Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Достоверным называют событие, которое произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S либо произойдет, либо нет.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них есть достоверное событие.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другие.
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.
Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после.
В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произвели испытаний) и колеблется возле некоторого постоянного числа — вероятности.
Принцип практической невозможности маловероятных событий. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.
Суммой A+B двух событий A и B называют такое событие, которое состоит в появлении события A или события B, или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
Полной группой событий называют совокупность единственно возможных событий испытания.
Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначено A, то другое принято обозначать . Если вероятность одного из них обозначена p, то вероятность другого принято обозначать q.
Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.
События называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит появления или непоявления другого. (При бросании монеты: выпадения герба в двух испытаниях — независимые события).
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимые.
Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащая либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.
Произведением двух событий A и B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий.
Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
Замечание. Если события независимы в совокупности, то и события независимы в совокупности.
Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .
Условной вероятностью называют вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.
Теорема умножения. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.
Следствие. Вероятность появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили.
Теорема сложения для совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совестных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.
Формулы Бейеса.
Пусть событие A может наступить при наступлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что событие A наступило. Надо поределить, как изменились вероятности гипотез:
Формула Бернулли.
Необходимо вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.
Функция четная
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу
Функция нечетная
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически или графически.
Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице. (События выпадения значений — полная группа событий)
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие значения приняла другая величина.
Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.
Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны произведению каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений произведения XY равны произведению вероятностей множителей.
Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений суммы X+Y для независимых величин равны произведению вероятностей слагаемых, для зависимых величин — произведению вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
Биноминальное распределение.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо проявиться, либо не проявиться. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях.
Возможные значения величины X:
Чтобы найти вероятности можно воспользоваться формулой Бернулли:
Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Распределение Пуассона.
Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Вероятностный смысл математического ожидания.
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла раз значение , раз значение ,…,раз значение , причем .
Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной.
Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Теорема. Математическое ожидание M(X) числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Отклонение имеет следующий закон распределения:
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения дискретной случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия нужна для того, чтобы оценить рассеяние дискретной случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Свойства дисперсии
Теорема. Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события A постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления A в одном испытании.
Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:
Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.
Одинаково распределенные независимые случайные величины.
Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно и одинаковые характеристики.
Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через
Математическое ожидание среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из величин:
Среднее квадратическое среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического каждой из величин:
Моменты распределения
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше чем :
Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают некоторого постоянного числа C), то, как бы мало не было число , вероятность неравенства
Будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Если , то
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико:
Интегральная функция распределения дискретной случайной величины.
Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше x.
Свойства интегральной функции
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале.
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.
Следствие 3. Если возможные значения случайной величины расположены по всей числовой оси, то справедливо:
Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины.
Дифференциальной функцией распределения f(x) называют первую производную от интегральной функции распределения.
Свойства:
Теорема. Вероятность того, что случайная величина примет значение X, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b.
Геометрический смысл: Вероятность того, что случайная величина примет значение X, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Х, кривой распределения f(x), и прямыми x=a и x=b;
Замечание. Если f(x) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции.
Зная дифференциальную функцию распределения f(x) можно найти интегральную функцию F(x) по формуле:
Вероятностный смысл дифференциальной функции распределения.
По определению дифференциальной функции или
.
Разность определяет вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала
Итак, дифференциальная функция распределения определяет плотность распределения вероятности для каждой точки x.
Замечание 1.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала .
Замечание 2.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу приближенно равна площади прямоугольника со сторонами и f(x).
Закон равномерного распределения вероятностей.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, функция принимает постоянное значение, т.е. .
Пусть Х принимает значения от a до b, тогда
Таким образом, закон равномерного распределения можно записать так:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу (a,b) называют определенный интеграл:
Если возможные значения принадлежат всей оси x, то
Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:
Для вычисления дисперсии можно использовать также следующие формулы:
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется как квадратный корень из дисперсии:
Нормальное распределение случайной величины.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.
Где —среднее квадратическое отклонение, a—математическое ожидание.
Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами a и (>0).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и
Интегральная функция общего нормального распределения:
Интегральная функция нормированного распределения:
Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал можно найти, пользуясь функцией Лапласа.
Учитывая, что и в силу симметрии функции относительно 0, получаем
, а значит
Из чего следует, что
Нормальная кривая
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследование графика:
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
Изменение величины параметра a не влияет на форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси x (вправо, если a возрастает и влево, если a убывает).
C возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой. При убывании максимальная ордината нормальной кривой возрастает, а кривая становится более «островершинной».
Вероятность попадания нормальной кривой в заданный интервал.
Если случайная величина X задана дифференциальной функцией, то
Если случайная величина распределена по нормальному закону, то
Введем новую величину . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования: , . Таким образом, имеем:
Вычисление вероятности заданного отклонения.
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. тербуется найти вероятность осуществления неравенства
Правило трех сигм.
Пусть ,тогда
Если t=3, то
Если величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Теорема Ляпунова.
Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.
Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей.
Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения.
Асимметрия положительна, если длинная часть кривой распределения находится справа от математического ожидания. Асимметрия отрицательна, если длинная часть кривой распределения находится слева от математического ожидания.
Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством:
Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, по сравнению с нормальной кривой.
Функция одного случайного аргумента.
Если каждому значению случайной величины X соответствует единственное значение случайной величины Y, то Y называют функцией одного случайного аргумента X.
Нахождение распределения функции по известному распределению аргумента.
X — дискретная случайная величина.
Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.
Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
X — непрерывная случайная величина.
Если дифференцируемая, строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то дифференциальная функция случайной величины Y находится по равенству:
Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
X — дискретная случайная величина.
X — непрерывная случайная величина.
Функция двух случайных аргументов.
Если каждой паре случайных аргументов X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то говорят, что задана функция двух случайных аргументов:
Распределение
Пусть — независимые нормально распределенные случайные величины (). Тогда сумма квадратов этих величин
распределена по закону с степенями свободы.
Функция распределения:
, где
Распределение Стьюдента
Пусть Z — нормальная случайная величина, причем , , a V — независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина
имеет распределение, которое называют t-распределением, или распределением Стьюдента с k степенями свободы.
Показательное распределение
Показательным называют распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной функцией
Где — постоянная положительная величина.
Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.
Найдем интегральную функцию показательного распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
Числовые характеристики показательного распределения.
Пусть непрерывная случайная величина X, распределена по показательному закону:
Найдем математическое ожидание
Получаем, что
Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра.
Найдем дисперсию
Получаем, что
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Система двух случайных величин
Будем обозначать через двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой). Обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно образуют систему двух случайных величин.
Различают дискретные (составляющие дискретны) и непрерывные (составляющие непрерывны) многомерные системы случайных величин.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины обычно записывают в виде таблицы:
Зная закон распределения двумерной случайной величины можно найти закон распределения каждой из составляющих. Например
Интегральная функция распределения двумерной случайной величины.
Свойства интегральной функции распределения:
1.
2.—неубывающая функция по каждому аргументу
3.Имеют место следующие отношения:
4.Если одна составляющая равна , то интегральная функция становится функцией другой составляющей:
Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
Дифференциальная функция непрерывной двумерной случайной величины
Нахождение интегральной функции по заданной дифференциальной
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
Свойства дифференциальной функции двумерной случайной величины
1.
2.
Отыскание дифференциальных функций составляющих двумерной случайной величины.
Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин.
Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину , пусть возможные значения составляющих таковы:
Предположим, что в результате испытания случайная величина Y приняла значение , тогда X может принять одно из своих возможных значений. Обозначим условную вероятность того, что X примет значение через
Условным распределением случайной величины X при условии, что Y приняла значение называют совокупность условных вероятностей
Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины можно вычислить условные законы распределения составляющих:
Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
Условной дифференциальной функцией составляющей X при условии, что , называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей Y.
Условное математическое ожидание
Условным математическим ожиданием случайной величины Y при называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности.
Для непрерывных величин:
Зависимые и независимые случайные величины
Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы была равна произведению интегральных функций случайных величин X и Y.
Следствие. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы была равна произведению дифференциальных функций случайных величин X и Y.
Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения их отклонений.
Для дискретных величин
Для непрерывных величин
Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0
Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.
8
PAGE 11