Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель изучения дисциплины – формирование теоретических знаний и практических навыков при сборе, обработке и анализе статистических данных.
Задачи дисциплины:
изучение теоретических основ о методах, формах, принципах статистического исследования общественных явлений;
освоение методов статистического анализа;
получение навыков и умений по расчету статистических показателей.
Предметом изучения дисциплины являются следующие объекты:
количественная сторона массовых общественных явлений и процессов и закономерностей их развития в конкретных условиях места и времени
общие принципы и методы статистического исследования общественных явлений, наиболее общие показатели статистики.
статистическая информация, отражающая тенденции развития, взаимосвязи и взаимообусловленности протекающих социально-экономических процессов.
Статистика – это наука, которая изучает количественную сторону массовых социально-экономических явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, а также количественное выражение закономерностей развития процессов в конкретных условиях места и времени.
Предмет статистики — количественная сторона массовых социально-экономических явлений и процессов.
Методы статистики — метод массовых наблюдений, метод группировок, методы анализа с помощью обобщающих показателей.
Статистическая совокупность — это множество подвергающихся статистическому исследованию объектов или явлений, объединенных общими признаками, из которых один или несколько признаков не варьируют.
Единица совокупности — индивидуальный составной элемент статистической совокупности, являющийся носителем изучаемых признаков.
Признак — это объективная характеристика единицы статистической совокупности, характерная черта или свойство, которое может быть определено или измерено.
Вариант — возможное значение, которое может принимать признак.
Вариация — изменчивость, многообразие значений (вариантов) признака.
Объем совокупности — общее число единиц, образующих статистическую совокупность.
Объем признака — суммарное значение признака по всем единицам совокупности.
Признаки по форме выражения бывают количественные (дискретные и непрерывные) и качественные (атрибутивные, порядковые, альтернативные).
Статистический показатель представляет собой количественную характеристику социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности. В отличие от признака статистический показатель получается расчетным путем. Статистические показатели по форме выражения разделяются на абсолютные, относительные и средние. По временному фактору показатели бывают моментные (по состоянию на дату) и интервальные (за период).
Основные отрасли статистики — теория статистики, математическая статистика, экономическая статистика (микро- и макро-), социальная статистика, отраслевые статистики (промышленности, сельского хозяйства, капитального строительства, транспорта и связи, торговли…).
Центральным органом государственной статистики является Федеральная служба государственной статистики РФ (Росстат). В регионах имеются территориальные органы Росстата.
Статистическое наблюдение – первый этап статистического исследования. Результат его является массив исходных данных об изучаемом объекте (первичная информация). Эта информация не публикуется.
Статистическое наблюдение — это научно организованный, планомерный и систематический процесс сбора массовых сведений о социально-экономических явлениях и процессах путем регистрации заранее намеченных существенных признаков. Требования, предъявляемые к статистической информации — достоверность и сопоставимость данных.
Программно-методологические вопросы наблюдения — цели и задачи, объект, единицы наблюдения, единица совокупности, программа наблюдения, статистический формуляр и инструкции.
Организационные вопросы наблюдения — органы наблюдения, место и время проведения наблюдения, критический момент времени наблюдения, подготовка наблюдения и меры по обеспечению достоверности данных.
Организационные формы статистического наблюдения — отчетность (основная форма) и специально организованное наблюдение.
Виды наблюдения по охвату единиц совокупности — сплошное, несплошное (выборочное, основного массива, монографическое).
Виды наблюдения по временному фактору — текущее (непрерывное), периодическое и единовременное.
Виды наблюдения в зависимости о источника сведений — непосредственное, документальное, опрос.
Способы наблюдения — отчётный, экспедиционный, саморегистрации, анкетный, корреспондентский, явочный.
Статистическая сводка – второй этап статистического исследования. Результат проведения сводки и группировки – массив сгруппированных данных об изучаемом объекте (вторичная информация). Эти данные публикуются.
Статистическая сводка — это первичная обработка статистических данных с целью получения обобщенных характеристик изучаемого явления по ряду существенных для него признаков.
Простая сводка заключается в простом подсчете общих итогов, сложная — в группировке данных в группы по одному или нескольким признакам, подсчете итогов по ним и представлении результатов в виде статистических таблиц.
Статистическая группировка — это разбиение единиц изучаемой совокупности на качественно однородные группы по значениям одного или нескольких признаков.
Классификация — это группировка явлений, каких либо объектов по относительно однообразным и устойчивым признакам. Классификации используются в качестве национальных и международных стандартов.
Задачи, решаемые с помощью метода группировок:
1) Выделение социально-экономических типов, классов явлений (в неоднородной совокупности).
2) Изучение структуры явления и структурных сдвигов (в однородной совокупности).
3) Выявление связи и зависимости между явлениями.
Виды группировок по характеру решаемых задач — типологические, структурные и аналитические. Виды группировок по способу построения — простые (один признак) и комбинационные (2–3 признака).
Число групп зависит от группировочного признака (количественный или атрибутивный), от объема совокупности и от степени вариации признака.
Для количественного признака можно использовать формулу Стерджесса:
,
где n — число групп; N — число единиц совокупности.
Интервал – это значения количественного признака, лежащие в определенных границах. Интервал имеет свою длину (h), верхнюю и нижнюю границы (закрытые, например 30–50) или хотя бы одну из них (открытые, например до 50). По длине интервалы бывают равные и неравные.
Величина равного интервала определяется по следующей формуле:
Полученную величину округляют в большую сторону. Она является шагом интервала.
Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности по определенному признаку на однородные группы.
В зависимости от группировочного признака бывают атрибутивные (по качественному признаку) и вариационные (по количественному признаку) ряды.
Вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Варианты (х) — отдельные значения признака.
Частоты (f) — это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения.
Частости — это отношение численности группы к общей численности, выраженное в относительных единицах или в процентах (ω = f /∑f)
Абсолютная величина – это показатель, выражающие размеры (объемы, уровни) социально-экономических явлений в единицах меры, веса, объема, протяженности, площади, стоимости и т.д. Абсолютные статистические величины — это числа именованные. Они всегда имеют определенную размерность, определенные единицы измерения.
Единицы измерения абсолютных величин — натуральные (условно-натуральные), стоимостные или трудовые (чел.-час, чел.-день).
Условно-натуральные единицы применяются для сведения воедино нескольких разновидностей одной и той же продукции. Одну из них принимают за эталон, а другие пересчитывают с помощью специальных коэффициентов в единицы меры этого эталона (усл.шт, усл.т, усл.банки…)
Относительными величинами называются статистические показатели, выражающие количественные соотношения между явлениями общественной жизни. Они получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую. Величина, с которой производится сравнение (знаменатель дроби), обычно называется основанием, базой сравнения, или базисной величиной, числитель — сравниваемая величина, ее называют также текущей, или отчетной величиной
Формы выражения относительных величин:
Виды относительных величин:
1) относительная величина планового задания
ОВПЗ = Уплан1 / Уфакт0
2) относительная величина выполнения плана
ОВВП = Уфакт1 / Уплан1
3) относительная величина динамики
ОВД = Уi / У0 =ОВПЗ · ОВВП
4) относительная величина структуры
ОВС = fi / ∑fi
5) относительная величина координации
ОВК = fi / fj
6) относительная величина сравнения
ОВСр = УА / УВ
7) относительная величина интенсивности
ОВИ = УА / Среда распространения УА
Пример 4.1. Численность населения страны на начало 2012 г. составила 142,7 млн. чел., в т.ч. экономически активное население – 75,2 млн. чел. Население в возрасте моложе трудоспособного из общей численности – 22,8 млн. чел., трудоспособном – 88,2 млн. чел. Численность мужчин – 65,2 млн. чел., женщин – 77,5 млн. чел. Определить показатели структуры и координации.
Решение: Структура населения по возрасту
22,8/142,7 = 16,0% – моложе трудоспособного возраста
88,2/142,7 = 61,8% – трудоспособного возраста
(142,7-22,8-88,2)/142,7= 22,2% – старше трудоспособного возраста.
Структура населения по экономической активности:
75,2/142,7 = 52,7% — экономически активное население (занятые и безработные)
(142,7-75,2)/124,7 = 47,3% — экономически неактивное население
Показатели координации:
22,8/88,2 = 0,259 или 259 чел. моложе трудоспособного возраста на 1000 чел. трудоспособного возраста.
77,5/65,2 = 1,188 или 1188 женщин на 1000 мужчин
Средняя величина – это обобщающий показатель, который дает количественную характеристику признака в статистической совокупности в условиях конкретного места и времени. Она отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности
Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В неоднородной совокупности общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, рассчитанными по однородным группам.
Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение (ИСС) для расчета средней. Выбор вида средних зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя.
|
ИСС = |
Суммарное значение или объем осредняемого признака |
|
Число единиц или объем совокупности |
Например, расчет средней зарплаты ведется по логической формуле:
|
Зср = |
Фонд зарплаты |
|
Число работников |
Может быть известен числитель или знаменатель формулы. От этого и зависит выбор вида средней.
Виды средних величин:
1) Степенные (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая и др.)
2) Структурные (мода, медиана, кварти́ли, деци́ли и др.).
Элементы степенной средней:
Варианта (х) — значения варьирующего количественного признака
Число единиц (n) — количество вариант в совокупности.
Веса (частоты f или частости ω) — показатели повторяемости вариант в совокупности.
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) — эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным
Средняя арифметическая взвешенная — эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по сгруппированным данным и неизвестен числитель в логической формуле:
Веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы).
При расчете средней по интервальному вариационному ряду используют середину интервала. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего).
Пример 5.1. Объем производства и себестоимость продукции, производимой тремя предприятиями, характеризуются следующими данными:
|
Предприятие |
Себестоимость руб./шт. |
Объем производства, тыс.шт. |
|
1 |
220 |
67 |
|
2 |
270 |
35 |
|
3 |
230 |
59 |
|
Итого |
161 |
Определить среднюю себестоимость одного изделия.
Решение: составим логическую формула для расчета
|
Сср = |
Общие затраты на производство |
|
Количество изделий |
Неизвестен числитель в логической формуле.
|
Сср = |
220·67+270·35+230·59 |
= 234,53 руб/шт. |
|
161 |
Пример 5.2. Имеются данные о распределении выданных банком кредитов по их размеру
|
Сумма кредита, тыс.руб. |
Число кредитов |
|
до 200 |
3 |
|
200–300 |
11 |
|
300-500 |
16 |
|
500-800 |
18 |
|
800-1200 |
7 |
|
1200 и более |
5 |
|
Итого |
60 |
Определить средний размер кредита.
Решение: составим логическую формула для расчета
|
Кср = |
Сумма выданных кредитов |
|
Число кредитов |
Составим рабочую таблицу:
|
Сумма кредита, тыс.руб. |
Середина интервала (х) |
Число кредитов (f) |
x·f (сумма кредитов) |
|
до 200 |
150 |
3 |
450 |
|
200–300 |
250 |
11 |
2750 |
|
300-500 |
400 |
16 |
6400 |
|
500-800 |
650 |
18 |
11700 |
|
800-1200 |
1000 |
7 |
7000 |
|
1200 и более |
1400 |
5 |
7000 |
|
Итого |
60 |
35300 |
Середины интервалов находится следующим образом:
для закрытого интервала — средняя арифметическая простая, например
x4=(500+800)/2 = 650
для открытого интервала
Кср = 35300 / 60 = 588,3 тыс.руб.
Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель:
,
где wi = xi fi
Пример 5.3. Имеются данные о результаты биржевых торгов по акциям эмитента.
|
Биржа |
Средний курс акции, руб/шт. |
Объём сделок, млн.руб. |
|
1 |
461 |
35,6 |
|
2 |
455 |
12,8 |
|
3 |
459 |
29,3 |
Определить средний курс акции.
Решение: составим логическую формула для расчета
|
Кср = |
Общий объем сделок (руб.) |
|
Число проданных акций (шт.) |
Числитель мы получим простым суммированием объемов сделок по биржам. Надо найти знаменатель.
Средняя гармоническая невзвешенная (простая)
Пример 5.4. Упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 20 мин, второй — 30 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?
Решение:
Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов. Время можно взять любое (480 мин, 60 мин.)
Средняя геометрическая невзвешенная:
где k — количество осредняемых величин;
Средняя геометрическая взвешенная:
где fi — вес i-гo варианта.
Средняя квадратическая невзвешенная
Средняя квадратическая взвешенная:
Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Моду можно определить для любого количественного и качественного признака. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака.
Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. Медиану можно определить только для порядкового качественного признака. Медиана выполняет функции средней для неоднородной совокупности.
Пример 5.5. Определить моду и медиану по несгруппированным данным.
Даны значения признака группы работников (стаж работы, лет):
5, 2, 4, 3, 4, 2, 2.
Решение: чаще всего встречается стаж 2 года, следовательно Мо=2 года.
Для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочивание):
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. В середине ряда — цифра 3, это и есть медиана.
Если количество значений четное: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 9
Медиана определяется как средняя из двух центральных значений (3 и 4)
Ме = (3+4)/2 = 3,5 года.
Отыскиваем группу, в которой находится наибольшее число единиц (с максимальной частотой или частостью). Значение варианта признака (х) в этой группе и есть мода.
Для определения медианного значения признака находят номер медианной единицы ряда (№Me):
где n — объем совокупности.
Определяют, в какой группе находятся единицы с этим порядковым номером. Для этого рассчитывают накопленные частоты (или частости). Значение варианта признака (х) в этой группе и есть медиана.
Пример 5.6. Имеются данные о цене молока по группе магазинов.
|
Цена, руб./л (х) |
Число магазинов (f) |
Накопленная частота (fн) |
|
25 |
3 |
3 |
|
26 |
18 |
21 |
|
27 |
25 |
46 |
|
28 |
31 |
77 |
|
29 |
35 |
|
|
30 |
8 |
|
|
Итого |
120 |
Наибольшая группа имеет численность f=35. Следовательно , Мо=29 руб. — это цена в данной группе.
Для нахождения медианы находят номер медианной единицы ряда
Полученное дробное значение указывает, что точная середина находится между 60-й и 61-ой единицами. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их также нет ни во второй группе (3 + 18 = 21),ни в третьей группе (3 + 18 + 25 = 46)
Следовательно, 60-е и 61-е предприятия находятся в четвертой группе (3 + 18 + 25 + 31 = 77), а значит, медианой является цена 28 руб.
Определение моды и медианы требует проведения расчетов на основе следующих формул:
,
где хo — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту в случае равных интервалов); h — величина модального интервала; fMo — частота модального интервала; fMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному; fMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.
,
где х0 — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); h — величина медианного интервала; SМe-1 — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; fMe — частота медианного интервала.
Пример 5.7. Имеются данные о распределении рабочих по зарплате
|
Зарплата, тыс.руб. |
Число рабочих, % к итогу (ω) |
ω накопленная, % |
|
до 10 |
13 |
13 |
|
10–20 |
20 |
33 |
|
20–30 |
25 |
58 |
|
30–40 |
28 |
|
|
40 и более |
14 |
|
|
Итого |
100 |
Определить моду и медиану.
Сначала определяем модальный интервал по наибольшей частоте (в данном случае частости). Наибольшее число рабочих 28% получают зарплату в интервале 30–40 тыс.руб., который и является модальным интервалом:
Мо = 30+10 = 31,8 тыс.руб. .
Большинство рабочих получают зарплату 31,8 тыс.руб.
Определяем медианный интервал. Медианным интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота (или частость) которого равна или превышает половину суммы частот. Для этого подсчитаем сумму частостей – 100%, половина суммы (100:2) = 50%, то есть кумулятивная частость должна быть не меньше 50%.
Образуем кумулятивную частоту, накапливая частоты от первого интервала (13+20+25=58). Значит, медианный интервал будет от 20 до 30. Находим медиану:
Ме = 20+10 = 26,8 тыс.руб. .
Следовательно, половина рабочих имеют зарплату до 26,8 тыс.руб., а половина выше 26,8 тыс.руб.
Вариация – это колеблемость, многообразие, изменяемость величины (вариантов) признака у отдельных единиц совокупности
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные.
К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане). Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
Размах вариации (R) — это разность между наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin) значениями варьирующего признака:
Среднее линейное отклонение () — вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант xi отx:
(простое);
(взвешенное)
Дисперсия (2) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):
(простая);
(взвешенная)
Второй способ расчёта дисперсии:
где — средняя из квадратов индивидуальных значений
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ():
Среднее квадратическое отклонение показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от среднего значения.
Исчисление среднего квадратического отклонения для явно несимметричных распределений не имеет смысла.
Коэффициент осцилляции (VR ):
Линейный коэффициент вариации ():
Коэффициент вариации (V):
Наиболее часто в практических расчетах применяется коэффициент вариации. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).
Альтернативный признак – это признак, которым обладает часть единиц и не обладает другая часть единиц совокупности.
Дисперсия равна произведению доли (р) на дополняющее эту долю до единицы число (q):
.
где p – доля единиц, обладающих признаком;
q – доля единиц, не обладающих признаком.
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р = 0,5.
Пример 6.1. Из 200 студентов факультета — 60 чел. – неуспевающие.
Доля неуспевающих студентов равна p = 60 / 200 = 0,3
Доля успевающих студентов равна q = 1 – 0,3 = 0,7
Дисперсия доли равна = 0,3 · 0,7 = 0,21
Пример 6.2. Расчет по несгруппированным данным. Имеются данные о стаже 10 работников — 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 12. Рассчитать показатели вариации.
Составим рабочую таблицу для расчёта.
|
Номер работник |
Стаж, лет (хi) |
x2 |
|||
|
1 |
1 |
-4 |
4 |
16 |
1 |
|
2 |
2 |
-3 |
3 |
9 |
4 |
|
3 |
3 |
-2 |
2 |
4 |
9 |
|
4 |
3 |
-2 |
2 |
4 |
9 |
|
5 |
4 |
-1 |
1 |
1 |
16 |
|
6 |
4 |
-1 |
1 |
1 |
16 |
|
7 |
5 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
8 |
7 |
2 |
2 |
4 |
49 |
|
9 |
9 |
4 |
4 |
16 |
81 |
|
10 |
12 |
7 |
7 |
49 |
144 |
|
Итого |
50 |
0 |
26 |
104 |
354 |
Средний стаж равен лет.
Размах вариации R=12–1= 11 лет.
Далее рассчитываем отклонения от средней , и
Среднее линейное отклонение лет.
Дисперсия
Средняя из квадратов
Второй способ расчёта дисперсии = 35,4 – 52 = 10,4
Среднее квадратическое отклонение года
Коэффициент вариации V = 3,22 / 5 = 0,645 или 64,5%
Линейный коэффициент вариации : Vd= 2,6 / 5 = 0,520 или 52,0%.
Пример 6.3. Расчёт по интервальному вариационному ряду.
Имеются данные о распределении рабочих по зарплате
|
Зарплата, тыс.руб. |
Число рабочих, чел.(f) |
|
до 10 |
13 |
|
10–20 |
20 |
|
20–30 |
25 |
|
30–40 |
28 |
|
40 и более |
14 |
|
Итого |
100 |
Рассчитать показатели вариации.
Решение: Составим рабочую таблицу для расчёта.
|
Зарплата |
f |
Середина интервала (х) |
xi·fi |
||||
|
до 10 |
13 |
5 |
65 |
-21 |
21 |
273 |
5733 |
|
10–20 |
20 |
15 |
300 |
-11 |
11 |
220 |
2420 |
|
20–30 |
25 |
25 |
625 |
-1 |
1 |
25 |
25 |
|
30–40 |
28 |
35 |
980 |
9 |
9 |
252 |
2268 |
|
40 и более |
14 |
45 |
630 |
19 |
19 |
266 |
5054 |
|
Итого |
100 |
|
2600 |
|
|
1036 |
15500 |
Средняя зарплата тыс.руб.
Среднее линейное отклонение тыс.руб.
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение тыс.руб.
Коэффициент вариации V = 12,45 / 26 = 0,479 или 47,9%
Линейный коэффициент вариации : Vd= 10,36 / 26 = 0,398 или 39,8%.
Общая дисперсия 2 измеряет вариацию результативного признака (y) во всей совокупности под влиянием всех факторов (x1, x2, x3…) обусловивших эту вариацию.
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора (x), положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле
,
где yi и ni — соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.
Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:
Средняя из внутригрупповых дисперсий ():
Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсией:
В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации ():
.
Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака обусловленную вариацией группировочного признака.
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения ():
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если = 0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.
Пример 6.4. Имеются данные о группе рабочих.
|
Число обслуживаемых станков (х) |
Число рабочих (ni) |
Средняя зарплата |
Дисперсия зарплаты в группе |
|
1 |
37 |
28 |
5,8 |
|
2 |
42 |
35 |
6,8 |
|
3 |
21 |
44 |
9,3 |
|
итого |
100 |
Оценить силу связи между признаками.
Решение: Даны групповые средние и внутригрупповые дисперсии.
Определим среднюю общую используя групповые средние
тыс.руб.
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Межгрупповая дисперсия
Общая дисперсия 2 =6,955 + 34,65 = 41,605
Эмпирический коэффициент детерминации
= 34,65 / 41,605 = 0,833
Эмпирическое корреляционное отношение
Такое значение (близко к 1) характеризует очень сильную связь между числом обслуживаемых станков и средней зарплатой.
Ряд динамики (динамический ряд, временной ряд, time series) – это последовательность значений статистического показателя (признака), расположенная в хронологическом порядке.
Основные элементы ряда динамики:
t — значения времени
у — уровни ряда (значения показателей)
Виды рядов динамики в зависимости от времени — моментные и интервальные.
Моментный ряд динамики характеризует состояние явления на определенный момент (дату) времени. Интервальный ряд динамики характеризует какие-либо итоги за определенный промежуток времени. Интервалами в ряду динамики могут быть различные периоды времени (день, неделя, месяц, квартал, год…).
Уровни ряда могут быть представлены абсолютными, относительными и средними величинами.
Уровни интервального ряда динамики абсолютных величин можно суммировать как не содержащие повторного счета.
Уровни моментного ряда динамики абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Поэтому не применяется суммирование этих уровней.
Уровни ряда динамики должны быть сопоставимыми (в неизменных ценах, по единой методике, в одних территориальных границах…). Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета. Анализ можно проводить только для сопоставимых уровней.
Показатели ряда динамики можно рассчитать двумя методами: цепным и базисным. При расчете цепным методом сравнение всегда осуществляется с предыдущим уровнем (уi-1), а базисный метод основан на сравнении с постоянным уровнем yo. За базу берут начальный уровень ряда или другой более ранний уровень.
Абсолютный прирост (у) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:
Цепные и базисные абсолютные приросты взаимосвязаны:
Такая связь называется аддитивной.
Темпы (коэффициенты) роста определяются как отношение уровней ряда:
цепные базисные
Если темпы роста выражены в коэффициентах, то всегда можно перейти от цепных темпов к базисным и наоборот, пользуясь двумя правилами:
а) Произведение цепных темпов роста дают базисный темп роста.
б) Частное от деления базисных темпов роста равно промежуточному цепному.
Темп роста — это коэффициент роста, выраженный в процентах:
Тр = Кр 100%.
Темп роста всегда число положительное. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось, если больше 100%, то значение уровня повысилось, а если меньше 100% — понизилось.
Темп прироста определяются как отношение абсолютного прироста к первоначальному уровню, и выражено в процентах:
цепной базисный
Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня:
Тпр = Тр – 100%.
Абсолютное значение одного процента прироста (А%) — представляет собой одну сотую часть уровня предыдущего периода и в то же время — отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста:
, .
При анализе развития явлений часто возникает потребность дать обобщенную характеристику интенсивности развития на длительный период. Для чего используют средние показатели динамики:
1. Средний абсолютный прирост находится по формуле:
где n — число периодов (уровней), включая базисный.
2. Средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической простой из цепных коэффициентов роста:
, .
Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (неравноотстоящие уровни), то используют среднюю геометрическую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:
где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.
3. Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на 100%:
Пример 7.1. Имеются данные о приростах объемов продаж по месяцам (в процентах к предыдущему месяцу): январь – +4,5, февраль – +5,2, март – +2,4, апрель – -2,1.
Определить темпы роста и прироста за 4 месяца и среднемесячные значения.
Решение: имеем данные о цепных темпах прироста. Преобразуем их в цепные темпы роста по формуле: Тр = Тр + 100%.
Получим следующие значения: 104,5; 105,2; 102,4; 97,9
Для расчётов используются только коэффициенты роста: 1,045; 1,052; 1,024; 0,979.
Произведение цепных коэффициентов роста дают базисный темп роста.
К = 1,045·1,052·1,024·0,979 = 1,1021
Темп роста за 4 месяца Тр = 1,1021·100= 110,21%
Темп прироста за 4 месяца Тпр = 110,21 – 100 = +10,21%
Средний темп роста находим по формуле средней геометрической простой:
Средний темп роста за 4 месяца = 1,0246·100= 102,46%
Средний темп прироста за 4 месяца = 102,46 – 100 = +2,46%
4. Средний уровень интервального ряда находится по формуле средней арифметической простой, если интервалы равны, или по средней арифметической взвешенной, если интервалы не равны:
, .
где t - длительность интервала времени.
5. Средний уровень моментного ряда динамики так исчислить нельзя, так как отдельные уровни содержат элементы повторного счета.
а) Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической:
.
где у1 и уn — значения уровней на начало и конец периода (квартала, года).
б) Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:
.
где t — длительность периода между смежными уровнями.
Пример 7.2. Имеются следующие данные об объёмах производства продукции за первый квартал (тыс.шт.) — январь — 67, февраль – 35, март – 59. Определить среднемесячный объем производства за 1 квартал.
Решение: по условию задачи имеем интервальный ряд динамики с равными периодами. Среднемесячный объем производства находится по формуле средней арифметической простой:
тыс.шт.
Пример 7.3. Имеются следующие данные об объёмах производства продукции за первое полугодие (тыс.т.) — среднемесячный объем за 1 квартал — 42, апрель – 35, май – 59, июнь – 61. Определить среднемесячный объем производства за полугодие.
Решение: по условию задачи имеем интервальный ряд динамики с неравными периодами. Среднемесячный объем производства находится по формуле средней арифметической взвешенной:
тыс.т.
Пример 7.4. Имеются следующие данные об остатках товаров на складе, млн. руб.: 1.01 – 17; на 1.02 – 35; на 1.03 – 59; на 1.04 – 61.
Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.
Решение: По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равноотстоящими уровнями, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической:
млн.руб.
Пример 7.5. Имеются следующие данные об остатках товаров на складе, млн. руб.: 1.01.11 – 17; на 1.05 – 35; на 1.08 – 59; на 1.10 – 61, на 1.01.12 – 22.
Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за год.
Решение: По условию задачи имеем моментный ряд динамики с неравноотстоящими уровнями, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической взвешенной:
млн.руб.
Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.
Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, определяющее общее направление развития. Это — систематическая составляющая долговременного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов:
а) сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;
б) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.
Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.
Метод простой скользящей средней.
Алгоритм сглаживания:
1) Определяют длину интервала сглаживания L, включающего в себя L последовательных уровней ряда (не менее трех уровней)
2) Весь период наблюдений разбивают на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.
3) Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок
4) Фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, заменяют на соответствующие средние значения
Пример 7.6. Имеются данные о продажах по месяцам.
|
Месяц |
Объем продаж, д.е. |
|
1 |
18 |
|
2 |
17 |
|
3 |
11 |
|
4 |
16 |
|
5 |
18 |
|
6 |
20 |
Решение. Проведем сглаживание с длиной интервала L=3 уровня.
Первый интервал включает в себя первые три уровня. Скользящая средняя будет равна
д.е.
Это значение относится компании второму месяцу (середина интервала).
Аналогично рассчитываются скользящие средние для интервала 2–3–4, 3–4–5, 4–5–6 месяцы.
д.е.
д.е.
д.е.
Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t).
При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики.
Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.
Уравнение прямой может быть выражено в виде следующей формулы:
yt =ao+a1t,
где yt – значение выровненного ряда;
ao, a1 – параметры прямой линии (которые необходимо вычислить);
t – показатель времени.
Задача состоит в том, чтобы фактические уровни ряда (у) заменить теоретическими (yt).
Для расчета параметров прямой линии ao и a1 используем способ наименьших квадратов, который дает систему двух уравнений:
;
где n – число членов ряда;
у – фактические уровни ряда;
t – показатель времени.
Упрощенный расчет параметров уравнений заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики (t=0). В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой (у = a0+a1t) примут вид:
.
Решая систему относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.
Пример 7.7. Пример. Имеются данные о продажах по месяцам.
|
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Объем продаж, д.е. |
18 |
17 |
11 |
16 |
18 |
20 |
27 |
Решение. Составим рабочую таблицу для расчета параметров уравнения прямой
|
Месяц |
у |
t |
yt |
t2 |
yt |
|
1 |
18 |
-3 |
-54 |
9 |
14,04 |
|
2 |
17 |
-2 |
-34 |
4 |
15,36 |
|
3 |
11 |
-1 |
-11 |
1 |
16,68 |
|
4 |
16 |
0 |
0 |
0 |
18 |
|
5 |
18 |
1 |
18 |
1 |
19,32 |
|
6 |
20 |
2 |
40 |
4 |
20,64 |
|
7 |
27 |
3 |
78 |
9 |
21,96 |
|
Итого |
126 |
0 |
37 |
28 |
126 |
126 / 7 = 18,0 a1= =37/ 28 = 1,321
Уравнение тренда yt = 18,0 + 1,321·t
Построим график фактических уровней и линию, характеризующую тенденцию динамического ряда.
При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонных колебаний» или «сезонных волн», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.
Сезонные колебания характеризуются специальными показателями которые называются индексами сезонности (IS ). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.
Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (не менее трех) используются для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.
Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы. Если ряд динамики не содержит явно выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.
Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года (), затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т. е.
.
Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики. По уравнению вычисляются для каждого месяца (квартала) выравненные уровни на момент времени t (). Затем определяются отношения фактических данных за месяц (квартал) к соответствующим выравненным данным:
И находят средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах:
IS=(I1+I2+…+In):n,
где n — число одноименных периодов (месяцев, кварталов).
В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:
Исследование динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития и моделей взаимосвязи дают основание для прогнозирования — определения будущих размеров уровня экономического явления.
Выделяют следующие элементарные методы прогнозирования: по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста и на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.
Прогнозирование по среднему абсолютному приросту () — основано на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов). Экстраполяцию можно сделать по следующей формуле:
где — экстраполируемый уровень; (n+i) — номер этого уровня;
n — номер последнего уровня исследуемого периода, за который рассчитан;
i — срок прогноза (период упреждения).
Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста (), возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции, т. е. по формуле:
где уn — последний уровень ряда динамики; i — срок прогноза;
Наиболее распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).
При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, т. е. у = f(t).
При выборе типа линии можно учитывать следующее:
Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность.
Любой статистический прогноз носит приближенный характер. Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза.
Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t=n+1, …, n+k. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
верхняя граница прогноза = yp(n+k) + U(k),
нижняя граница прогноза = yp(n+k) – U(k).
Величина U(k) для линейной модели имеет следующий вид:
где y — средняя квадратическая ошибка тренда; yp — расчетное значение уровня (по уравнению); m — число параметров уравнения (для линейного m = 2); n — количество исходных уровней; t — среднее значение параметра t (для имеющихся данных); kp — доверительная величина, определяемая на основе t-критерия Стьюдента.
В статистике под индексом понимается относительный показатель, который выражает соотношение величин какого-либо явления во времени, в пространстве или сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т. д.).
В международной практике индексы принято обозначать символами i и I (начальная буква латинского слова index). Буквой "i" обозначаются индивидуальные индексы, буквой "I" — общие индексы. Знак внизу справа означает период: 0 — базисный; 1 — отчетный. Помимо этого используются определенные символы для обозначения индексируемых показателей: q — количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении; р — цена единицы товара; z — себестоимость единицы продукции; t — затраты времени на производство единицы продукции; w — выработка продукции в стоимостном выражении на одного рабочего или в единицу времени; v — выработка продукции в натуральном выражении на одного рабочего или в единицу времени; Т — общие затраты времени (tq) или численность рабочих; pq — стоимость продукции или товарооборот; zq — общие затраты на производство продукции.
По степени охвата явления индексы бывают индивидуальные и сводные (общие).
Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления. Для измерения динамики сложного явления, составные части которого непосредственно несоизмеримы (изменения: физического объема продукции, включающей разноименные товары, индекса цен акций предприятий региона и т. п.), рассчитывают сводные (общие) индексы.
В зависимости от формы построения различаются индексы агрегатные и средние. Последние делятся на арифметические и гармонические. Агрегатная форма общих индексов является основной формой экономических индексов. Средние индексы — производные, они получаются в результате преобразования агрегатных индексов.
По характеру объекта исследования общие индексы подразделяются на индексы количественных (объемных) и качественных показателей. В основе такого деления индексов лежит вид индексируемой величины.
По составу явления можно выделить две группы индексов: постоянного (фиксированного) состава и переменного состава. Деление индексов на эти две группы используется для анализа динамики средних показателей.
Индивидуальные индексы представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения, и их расчет не требует знания специальных правил. В зависимости от экономического назначения индивидуальные индексы бывают: физического объема продукции, себестоимости, цен, трудоемкости и т. д. Индекс физического объема продукции рассчитывается по формуле:
Индекс цены:
Индекс товарооборота (стоимости продукции):
Индексы других показателей строятся аналогично.
Производительность труда может быть измерена количеством продукции, производимой в единицу времени (выработкой), или затратами рабочего времени на производство единицы продукции (трудоемкостью). Поэтому можно построить:
• индекс производительности труда (через выработку):
• индекс производительности труда (через трудоемкость):
Так как между количеством продукции, произведенной в единицу времени, и затратами рабочего времени на производство единицы продукции существует обратно пропорциональная зависимость, т. е. t = 1/V, то индекс it получается в результате деления величины показателя в базисном периоде на величину в текущем периоде.
Для характеристики производительности труда часто используется индивидуальный индекс выработки продукции в стоимостном выражении на одного рабочего:
где p — сопоставимые цены.
В экономических расчетах чаще всего используются сводные (общие) индексы, которые характеризуют изменение совокупности в целом. В зависимости от цели исследования и наличия исходных данных используют различные формы построения общих индексов — агрегатная или средняя.
Агрегатный индекс — сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления состоящего из несоизмеримых элементов.
Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).
Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается (цена товаров, затраты времени, количество проданных товаров и т. д.). Вес индекса — это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.
Индекс стоимости продукции или товарооборота (Ipq) представляет собой отношение стоимости продукции текущего периода стоимости продукции в базисном периоде и определяется по формуле:
Значение индекса стоимости продукции (товарооборота) зависит от двух факторов: изменения количества продукции и цен, что обусловливает возможность и необходимость построения еще двух индексов: физического объема продукции и цен.
Индекс физического объема продукции — это индекс количественного показателя. В этом индексе индексируемой величиной будет количество продукции в натуральном выражении, а весом – цена. Только умножив несоизмеримые между собой количества разнородной продукции на их цены, можно перейти к стоимостям продукции, которые будут уже величинами соизмеримыми. Так как индекс физического объема — индекс количественного показателя, то весами будут цены базисного периода. Тогда формула индекса примет следующий вид:
Индекс цен — это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, так как этот индекс характеризует изменение цен. Весом будет выступать количество произведенных товаров.
Индекс цен Пааше определяется последующей формуле:
Если в этом индексе веса взять за базисный период, то получим индекс цен Ласпейреса:
Используя два этих индекса рассчитывают индекс цен Фишера:
Стоимость продукции можно представить как произведение количества товара на его цену. Такая же связь существует и между индексом стоимости, физического объема и цен, т. е.
Помимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма — средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Средний индекс — это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Агрегатный индекс является основной формой общего индекса, поэтому средний индекс должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.
Среднеарифметический индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:
Среднеарифметический индекс цен Ласпейреса:
Среднегармонический индекс себестоимости можно исчислить так:
Среднегармонический индекс цен Пааше:
Пример 8.1: Имеются следующие данные
|
Товар |
Базисный период |
Отчётный период |
||
|
цена, руб./ед. |
кол-во, тыс.ед. |
цена, руб./ед. |
кол-во, тыс.ед. |
|
|
А |
11 |
210 |
14 |
220 |
|
Б |
33 |
150 |
38 |
130 |
Определить:
1) Индивидуальные и сводные индексы цен и физического объема товарооборота.
2) Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен; количества проданного товара; за счет цен и количества вместе.
3) Показать взаимосвязь 3 исчисленных сводных индексов.
Решение:
Определим индивидуальные индексы:
По товару А
ip = = = 1,273 или 127,3%,
цены на товар А выросли в отчетном году на 27,3%;
iq = = = 1,048 или 104,8%,
объем продаж по товару А увеличился на 4,8%.
По товару Б
ip = = = 1,152 или 115,2%,
цены на товар Б выросли в отчетном периоде на 15,2%;
iq = = = 0,867 или 86,7%,
товара Б было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 13,3% меньше.
Рассчитаем агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров. Сначала определим стоимость проданных товаров:
- в отчетном периоде в ценах базисного периода:
= 220·11+ 130·33= 6710 (тыс. руб.),
- в базисном периоде в ценах базисного периода:
= 210·11 + 150·33 = 7260 (тыс. руб.).
Отношение стоимости товаров, проданных в отчетном периоде к стоимости товаров, проданных в базисном периоде дает агрегатный индекс физического объема товарооборота:
Iq = = = 0,924 или 92,4%,
то есть объем продаж товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом снизился в целом на 7,6%.
Разность между числителем и знаменателем индекса физического объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных ценах:
Δpq(q) = –= 6710 – 7260 = –550 (тыс. руб.).
Снижение товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет уменьшения количества проданного товара на 7,6% составило 550 тыс. руб.
Рассчитаем сводный индекс цен. В качестве веса используем количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше):
Ip = = = = 1,195 или 119,5%.
В целом цены на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом выросли на 19,5%.
Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:
Δpq(p) = –= 8020 – 6710 = 1310 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 1310 тыс. рублей за счет увеличения цен на 19,5%.
Рассчитаем агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:
Ipq = = = = 1,105 или 110,5%.
Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 10,5%.
Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:
Δpq = –= 8020 – 7260 = 760 (тыс. руб.).
Произведение двух индексов ( ) дает нам показатель динамики товарооборота в фактических ценах (Ipq), то есть за счет роста цен на 19,5% и снижения физического объема продаж на 7,6%, товарооборот увеличился в отчетном году на 10,5%.
Если посмотреть в абсолютной сумме изменение товарооборота, то очевидно, что за счет роста цен товарооборот увеличился на 1310 тыс. рублей, за счет снижения физического объема продаж уменьшился на 550 тыс. руб., а в целом за счет цен и количеств вырос на 770 тыс. рублей. (1310–550= 770)
Пример 8.2: По данным примера 8.1
|
Товар |
Стоимость товара в базисном периоде, тыс. руб. |
Индивидуальный индекс физического объема товарооборота |
|
А |
2310 |
1,048 |
|
Б |
4950 |
0,867 |
Определить общий индекс физического объема товарооборота.
Решение:
q = = = = 0,924 или 92,4%,
то есть получили тот же количественный результат, что и у агрегатного индекса.
Пример 8.3: По данным примера 8.1
|
Товар |
Стоимость товара в отчётном периоде, тыс. руб. |
Индивидуальный индекс цен |
|
А |
3080 |
1,273 |
|
Б |
4940 |
1,152 |
Определить общий индекс цен.
Решение: Воспользуемся среднегармоническим индексом цен:
p = = = = 1,195 или 119,5%.
Получим тот же количественный результат, что и при расчете агрегатного индекса цен.
Индексный метод применяется также для изучения динамики средних величин (средней цены на один и тот же товар, себестоимости) по однородной совокупности и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.
Индексом переменного состава называется индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени. Например, индекс переменного состава средней себестоимости продукции одного и того же вида рассчитывается по формуле:
.
Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в данном случае себестоимости), но и структуры совокупности (весов).
Индекс постоянного (фиксированного) состава — это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Индекс фиксированного состава определяется как агрегатный индекс. Так, индекс фиксированного состава средней себестоимости продукции рассчитывают по формуле:
.
Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Индекс определяется по формуле (при изучении изменения среднего уровня себестоимости):
.
Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средней себестоимости имеет следующий вид:
Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов (база – предыдущий период) за какой-либо период времени, можно рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные индексы, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.
Пример 8.4. Цепные индексы цен за каждый месяц квартала составили 101%, 102,3%, 101,8%. Определить изменение цен за квартал.
Решение: преобразуем индексы из процентов в коэффициенты и перемножим их. Получим базисный индекс, характеризующий рост цен за весь квартал
Ip = 1,01 · 1,023 · 1,018 = 1,0518 или 105,18%
Цены за квартал выросли на 5,18%.
Пример 8.5. Цены в мае по сравнению с декабрем прошлого года выросли на 6,2%, а в июне — на 7,4%. Определить изменение цен в июне по сравнению с маем.
Решение: преобразуем исходные данные в индексы.
I5 = 100+6,2 = 106,2%; I6 = 100 + 7,4 = 107,4%.
Эта два базисных индекса цен. За базу взяты цены декабря прошлого года.
Для нахождения цепного индекса разделим базисные индексы
I6/5 = 107,4 / 106,2 = 1,0113 или 101,13%
Цены в июне по сравнению с маем выросли на 1,13%
Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления, например связь между индексом стоимости продукции, физического объема продукции и цен. Другие индексы также связаны между собой. Так, индекс затрат на производства — это произведение индекса себестоимости единицы продукции и индекса физического объема продукции:
Пример 8.6. Себестоимость единицы продукции увеличилась на 10%, а количество продукции снизилось на 8%. Определить изменение затрат на производство.
Решение: выразим в виде индексов исходные данные.
Iz = 110% или 1,10, Iq = 92% или 0,92
Индекс затрат на производство будет равен: Izq = 1,10 0,92 = 1,012, или 101,2%, или рост на 1,2%
Пример 8.7. Физический объем производства продукции в текущем периоде вырос на 15%, трудоемкость единицы продукции снизилась на 7%. Определить изменение общих затрат времени на производство.
Решение: индекс затрат времени (IT) на производство продукции может быть получен в результате умножения индекса физического объема продукции и индекса трудоемкости
= 1,15 · 0,93 = 1,0695, или 106,95%, или увеличение на 6,95%.
Пример 8.8. Численность рабочих возросла на 12%, а производительность труда — на 7%. Определить индекс физического объема продукции.
Решение: индекс физического объема продукции равен произведению индекса производительности труда на индекс затрат рабочего времени (или численности занятых):
= 1,12 · 1,07 = 1,1984, или 119,84%.
Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому наблюдению подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу — по обследуемой части дать характеристику всей (генеральной) совокупности единиц. Совокупность отобранных для обследования единиц называют выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор, — генеральной.
Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным.
При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т. е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.
При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.
Выборочное наблюдение всегда связано с определенными ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности (представительности).
Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репрезентативности.
Систематические ошибки репрезентативности обусловлены нарушением принципа случайности отбора (тенденциозный отбор) и являются однонаправленными ошибками. Их можно устранить правильной процедурой отбора единиц в выборку.
Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.
Выборка характеризуется следующими показателями:
средняя ошибка выборки (повторный отбор):
средняя ошибка выборки (бесповторный отбор):
предельная ошибка выборки — ошибка, исчисленная с заданной степенью вероятности:
где 2 — выборочная дисперсия (значения признака или доли),
n — объем выборочной совокупности;
N — объем (число единиц) генеральной совокупности;
– выборочная дисперсия значения признака (х);
– выборочная дисперсия доли;
ω — выборочная доля (), т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности ;
— выборочная средняя;
t — коэффициент доверия (табличное значение).
Предельная ошибка выборки дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней с учетом заданной вероятности;
На величину вероятности указывает множитель t. Обычно используются нормированные (табличные) значения t, для определенных значений вероятности Ф(t):
|
t=1 |
Ф(t)= 0,683 |
|
t=2 |
Ф(t)= 0,954 |
|
t=3 |
Ф(t)= 0,997 |
Зная выборочную среднюю величину признака () и предельную ошибку выборки (x), можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя ():
или
Зная выборочную долю признака () и предельную ошибку выборки (), можно определить границы, в которых заключена генеральная доля (р):
Для типической выборки при расчете средней ошибки () используют не общую дисперсию, а среднюю из внутригрупповых дисперсий (), при серийной выборке — межгрупповую дисперсию (2).
Для определения необходимой численности выборки исследователь должен задать уровень точности (предельную ошибку) выборочной совокупности с определенной вероятностью.
Численность случайной повторной выборки определяется по формуле:
, или
бесповторной:
.
где или — относительная ошибка выборки
— коэффициент вариации
Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и не известна его доля в генеральной совокупности, её принимают равной 0,5, так как дисперсия доли достигает максимума: = 0,25 при ω = 0,5.
Пример 9.1. Для определения качества партии товара 5% от всего количества изделий были подвергнуты выборочному обследованию. Из 1000 проверенных изделий 150 были нестандартными. Определить с вероятностью 0,954 долю нестандартных изделий во всей партии.
Решение: По условию задачи дано:
|
= 5% или 0,05 |
Определим долю нестандартных изделий в выборочной совокупности: |
|
n = 1000 изд. |
ω = = = 0,15 или 15%. |
|
m = 150 изд. |
|
|
t = 2 |
Из 1000 проверенных изделий |
|
w – ? Δw – ? |
15% – нестандартные изделия. |
Определим предельную ошибку выборочного наблюдения:
Δ ω = t
или Δω = 2 = 0,022 или 2,2%.
Доверительные интервалы для доли будут равны:
p = w Δw
p = 15% 2,2%, тогда 15% – 2,2% p 15% + 2,2%.
Доля нестандартных изделий во всей партии будет находиться в пределах от 12,8 до 17,2% при вероятности 0,954.
Пример 9.2. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 10%-ная механическая выборка, в которую попало 200 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средний срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности.
Решение. Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах:
– Δх + Δх .
Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:
Δх = t ;
Δх = 3 = 1,812 дня
=30 дн.2 дн. или 30 дн.–2 дн. 30 дн.+2 дн.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах от 28 дней до 32 дней.
Признаки по их сущности и значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными, или просто факторами (x). Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными (y).
В статистике различают функциональную и стохастическую зависимости. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака.
Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем, при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.
Характерной особенностью функциональной связи является то что она проявляется с одинаковой силой у каждой единицы изучаемой совокупности. Иное дело при корреляционных связях. Здесь при одном и том же значении факторного признака возможны различные значения результативного признака. Это обусловлено наличием других факторов, которые могут быть различными по составу, направлению и силе действия на единицы статистической совокупности. Поэтому для изучаемой статистической совокупности в целом здесь устанавливается такое соотношение, в котором определенному изменению факторного признака соответствует среднее изменение признака результативного.
Следовательно, характерной особенностью корреляционных связей является то, что они проявляются не в единичных случаях, а в массе. Поэтому изучаются корреляционные связи по так называемым эмпирическим данным, полученным в статистическом наблюдении. В таких данных отображается совокупное действие всех причин и условий на изучаемый показатель.
Например, анализируя производительность труда на предприятии, можно видеть зависимость ее от уровня энерговооруженности труда. Но производительность труда зависит и от других факторов: от режима работы предприятия, организации снабжения, квалификации работников и т.д. Поэтому зависимость производительности труда от уровня энерговооруженности труда не может быть полной, а является корреляционной.
Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению.
По степени тесноты связи различают слабую, умеренную и сильную силу связи. Количественные критерии оценки тесноты связи:
|
Величина показателя связи |
До ±0,3 |
±0,3 – ±0,5 |
±0,5 – ±0,7 |
±0,7 – ±0,9 |
|
Характер связи |
практически отсутствует |
слабая |
умеренная |
сильная |
По направлению выделяют связь прямую и обратную. Прямая — это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного признака. Так, рост объемов производства способствует увеличению прибыли предприятия. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака, то есть обратная — это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений одного признака происходит уменьшение или увеличение значений другого признака. Так, снижение себестоимости единицы производимой продукции влечет за собой рост рентабельности.
По аналитическому выражению выделяют связи линейные и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приблизительно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью вида:
Если же связь может быть выражена уравнением какой-либо кривой, то такую связь называют нелинейной или криволинейной, например:
параболы
гиперболы
В статистике принято различать следующие виды зависимостей:
1. Парная корреляция — связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными).
2. Частная корреляция — зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
3. Множественная корреляция — зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты и направления связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые, давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии. Знаки при коэффициентах корреляции характеризуют направление связи между признаками.
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (результативной), обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторных признаков).
Парная регрессия позволяет получить аналитическое выражение связи между двумя признаками: результативным и факторным.
Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.
Оценка параметров уравнений регрессии (а0, а1, а2) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:
Система нормальных уравнений для определения параметров уравнения линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
Решение системы: ,
В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков. Коэффициент регрессии а1 показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения.
Измерение тесноты (силы) и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака и одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных зависимостей) факторных признаков.
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.
В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:
Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1:
[-1 < r < 1]. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают.
Оценка линейного коэффициента корреляции
|
Значение линейного коэффициента связи |
Характеристика связи |
Интерпретация связи |
|
r = 0 |
отсутствует |
- |
|
0<r<1 |
прямая |
с увеличением х увеличивается y |
|
-1<r<0 |
обратная |
с увеличением х уменьшается y и наоборот |
|
r=1 |
функциональная |
каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака |
В случае наличия нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки:
где и — межгрупповая и общая дисперсия результативного признака (y).
Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:
где — дисперсия выровненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;
— дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;
— остаточная дисперсия.
Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 [0 < < 1].
На практике часто приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. В этом случае статистическая модель может быть представлена уравнением регрессии с несколькими переменными величинами. Такая регрессия называется множественной.
Например, линейная регрессия с т независимыми переменными имеет вид:
Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 < R < 1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х1 и х2 при фиксированном значении других факторных признаков, то есть когда влияние х3 исключается, то есть оценивается связь между х1 и х2 в «чистом виде».
Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.
Прежде всего необходимо рассмотреть коэффициенты регрессии. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый.
Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.
Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет знак минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь ввиду, что когда рассматривается совокупное влияние факторов, то в силу наличия взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться.
С целью расширения возможностей экономического анализа, используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:
где — среднее значение соответствующего факторного признака;
— среднее значение результативного признака;
а1 - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.
Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.
При наличии соотношения между вариацией качественных признаков говорят об их ассоциации, взаимосвязанности. Для оценки связи в этом случае используют ряд показателей.
Коэффициент ассоциации и контингенции. Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции.
Для их вычисления строится таблица сопряженности, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, то есть состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, изделие годное или бракованное).
Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции
|
Да |
Нет |
|
|
Да |
a |
b |
|
Нет |
c |
d |
По этим данным рассчитываются коэффициенты ассоциации (Ка) и контингенции (Кк):
где a, b, с, d – числа (частоты) в таблице сопряженности.
Связь считается подтвержденной, если Ка 0,5, Kk 0,3.
Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Эти коэффициенты вычисляются по следующим формулам:
где — показатель взаимной сопряженности, определяется суммой отношений квадратов частот каждой клетки таблицы fij2 к произведению частот итоговых соответствующего столбца mj и строки ni минус единица ;
К1 — число значений (групп) первого признака;
К2 — число значений (групп) второго признака
Чем ближе величина Кп и Кч к 1, тем теснее связь.
В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.
Ранжирование — это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения. Ранг — это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые они определяют. Данные ранги называются связными.
Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла. Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками (рейтинги, уровни образования, квалификации и т.п.).
Коэффициент корреляции рангов Спирмена ():
,
где n – число наблюдений (число пар рангов); d2i – квадраты разности рангов x и y.
Коэффициент Спирмена принимает значения в интервале [-1; 1].
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла также может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:
где n – число наблюдений;
S = P+Q — сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.
Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:
Значения x ранжируются в порядке возрастания или убывания;
Значения y располагаются в порядке, соответствующем значениям x;
Для каждого ранга y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина P , как мера соответствия последовательностей рангов по x и y и учитывается со знаком (+);
Для каждого ранга y определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (-);
Определяется сумма баллов по всем членам ряда.
Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена.
Связь между признаками признается статистически значимой, если значения коэф¬фициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.
Содержание
ТЕМА 1. ПРЕДМЕТ, МЕТОД И ЗАДАЧИ СТАТИСТИКИ 2
ТЕМА 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ И НАБЛЮДЕНИЕ 3
ТЕМА 3. СВОДКА И ГРУППИРОВКА МАТЕРИАЛОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ 4
ТЕМА 4. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 5
ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ 6
ТЕМА 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ 13
ТЕМА 7. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 18
ТЕМА 8. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ 28
ТЕМА 9. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ 37
ТЕМА 10. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 40