдістермен шешу жолдары.
Итерациялық процесстерді құру принципі.
Көп жағдайда теңдеулер жүйесін дәл әдіске қарағанда итерациялық әдіспен шешкен тиімдірек. Себебі:
Енді осы итерациялық процесті құру схемасымен танысайық.
Айталық ,
(6.1)
теңдеулер жүйесі берілсін және делік. Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін
(6.2)
формуласы бойынша ,(-итерацияның
-қадамдағы жуықтауы) векторлар тізбегін табамыз.
Х0-бастапқы кез-келген вектор, Н1, Н2,... матрицалар тізбегі .
(6.2)-формуласын итерациялық әдіс дейміз.
{Н (к)} матрицалар тізбегінің түріне қарай (6.2) формуласынан әртүрлі итерациялық процестерді аламыз. Егер ягни -дан тәуелсіз болса, онда итерациялық процесті “стационар” , ал -дан тәуелді болса “стационар емес” деп, ал болса, онда қадамды итерациялық процесс дейміз.
Итерациялық процестер үшін (6.1) теңдеулер жүйесінің шешуі Х*-қозғалмайтын нүкте болып табылады, яғни деп алсақ, онда (6.2) формула бойынша тапқан келесі векторымыз да болады.
Керісінше -қозғалмайтын нүкте болатын кез-келген мынандай итерациялық процесті
, (6.3)
мұнда -матрицалар тізбегі, -векторлар тізбегі, (6.2) түрінде жазуға болады.
Шынында да үшін
болғандықтан
мұнда .
Енді итерациялық процесстің жинақталуын қарастыру үшін (6.2) теңдігін векторынан алып тастайық, ягни
. (6.4)
Осы формуланы былайша жазсақ
онда -векторлар тізбегінің векторына жинақталуы үшін
матрицасының нөлге ұмтылуы қажетті және жеткілікті, ал матрицасының кез-келген нормасының нөлге ұмтылуы жеткілікті шарт екенің көреміз.Ал -векторлар тізбегінің векторына ұмтылу жылдамдығы матрицасына байланысты болғандықтан, оны тандау әртүрлі итерациялық әдістерге әкеледі.
.
Осыдан болғанда .
екенің көреміз. Ал
(6.6)
болғандықтан
.
Осыдан мынандай тұжырым жасауға болады: егер (C-const) яғни (6.1) орнықты болса, онда шегінен шегі келіп шығады. Ал матрицасының шарттылығы нашар болған жағдайда бұл тұжырым орындалмауы да мүмкін.
Сондықтан итерациялық процессті , алдын-ала берілген дәлдік - бойынша теңсіздігі орындалған кезде тоқтату ертерек болуы мүмкін.
Енді (6.4) теңдігін былайша жазайық: .
Осыдан .
Бұл теңсіздік ,(6.1) теңдеулер жүйесі орнықты болған жағдайда, итерациялық процесті
(6.7)
теңсіздігі орындалғанда тоқтатуға болатындығын көрсетеді.
Егер А оң анықталған симметриялы матрица болған жағдайда қателік вектордың шамасын қателік функциясы деп аталатын
функцияның шамасымен де анықтауға болады. Шынында да А оң анықталған болғандықтан және болғанда .
болғандықтан, оның мәнін табу мүмкін емес. Бірақ
(6.8)
функционалының қателік функциясынан айырмашылығы тұрақты сан болғандықтан және екеуі де өздерінің ең кіші мәндеріне болғанда ие болатындығын ескерсек, Ф(х) функционалына минимум мән беретін векторды жүйенің шешуі деп қарастыруға болады. Сондықтан
(6.9)
болған жағдайда да итерациялық процесті тоқтатуға болады.
Енді итерациялық процестердің қарапайым түрлерімен танысайық.
Біртіндеп жуықтау әдісі.
Берілген
теңдеулер жүйесін былайша жазайық
, (6.10)
мұнда .
Енді (6.10) теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті пайдаланайық
, (6.11)
мұнда -өзіміздің еркіміз бойынша алынатын кез-келген бастапқы вектор. (6.11) итерациялық әдісін (6.2) формуласы түрінде жазсақ
,
онда екенің және бұл стационар итерациялық әдіс екенің көреміз.
Бұл әдістің жинақтылығын анықтау үшін, математикалық индукцияны қолдану арқылы, (6.11) теңдігінен алынған
(6.12)
және теңдігінен (6.11) теңдігін алып тастағанда алынған
(6.13)
формулаларын қарастырайық.
Енді осы формулаларды қолдана отырып әдістің жинақтылығы туралы бірнеше теоремаларды берейік.
6.1-теорема: Кез-келген -де біртіндеп жуықтау әдісінің жинақты болуы үшін матрицасының меншікті мәндерінің модулі бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
Бұл теореманың шартын тексеру қиын болғандықтан, шарттары оңай анықталатын теоремаларды қарастырайық.
6.2-теорема: Біртіндеп жуықтау әдісі жинақталуы үшін болуы жеткілікті.
6.3-теорема: Егер болса, онда
(6.14)
Көп жағдайда және нормаларын салыстыруға тура келеді.
Зейдель әдісі.
Айталық,
теңдеулер жүйесі
( )
түрінде жазылды делік. Берілген жүйені былайша жазайық
. (6.22)
Енді осы теңдеулер жүйесін шешу үшін мынандай итерациялық әдісті қолданамыз:
, (6.23)
яғни белгілі болса, онда (6.23) формуласын пайдалану арқылы векторының компонентін табамыз, содан кейін векторын пайдаланып векторын табамыз. Сол сияқты векторының компонентері табылады.
Енді осы итерациялық процестің жинақтылығын зерртеу үшін (6.23) итерациялық процесін былайша жазайық:
, (6.24)
мұнда .
Осыдан
(6.24)
болғандықтан итерациялық әдістің жинақталуы үшін матрицасының меншікті санының абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті. Яғни теңдеуінің түбірлерінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы керек. Егер теңдеуді -ге көбейітсек, онда екі матрицаның анықтауыштарының көбейтіндісі туралы теореманы еске ала отырып, теңдеуді мына түрде жазуға болады:
, немесе
. (6.25)
Сонымен Зейдель әдісінің жинақталуы үшін (6.25) теңдеуінің барлық шешуінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
Енді әдістің жинақталуының жеткілікті шартын қарастырайық.
Айталық ,
. (6.26)
Бұл жағдайда біртіндеп жуықтау әдісі үшін мына бағалау орындалады
(6.27)
мұнда
. (6.28)
Сонымен Зейдель әдісінің жинақты болуы үшін (6.26) шартының жеткілікті екенің көрдік. (6.28) теңсіздігінен, біртіндеп жуықтау әдісі мен Зейдель әдістері берілген теңдеулер жүйесі үшін жинақты болса, Зейдель әдісінің жинақтылығы біртіндеп жуықтау әдісінің жинақтылғынан жылдамырақ екенің көреміз. Бірақ кей жағдайларда берілген теңдеулер жүйесі үшін біртіндеп жуықтау әдісі жинақты, ал Зейдель әдісі жинақты емес және керісінше Зейдель әдісі жинақты, ал біртіндеп жуықтау әдісі жинақты балмауы мүмкін.
Ричардсон әдісі.
Берілген
теңдеулер жүйесін шешу үшін стационарлы емес итерациялық процессін қолданайық
. (7.1)
Итерациялық процесстің жинақталуы -параметріне тікелей байланысты болғандықтан, оны табу жолдарына тоқталайық.
Айталық, -оң анықталағн болсын, яғни оның оң меншікті сандары және өзара ортогональды меншікті векторлары бар.
Егер десек, онда (7.1) теңдігін былай жазуға болады:
. (7.2)
векторын А матрицасының меншікті векторына жіктесек, онда
.
Енді (7.2) теңдігін ескере отырып
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
теңдіктерін аламыз.
Соңғы теңдіктен мына бағалауды алуға болады: ,
мұнда .
көпмұшесін қарастырайық.
Егер десек, онда
(7.4)
алмастыру арқылы аралығын аралығымен алмастыру арқылы көпмүшесін көпмүшесіне түрлендіреміз. Және болғандықтан .
Егер десек , онда көпмүшесі мен -Чебышев көпмүшесінің түбірлері бірдей болғандықтан, Чебышев көпмүшесінің түбірлері - көпмүшесінің модуліне минимум мән береді.
Ал көпмүшесінің түбірлері
(7.5)
боғандықтан және (7.4) теңдігін ескерсек, онда
. (7.6)
Бұл жағдайда . (7.7)
Себебі . Шынында да десек, онда
(7.8)
мұндағы
болғандықтан
. (7.9)
Енді екенің ескерсек, онда . Сонымен
(7.10)
болғандықтан Ричардсонның итерациялық әдісінің жинақталу жылдамдығы үшін мынандай бағалау орындалады:
(7.11)
(7.12)
мұнда циклді итерациялық процесстің параметрлерінің саның көрсетеді. Егер болса, онда итерациялық процесс (7.1) стационар, ал болса стационар емес делінеді.Ричардсон әдісін қолданған кездегі келесі проблема- параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде әдіс орнықсыз болуы мүмкін.
Лекция 12-15. Алгебралық және трансценденттік теңдеулерді жуықтап шешу єдістері
Біз түрінде берілген теңдеуді n дәрежелі алгебралық теңдеу, ал , , түрінде, яғни құрамы көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық функциялардан тұратын теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.
Егер алгебралық көпмүше болса, онда 5-дәрежелі көпмүшеге дейін ғана теңдеуінің түбірлерін дайын формулалар арқылы есептеуге болатыны белгілі. Ал трансценденттік теңдеулердің шешімдерін табудың жалпы әдісі жоқ. Сондықтан көптеген мәселелердің шешуі түптеп келгенде алгебралық немесе трансценденттік теңдеулерді алдын ала берілген дәлдікпен жуықтап шешуге келіп тіреледі.
Графиктер әдісі.
теңдеуінің бастапқы мәндерін табудың бір жолы функциясының графигін сызу арқылы, осы функцияның осімен қиылысу нүктелерін тауып, соларды теңдеудің жуық түбірлері ретінде қолдану.
Мысалы функциясының графигі 1-суреттегідей болсын.
1-сурет
Онда нүктелерінің біреуін бастапқы мән ретінде алуға болады.
Егер функциясын екі функцияның айырымы немесе қосын- дысы түрінде жазуға болатын болса, яғни болса, онда теңдеуін түрінде жазып, функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерін бастапқы мән ретінде аламыз.
Бөлшектеу әдісі.
Бөлшектеу әдісі математикалық анализдегі мына теоремаларға сүйенеді:
Теорема-1. Егер үзіліссіз функциясы кесіндісінде теңсіз- дігін қанағаттандырса, онда теңдеуінің аралығында ең болмағанда бір түбірі болады.
Теорема-2. Егер дифференциалданатын функциясының аралығында- ғы туындысы болса, онда осы аралықта өспелі (кемімелі) болады.
Осы теоремаларға сүйенсек, онда және аралығында (немесе ) болғанда теңдеуінің осы аралығында бір ғана түбірі болады.
Енді функцияның ерекшеліктерін ескере отырып теңдеудің аралығында жатқан түбірлерін іздестіру жолын қарастырайық. Ол үшін кесіндісін нүктелерінің арақашықтығы -қа тең бөлікке бөлеміз, яғни , , . Егер болса, онда осы аралықта f(x)=0 теңдеуінің ең болмағанда бір түбірі бар екені айқын. Осы кесіндісінде таңбасын өзгертпесе, онда теңдеудің бір ғана түбірі бар болғаны. Ал -тың таңбасын анықтау қиын болған жағдайда кесіндісін тағы да бөлікке бөлу арқылы () нүктелер тізбегін аламыз да өрнегінің немесе өрнегінің таңбасын () қарастырамыз. Егер тек к-ның бір мәнінде ғана болса немесе өрнегінің таңбасы барлық үшін өзгермесе, онда теңдеуінің кесіндісінде бір ғана түбірі бар деп тұжырымдауға болады.
Осы процестерді қайталау арқылы теңдеудің түбірлерінің (түбір- лердің еселігін есептемегенде) бастапқы мәнін табуға болады.
Итерациялық процестің жалпы қойылуы
және сығу принципі.
Жуық түбірі аралығында жатқан теңдеуін
(2.1)
түріне келтірейік те, кез келген a,b арқылы
(2.2)
итерациялық формула бойынша тізбегін құрайық. (2.1) теңдеуін әр түрлі жолдармен алуға болатындықтан, оны тізбегі жинақталатындай етіп алуымыз керек. Енді осы итерациялық формуланың қандай жағдайда жинақталатынын қарастырайық.
Айталық -метрикалық кеңістік, ал -осы кеңістікте анықталған оператор болсын.
Анықтама. Егер -метрикалық кеңістігінің кез келген және элементтері үшін , (2.3)
теңсіздігі орындалса, онда сығу операторы деп аталады.
Теорема-1. сығымдап бейнелеу принципі
Егер -толық метрикалық кеңістік болса, ал А өзін-өзіне бейне- лейтін сығу операторы болса, онда 2.4
теңдеуінің бір ғана шешімі бар. Ол
, (2.5)
тізбегінің шегі болады.
Енді осы теореманы қолдану арқылы итерациялық тәсілінің жинақталуын зерттейік.
Айталық, теңдеуінің түбірі болсын және дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырсын:
,
мұндағы -кез келген нүкте.
Теорема-2. гер , дөңгелегінде Липщиц шартын қанағаттандырса және болса, онда кез келген -де
(2.8)
тізбегі нүктесіне жинақталып,
(2.9)
теңсіздігі орындалады.
Ал енді -дің кез келген және нүктелері үшін Липщиц шартының орындалатынын немесе орындалмайтынын тексеру тәжірибе жүзінде іске асыру күрделі мәселе. Бірақ, егер аралығында функциясының үзіліссіз туындысы бар болса және
(2.10)
шартын қанағаттандырса, онда (2.10) шартын жинақталудың жеткілікті шарты деп қарауға болады. Бұл тұжырым мына теоремаға сүйенеді:
Теорема-3.Айталық, -де анықталған және дифференциалданатын, сонымен қоса болсын. Егер (2.11)
болса, онда кез келген үшін (2.12)
итерациялық процесі жинақталады және берілген
(2.13)
теңдеуінің бір ғана шешуі болады.
Итерациялық әдістер.
Бұл параграфта теңдеуін теңдеуімен алмастыру жолдарын қарастырамыз.
Айталық, кесіндісінде үзіліссіз және бір ғана түбірі бар болсын, яғни .
Енді берілген теңдеуін түрінде жазсақ, онда (3.1)
теңдеуінің шешуі теңдеуінің шешуімен бірдей. Ал итерациялық процесті былай жазуға болады . (3.2)
Енді функциясын таңдап алу арқылы әр түрлі итерациялық әдістерді қарастырайық.
1.Релаксация әдісі. Айталық, болсын. Онда (3.1) теңдеуін былай жазуға болады: (3.3)
Осыдан . Енді , (3.4)
итерациясы жинақты болуы үшін
(3.5)
шарты орындалуы тиіс. Мұндағы теңдеуінің шешімі. Егер -ның маңайында , (3.6)
шарттары орындалса, онда аралығында итерациялық процесс жинақталады. Енді тиімді итерациялық параметр -ды табу үшін қатесін (3.4) теңдеуіне қойып
теңдеуін аламыз. Орта мән туралы теореманы қолдансақ
,
мұнда .
Сондықтан
теңдігін бағалау арқылы
теңсіздігін аламыз. Егер (3.6) шарты орындалса, онда .
Сонымен тиімді параметрін функциясы ең аз мән қабылдайтын етіп алуымыз керек. функциясының минимумы шартын қанағаттандыратындықтан . (3.7)
Сондықтан ,
болғандықтан
2.Ньютон әдісі. (Жанама әдісі)
Айталық, функциясы кесіндісінде төмендегі шарт- тарды қанағаттандырсын:
функциялары үзіліссіз.
таңбаларын өзгертпейді.
.
болғанда теңсіздігі орындалады.
.
Енді берілген теңдеуінің шешуі, ал теңдеудің жуық шешуі болса, онда жеткілікті аз шама. Осыдан .
Егер (3.8)
теңдеуінің сол жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктесек
теңдігін аламыз. Осыдан өте аз шама десек, онда жуықтау теңдігінен -ды табамыз:
, (3.9)
Сондықтан . Немесе деп аламыз. Яғни дәлдігі жоғары келесі жуық шешу былайша табылады:
. (3.10)
Бұл формуланы Ньютон әдісі деп атайды.
Енді Ньютон әдісінің жинақтылығын бағалайық.
Тэйлор формуласын қолдану арқылы
формуласын аламыз. Мұнда Осыдан . (3.11)
(3.10) формуласынан (3.11) формуласын ескере отырып, мына формуланы аламыз:
.
Егер деп белгілесек, онда
, ( 3.12)
Осыдан Ньютон әдісінің жинақталу жылдамдығы шығады.
3.Қиюшылар әдісі. (Хорда әдісі)
Берілген теңдеуі (3.13)
түріндегі теңдеумен алмастырайық және функциясы Ньютон әдісіндегі бірінші төрт шартты қанағаттандырсын. Бұл әдісті Ньютон әдісіндегі функциясын бөлінген айырымдармен алмастыру арқылы алуға болады. Мысалы нүктесі мен нүктесі өте жақын орналасқан десек, онда деуге болады. Сондықтан десек, онда теңдеуін былай жазуға болады: (3.14)
Ал итерациялық процесс былайша жазылады : . (3.15)
Мұнда нүктесін шарты міндетті түрде орындалатындай етіп аламыз.
Егер (3.10) формуладағы -ді былайша жуықтасақ:
онда мынандай итерациялық формулаға келеміз:
, (3.16)
Бұл әдіспен теңдеуді шешу үшін теңсіздігін қанағат- тандыратын -бастапқы мәндер белгілі болуы керек.
Енді осы әдістің геометриялық мағынасына тоқталайық (2-сурет).
нүктелері арқылы түзу жүргізсек, онда оның теңдеуін былай жазуға болады: . (3.17)
Енді осы түзу осін нүктелерінде қиып өтсе, онда қиылысу нүктесінде болғандықтан (3.17) теңдеуін былай жазуға болады:
Сондықтан (3.15), (3.16) формулалар қиюшылар әдісі деп аталады.
Немесе (3.17) формуласын нүктелері арқылы тұрғызылған бір дәрежелі интерполяциялық көпмүше деп қарап, ал -ді осы көпмүшенің түбірі деп қарауға болады.
2-сурет
Енді осы әдістің жинақтылығын қарастырайық.
,
болғандықтан теңдігін аламыз. Егер болса, онда . (3.18)
Осы формуладан -нің мәнін бақылау арқылы алдын ала берілген дәлдікпен теңдеуді шешуге болады.
4.Қақ бөлу әдісі. (биссекция әдісі)
Айталық, (3.19)
теңдеуі берілсін және сонымен қоса функциясы кесіндісінде үзіліссіз және болсын. Теңдеудің алдын ала дәлдікпен берілген түбірін табу үшін кесіндісін қақ бөлеміз, яғни . Егер болса, онда теңдеудің шешуін тапқанымыз, ал олай болмаған жағдайда немесе кесінділерін қарастырамыз, егер болса, онда деп аламыз, олай болмаса , деп аламыз. Осыдан кейін кесіндісін қақ бөлу арқылы табамыз. Егер болса, онда теңдеуді жуық түбірі табылды деп есептейміз, ал олай болмаған жағдайда кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Осы процестерді қайталау арқылы ,,…, кесінділер тізбегін аламыз. Бұл кесіндіде болғандықтан және теңдігі орындалатындықтан тізбектерінің ортақ шегі бар, яғни
үзіліссіз болғандықтан Осы теңсіздіктен , яғни -теңдеудің түбірі. Сонымен қоса
. (3.20)
Бұл әдісті көп жағдайларда, теңдеудің түбірлерінің бастапқы жуық мәнін табуға қолдануға болады.
Әдісте функцияның туындыларына ешқандай шек қойылмайтын- дықтан және алгоритмі қарапайым болу себепті, әдіс ЭВМ-де теңдеуді шешуге өте қолайлы.
Лекция 16-17. Анықталған интегралды жуықтап есептеу.
Жалпы түсініктер және анықталған интегралдарды есептеудің қарапайым жолдары.
Егер кесіндісінде үзіліссіз және алғашқы образы- белгілі болса, онда Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша:
(1.1)
Бірақ, көп жағдайда функциясын табу өте күрделі мәселе болғандықтан, (1.1) формуласы іс жүзінде көп қолданылмайды. Ал кейбір уақыттарда функциясы таблица түрінде берілетіндіктен алғашқы образ деген сөздің өзі мағынасын жоғалтады.
Сондықтан (1.2)
интегралын есептеу үшін (1.3)
ақырғы қосындысы қолданылады. Мұндағы -сандық коэффициенті кесіндісінің нүктелері,
Мына жуықтап алынған теңдік (1.4)
квадратуралық формула деп аталынады. Ал (1.3)- квадратуралық қосынды, - квадратуралық формуланың түйіндері , -kвадратуралық формуланың коэфициенті деп аталынады.
(1.5)
квадратуралық формуланың дәлдігі делінеді. Квадратуралық формуланың дәлдігі квадратуралық формуланың түйіндері--ның орналасуына, квадратуралық формуланың коэффициенттері--ның алу жолдарына тікелей байланысты.
Енді берілген анықталған интегралды есептеу үшін кесіндісін тең кесіндіге бөлеміз, яғни нүктелер жиынын аламыз да
(1.6)
теңдігін қарастырамыз.
кесіндісіндегі интегралдың мәнін табу үшін
(1.7)
интегралының аралықтағы мәнін табу жеткілікті, өйткені (1.6) формуласы арқылы интегралдың кесіндісіндегі мәнін табу онша қиындық туғызбайды.
1.Тік төртбұрыш әдісі.
(1.7) интегралын жуықтап былайша есептейміз:
(1.8)
мұндағы
Бұл формуланың геометриялық мағынасы мынандай:
2-сурет
АВСД қисық сызықты трапецияның ауданы биіктігі АВД/C/ тік төртбұрышының ауданымен алмастырылады (2-сурет).
Сондықтан бұл формуланы тік төртбұрыш әдісі дейді.
(1.8) формуласының дәлдігі
. (1.9)
Тейлор формуласы арқылы оңай табылады.
Шынында да ді былайша жазып
= (1.10)
және +
десек, онда (1.10) формуласынан
(1.11)
формуласын аламыз.
Егер М= деп R-ді жоғарыдан бағаласақ ,онда
Яғни (1.12)
болғандықтан, h0 ұмтылғандағы дәлдік 0(h) болады.
Енді (1.8) теңдіктің i-дің 1 ден N ге дейінгі қосындысын қарастырсақ
(1.13)
болады. Сондықтан .
Осыдан
.
Егер десек, онда
, (1.14)
яғни тік төртбұрыш әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі-0(h).
2.Трапеция әдісі. (1.7) интегралындағы функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған
бір дәрежелі Лагранж көпмүшесімен алмастырсақ, онда
(1.15)
мұндағы
(1.15) формуласын аралығында интегралдау арқылы
(1.16)
теңдігін аламыз. Осыдан
. Бұл формула трапеция әдісі деп аталады,себебі
3-сурет
сызықтарымен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы трапециясының ауданымен алмастырылады (3сурет).
(1.16) формуладан бұл әдістің жіберетін қатесі
(1.18)
екенін көреміз. Ал жоғарыдан бағаласақ
, 19)
Енді (1.2) интегралын былай есептесек:
(1.20)
Онда
(1.21)
трапеция әдісінің жалпы формуласы шығады.
Ал жіберілетін қате
(1.22)
Жоғарыдан бағаласақ
, (1.23)
.
Сонымен, трапеция әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі екенін көреміз.
3.Парабола әдісі. (Симпсон формуласы).
(1.7) интегралын жуықтап есептеу үшін функциясын нүктелері арқылы тұрғызылған Лагранж көп мүшесімен алмастырамыз. Яғни
. (1.24)
Осыдан
Сонымен мына формуланы –
(1.25)
Симпсон немесе парабола формуласы деп атайды.
Бұл формуланың парабола формуласы деп атайтын себебі
сызықтарымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы нүктелері арқылы өтетін парабола және түзулерімен шектелген трапецияның ауданымен алмастырылады (4-сурет).
Симпсон формуласы кесіндісінде былайша жазылады
Бөлшекті индекстерден құтылу үшін
десек,онда Симпсон формуласын былайша жазамыз:
. (1.26)
4-сурет
О х у xi-1 xi-1/2 xi y=f(x) y=L2(x) + -
Симпсон формуласының жіберетін қатесін қарастырардың алдында, оның үш дәрежелі көпмүше үшін дәл екенін көрсетейік. Шынында да
болса, онда
Осыдан
Екіншіден
екенін ескерсек
формуласын аламыз.
Сонымен Симпсон формуласының үшінші дәрежеге дейінгі кез келген көпмүшелер үшін дәл екенін көрдік.
Енді Симпсон формуласының қатесін қарастыру үшін мына шарттарды қанағаттандыратын
интерполяциялық Эрмит көпмүшелігін пайдаланамыз .
Симпсон формуласы кез келген үш дәрежелі көпмүшеліктер үшін дәл болғандықтан
(1.28)
Енді
десек,онда
мұндағы (1.29)
-Эрмит көпмүшесінің жіберетін қатесі.
кесіндісінде көпмүшесі өзінің таңбасын өзгертпейтін болғандықтан
Сондықтан Симпсон формуласының жіберетін қатесi
. (1.30)
Hемесе
(1.31)
Симпсон формуласының кесіндісінде жіберетін қатесі
Болғандықтан (1.32)
Яғни Симпсон әдісінің кесіндісіндегі дәлдігі .
Лекция 18-21. Жәй дифференциалдық теңдеулерге қойылған Коши есебін шешу
1. Эйлер әдісі
Айталық, функциясы облысында үзіліссіз және Липшитц шарттарын қанағаттандырсын, яғни
(1.1)
теңсіздігі орындалсын, онда жоғарыдан шектелген, яғни , және
(1.2)
(1.3)
есебінің бір ғана шешуі бар.
Енді осы шешуді табу үшін (7)- ші интегралға тік төртбұрыш әдісін қолдану арқылы (6) теңдіктен, торында мына теңдікті аламыз:
(1.4)
Осыдан кезде 0(һ) нөлге ұмтылыды деп шешсек, онда
деп белгілеу арқылы
, (1.5)
теңдіктерін аламыз.
теңдігін, әдетте, Эйлер әдісі деп атайды.
Енді кезде осы әдіс бойынша табылған тізбегі (1.2)-(1.3) есебінің шешуіне жинақталатынын, яғни
болатынын қарастырайық.
Ол үшін функциясын нүктесінің кіші аймағында Тэйлор қатарына жіктейміз:
Содан кейін осы теңдікті пайдаланып мәнін есептейміз:
(1.6)
Мұнда (1.2) теңдеуіне сәйкес болатыны есекерілген. Енді (1.6) өрнегінен (1.5) өрнегін шегерсек, онда
Осыдан белгілеуін еңгізіп, әдіс қаталігінің абсолют мәнін бағаласақ:
Соңғы теңсіздікке - Липшитц шартын пайдаланып:
(1.7)
теңсіздігін аламыз, мұндағы
Енді (1.7) теңсіздігін k-ның k=0, 1, ... мәндері үшін ашып жазсақ:
Эйлер әдісі үшін болғандықтан
Ал кезде болатындықтан
Демек, Эйлер әдісі кезінде (1.2) - (1.3) есебінің дәл шешуіне жинақталады және оның жинақталу реті 1-ге тең.
2. Жетілдірілген Эйлер әдісі.
(Предиктор-корректор әдісі).
Егер функциясының кесіндісінде екінші ретті туындысы жоғарыдан шектелген деп есептеп, (7) –ші интегралға орта нүктелік тік төртбұрыш формуласын қолдансақ, онда (6)-шы формуладан
(2.1)
формуласын аламыз. Мұндағы Енді мәнін
деп жуықтап алатын болсақ, онда (2.1) формуласынан
(2.2)
формуласын аламыз. Яғни бұл әдістің есептеу алгоритімі мынадай болады:
, (2.3)
, (2.4)
Енді берілген Коши есебінің бір ғана шешуі бар, функциясы бойынша Липшитц шартын қанағаттандырады және 3-ші ретке дейін дифференциалданады деп есептеп, (2.3)-(2.4) айырымдық есептің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне жинақталу дәлдігі болатынын көрсетейік.
Ол үшін функциясын нүктесінде Тейлор қатарына жіктейік: (2.5)
Енді ретімен десек, онда
(2.6)
(2.7)
формулаларын аламыз.
Егер (2.7) теңдігінен (2.6) теңдігін шегерсек, онда
(2.8)
теңдігін аламыз. Мұндағы .
Енді (2.8) теңдігінен (2.4) теңдігін шегерсек, онда
теңдігін аламыз.
белгілеулерін еңгізіп және Липшитц шартын пайдалансақ, онда соңғы теңдіктен
(2.9)
теңсіздігін аламыз. Ал мына теңдікті
(2.10)
ескерсек, онда (2.9) теңсіздіктен
теңсіздігін аламыз.Осыдан
(2.11)
теңсіздігін шығады. Енді k-ның k=0,1,2,... мәндері үшін
. . . . . . . . . . . . . . . . .
теңсіздігін аламыз.
Мұндағы
Тордағы түйіні түйіндік нүкте болып қала береді деп есептесек, деп жазуға болады және екенін ескерсек, онда
Осыдан болғандықтан (2.3)-(2.4) айырымдық есебінің шешуі (4)-(5) есебінің шешуіне дәлдікпен жинақталады.
3. Рунге –Кутт әдісі.
Берілген
(3.1)
(3.2)
есебінің аралығындағы жуық шешуінің дәлдігі –
(3.3)
Теңдігінің оң жағындағы интегралды есептеу дәлдігімен тікелей байланысты болғандықтан,осы интегралды жуықтап есептеудің Рунге-Кутт әдісін қарастырайық.Ол үшін алдымен айнымалысын енгізу арқылы (3.3) теңдігін былайша түрлендірейік:
(3.4)
мұнда .Енді
(3.5)
интегралын есептеу үшін
(А)
параметрлерін алайықта, , параметрлерін пайдаланып
біртіндеп есептелетін тізбек құрастырып,
(3.6)
жуықтауы орындалатындай , , (А) параметрлерін табу жолын қарастырайық.
Айталық,
(3.7)
болсын. жеткілікті жатық функция деп есептеп,оны былайша жіктейік:
Енді , , (А) параметрлерін
(3.8)
болатындай етіп тапсақ, онда біздің жіберетін қатеміз:
(3.9)
(3.8) теңдігін қанағаттандыратындай , , (А) параметрлерін табу алгоритімі былайша іске асырылады.
Алдымен - ты нүктесінде Тэйлор қатарына жіктейміз:
. (3.10)
Оны -тың дәрежесі бойынша жіктелген өрнегімен салыстыру арқылы, белгісіздері , , (А) параметрлерінен тұратын, сызықтық емес теңдеулер жүйесін аламыз.Осы теңдеулер жүйесін шешу арқылы , , (А) параметрлерін табамыз.
Кез келген үшін , , (А) параметрлерін табу күрделі мәселе болғандықтан біз бұл әдістің тек дербес жағдайларын ғана қарастырамыз.
4.Адамстың экстраполяциялық әдiсi.
Енді (4.5) теңдігінің екі жағын нүктесінде Тэйлор қатарына жіктеп және оларды салыстыру арқылы барлық саны , белгісіздерінінен тұратын сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз:
(4.6)
Бұл жағдайда жіберілетін қате
(4.7)
Егер десек, онда
(4.8)
сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз,
Жүйенің, анықтауышы-Вандермод анықтауышы болғандықтан, бір ғана шешуі бар.
Қорытындысында біз (4.1)-(4.2) есебін шешудің мынадай формуласын аламыз :
(4.9)
Бұл формуланы «Адамстың экстрополяциялық әдісі» деп атайды.Әдістің жіберетін қатесі –
(4.10)
(4.9) –шы формула арқылы есептің шешуін табу үшін белгілі болуы керек . болғандықтан оны есептеудің қажеті жоқ,ал қалған Эйлер немесе Рунге-Кутт әдісі арқылы табылады .
5. Адамстың интерполяциялық әдісі .
Егер (4.3)–теңдіктегі интегралды
(4.16)
қосындымен алмастырсақ, онда
(4.17)
формуласын аламыз.Мұндағы параметірлерін жоғарыда көрсетілген жолдармен анықтаймыз.
Яғни, десек онда
(4.18)
теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл теңдеудің
кез келген болған жағдайда шешуі бар. Немесе параметрлерін былайша да табуға болады:
Ал жіберілген қате –
(4.19)
Енді осы әдістің дербес жағдайларын қарастырайық:
Онда (4.20)
2. Бұл жағдайда (4.21)
3. Онда
(4.22)
4. . Онда
(4.23)
Жалпы Адамстың (4.14) экстрополяциялық формуласы сияқты, Адамстың интерполяциялық формуласын былайша жазуға болады:
(4.24)
мұнда
Ал жіберілетін қате –
(4.25)
Адамстың интепрполяциялық әдісі айқындалмаған сызықты емес теңдеу болғандықтан , оның шешуін табу үшін көп жағдайда итерациялық әдістер қолданылады.Сондықтан оны
(4.26)
Түрінде жазу арқылы итерация әдістерін қолдануға ыңғайлы түрге келтіреміз.
Мұнда (4.27)
(4.27) формуладағы көрсетілген аргументтері бойынша белгілі функция.
Енді (4.26) –теңдеуді шешу үшін
(4.28)
Итерациялық әдісін қолдансақ, онда оның жинақталуы үшін аралығында үзіліссіз болуы және бастапқы мән теңдеудің шешуіне жақын болуы жеткілікті.
Лекция 22-26. Айрымдық схемалардың негізгі түсінігі
1. Тор және торлық функциялар
Жай немесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешкенде торлық немесе айырымдық деп аталатын, сандық әдістер жиі қолданылады. Ал теңдеулердің шешуі, - торлық функция деп аталады да сандық кесте түрінде орындалады.
Енді осы тор және торлық функцияларға түсінік берейік:
1. Бір өлшемді кеңістіктегі тор және торлық функция.
Айталық, кесіндісінде жататын саны шектеулі кез-келген
нүктелер жиыны берілсе, оны тор деп атаймыз, ал осы нүктелердегі функцияның мәнін торлық функция деп атаймыз. Егер торлық нүктелер үшін
шарты орындалса, онда торды деп белгілейміз. Ал нүктесін тордың түйіні (торабы деп те атайды) дейміз, нүктелерін шеттік нүкте дейміз.
Егер шарты орындалса, онда торын бірқалыпты тор дейді. Мұнда тордың қадамы деп аталады. Бұл жағдайда тор параметріне тәуелді. Яғни нөлге ұмтылған жағдайда торының тығыздығы ұлғая түседі. Ал функциясының нүктелер жиынындағы мәндерін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер саны жоғарыдан шектелген болса, онда торлық функцияларды векторлық функция деп қарастыруға болады, яғни
.
Торлық функциялардың бір-біріне жақындығын көбінесе норма арқылы бағалайтындықтан, торлық функцияның нормасы деген анықтама енгіземіз.
Анықтама. Егер торлық функциялар жиынында
сандық функциясы үшін
шарттары орындалса, онда санын торлық функциясының нормасы және деп белгілейді.
Осы анықтаманы қанағаттандыратын норманы әртүрлі жолмен алуға болады.
Жалпы торлық функциялардың нормаларын басқа да жолдармен анықтауға болады.
Айталық, торлық функциялары , ал торлық функцияларының нүктелеріндегі жуық мәндері болсын, онда және функцияларының бір-біріне жуықтығын
шамасы арқылы бағалаймыз.
2. Екі өлшемдегі кеңістіктегі тор және торлық функция.
Айталық, () жуықтығында шекарасы болатын формасы күрделі облысы берілсін және осы облыста анықталған жеткілікті үзіліссіз функция болсын. Енді облысына
, , , ,
түзу сызықтарын жүргіземіз. Мұндағы шамалары ретімен және айнымалылары бойынша алынған тордың қадамдары деп аталады. Осы түзу сызықтардың қиылысу нүктелерін түйіндер (торап) деп атаймыз.
Егер екі түзудің түйіндері - болса, онда оларды ішкі түйіндер дейміз, ал түзулерінің шекарасымен қиылысқан нүктелерді шеттік түйіндер деп атаймыз. Егер екі түйін бір-бірімен және остері бойынша немесе -дегі ара қашықтықта жатса, көрші тораптар дейміз. Егер түйіні үшін ең болмағанда бір көрші түйін -да жатпаса, онда оны шекаралық түйін дейміз.
1-суретте белгілері ішкі , белгілері шекаралық, шеттік түйіндерді көрсетеді.
Ішкі нүктелер жиынын- шеттік нүктелер жиынын- деп белгілесек, онда түйіндер жиынын облысын жапқан тор деп дейміз .
1-сурет .
Егер болса, онда торды квадрат, ал болса, онда тіктөртбұрышты тор дейді. (Кейбір жағдайларда үшбұрышты т.б. торлар болуы мүмкін) тізбегін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер үзіліссіз функциялар кеңістігі болса, функциясының нормасын
деп белгілесек, онда торлық функциялардың нормасын
деп белгілейміз, немесе тізбегін вектор деп қарасақ
онда
деп алуға болады.
Егер қарастырып отырған функциямыз облысында
нормасына сәйкес квадраты бойынша интегралданатын болса, онда
нормасын қолдануға болады.
Егер торлық функциялары торлық функцияларының жуық мәндері болса, онда олардың жуықтығын, жоғарыда көрсеткендей ,
нормасы арқылы анықтайды.
Көпөлшемді функциялар үшін де, жоғарыда көрсетілгендей, тордың, торлық функциялардың және олардың жуықтауына анықтама енгізуге болады.
2. Жай дифференциалдық операторларды жуықтау
Есептеу математикасында дифференциалды теңдеулерді шешу кезінде, дифференциалдық операторларды торлық функциялардың комбинациясымен алмастырады. Бұл алмастыру әртүрлі жолдармен іске асырылуы мүмкін. Біз төменде жай дифференциалдық операторларды торлық функциямен алмастырудың кейбір жолдарын қарастырамыз.
Айталық, функциасы аралығында анықталған және жеткілікті үзіліссіз туындылары бар функция болсын.
Математикалық анализ курсында төмендегі шек арқылы анықталады.
, (2.1)
немесе
(2.2)
(2.3)
Енді өте аз шама деп белгісін алып тастасақ, онда
, (2.4)
, (2.5)
. (2.6)
операторларын жуықтау операторлары (айырымдық операторлар) дейді.
Енді осы операторлардың операторын қаншалықты жуықтайдығын қарастырайық. Айталық ,
,
болсын , онда операторын операторының жуықтау қателігі дейді. Енді осы қателіктерді бағалайық. Ол үшін , шамаларын нүктесінде Тейлор қатарына жіктеп,
,
,
(2.1)-(2.2) теңдіктеріне қойсақ
Осыдан , .
Егер мынандай белгілеу енгізсек: ,
онда жуықтау қателіктері былайша бағаланады:
, (2.7)
. (2.8)
Дәл осы жолмен
, функцияларын дәрежесіне дейін Тейлор қатарына жіктеп, (2.6) теңдігіне қойсақ
, (2.9)
бағалауын аламыз. Мұнда
Бұл операторды былайша жуықтайық:
. (2.10)
операторының жуықтау қателігін табу үшін төмендегі Тейлор қатарын пайдаланамыз:
,
.
Осы теңдіктерді (2.10) теңдігіне қойсақ , онда
.
теңдігін аламыз.
Ал болса, онда
. (2.11)
(2.11) теңдігін былай жазуға болады:
Бұл операторды торлық функциялармен алмастыру үшін белгісіз
коэффиценттер әдісін қолданамыз.Яғни
(2.12)
деп аламыз да тан тәуелсіз коэффиценттерін табу жолын қарастырамыз. Мұнда және , кез келген бүтін сан. Оларды міндетті түрде
теңсіздігі орындалатындай етіп алу керек.
,
мұнда .
(2.13) теңдігін (2.12) теңдікке қойсақ, онда
. (2.14)
(2.15)
Егер болса, онда (2.15) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешуі бар , себебі оның матрицасының анықтауышы - Вандермонд анықтауышы. Егер болса, онда коэффиценттерін әртүрлі жолдармен анықтауға болады.
Мысалы: Егер , , , болса, .
Енді (2.15) жүйесін қолдансақ, онда
болады да ,
формуласын аламыз. Ал
деп ұйғарсақ , онда (2.15) жүйеден , екенін табамыз және екенін көреміз.
Жалпы бұл әдіс бойынша берілген операторын қалаған дәлдікпен жуықтауға болады .
Енді жоғарыдағы дифференциалдық операторларды айырымдық функциялармен жуықтауды сипаттау үшін мынадай анықтама енгізейік:
Анықтама 1. Егер берілген функциялар жиынының элементі үшін 1. жағдайда , ,онда операторы операторын жуықтайды (аппроксимациялайды) дейміз.
2. (2.16)
теңсіздігі орындалса , онда айырымдық операторы операторын функциялар жиынында -тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимация) деп атайды .
Әдетте өскен сайын функциясына қойылатын талапта өсіп отырады. Мысалы , айырымдық операторлары үшін , ал үшін талабы қойылады.
4. операторын торлық функциямен алмастыру.
Айталық, операторы облысында анықталсын . Енді осы облысты
торымен қаптап операторын айырымдық операторымен алмастыру жолын қарастырайық. Ол үшін торының ішкі нүктелеріндегі мынандай шаблондарды алайық .
Егер шаблонымыз төрт нүктеден тұрса (сурет-2а) , онда
(2.17)
Формулаларды ықшам түрде жазу үшін мынандай белгілеулерді енгізсек:
онда . ( 2.18)
Мұнда біз өрнегінің мәнін а) шаблонының төменгі нүктелерінен алдық . Ал операторын б) шаблоны арқылы жуықтасақ, онда
(2.19)
Егер ( 2.18) және (2.19) әдістерінің сызықтық комбинациясын алсақ , онда
(2.20)
айырымдық операторда в) шаблоны қолданылады.
Енді осы айырымдық операторлардың жуықтау дәлдігін зерттейік . Ол үшін мына формулаларды қолданамыз:
Осы өрнектерді
операторларына қойсақ, онда мына теңдіктерді аламыз:
Енді жоғарыдағы дифференциалдық операторларды айырымдық функциялармен жуықтауды сипаттау үшін мынадай анықтама енгізейік:
Анықтама 1. Егер берілген функциялар жиынының элементі үшін 1. жағдайда , ,онда операторы операторын жуықтайды (аппроксимациялайды) дейміз.
2. (2.16)
теңсіздігі орындалса , онда айырымдық операторы операторын функциялар жиынында -тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимация) деп атайды .
Әдетте өскен сайын функциясына қойылатын талапта өсіп отырады. Мысалы , айырымдық операторлары үшін
, ал үшін талабы қойылады.
§3. Шекаралық есептерді жуықтау
(Айырымдық есептерді қою)
Айталық, дифференциалдық теңдеу
, , (3.1)
шекаралық теңдеу
(3.2)
сызықты дифференциалды есебі берілсін . облысын торымен жауып (3.1)-(3.2) есебіндегі операторларды айырымдық операторлармен жуықтасақ, онда
(3.3)
(3.4)
есебін аламыз. Ал функциялары тан тәуелді болғандықтан ты өзгерту арқылы, шешулері параметріне тәуелді (3.3)- (3.4) айырымдық есептер аламыз. Осы айырымдық есептер жиынын айырымдық схема деп атаймыз.
Айталық,
(3.1)
есебі берілсін. Бұл есепті шешу үшін торын алайық та осы торда (3.1) есебін шешу үшін мынандай айырымдық есеп қоялық.
Мұндағы болуы мүмкін .
Есептің жуық шешуі мына рекурентті формула арқылы табылады.
2. Бір ретті дифференциалды теңдеулер жүйесіне қойылған Коши есебі:
Есепті былайша қоямыз.
(3.2)
Мұнда квадрат матрица. өлшемі ге тең вектор. Бұл есепті шешу үшін торында
айырымдық схеманы пайдаланамыз, яғни
Есеп былайша қойылсын:
(3.3)
Есептің жуық шешуін табу үшін кесіндісін
торымен жабамыз да
үш диагональді алгебралық теңдеулер жүйесімен айырбастаймыз.
Бұл теңдеулер жүйесі қуалау әдісімен шешіледі.
4. Жылу өткізгіштіктің теңдеуіне қойылған бірінші шекаралық есеп.
Бұл есеп былайша қойылады:
(3.4)
облысын
торымен жапсақ, онда (3.4) есебін мына
(3.5)
айырымдық есебімен жуықтауға болады. Мұндағы
т.с. болуы мүмкін. (3.5) айырымдық схемасын “анықталған ” деп атайды, себебі -ші қабатта табылған мәндері арқылы анықталады, яғни вектор түрінде жазсақ:
Ал анықталмаған схема былайша жазылады.
,
немесе
Біздің қарастырған мысалдарымызда шекаралық шарттар дәл алынды. Ал есепке екінші және үшінші шекаралық шарттар қойылса, онда оны жуықтау күрделі мәселе болғандықтан кейінге қалдырамыз.
5. Жылу өткішгіштік теңдеуіне қойылған аралас шекаралық есеп
Айталық, облысында
(3.6)
жылу өткішгіштіктің теңдеуі және
(3.7)
шекаралық шарты берілсін. Мұндағы белгілі функциялар мен параметрлер. облысын
торымен жабайық та есептің бірнеше айырымдық схемасын қарастырайық.
1 Айқындалған схема; қолданылған шаблон
(3.8)
(жуықтау дәлдігі- );
(3.9)
(жуықтау дәлдігі-).
Схеманың жалпы дәлдігі- .
2. Айқындалмаған схема; қолданылған шаблон
(3.10)
(жуықтау дәлдігі- );
(3.11)
(жуықтау дәлдігі-).
Схеманың жалпы дәлдігі- .
3 Крайк-Никольсон схемасы; қолданылған шаблон
(3.12)
(жуықтау дәлдігі-).
(3.13)
(жуықтау дәлдігі-).
Схеманың жалпы дәлдігі- .
Егер
(3.14)
(жуықтау дәлдігі-).
Айырымымен жуықтасақ, онда (3.12),(3.14) схемалары (3.6), (3.7) есебін дәлдікпен жуықтайды.
Лекция 28-30 4. Айырымдық есептің шешуінің жинақталуы
туралы түсінік
Айталық, облысында сызықты дифференциалды теңдеу
(4.1)
және оның қосымша шарты
(4.2)
берілсін. Мұнда берілген функциялар , сызықты дифференциалды оператор. (4.1)-(4.2) есебінің бір ғана шешуі бар деп ұйғарамыз. Енді облысын торымен жабайық. түйіндердің тығыздығын анықтайтын параметр болсын. (4.1)-(4.2) есебін
, (4.3)
(4.4)
айырымдық есебімен алмастырайық. Мұндағы белгілі торлық функциялар. (4.3)-(4.4) есебінің шешуі торында анықталған торлық функция. параметрін өзгерту арқылы, яғни торының тығыздығын өзгерту арқылы (4.3)-(4.4) есебінің тан тәуелді шешулерінің жиынын аламыз.
(4.1)-(4.2) есебінің шешуін (4.3)-(4.4) есебінің шешуі қаншалықты жуықтайтындығын -торлық функциялар кеңістігінде қарастырамыз.
Айталық, функциясының торының түйіндеріндегі, яғни болсын.
Енді айырымдық схеманың шешуінің дәлдігін былай белгілесек:
, (4.5)
(4.6)
есебін аламыз. Мұндағы
шамалары жуықтау қателігі (апроксимация қателігі). Яғни (4.1)-(4.2) есебін (4.3)-(4.4) есебімен алмастырғандағы жіберілген қате.
Енді шамаларын бағалау үшін оларды тиісінше шекті өлшемді торлық функциялар жиынында жатады деп есептеп, осы жиындарда нормаларын енгізейік.
Анықтама-1 Егер шарттары орындалса, онда (4.3)-(4.4) айырымдық схемасы (4.1)-(4.2) есебіноның шешуінде тың дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимациялайды) дейді. Мұндағы
Анықтама-2. Егер нөлге ұмтылғанда нөлге ұмтылса, онда (4.3)-(4.4) есебінің шешуі (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейміз. Егер жеткілікті аз шама табылып, және болғанда бағалауы орындалса, онда айырымдық схеманың шешуі жылдамдықпен (4.1)-(4.2) есебінің шешуіне жинақталады дейді немесе айырымдық схеманың дәлдігі -ге тең дейді. Мұндағы -тан тәуелсіз сан.
Кейде (4.3)-(4.4) есебін функциясының шекаралық (шеткі) нүктелердегі белгілі мәндерін теңдіктің оң жағына шығару арқылы,
(4.7)
түрінде жазуға болады. Бұл жағдайда айырымдық схеманың жуықтау қателігін былайша жазады:
Ал
теңдігін ретті жуықтау қателігі (аппроксимациясы) дейміз.
5.Айырымдық схеманың орнықтылығы
туралы түсінік
1-анықтама. Егер сандары табылып, орындалғанда кез-келген үшін
(5.1)
айырымдық есебінің бір ғана шешуі бар болып,
(5.2)
теңсіздігі орындалса, онда
(5.3)
айырымдық схемасын орнықты дейміз. Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан.
(5.2) теңсіздігі (5.3) айырымдық схемасының оң жағына өсімше берсек, онда оның шешуі бойынша бірқалыпты
аз шамаға өзгеретінін көрсетеді.
Егер операторы -ты қа кескіндейтін сызықты оператор болса, онда жоғарғы анықтамаға пара-пар мына анықтаманы беруге болады.
2-анықтама. Егер кез-келген үшін сызықты айырымдық есебінің бір ғана шешуі- бар болып,
(5.4)
теңсіздігі орындалса, онда айырымдық есепті орнықты дейміз.
Айталық,
(6.1)
айырымдық схемасы
(6.2)
шекаралық есебін шешуі бойынша дәлдікпен жуықтайтын болсын. Яғни (6.2) теңдеуінің шешуін (6.1) теңдеуіне қойсақ, онда
Осыдан
. (6.3)
Мұндағы тан тәуелсіз тұрақты сан. Енді (6.1) айырымдық есебінің жуықтау дәлдігімен оның орнықтылығының және шешуінің (6.2) теңдеуінің шешуіне жинақталуының арасындағы байланысы, яғни жуықтау дәлдігі мен орнықтылықтан жинақтылық шарты орындалатынын көрсететін теореманы берейік.
Теорема. айырымдық схемасы есебін дәлдікпен жуықтайтын және орнықты болса, онда шешуі шешуіне жинақталады және
(6.4)
бағалауы орындалады.
Қорытындысында мынаны ескерген жөн:
1. сызықты айырымдық есебінің шешуі теңдеуінің шешуіне жинақталатынын тексеру үшін теңдеуінің орнықтылығымен жуықтау дәлдігін анықтау жеткілікті. Мұнда есебі тек дифференциалды теңдеудің шекарадық есебі емес, кез-келген функционалды теңдеу болуы мүмкін. Ол тек айырымдық есебінің конструкциясын жасау үшін ғана қажетті
Зертханалық және студиялық сабақтарды орындаудың нұсқаулығы
№1 Лабораториялық жұмыстар.
Тапсырма: Өрнектерді есептеңіздер және жіберілген қателерді аңықтаңыздар.
1) 2) егер
3) 4) егер
5) 6) егер
7) 8) егер
9) 10) егер
11) 12) егер
14) 15) егер
№2 Лабораториялық жұмыстар
1-тапсырма: Таблица арқылы берілген функцияның Лагранж формуласы арқылы нүктесіндегі мәнін табыңыз:
2-тапсырма: Лагранж көпмүшесін есептеудің программасын құрыңыз және осы программаның көмегімен функциясының мәндерін- пайдаланып нүктесіндегі мәнін табыңыз. (x-тің мәнін өздеріңіз алыңыздар)
Сонымен қоса жіберілген қатені есептеп шығарыңыздар.
Таблица №1
|
Варианттың номері |
|||
|
0.43 |
1.63597 |
1 |
0.5 |
|
0.48 |
1.73234 |
13 |
0.6 |
|
0.55 |
1.87686 |
15 |
0.55 |
|
0.62 |
2.03345 |
7 |
0.65 |
|
0.70 |
2.22846 |
9 |
0.45 |
Таблица №2
|
Варианттың номері |
|||
|
0.02 |
1.02316 |
6 |
0.03 |
|
0.08 |
1.09590 |
8 |
0.05 |
|
0.12 |
1.14725 |
12 |
0.1 |
|
0.17 |
1.21483 |
14 |
0.15 |
|
0.23 |
1.30120 |
4 |
0.20 |
Таблица №3
|
Варианттың номері |
|||
|
0.41 |
2.57418 |
2 |
0.4 |
|
0.46 |
2.32513 |
3 |
0.5 |
|
0.52 |
2.09336 |
5 |
0.55 |
|
0.60 |
1.86203 |
10 |
0.45 |
|
0.65 |
1.74926 |
11 |
0.65 |
№3 Лабораториялық жұмыстар.
1-тапсырма. Гаусс әдісін пайдаланып теңдеулер жүйесін шешініздер және қаншалықты дәлдікпен шешкендеріңді анықтандар.
№ 1 № 2
4,24x1+2,73x2-1,55x3=1,87 0,43x1+1,24x2-0,58x3=2,71
2,34x1+1,27x2+3,15x3=2,16 0,74x1+0,83x2+1,17x3=1,26
3,05x1-1,05x2-0,63x3=-1,25 1,43x1-1,58x2+0,83x3=1,03
№ 3 № 4
0,43x1+0,63x2+1,44x3=2,18 1,24x1+0,62x2-0,95x3=1,43
1,64x1-0,83x2-2,45x3=1,84 2,15x1-1,18x2+0,57x3=2,43
0,58x1+1,55x2+3,18x3=0,74 1,72x1-0,83x2+1,57x3=3,88
№ 5 № 6
0,62x1+0,56x2-0,43x3=1,16 1,06x1+0,34x2+1,26x3=1,17
1,32x1-0,88x2+1,76x3=2,07 2,54x1-1,16x2+0,55x3=2,23
0,73x1+1,42x2-0,34x3=2,18 1,34x1-0,47x2-0,83x3=3,26
№ 7 № 8
3,15x1-1,72x2-1,23x3=2,15 1,73x1-0,83x2+1,82x3=0,36
0,72x1+0,67x2+1,18x3=1,43 0,27x1+0,53x2-0,64x3=1,23 2,57x1-1,34x2-0,68x3=1,03 0,56x1-0,48x2+1,95x3=-0,76
№ 9 № 10
0,95x1+0,72x2-1,14x3=2,15 2,18x1+1,72x2-0,93x3=1,06
0,63x1+0,24x2+0,38x3=0,74 1,42x1+0,18x2+1,12x3=1,07
1,23x1-1,08x2-1,16x3=0,97 0,92x1-1,14x2-2,53x3=-0,45
№ 11 № 12
2,23x1-0,73x2+1,27x3=2,43 0,65x1-0,93x2+0,45x3=-0,72
2,15x1+3,17x2-1,43x3=-0,73 1,15x1+0,43x2-0,72x3=1,24
0,83x1+0,72x2+2,12x3=1,42 0,56x1-0,18x2+1,03x3=2,15
№ 13 № 14
1,16x1-0,28x2+2,16x3=1,60 2,16x1-2,83x2+1,15x3=2,32
0,65x1+0,76x2-1,18x3=0,28 1,71x1+2,17x2-0,83x3=1,25
0,53x1+1,07x2-0,63x3=1,27 0,35x1-0,72x2+1,03x3=0,82
№ 15 № 16
1,02x1+0,72x2-0,65x3=1,27 0,53x1-1,63x2-0,76x3=2,18
0,74x1-1,24x2-1,73x3=0,77 0,86x1+1,17x2+1,84x3=1,95
1,78x1+2,32x2+0,74x3=1,16 0,32x1-0,65x2+1,11x3=-0,47
2-тапсырма. Циклді қуалау әдісін пайдаланып
а1-b1+cn=f1
аі+1-bі+cі-1=f1 (і=2,3,...,n-1)
а1-bn+cn-1=fn
теңдеулер жүйесін программа құру арқылы шешіңіздер.
3-тапсырма. Гаусс әдісі арқылы 1-тапсырмадағы теңдеулер жүйесіндегі матрицаның кері матрицасын табыңыздар.
№ 4 Лабораториялық жұмыстар.
1-тапсырма. Біртіндеп жуықтау әдісін қолданып мына теңдеулер жүйесін берілген дәлдікпен шешіңіздер және
формуласын пайдаланып дәлдік -ның қандай мәнінде орындалатының анықтаныздар.
№1 №2
№3 №4
№5 №6
№7 №8
№9 №10
№11 №12
№13 №14
№15 №16
1-тапсырма. 8- параграфтарда көрсетілген әдістерге программа құрыңыздар.
2-тапсырма. 6- параграфтағы лабораториялық жұмыстарда көрсетілген теңдеулер жүйесін градиентті итерациялық әдіс арқылы шешіңіздер.
№ 5 Лабораториялық жұмыстар.
1-тапсырма. Хорда, Ньютон єдістері арќылы тењдеулерді 0,01 дєлдікпен шешіњіздер.
1. 2. 3. 4.
5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
№ 6 Лабораториялық жұмыстар.
1. тапсырма интегралды тіктөртбұрыш әдісімен есептеу программасын жаз.
1.1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6)
7) ; 8)
9) ; 10)
11) ; 12)
13) ; 14)
1)Интегралды трапеция әдісімен шығар.
2)Интегралды Симпсон әдісімен шығар.
№7 Лабораториялық жұмыстар.
Жәй дифференциалды теңдеулерді шешу.
Жетілдірілген Эйлер әдісі.
.
1-тапсырма : [0;1] кесіндісінде қадамы һ=0,1 және бастапқы шарты бойынша жай дифференциалдық теңдеуін Жетілдірілген Эйлер әдісімен шеш:
№1. №2. №3. №4. №5. №6.
№7. №8. №9. №10. №11.
№12. №13. №14.
№15. №16.
№8 - Лабораториялық жұмыс.
Рунге-Кутт әдісі.
1-тапсырма . Бастапқы шарты болатын, қадамын h=0,1 деп алып, [0;1] кесіндісінде Рунге-Кутт әдісін қолданып 3-ші реттік дәлдікпен дифференциалдық теңдеуін шеш.
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
№6.
№7.
№8.
№9.
№10.
№11.
№12.
№13.
№14.
№15.
№16.
№9 -10Лабораториялық жұмыстар.
Айырымдық схемалардың негізгі түсініктері.
1-тапсырма. аралығында анықталған теңдеулерге айырымдық схема құрыңыз.
1. 2. .
3. . 4. .
5. . 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. .
2-тапсырма. Төмендегі айырымдық теңдеулер қандай теңдеулерді жуықтайтындығын және оның дәлдігін анықтаңыз.
1. . 2. .
3. , .
4. , .
5. . 6. .
7. .
8. .9. .
10. .
11. . .
12. . 13. .
14. .
15. .16. .
.
№11- № 12Лабораториялық жұмыстар.
жұмыс.
Айрымдық схемалардың орнықтылығын зерттеу.
1-тапсырма. 10- жұмыстың 2-тапсырмасында көрсетілген айырымдық схемалардың максимум принципі бойынша орнықтылығын анықтаңыздар.
2-тапсырма. 10- жұмыстың 2-тапсырмасында көрсетілген айырымдық схемалардың орнықтылығының қажетті шартын анықтаңдар.
№13- Лабораториялық жұмыстар
Айырымдық есептің жинақталуы .
1- тапсырма. Айырымдық схемалардың қандай есептерді жуықтайтындығын анықтаңыздар және жинақталу дәлдігін көрсетіңіздер.
1. .
2. .
,
3. .
,
4.
.
5. ,
.
6. ,
, .
7. ,
.
8. ,
.
9. ,
.
10. ,
.
11. ,
.
13. ,
.
14. ,
.
15.
.
16. .
№14-15 Лабораториялық жұмыстар
1-тапсырма. аралығында анықталған шекаралық есептердің айырымдық схемасын құрыңыз және оның жинақталу дәлдігін анықтаңыз.
1. , , . 2. , , . 3. , , .
4. , , . 5. , . 6. , , .
7. , . 8. , . 9. , .
10. , , .
11. , .
12. , , .
13. , , .
14. , . 15. , . 16. , , .
Білім алушылардың өзіндік жұмыстарын ұйымдастыру және басқаруға арналған материалдар
СОӨЖ-на арналған тапсырма лар
Тақырып . Қателер теориясы.
№1 жұмыс.
Абсолюттік қате дегеніміз не және оның шегі қалайша табылады ?
Салыстырмалы қате дегеніміз не және оның шегі қалайша табылады?
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып : Функцияларды интерполяциялау.
№2 жұмыс. Лагранж интерполяциялау формуласы.
Функциялар қандай түрде беріледі.
Интерполяция мен эсктрополяцияның айырмашылығы неде.
Лагранждың формуласы неліктен n дәрежелі көпмүшелік деп аталады.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып : Сандық интегралдау.
№3 жұмыс. Тіктөртбұрыштар әдісі.
1. Қандай формуланы квадратуралық формула дейді.
2. Квадратуралық формуланың дәлдігі неге байланысты.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№4 жұмыс. Симпсон формуласы.
1. Симпсон әдісінің геометриялық мағынасын түсіндіріңіз.
2. Мына интегралды болғанда Симпсон тәсілінің жіберетін қатесін бағалаңыз.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып 4: Сызықтық емес теңдеулерді шешу әдістері.
№5 жұмыс. Хордалар әдісі.
Қандай теңдеулерді трансценденттік теңдеулер дейміз.
Теңдеудің түбірінің бастапқы мәні деген не және ол қалай табылады.
Сығу операторы деп қандай операторды айтамыз.
Итерациялық процестер қандай жағдайда жинақталады.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№6 жұмыс. Ньютон (жанама) әдісі.
Жанама әдісінде алғашқы жуықтау қандай шарттан таңдалады?
Жанама әдісін қолдану үшін қандай шарттар орындалуы керек?
Жанама әдісінде бастапқы жуықтау ретінде [a,b] кесіндісінде жататын x0 - алғашқы жуықтауды қай шарттан алуға болады?
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып 5: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері.
№7 жұмыс. Біртіндеп жуықтау әдісі.
1. Итерациялық әдістер қанша түрге бөлінеді.
2. Итерациялық әдісті қай уақытта тоқтату керек.
3. Мына итерациялық әдістің (Якоби әдісі) жинақталуының жеткілікті шартын табыңыз. .
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№8 жұмыс. Градиентті итерациалық әдістер.
теңдеулер жүйесін шешу үшін жылдам түсу әдісін қай уақытта қолдануға болады.
кесіндісінде анықталған өрнегі өзінің ең үлкен мәніне немесе болғанда ие болатындығын дәлелде.
А -оң анықталған матрица. жүйелерін жылдам түсу әдісімен шешкен кезде қай жүйе үшін итерациялық әдіс жылдам жинақталатының анықта.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып 6: Жәй дифференциалды теңдеулерді шешу.
№9 - жұмыс. Жетілдірілген Эйлер әдісі.
1. Қандай есептерді Коши есебі дейміз.
2. Коши есебінің қай уақытта бір ғана шешуі болады.
3. Дифференциалдық теңдеудің жалпы және дербес шешулері дегеніміз не?
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№10 - жұмыс. Рунге-Кутт әдісі.
Рунге-Кутт әдісінің дәлдігі f(x, y) функциясының жатықтығы мен байланысы бар ма.
Рунге – Кутт әдісінде q=k болғанда оның дәлдігі O(hk+1) шамасынан аспайтын себебін түсіндіріңіз.
Рунге – Кутт әдісімен, алдын ала берілген дәлдікпен есепті шешу үшін не істеу керек.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
Тақырып 7: Айырымдық схемалардың негізгі түсініктері.
№11- жұмыс. Жай дифференциалдық операторларды жуықтау
1. Қандай функцияларды торлық функциялар дейміз.
2.Тордың тығыздығы дегеніміз қандай ұғым.
3.Торлық функцияларды қай уақытта векторлық функция деп қарастыруға болады.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№12- жұмыс. Айрымдық схемалардың орнықтылығын зерттеу.
Орнықтылық туралы ұғымды түсіндіріңіз.
(5.2)-(5.4) теңсіздіктеріндегі С саны тан тәуелсіз сан деуіміздің себебі неде.
Айырымдық схема қай уақытта шартты, қай уақытта шартсыз орнықты.
Айырымдық схеманың орнықтылығының берілген есептің түрімен байланысы бар ма.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№13- жұмыс. Айырымдық есептің жинақталуы .
Жинақталу теоремасы не үшін қажет.
Функцияның нормасы дегеніміз не және оны қалайша анықтайды.
Норманы таңдағанда қандай мәселені есте ұстаған дұрыс.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
№14- жұмыс. Екінші ретті жай дифференциалдық теңдеулердің шекаралық есебін шешу әдістері
1. айырымдық теңдеуінің жуықтау дәлдігін анықтау үшін неге кеңістігінде жатуы тиіс.
2. Айырымдық схеманың шешуі қай уақытта бірқалыпта жинақталады дейміз.
3. және берілген нүктесінде болса, онда неге аралығында болатын ең болмағанда бір нүкте бар.
ОСӨЖ-ді өткізу түрі: сұрақ-жауап
СӨЖ-на арналған тапсырмалар
Тақырып 1. Қателер теориясы. №1 жұмыс.
Мәндері өте жақын сандарды бір-бірінен алғанда салыстырмалы қатенің өсуі неден ?
Функцияның абсолюттік қатесінің оның аргументінің абсолюттік қатесімен қандай байланысы бар ?
Тақырып 2: Функцияларды интерполяциялау.
№2 жұмыс. Лагранж интерполяциялау формуласы.
Егер функциясы дәрежесі -нен үлкен емес көпмүше болса, онда болатындығын түсіндіріңіз.
Егер функциясының -туындысы жоғарыдан шектелмеген болса, онда Лагранж көпмүшесінің қалдығы туралы не айтуға болады.
Тақырып 3: Сандық интегралдау.№3 жұмыс. Тіктөртбұрыштар әдісі.
1. Квадратуралық формуланың дәлдігін қалай тексеруге болады.
2. Тік төртбұрыш, трапеция тәсілдерінің геометриялық мағынасын түсіндіріңіз.
№4 жұмыс. Симпсон формуласы
.1. Мына интегралды болғанда Симпсон тәсілінің жіберетін қатесін бағалаңыз.
2.Трапеция тәсілі мен тік төртбұрыш тәсілдерінің сызықтық комбинациясы арқылы Симпсон формуласын табыңыз.
Тақырып 4: Сызықтық емес теңдеулерді шешу әдістері. №5 жұмыс. Хордалар әдісі.
Хорда әдісін қолдану үшін қандай шарттар орындалуы керек?
Хорда әдісінде бастапқы жуықтау ретінде [a,b] кесіндісінде жататын x0 - алғашқы жуықтауды қай шарттан алуға болады?
Хорда әдісінің қандай кемшіліктері бар?
Хорда әдісінің геометриялық мағынасын түсіндіріңіз
№6 жұмыс. Ньютон (жанама) әдісі.
Жанама әдісінде бастапқы жуықтау ретінде [a,b] кесіндісінде жататын x0 - алғашқы жуықтауды қай шарттан алуға болады?
Ньютон (жанама) әдісінің қандай кемшіліктері бар?
Ньютон (жанама) әдісінің геометриялық мағынасын түсіндіріңіз.
Тақырып 5: Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері.
№7 жұмыс. Біртіндеп жуықтау әдісі.
1. Мына итерациялық әдістің (Якоби әдісі) жинақталуының жеткілікті шартын табыңыз. .
2. Айталық, итерациялық әдісі үшін мына теңсіздіктің орындалатының дәлелде.
,
мұнда теңдеуінің шешуі.
3. А-оң анықталған матрица болса, онда
итерациялық процессі (параметрлі жай итерациялық процесс)
дың қандай мәндерінде жинақталады.
№8 жұмыс. Градиентті итерациалық әдістер.
А -оң анықталмаған болса, онда жүйесін жылдам түсу әдісімен қалай шешуге болады.
А симметриялы оң анықталған матрица. Минимал ауытқу әдісі үшін теңсіздігін алуға болатындығын дәлелдеңіз.
Тақырып 6: Жәй дифференциалды теңдеулерді шешу.
№9 - жұмыс. Жетілдірілген Эйлер әдісі.
1. әдісін қай әдіс деп атауға болады және
есебінің шешуіне жинақталама.
2. формуласы қандай формуланы негізге алып тұрғызылған және оның жуықтау дәлдігі қандай.
№10 - жұмыс. Рунге-Кутт әдісі.
1.Рунге – Кутт әдісі арқылы бірінші туындысы арқылы шешілген дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешкен кезде қандай белгілеулер енгізу керек.
2., (берілген теңдеу)
, (бастапқы мән),
мұнда берілген сандар болсын. Осы есепті Рунге – Кутт әдісі арқылы шешуге бола ма, болса қалайша шешіледі.
Тақырып 7: Айырымдық схемалардың негізгі түсініктері.
№11- жұмыс. Жай дифференциалдық операторларды жуықтау
1. Тор түйіндері қандай түрлерге бөлінеді.
4. операторын дәлдікпен айырымдық оператор арқылы жуықтау үшін функциясына қандай талап қоямыз.
5.
операторы қандай теңдеуді жуықтайды.
№12- жұмыс. Айрымдық схемалардың орнықтылығын зерттеу.
1. Орнықтылықты анықтаудың қандай әдістері бар және олардың мағынасын қалай түсіндіреміз.
2. Айырымдық схеманың орнықтылығының жеткілікті шартын
қалай анықтауға болады.
3. Орнықтылықтың қажетті шарты орындалса, онда айырымдық
схеманың шешуі берілген есептің шешуіне жинақталады деп кесіп
айтуға бола ма?
4. айырымдық схемасы белгілеуі арқылы түріне келтірілген. теңдеуінің шешулері матрицасының меншікті санына тең екенін дәлелдеңіз.
5. айырымдық теңдеуінің болғанда теңдеуіне дәлдікпен жуықтайтынын және орнықтылық шартын көрсетіңіз.
6.
айырымдық схеманың қандай теңдеуді жуықтайтынын және орнықтылығын анықтаңыз.
№13- жұмыс. Айырымдық есептің жинақталуы .
1.Айырымдық схеманың шешуінің берілген есептің шешуіне жинақталуы таңдап алынған нормаға тікелей байланысты болуының себебі неде.
2.Айырымдық схеманың жуықтау дәлдігі мен орнықтылығы бірдей орындалатындай норманы табу кейбір жағдайда мүмкін еместігінің себебі неде.
№14-15 жұмыс. Екінші ретті жай дифференциалдық теңдеулердің шекаралық есебін шешу әдістері
1.
есебіне айырымдық схема құр және оны зертте.
2.
есебін тор әдісімен шешудің программасын құр.
Глоссари
Интерполяциялау -жуықтау
Аппроксимациялау-жуықтау
Экстраполяциялау-жуықтау
Норма- норма, мөлшер
Спектр-спектр, шоғыр
Сплайн- сплайн, дәнекер
Схема-схема, сүлбе
Итерация- қайталама
ҚазҰПУ 0703-12-09 Білім алушыларға арналған пәннің оқу-әдістемелік кешені ?