Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 16
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекция 1.Преобразование Лапласа
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.
3 Свойства преобразования Лапласа.
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
Пусть – комплекснозначная функция действительного переменного , определенная на интервале .
Определение 1. Любая комплекснозначная функция называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
1) при ;
2) при функция кусочно-непрерывна, т.е. на любом конечном участке оси имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;
3) при функция имеет ограниченную степень роста, т. е. существует такое положительное постоянное и такое неотрицательное постоянное , что для всех выполняется неравенство , , . Число называется показателем роста функции .
Свойства оригиналов
1. Если — оригинал с показателем роста , то является оригиналом с тем же показателем роста.
2. Если , , , – оригиналы с показателями роста , , , , то функция
,
где , , , – постоянные (действительные или комплексные), является также оригиналом с показателем роста , равным наибольшему из чисел , , , :
=.
3. Если – оригинал с показателем роста , то являются оригиналами следующие функции:
– функция , , имеющая показатель роста, равный ;
– функция ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен
– функция , , имеющая показатель роста, равный ;
– функция , ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен .
4. Если — оригинал с показателем роста , то функция на интервале является непрерывным оригиналом с показателем роста .
Пример. Функция
называется единичной функцией Хевисайда. Функция является оригиналом с показателем роста .
Пусть функция определена на интервале ; и удовлетворяет условиям 2) и 3) определения 1, но при . Тогда функция
является оригиналом.
Пример. Найти показатель роста функции , где – действительное или комплексное число.
Решение. Если , то для функции показатель ее роста . Если , то функция является ограниченной и .
Определение 2. Изображением (интегралом Лапласа) оригинала называется несобственный интеграл
, зависящий от комплексного параметра .
Определение 3. Преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению .
Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде .
Пусть функция является оригиналом с показателем роста .
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.
Теорема 1 (существование изображения). Для любого оригинала изображение существует в полуплоскости , где – показатель роста функции, причем функция является аналитической в этой полуплоскости.
►Пусть , произвольная точка полуплоскости . Учитывая, что
, ,
,
имеем
.
Таким образом,
.
Отсюда на основании признака сравнения сходимости несобственных интегралов следует абсолютная сходимость интеграла Лапласа. Значит, изображение существует и однозначно в полуплоскости .◄
Теорема 2 (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции , то .
► Справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из неравенства .◄
Теорема 3 (единственность оригинала). Если функции и совпадают, то совпадают между собой и соответствующие оригиналы и во всех точках, в которых они непрерывны.
Без доказательства.
Пример. Найти изображения функций
1) единичной функцией Хевисайда
2) , где – действительное или комплексное число.
Решение. 1. По формуле при находим
.
Итак, .
2. По формуле при имеем
.
Итак, при .
Замечание. Функция является аналитической не только в полуплоскости , но и на всей комплексной плоскости, кроме точки . Такая особенность наблюдается и для многих изображений.
3. Свойства преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами.
1 (линейность). Линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений, т.е. если и и , – постоянные числа, то
.
► Находим изображение для функции :
. ◄
2 (подобие). Если и , то
.
► Находим изображение для функции
.◄
3 (запаздывание). Если и , то .
► Находим изображение для функции
.◄
Графики функций и имеют одинаковый вид, но график сдвинут на единиц вправо. Это означает, что процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время относительно процесса, описываемого функцией (рис.1).
Рис.1.
4 (опережение). Если , то
.
► Находим изображение для функции
. ◄
Графики функций и изображены на рисунке 2.
Рис.2.
5 (изображение периодической функции). Если оригинал имеет период , т.е. , то она может быть представлена в виде сходящегося ряда
, где
Тогда .
► На основании теоремы запаздывания, имеем
,
,
,
,
где – изображение функции на начальном периоде.
Поэтому при достаточно больших ,
◄.
Пример. Найти изображение -периодичной функции
при , график которой представлен на рисунке 3.
Рис.3.
Решение. Учитывая предыдущий пример, имеем
.
6 (затухание (смещение)). Если и – постоянное число, то
.
► Находим изображение для функции
при .◄
7 (дифференцирование оригинала). Если и функции , ,…, являются оригиналами, то
,
,
,
,
.
► Находим изображение для функции
.
Находим изображение для функции , используя пункт 1:
.
Аналогично находятся изображения производных 3-го, 4-го и т.д. порядков.◄
8 (дифференцирование изображения). Если , то
,
,т
,
.
► Изображение согласно теореме 1 является аналитической функцией в полуплоскости . Следовательно, у нее существуют производные любого порядка. Функции являются оригиналами с показателями роста . Поэтому , где .
Тогда получаем , где , .
Так как интеграл существует, несобственный интеграл равномерно сходится относительно в полуплоскости . Тогда возможно дифференцирование под знаком несобственных интегралов и
,
и так далее. ◄
9 (изображение оригинала (интегрирование оригинала). Если , то
.
► По свойству 4 оригиналов имеем, что функция является оригиналом с показателем роста и .
Так как , то также оригинал с показателем роста . Пусть . Используя свойство изображения производной оригинала, имеем . Так как , то .
Отсюда
или , при .◄
Следствие. Пусть – непрерывный оригинал на интервале , и существует несобственный интеграл . Тогда имеет место соотношение .
10 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то
.
► Имеем
.◄
Следствие. Пусть
1) – оригинал непрерывный на ,
2) ,
3) несобственный интеграл сходится.
Тогда имеет место равенство .
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение оригинала и перечислите их свойства.
2. Что называется изображением? Перечислите свойства изображений.
3. Дайте определение преобразования Лапласа. Перечислите свойства преобразования Лапласа.
Лекция 2. Обратное преобразование Лапласа.
1 Теоремы разложения.
2 Определение обратного преобразования Лапласа. Формула Римана-Меллина.
3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
4 Таблица оригиналов и их изображений.
1 Теоремы разложения.
Теорема 1 (умножение изображений). Если , , и , , то
, .
► Шаг 1. Докажем, что функция является оригиналом.
Условия 1) и 2) очевидны. Возьмем и .
Тогда
и .
Следовательно,
.
Так как при любом малом справедливо , то функция ограничена на интервале , т.е. . Отсюда .
Тогда . При имеем, что функция имеет ограниченный рост, показатель которого равен .
Шаг 2. Докажем формулу .
Используя преобразование Лапласа, можно записать
.
Область интегрирования данного двойного интеграла определяется условиями и .
Изменяя порядок интегрирования и полагая (рис.1),
Рис.1.
получим
.◄
Определение 1. Функция вида называется сверткой функций и .
Обозначается: , т.е.
.
Положим . Тогда
.
Видно, что свертка обладает свойством коммутативности.
Учитывая понятие свертки, теорему умножения можно записать в виде
.
Следствие (формула Дюамеля). Пусть и – оригиналы, , , и , , причем также является оригиналом. Тогда имеет место равенство
,
где .
►Запишем произведение в виде
.
Отсюда .
Первое слагаемое есть произведение изображений, соответствующих оригиналам и . Используя свойства умножения изображений и линейности, можно записать
.
Тогда.◄
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению .
Решение. Поскольку
,
, ,
то на основании формулы Дюамеля имеем
.
Теорема 2 (1-я теорема разложения). Если функция в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана
,
то функция , , является оригиналом, имеющим изображение :
.
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал , если .
Решение. Запишем разложение в ряд Лорана функции данной в окрестности точки :
.
Следовательно,
при .
Теорема 3 (2-я теорема разложения). Если – рациональная правильная несократимая дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни , , , , то функция
является оригиналом, имеющим изображение .
► Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:
,
где , , – неопределенные коэффициенты.
Для определения коэффициента умножим обе части этого разложения на :
.
Переходя в этом равенстве к пределу при , получим
.
Аналогично находятся коэффициенты , .
Подставляя найденные значения в разложение функции , имеем
.
Известно, что , . На основании свойства линейности получим
. ◄
Замечания. 1. Дробь должна быть правильной. В противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения .
2. Видно, что коэффициенты , определяются как вычеты комплексной функции в простых полюсах
.
Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.
Теорема 4 (3-я теорема разложения). Если – рациональная правильная несократимая дробь, , , , – простые или кратные полюсы знаменателя , то оригинал, соответствующий изображению , определяется формулой
.
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал функции .
Решение. Функция правильная рациональная несократимая дробь. Корни знаменателя есть , , . Применим 2-ю теорему разложения. Очевидно, что .
Тогда для имеем
,
для имеем
,
для имеем
.
В итоге получим
.
2 Формула Римана-Меллина .
Теорема 5 (формула Римана-Меллина). Пусть функция является оригиналом и имеет показатель роста , а – ее изображением. Тогда в любой точке , где оригинал непрерывен, справедлива формула Римана-Меллина
,
причем интегрирование производится вдоль любой прямой, интеграл понимается в смысле главного значения.
Без доказательства.
Определение 2. Формула Римана-Меллина
является обратной к формуле и называется обратным преобразованием Лапласа.
Теорема 6. Пусть – функция комплексного переменного , обладающая следующими свойствами:
1) функция , первоначально заданная в полуплоскости и удовлетворяющая в ней условиям:
а) – аналитическая функция в полуплоскости ,
б) в области функция стремится к нулю при равномерно относительно ;
в) для всех , , сходится несобственный интеграл
,
где – некоторое положительное число, может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость ;
2) аналитическое продолжение функции в полуплоскость удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда имеет место следующее соотношение
,
где и – особые точки (полюсы, существенно особые точки) функции, являющейся аналитическим продолжением в полуплоскость , .
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал функции .
Решение. Аналитическим продолжением функции в левую полуплоскость является функция , удовлетворяющая условиям леммы Жордана и имеющая две особые точки – полюсы первого порядка и . Поэтому при и имеем
.
3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Постановка задачи: Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
,
удовлетворяющее начальным условиям Коши
, , , ,
где , ,, – заданные числа, функция вместе с ее рассматриваемыми производными и функция являются оригиналами.
Решение. Пусть , . Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем от оригиналов к изображениям:
Разрешая это операторное уравнение относительно , получим:
.
Положим
,
.
Тогда .
Полученное решение называется операторным решением искомого дифференциального уравнения.
Определяя оригинал , соответствующий найденному изображению , получаем искомое решение.
Замечания. 1.Полученное решение во многих случаях оказывается справедливым при всех , а не только при .
2. При нулевых начальных условиях решение операторного уравнения примет вид
.
Пример. Решить уравнение при начальных условиях , , .
Решение. Имеем . Тогда
,
,
.
Подставляя в дифференциальное уравнение и преобразовывая, получим
.
По таблице оригиналов находим
, , .
Тогда получаем
.
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Постановка задачи. Требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
,
,
,
.
удовлетворяющее начальным условиям Коши
, , , ,
где , ,, – заданные числа, функции , , , вместе со своими первыми производными и функции , , , являются оригиналами.
Решение. Пусть , , . Применяя преобразование Лапласа к каждому уравнению системы и учитывая правила дифференцирования оригинала, получим
,
,
,
,
или
,
,
,
.
Данная система называется системой операторных уравнений.
Пусть
есть определитель системы операторных уравнений и – алгебраические дополнения элементов, находящихся на пересечении -1 строки и -го столбца. Если определитель , то применяя правило Крамера, получим
, .
Для нахождения решения исходной системы определяются оригиналы, соответствующие полученным изображениям.
Если определитель , то система операторных уравнений решения не имеет, следовательно, и исходная система не имеет решения.
Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений
,
,
удовлетворяющее начальным условиям и .
Решение. Пусть и . Применяя преобразование Лапласа к данной системе, получим систему операторных уравнений
Определитель данной системы
.
Тогда решение относительно изображений есть
,
.
Переходя от найденных изображений к оригиналам, получим при
,
.
При помощи операционного исчисления можно находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнениями в частных производных, уравнений в конечных разностях, проводить суммирование рядов. Вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.
4 Таблица оригиналов и их изображений
В таблице 1 приведены изображения некоторых функций (оригиналов).
Таблица 1
|
№ |
Оригинал |
Изображение |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
||
|
3 |
||
|
4 |
||
|
5 |
||
|
6 |
||
|
7 |
||
|
8 |
||
|
9 |
||
|
10 |
||
|
11 |
||
|
12 |
, – целое число |
|
|
13 |
||
|
14 |
||
|
15 |
||
|
16 |
||
|
17 |
||
|
18 |
||
|
19 |
||
|
20 |
||
|
21 |
||
|
22 |
||
|
23 |
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте и докажите формулу умножения изображений.
2. Что называется сверткой функций?
3. Запишите формулу Дюамеля.
4. В чем суть первой теоремы разложения?
5. Сформулируйте и докажите вторую теорему разложения.
6. В чем суть третьей теоремы разложения?
7. Запишите формулу Римана-Меллина?
8. Что называется обратным преобразованием Лапласа?
9. Как связаны между собой преобразование Лапласа и преобразование Фурье?
ЛИТЕРАТУРА