Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
Окре́стность в общей топологии — это базовое понятие, определяющее топологическое пространство. Неформально говоря, окрестность точки множества — это такое подмножество, которое содержит данную точку.
Интервалы могут быть открытыми и закрытыми. Открытые интервалы – это те интервалы, у которых указана только одна граница: верхняя – у первого, нижняя – у последнего. Закрытые интервалы – это те интервалы, у которых обозначены обе границы. Величина открытого интервала принимается равной величине смежного с ним закрытого интервала.
Множество М на прямой называется открытым, если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством ещё хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством,
но не является замкнутым. Бывают множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми (например, полуинтервал). Существуют два множества, которые одновременно и замкнутые, и открытые — это пустое и всё R (докажите, что других нет). Легко видеть, что если М открыто, то(или R\M — дополнение к множеству М до R) замкнуто. Действительно, еслине замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m. Но тогда mМ, причём каждый интервал, содержащий m, пересекается с множеством, т. е. имеет точку, не лежащую в М, а это противоречит тому, что М — открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если М замкнуто, тооткрыто (проверьте!).
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема. Любое открытое множество М можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).
Доказательство. Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m — какая-то точка из М, то существует интервал ()М, содержащий m (это следует из того, что М — открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (, m) — это, на (m,) — это. Тогда точка m покрыта объединением U, а именно, интервалом (). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из М покрыта объединением U. Кроме того, как очевидно следует из построения U, никакая точка, не содержащаяся в М, не покрыта U. Значит, U и М совпадают.
Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счётное объединение интервалов.