Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
VII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), заданной на числовом множестве X, если для любого . Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается . Любые две первообразные для одной функции отличаются на константу (постоянную величину).
Другими словами, имеет место равенство , где F(x) – некоторая (фиксированная) первообразная для f(x), а С пробегает всевозможные числовые значения.
Не всякая функция имеет первообразную. Однако если f(x) – непрерывная функция, то она имеет первообразную.
2. Таблица основных неопределённых интегралов
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
3. Основные свойства неопределённого интеграла
(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).
Пример 1. Найти .
Решение. =
.
4. Интегрирование методом замены переменного
Теорема 1. Если F(x) – первообразная функции f(x), то при условии и дифференцируемости функции (x) справедлива формула
или
.
Пример 2. Найти интегралы: а) ; б); в).
Решение. а)
;
б)
;
в)
.
Пример 3. Найти .
Решение.
.
Пример 4. Найти .
Решение. Положим .
Тогда и
Пример 5. Найти .
Решение. Применим подстановку .
Тогда .
Имеем
.
5. Интегрирование по частям
Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по частям
.
Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv.
Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.
|
I тип |
II тип |
III тип (интегралы, приводящиеся к себе) |
За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. Pn (x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как , так и тригонометрические функции , ).
По частям могут быть взяты и интегралы, не вошедшие в эту таблицу.
Пример 6. Найти интегралы:
а); б); в) .
Решение. а)
.
Здесь и ниже при нахождении v при известном dv мы полагаем С = 0 (как в этом случае: dv = dx, отсюда следует v = x + C, но мы берём одну из первообразных v = x).
б)
.
в) Обозначим . Имеем
.
Получается, что
Отсюда находим (учитывая, что J является семейством функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину)
.
6. Интегрирование рациональных функций
Интегрирование рациональной функции
, , являющейся правильной дробью (т.е. при ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых дробей. Если же дробь является неправильной (), то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.
Пример 7. Найти интегралы: а) ; б) .
Решение. а)
б)
.
Пример 8. Найти интегралы: а) ;
б) ; в) .
Решение. а) Найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей:
;
;
;
Таким образом,
.
б) .
Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей:
;
. (1)
x = 0; –8A = +5. A = –5/8,
x = 2; 24B = 3. B = 1/8.
Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x3 и x):
Отсюда, зная уже A = –5/8 , B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,
.
в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком
x4 – 3x2 + 2x +7 x3 – 2x2 + x
x4 – 2x3 + x2 x + 2
2x3 – 4x2 + 2x + 7
2x3 – 4x2+2x
7
Таким образом,
.
Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:
;
; (2)
x = 0; A = 7;
x = 1; B2 = 7.
Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B1 = 0, B1 = –A = –7 . Таким образом,
.
7. Интегрирование тригонометрических функций
При интегрировании функций вида лучше придерживаться следующего правила: 1) если хотя бы одно из чисел n или m – нечётное положительное число, то, отделяя первую степень соответствующего множителя, подводим его под знак дифференциала, а оставшуюся часть (чётную степень) этого множителя выражаем через её ко-функцию?, пользуясь тождеством , и это приведёт к интегралу от степенной функции; 2) если n и m – чётные числа, то с помощью формул , достигается упрощение вида подынтегральной функции.
Пример 9. Найти а) ; б) .
Решение. ==
=
;
б)
.
Интегрирование функций вида , , производится с помощью формул произведений синусов и косинусов.
Пример 10. Найти .
Решение.
.
Интегрирование функций вида R(sinx, cosx), где R – рациональная функция двух переменных, производится с помощью замены . При этом , , ,
.
Пример 11. Найти .
Решение. = =
.
8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида , где R – рациональная функция двух переменных, выделением полного квадрата приводятся к одному из следующих видов:
1); 2); 3).
Эти последние интегралы находятся с помощью подстановок:
1) t = a tgu или t = shu ; 2) t = a/cosu или t = chu ;
3) t = a sinu или t = a thu .
Пример 12. Найти .
Решение. = =
=
.
Пример 13. Найти .
Решение. =
=.
Пример 14. Вычислить .
Решение.
.
9. Определённый интеграл
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьём этот отрезок точками a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b на n частей [xk-1; xk], 1k≤n; обозначим . Число , 1 k n, назовём диаметром разбиения. Возьмём в каждом частичном отрезке [xk-1; xk] по точке tk и образуем следующую сумму, называемую интегральной:
.
Если существует конечный предел интегральных сумм при , предел, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a; b], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой на [a; b], а сам предел – определённым интегралом от f(x) на [a; b] и обозначается .
По определению положим
=,.
Если f(x) непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b].
К интегрируемым функциям относятся также:
1) монотонно возрастающие (убывающие) и ограниченные на [a; b];
2) ограниченные и имеющие лишь конечное число точек разрыва на
[a; b] .
Определённый интеграл обладает следующими свойствами:
= +;
= +;
[a; b] и при этом ;
;
Теорема 2. Если F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [a; b], то
(формула Ньютона–Лейбница).
Разность часто обозначают .
Пример 15. Найти .
Решение.
.
Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и функция удовлетворяет следующим условиям: 1) дифференцируема на ; 2) , ; 3) значения не выходят за пределы [a; b], когда t пробегает значения из . Тогда
.
Пример 16. Вычислить .
Решение. 1) Функция непрерывна на интервале [4,6].
2) Применим подстановку и изменим пределы интегрирования. Если , то и . Если , то и .
Отметим, что функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, так как она непрерывно дифференцируема, монотонна и и .
3) , ,
так как при .
.
Пример 17. Вычислить: а) ; б) .
Решение. а) Сделаем замену переменного: . Тогда ; ; меняются пределы интегрирования: , .
Имеем
.
б)
.
Теорема 4. Если u(x), v(x) дифференцируемы на [a; b], то
.
Пример 18. Вычислить .
Решение.
.
10. Несобственные интегралы
1. Несобственный интеграл I рода. Пусть функция f(x) определена на и интегрируема на отрезке [a; b] для любого . Несобственный интеграл первого рода определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы и :
, .
Пример 19. Вычислить: а); б); в).
Решение. а)
.
б)
,
и интеграл расходится;
в)
.
Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:
(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).
Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт :
Аналогичное утверждение справедливо для интеграла , , и , a > c.
Теорема 5 (первый признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , для любого b>a f(x), g(x) интегрируемы на и . Тогда имеем
Теорема 6 (второй признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , и пусть существует конечный предел . Тогда интегралы , ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).
Теорема 7. Если сходится, то сходится и
(в таком случае говорят, что сходится абсолютно).
Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .
Пример 20. Исследовать на сходимость интегралы:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Подынтегральная функция представляет собой рациональную функцию, разность степеней числителя и знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию . Найдём предел
.
Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но известно, что сходится , значит и наш интеграл сходится.
б) является иррациональной функцией; степень числителя равна 3/2 (числитель можно представить как ), степень знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию . Докажем, что существует конечный предел , не равный 0. Действительно,
.
Поэтому , ведут себя одинаково в смысле сходимости. А так как расходится, то расходится и .
в) Обозначим . Так как , то . Интеграл сходится (доказывается это, как и выше: , сходится и можно воспользоваться вторым признаком сходимости). Мы попадаем в условие теоремы 5 (часть 1), в которой говорится, что наш интеграл сходится.
2. Несобственный интеграл II рода. Пусть функция f(x) определена на [a; b) и (или = – ). Несобственный интеграл второго рода функции f(x) на [a; b определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то говорят, что интеграл сходится, в противном случае – расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл II рода для случаев и . Если же f(x) неограниченна в любой окрестности некоторой внутренней точки , то полагают
.
Пример 21. Вычислить интегралы: а) ; б)
Решение. а)
.
б)
.
Значит, интеграл расходится.
Формулировки признаков сходимости для несобственных интегралов II рода, по существу, ничем не отличаются от формулировок признаков сходимости для несобственных интегралов I рода. Для применения этих признаков полезно пользоваться тем, что
,
Пример 22. Исследовать на сходимость интегралы:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) . Подынтегральная функция в промежутке [2; 3] имеет особую точку x = 2. Множитель стремится к 1/2 при . Поэтому естественно ожидать, что наша функция в окрестности точки x = 2 ведёт себя, как ; проверим это:
.
Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но второй интеграл сходится (p = 1/2 < 1), поэтому сходится и наш интеграл.
б) Функция имеет на промежутке [0; 1] одну особую точку x = 0. Функции и являются бесконечно малыми величинами при . Известно, что , x2 при . Поэтому при . А так как расходится , то расходится и наш интеграл.
в) Разложим знаменатель () подынтегральной функции по формуле Тейлора в окрестности особой точки функции :
.
Следовательно, .
Известно, что сходится, следовательно, сходится и наш интеграл.
11. Вычисление площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций x = a, x = b, y = 0, y = f(x) (f(x) 0 при x [a; b]), находится по формуле .
Если фигура (D) ограничена графиками функций x = a, x = b, y = f(x),
y = g(x), f(x) g(x), при x [a; b], то площадь S фигуры (D) находится по формуле .
Пример 23. Найти площадь S фигуры (D), ограниченной линиями y = –x2 + 2x + 2 и y = 2x + 1.
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций, для чего решим уравнение: –x2 + 2x + 2 = 2x + 1; x2 – 1 = 0; x1 = –1,
x2 = 1. Для всех точек x из отрезка [–1; 1] –x2 + 2x + 2 2x + 1. Поэтому
.
Пример 24. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .
Решение. Эллипс имеет две оси симметрии: координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь S фигуры равна учетверённой площади S1 части (D1) фигуры, расположенной в первой четверти (заштриховано). Фигура (D1) ограничена сверху линией , снизу – осью 0х, слева – осью 0у. Поэтому
.
Отсюда находим S = 4S1 = ab.
Площадь S криволинейного сектора, ограниченного графиком функции и лучами и в полярной системе координат, находится по формуле .
Пример 25. Найти площадь S фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением .
Решение. Начнём с изображения линии. Так как , то нам нужно сначала решить неравенство . Имеем
,
, .
При n = 0: ;
при n = 1: ;
при n = 2: ;
при n = 3: – этот угол является повторением угла, соответствующего значению n = 0. Рассмотрение других значений приводит к уже полученным углам на плоскости. Рассмотрим рисунок. Наша фигура ограничена тремя лепестками. Её площадь S равна 3S1, где S1 – площадь одного лепестка (заштриховано).
Имеем
.
Отсюда находим S = 3S1, ? = .
12. Вычисление длины дуги
Линия (L) в пространстве называется гладкой, если в каждой точке (L) можно провести касательную к этой линии. Если линия без самопересечений задана параметрическими уравнениями
то дифференцируемость x(t), y(t), z(t) гарантирует гладкость линии; аналогичное утверждение справедливо для плоской линии. Если линия без самопересечений на плоскости с заданной полярной системой координат определена полярным уравнением , то и в этом случае дифференцируемость влечёт гладкость этой линии.
Если гладкая линия (L) на плоскости (в пространстве) задана параметрическими уравнениями , (и вдобавок к этому
для линии в пространстве), , то длина линии (L) находится по формуле
().
Если гладкая линия (L) задана явным уравнением , , то .
Для гладкой линии (L), заданной полярными уравнениями, , .
Пример 26. Найти длину линии, заданной уравнением , , .
Решение. Имеем
.
Пример 27. Найти длину дуги логарифмической спирали , находящейся внутри окружности .
Решение. Дуге спирали, лежащей внутри окружности , соответствуют значения . Поэтому
.
13. Вычисление объёмов тел
Если в пространстве заданы ось 0х, тело (Т), проекцией которого на 0х является отрезок [a; b] , и для любого x [a; b] известна площадь S(x) поперечного сечения S(x), то объём V тела (Т) находится по формуле
.
В частности, если тело (Т) получено путём вращения графика функции , вокруг оси 0х, то объём тела вращения равен .
При вращении графика функции f(x) вокруг оси 0у формула объёма принимает вид
.
Пример 28. Найти объём V тела (Т), ограниченного эллипсоидом
.
Решение. Проекцией тела (Т) на ось 0х является отрезок [–a; a]. Найдём формулу площади S(x) поперечного сечения,
x [a; b]. Перепишем уравнение эллипсоида в виде
.
Это есть уравнение поперечного сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через точку x и перпендикулярной оси 0х. А мы уже знаем (задача 22), что площадь фигуры, заключённой внутри этого эллипса, равна . Следовательно,
.
14. Приближённое вычисление определённых интегралов
Формула Ньютона–Лейбница является хорошим средством для вычисления определённого интеграла. Однако возможности применения этой формулы сильно ограничены тем, что далеко не для всякой элементарной функции первообразная к ней является элементарной функцией. Другими словами, если f(x) является элементарной функцией, то могут оказаться неэлементарными функциями (более того, если f(x) образовать наобум как суперпозицию элементарных функций, то, скорее всего, будут неэлементарными функциями). В таком случае говорят, что является неберущимся интегралом. Приведём несколько таких примеров: , , , . Дело обстоит так, что в большинстве случаев решение прикладных задач требует вычисления определённых интегралов от функций, первообразные которых выходят за рамки класса элементарных функций, что делает невозможным применение формулы Ньютона–Лейбница. В таких случаях довольствуются приближённым вычислением определённого интеграла, или, как говорят, применяют методы численного интегрирования. К простейшим методам численного интегрирования относятся методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).
Разобьём отрезок [a;b] на n равных частей точками
; называется шагом разбиения.
Обозначим , , .
По методу прямоугольников
;
;
.
Все эти три формулы называются формулами прямоугольников.
Метод трапеций состоит в применении формулы (при тех же обозначениях)
.
В методе парабол (Симпсона) отрезок [a; b] разбивается на чётное число 2n отрезков равной длины точками a1 = x0 < x1 < x2 < …< x2n = b. Согласно формуле Симпсона (при тех же обозначениях)
.
Точность вычисления растёт с ростом n. Погрешность Rn[f] приведённых выше формул оценивается величинами:
для формулы прямоугольников ,
для формулы трапеций ,
для формулы Симпсона,
где , .
Пример 29. Вычислите приближённо методами:
а) прямоугольников, б) трапеций, в) Симпсона, взяв . В методах прямоугольников и трапеций оценить погрешность вычисления.
Решение. а) Составим таблицу .
|
xк |
2 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
2,8 |
|
yк |
0,8326 |
0,8880 |
0,9357 |
0,9775 |
1,0147 |
|
xк |
3 |
3,2 |
3,4 |
3,6 |
3,8 |
|
yк |
1,0481 |
1,0785 |
1,1062 |
1,1318 |
1,1554 |
Воспользуемся первой из формул прямоугольников
0,2(0,8326 + 0,8880 + 0,9357 + 0,9775 + 1,0147 + 1,0481 + 1,0785 + 1,1062 + 1,1318 + 1,1554) = 0,210,1685 = 2,0337.
Оценим погрешность . Нетрудно видеть, что .
Отсюда и погрешность не превышает .
б) Для применения формулы трапеций дополним выше составленную таблицу ещё одним значением: . Имеем
.
Погрешность вычисления равна .
в) Рассмотрим нашу таблицу (h = 0,1).
|
xк |
2 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
|
yк |
0,832555 |
0,861358 |
0,887951 |
0,912639 |
0,935665 |
|
xк |
2,5 |
2,6 |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
|
yк |
0,957231 |
0,977503 |
0,996620 |
1,014702 |
1,031848 |
|
xк |
3 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
|
yк |
1,048147 |
1,063674 |
1,078495 |
1,092668 |
1,106244 |
|
xк |
3,5 |
3,6 |
3,7 |
3,8 |
3,9 |
|
yк |
1,119269 |
1,131784 |
1,143824 |
1,1554224 |
1,166609 |
|
xк |
4 |
||||
|
yк |
1,177410 |
Отсюда находим
[(0,832555 + 1,17741) + 4(0,861358 + 0,912639 + 0,957231 + + 0,99662 + 1,031848 + 1,063674 + 1,092668 + 1,119269 + 1,143824 + +1,166609) + 2(0,887951 + 0,935665 + 0,977503 + 1,014702 + 1,048147 + +1,078495 +1,106244 + 1,131784 +1,155422)]=62,064751 2,068825 2,0688.
Задание 7.1
Найдите интегралы.
1) ;
2) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) .
Задание 7.2
Найдите интегралы.
1. а) , б) , в) ;
2. а) , б) , в) ;
3. а) , б) , в) ;
4. а) , б) , в) ;
5. а) , б) , в) ;
6. а) , б) , в) ;
7. а) , б) , в) ;
8. а) , б) , в) ;
9. а) , б) , в) ;
10. а) , б) , в) ;
11. а) , б) , в) ;
12. а) , б) , в);
13. а) , б) , в) ;
14. а) , б) , в) ;
15. а) , б) , в) ;
16. а) , б) , в) ;
17. а) , б) , в) ;
18. а) , б) , в) ;
19. а) , б) , в) ;
20. а) , б) , в) ;
21. а) , б) , в) ;
22. а) , б), в);
23. а) , б) , в) ;
24. а) , б) , в) ;
25. а) , б) , в) ;
26. а) , б) , в) ;
27. а) , б) , в) ;
28. а) , б) , в) ;
29. а) , б) , в) ;
30. а) , б) , в) .
Задание 7.3
Найдите интегралы.
1) ; 12);
2) ; 13) ;
3) ; 14) ;
4) 15);
5) ; 16);
6) ; 17) ;
7); 18) ;
8); 19);
9); 20);
10); 21);
11); 22);
23) ; 27) ;
24) ; 28) ;
25) ; 29) ;
26) ; 30) .
Задание 7.4
Найдите интегралы.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) ; б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 7.5
Найдите интегралы.
1. а) , б) , в) ;
2. а) , б) , в) ;
3. а) , б) , в) ;
4. а) , б) , в) ;
5. а) , б) , в) ;
6. а) , б) , в) ;
7. а) , б) , в) ;
8. а) , б) , в) ;
9. а) , б) , в) ;
10. а) , б) , в) ;
11. а) , б) , в) ;
12. а) , б) , в) ;
13. а) , б) , в) ;
14. а) , б), в) ;
15. а) , б) , в) ;
16. а) , б) , в) ;
17. а) , б) , в) ;
18. а) , б) , в) ;
19. а) , б) , в) ;
20. а) , б) , в) ;
21. а) , б), в) ;
22. а) , б) , в) ;
23. а) , б) , в) ;
24. а) , б) , в) ;
25. а) , б) , в) ;
26. а) , б) , в) ;
27. а) , б) , в) ;
28. а) , б) , в) ;
29. а) , б), в) ;
30. а) , б) , в).
Задание 7.6
Найдите интегралы.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) , б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 7.7
Найдите интегралы.
1. а) , б) ,
в) ;
2. а) , б) ,
в) ;
3. а) , б) ,
в) ;
4. а) , б) ,
в) ;
5. а) , б) ,
в) ;
6. а) , б) ,
в) ;
7. а) , б) ,
в) ;
8. а) , б) ,
в) ;
9. а) , б) ,
в) ;
10. а) , б) ,
в) ;
11. а) , б) ,
в) ;
12. а) , б) ,
в) ;
13. а) , б) ,
в) ;
14. а) , б) ,
в) ;
15. а) , б) ,
в) ;
16. а) , б) ,
в) ;
17. а) , б) ,
в) ;
18. а) , б) ,
в) ;
19. а) , б) ,
в) ;
20. а) , б) ,
в) ;
21. а) , б) ,
в) ;
22. а) , б) ,
в) ;
23. а) , б) ,
в) ;
24. а) , б) ,
в) ;
25. а) , б) ,
в) ;
26. а) , б) ,
в) ;
27. а) , б) ,
в) ;
28. а) , б) ,
в) ;
29. а) , б) ,
в) ;
30. а) , б) ,
в) .
Задание 7.8
Найдите интегралы.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) , б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 7.9
Найдите интегралы.
1. ; 5. ;
2. ; 6. ;
3. ; 7. ;
4. ; 8. ;
9. ; 20. ;
10. ; 21. ;
11. ; 22. ;
12. ; 23. ;
13. ; 24. ;
14. ; 25. ;
15. ; 26. ;
16. ; 27. ;
17. ; 28. ;
18. ; 29. ;
19. ; 30. .
Задание 7.10
Найдите интегралы.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) , б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 7.11
Вычислите интегралы.
1. ; 8. ;
2. ; 9. ;
3. ; 10. ;
4. ; 11.;
5. ; 12. ;
6. ; 13. ;
7.; 14. ;
15.; 23.;
16.; 24.;
17.; 25.;
18. ; 26.;
19. ; 27.;
20. ; 28.;
21. ; 29.;
22. ; 30..
Задание 7.12
Вычислите интегралы.
1. а) , б) , в) ;
2. а) , б) , в) ;
3. а) , б) , в) ;
4. а) , б) , в) ;
5. а) , б) , в) ;
6. а) , б) , в);
7. а) , б) , в) ;
8. а) , б) , в) ;
9. а) , б) , в) ;
10. а) , б) , в) ;
11. а) , б) , в) ;
12. а) , б) , в) ;
13. а) , б) , в) ;
14. а) , б) , в) ;
15 а) , б) , в) ;
16. а) , б) , в) ;
17. а) , б) , в) ;
18. а) , б) , в) ;
19. а) , б) , в) ;
20. а) , б) , в) ;
21. а) , б) , в) ;
22. а) , б) , в) ;
23. а) , б) , в) ;
24. а) , б) , в) ;
25. а) , б) , в) ;
26. а) , б) , в) ;
27. а) , б) , в) ;
28. а) , б) , в) ;
29. а) , б) , в) ;
30. а) , б) , в).
Задание 7.13
Вычислите интегралы.
1. а) , б) ;
2. а) , б) ;
3. а) , б) ;
4. а) , б) ;
5. а) , б) ;
6. а) , б) ;
7. а) , б) ;
8. а) , б) ;
9. а) , б) ;
10. а) , б) ;
11. а) , б) ;
12. а) , б) ;
13. а) , б) ;
14. а) , б) ;
15. а) , б) ;
16. а) , б) ;
17. а) , б) ;
18. а) , б) ;
19. а) , б) ;
20. а) , б) ;
21. а) , б) ;
22. а) , б) ;
23. а) , б) ;
24. а) , б) ;
25. а) , б) ;
26. а) , б) ;
27. а) , б) ;
28. а) , б) ;
29. а) , б) ;
30. а) , б) .
Задание 7.14
Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
1.; 5. ; 9. ;
2. ; 6. ; 10. ;
3. ; 7. ; 11. ;
4. ; 8.; 12.;
13. ; 19. ; 25. ;
14. ; 20. ; 26. ;
15. ; 21 ; 27. ;
16. ; 22. ; 28. ;
17. ; 23. ; 29.;
18. ; 24. ; 30..
Задание 7.15
Исследуйте на сходимость несобственные интегралы.
1. а) , б) ,
в) ;
2. а) , б) ,
в) ;
3. а) , б) ,
в) ;
4. а) , б),
в)
5. а) ; б),
в)
6. а) , б)
в)
7. а) , б),
в)
8. а) , б),
в)
9. а), б),
в);
10. а), б),
в)
11. а) , б) ,
в) ;
12. а) , б) ,
в);
13. а) , б) ,
в);
14. а) , б),
в);
15. а) , б) ,
в) ;
16. а) , б) ,
в) ;
17. а) , б) ,
в) ;
18. а) , б) ,
в) ;
19. а) , б) ,
в);
20. а) , б) ,
в) ;
21. а) , б) ,
в) ;
22. а), б),
в) ;
23. а) , б) ,
в) ;
24. а) , б) ,
в) ;
25. а) , б) ,
в) ;
26. а) , б) ,
в) ;
27. а) , б) ,
в) ;
28. а) , б) ,
в) ;
29. а) , б) ,
в) ;
30. а) , б) ,
в) ;
Задание 7.16
Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
1. ; 9. ; 17. ;
2. ; 10. ; 18. ;
3. ; 11. ; 19. ;
4. ; 12. ; 20. ;
5. ; 13. ; 21. ;
6. ; 14. ; 22. ;
7. ; 15. ; 23. ;
8. ; 16. ; 24. ;
25. ; 27. ; 29. ;
26. ; 28. ; 30. .
Задание 7.17
Исследуйте на сходимость несобственные интегралы.
1. а) , б) , в) ;
2. а) , б) , в) ;
3. а) , б) , в) ;
4. а) , б) , в) ;
5. а) , б) , в) ;
6. а) , б) , в) ;
7. а) , б) , в) ;
8. а) , б) , в) ;
9. а) , б) , в) ;
10. а) , б) , в) ;
11. а) , б) , в) ;
12. а) , б) , в) ;
13. а) , б) , в) ;
14. а) , б) , в) ;
15. а) , б) , в) ;
16. а) , б) , в) ;
17. а) , б) , в) ;
18. а) , б) , в) ;
19. а) , б) , в) ;
20. а) , б) , в) ;
21. а) , б) , в) ;
22. а) , б) , в) ;
23. а) , б) , в) ;
24. а) , б) , в) ;
25. а) , б) , в) ;
26. а) , б) , в) ;
27. а) , б) , в) ;
28. а) , б) , в) ;
29. а) , б), в);
30. а) , б) , в) .
Задание 7.18
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.
1. , ; 16. , ;
2. , ; 17. , ;
3. , ; 18. , ;
4. , ; 19. , ;
5. , ; 20. , ;
6. , ; 21. , ;
7. , ; 22. , ;
8. , ; 23. , ;
9. , ; 24. , ;
10. , ; 25. , ;
11. , ; 26. , ;
12. , ; 27. , ;
13. , ; 28. , ;
14. , ; 29. , ;
15. , ; 30. , .
Задание 7.19
Найдите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат указанным уравнением. Сделайте рисунок.
1. = 3sin3; 4. = –3cos2; 7. = 2sin4;
2. = 3cos4; 5. = –2sin3; 8. = –4cos2;
3. = –4sin2; 6. = 4cos3; 9. = –3sin3;
10. = 4sin2; 17. = 3cos2; 24. = –2cos2;
11. = –3sin2; 18. = –4cos4; 25. = 2sin2;
12. = –4sin4; 19. = –3cos3; 26. = –2sin4;
13. = 2sin3; 20. = 4sin4; 27. = 2cos2;
14. = 4cos2; 21. = –2sin2; 28. = 3sin2;
15. = –3cos4; 22. = 4cos4; 29. = –2cos3;
16. = –3sin4; 23. = 2cos4; 30. = –4cos3.
Задание 7.20
Найдите длину дуги кривой, заданной указанными уравнениями.
1. x = e-2tcos3t, y = e-2tsin3t, 0 t 6;
2. x = 4(t – sint), y = 4(1 – cost), 0 t 2;
3. x = 3(cost + tsint), y = 3(sint – tcost), 0 t 3;
4. x = e2tsin4t, y = e2tcos4t, 0 t 8;
5. x = (t2 – 2) sint + 2tcost, y = (2 – t2) cost+2tsint, 0 t ;
6. x = 3(1 – sint), y = 3(t – cost), 0 t 2;
7. x = e4tcos2t, y = e4tsin2t, 0 t 6;
8. x = 8cos3t, y = 8sin3t, 0 t 6;
9. x = 3(2cost – cos2t), y = 3(2sint – sin2t), 0 t 2;
10. x = e3tsin2t, y = e3tcos2t, 0 t 4;
11. x = et(cost + sint), y = et(cost – sint), 0 t 2;
12. x = 4(2cos2t – cos4t), y = 4(2sin2t – sin4t), 4 t 2;
13. x = e-4tcos3t, y = e-4tsin3t, 0 t 12;
14. x = 1 – cos3t, y = t – sin3t, 0 t 6;
15. x = 5(3sin2t – 2sin3t), y = 5(3cos2t – 2cos3t), 0 t 2;
16. x = e-tcos4t, y = e-tsin4t, 0 t 8;
17. x = (t2 – 2)sint + 2tcost, y = (2 – t2)cost + 2tsint, 0 t 2;
18. x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost), 0 t 2;
19. x = 6(4cost – cos4t), y = 6(4sint – sin4t), 0 t 6;
20. x = e-3tsin2t, y = e-3tcos2t, 0 t 2;
21. x = 3(t – cos3t), y = 3(1 – sin3t), 0 t 2;
22. x = 5(cos4t – 2cos2t), y = 5(sin4t – 2sin2t), 0 t 2;
23. x = etsin5t, y = etcos5t, 0 t 10;
24. x = e4tcos2t, y = e4tsin2t, 0 t 6;
25. x = 8sint + 6cost, y = 6sint – 8cost, 0 t 2;
26. x = 7(3sint – sin3t), y = 7(3cost – cos3t), t 3 2;
27. x = 4(1 – cos2t), y = 4(t – sin2t), 0 t 2;
28. x = e-3tcos4t, y = e-3tsin4t, 0 t 8;
29. , , 0 t 2;
30. x = 4(3cos2t – cos6t), y = 4(3sin2t – sin6t), 0 t 2.
Задание 7.21
Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линией, заданной указанным уравнением.
1. , ; 16. , ;
2. , ; 17. , ;
3. , ; 18., ;
4. , ; 19., ;
5. , ; 20. , ;
6. , ; 21. , ;
7. , ; 22., ;
8. , ; 23.; ;
9. , ; 24., ;
10. , ; 25., ;
11. , ; 26., ;
12. , ; 27., ;
13. , ; 28., ;
14. , ; 29., ;
15. , ; 30., .
Задание 7.22
Найдите приближённое значение интеграла с помощью методов:
а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона. При этом возьмите .
1. ; 11. ; 21. ;
2. ; 12. ; 22. ;
3. ; 13. ; 23. ;
4. ; 14. ; 24.
5. ; 15. ; 25. ;
6. ; 16. ; 26. ;
7. ; 17. ; 27. ;
8. ; 18. ; 28. ;
9. ; 19. ; 29. ;
10. ; 20. ; 30. .
PAGE 190
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Unknown