Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Содержание
Часть I. Механика
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Цель работы: проверка основного закона динамики для вращательного движения с помощью инерционного маятника.
Приборы и принадлежности: инерционный маятник, секундомер.
Теоретическое введение
Основной закон динамики для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси записывается в виде:
где M — момент силы относительно оси; I — момент инерции тела относительно оси; i — угловое ускорение.
Момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при вращательном движении. Момент инерции материальной точки относительно произвольной оси равен произведению ее массы на квадрат расстояния до этой оси:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции всех точек тела относительно этой оси (см. рис. 1). Для тел правильной геометрической формы момент инерции может быть найден расчетным путем, для остальных тел — экспериментально.
При вращательном движении действие силы определяется не только величиной этой силы, но и ориентацией вектора силы относительно оси вращения. По этой причине вместо силы при вращательном движении рассматривается момент силы. Различают момент силы относительно точки и относительно оси.
Рис. 1. Схема определения момента инерции твердого тела
Рис. 2. Определение направления момента силы относительно точки
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора на величину силы (см. рис. 2):
Величина момента равна:
,
где α — угол между векторами и .
Вектор расположен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и . Его направление (из двух возможных) определяется по правилу векторного произведения: векторы , и должны образовывать правую систему, т.е. при вращении вектора по направлению к вектору вдоль наименьшего угла направление вектора определяется по правилу правого винта.
Рис. 3. Определение момента силы относительно оси
Рис. 4. Определение момента силы относительно оси в случае, когда сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения
Рис. 5. Определение плеча силы
Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, лежащей на данной оси (см. рис. 3). В частности, если вектор силы лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, момент этой силы относительно точки O, лежащей на пересечении оси и плоскости, будет направлен вдоль оси (см. рис. 4). В этом случае величина проекции M0 на ось совпадает с самим моментом M0. Тогда момент силы относительно оси будет равен:
где h — плечо силы F (см. рис. 5). Для практики данный случай особенно важен.
Угловое ускорение и угловая скорость. Угловой скоростью называется производная угла поворота радиус-вектора по времени:
Угловым ускорением называется производная угловой скорости по времени или вторая производная угла поворота радиус-вектора по времени:
Векторы и направлены вдоль оси вращения (направление определяется по правилу винта, см. рис. 6).
Первый способ проверки закона.
Описание установки. На вертикальной оси OO’ прибора жестко закреплен блок Б1 (см. рис 7), который можно привести в движение (вращение) с помощью намотанного на него шнура и груза m. На этой же оси закреплен стержень с массивными грузами m1 и m2, положение которых относительно оси можно изменять по желанию. Второй блок Б2, расположенный горизонтально, служит для изменения направления действующей силы. Путь H1, пройденный грузом m, можно измерять с помощью вертикальной шкалы. Установка снабжена тормозом Т. Описанное устройство называется инерционным маятником. Его параметры имеют следующие значения: m1=m2=(0.4310.001)кг; P=mg=(1.5060.005) H; lст=(0.5100.005)м; mст=(0.111 0.001) кг; r=(10-2 5·10-5) м.
Описание эксперимента. Экспериментальная проверка основного закона динамики для вращающегося тела заключается в том, чтобы из экспериментальных данных определить независимо друг от друга величины M, I и i и сравнить полученное значение момента силы M со значением произведения I·i.
1. Определение углового ускорения вращающегося стрежня
с грузами
Пусть груз m опускается с высоты H1, ускоренно раскручивая при этом стержень с грузами. Угловое ускорение стержня можно определить из формулы, связывающей угловое и линейное ускорения:
, (1)
где a — линейное ускорение, с которым падает груз m и, следовательно, движется любая точка нити, сматывающейся с блока Б1; r — радиус блока Б1.
Линейное ускорение a можно найти из уравнения
, (2)
где H1 — высота, на которую опустился груз m за время падения; t — время падения груза. Из этой формулы получаем:
, (3)
Подставляя (3) в (1), получаем формулу для расчета углового ускорения:
, (4)
2. Определение момента инерции стержня с грузами
Момент инерции стержня с грузами складывается из момента инерции грузов m1 и m2 и момента инерции стержня:
. (5)
Моментом инерции легких блоков Б1 и Б2, ввиду их малости, можно пренебречь.
3. Определение момента силы, вызывающей раскручивание
стержня с грузами
На груз m при падении действуют две силы (см. рис. 8) — сила тяжести и сила натяжения нити . Под действием этих сил груз движется с ускорением a, существенно меньшим ускорения свободного падения:
На блок Б1 действуют силы натяжения нити и сопротивления . Их равнодействующая равна . Так как радиус блока является плечом силы, момент силы, вызывающей раскручивание, равен:
Можно принять , так как ускорение a мало.
Сила сопротивления находится на основании закона сохранения энергии. Падая с высоты H1, груз, после достижения наинизшего положения, поднимается на высоту H2. Часть потенциальной энергии mg(H1-H2) переходит при этом в работу против сил сопротивления при раскручивании и закручивании нити на блок Б1:
Отсюда
,
Тогда
и
(6)
Определив M, I и i, можно сравнить величину момента силы M с величиной произведения I·i.
Рекомендуется проводить эксперименты при максимально возможной высоте падения груза H1 и при двух расстояниях от центров грузов m1 и m2 до оси вращения (R1 = 20 см и R2 = 10 см).
Порядок выполнения работы
1. Поставить грузы m1 и m2 так, чтобы расстояние от их центров до оси вращения было равно 20 см. Грузы должны быть надежно закреплены с помощью винтов. Измерить высоту падения (H1) груза m.
2. Установить верхний край груза m напротив деления 0 на шкале.
3. Открыть тормоз, одновременно включив секундомер.
4. Измерить время падения груза t, выключив секундомер в тот момент, когда груз опустится на всю длину нити.
5. Отметить деление шкалы, напротив которого остановится верхний край груза m при его подъеме вверх. Вычитая номер этого деления из H1, найти высоту H2, на которую поднялся груз m.
6. Опыт повторить пять раз при расстоянии до оси вращения R1 = 20 см и еще пять раз — при R1 = 10 см. Полученные результаты для H1, t и H2 занести в таблицу 1. Вычислить приближенные значения величин и абсолютные погрешности.
7. Вычислить величины i, I и M для R1 = 20 см и R1 = 10 см по формулам (4), (5), (6) соответственно, используя приближенные значения величин из таблицы 1. Полученные результаты занести в таблицу 2. Все расчеты проводить в системе СИ с точностью до трех значащих цифр.
8. Найти абсолютные и относительные погрешности для M и произведения (I·i) по формулам:
,
где
;
,
где
,
принимая ΔI = 0,001 кг∙м2; ΔH1=ΔH2=5·10-3 м; ΔP=5·10-3 Н; Δr=5·10-5 м.
Расчеты провести один раз для случая R1 или R2.
9. Записать окончательный результат в виде:
Моп = М + ΔМ
(I∙i)оп = I∙i ± Δ (I∙i)
10. Сравнить доверительные интервалы, в которых лежат M и I·i, отложив эти интервалы на числовой оси. Если доверительные интервалы перекрываются, т.е. разность значений M и I·i по абсолютной величине меньше полусуммы доверительных интервалов, значения M и I·i совпадают в пределах погрешностей и закон подтверждается.
Таблица 1
Результаты измерений
|
№ п/п |
H1 |
R1 = 0,2 м |
R2 = 0,1 м |
||
|
t, с |
H2, м |
t, с |
H2, м |
||
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
Приближенное значение |
|||||
|
Абсолютная погрешность |
Таблица 2
Результаты вычислений
|
i |
I |
I·i |
M |
|
|
R1 = 20 см |
||||
|
R2= 10 см |
Второй способ проверки закона
Описание установки (см. рис.7 )
На вертикальной оси ОО’ прибора укреплен блок Б1 диаметром d, который при помощи намотанной на него нити и груза m можно привести во вращение. На этой же оси укреплена крестовина, состоящая из горизонтального стержня с массивными грузами 1 и 2 равной массы (m1 = m2). Крестовина и блок Б1 вращаются как единое целое. Второй блок Б2, ось которого горизонтальна, служит для изменения направления нити. Установка снабжена тормозом Т и шкалой для измерения пути, пройденного грузом m. Вид сверху на блок Б1 с намотанной на него нитью толщиной показан на рис. 9.
Описание эксперимента (рис. 7)
При освобождении от тормоза груз m опускается равноускоренно из положения О в положение 1, проходя путь Н1. Соответственно крестовина вращается равноускоренно. Это движение длится t1 c. Затем груз m резко меняет направление скорости на противоположное и поднимается равнозамедленно из положения 1 в положение 2, пройдя путь Н2 за время t2 с. Соответственно крестовина вращается равнозамедленно, но в отличие от груза m не меняет направления своего движения. В положении О и 2 скорость груза (а также и крестовины) равна 0. В положении 1 величина скорости груза не имеет определенного значения: при приближении к пункту 1 она больше, чем при удалении от него. Это является следствием частичной потери кинетической энергии. Экспериментальное определение Н1, t1 и Н2, t2 достаточно для независимых друг от друга расчетов I, M и i, что позволяет проверить основной закон динамики для вращательного движения.
Расчет момента инерции крестовины.
Момент инерции крестовины относительно оси ОО’ не зависит от состояния ее движения и может быть рассчитан по формуле
I=Iгр+Iст
где Iгр – момент инерции грузов m1 и m2, а Iст – момент инерции стержня, на котором они закреплены. Поскольку m1 = m2, Iгр=2m1R2, где R – расстояние от оси ОО’ до центра груза, одинаковое для обоих грузов.
, где mст - масса стержня. Таким образом
(1)
Учет моментов сил, действующих на крестовину.
На каждом участке движения (ускоренном или замедленном) на крестовину действуют моменты двух сил: силы натяжения нити Fн и силы трения в опорных деталях конструкции. Обозначим эти моменты соответственно М и . Для расчета М надо знать величину силы Fн и плечо h этой силы относительно оси вращения ОО’. Силу Fн можно оценить, применив второй закон Ньютона к движению груза m.
В наших опытах ускорение грузa а<<g. Поэтому можно принять Fн=mg
Сложнее оценить плечо h. Дело в том, что Fн не является сосредоточенной силой, а распределена по поперечному сечению нити. Учитывая спиралевидный переплет волокон, из которых состоит нить, следует считать это распределение равномерным. Тогда распределенную силу Fн можно заменить сосредоточенной, действующей вдоль осевой линии нити (на рис.9 осевая линия обозначена пунктиром). Для сосредоточенной силы получим
h=0.5(d+)
где d - диаметр блока Б1, а – диаметр нити. Таким образом
M= Fн0.5(d+)=mg0.5(d+)= mg (2)
Величина тормозящего момента практически одинакова на всех участках движения. Это позволяет провести опыт так, чтобы исключить из рассмотрения момент . Для участка ускоренного движения крестовины основной закон запишется в виде
Ii1=M-
Для участка замедленного движения будем иметь
Ii2=M+
где i1 и i2 - угловые ускорения на первом и втором участке. Складывая два уравнения, получим I(i1+ i2)=2M или
M= Ii (3)
где i=0.5(i1+ i2)
Уравнение (3) подлежит экспериментальной проверке.
Расчет угловых ускорений
Угловое ускорение i связано с ускорением a поступательного движения груза m. Поскольку v0=v2=0, то из формулы пути равнопеременного движения получим и на участке ускоренного и замедленного движения соответственно.
Все точки нити, расположенные в сечении xx’ (см. рис. 9), движущемся поступательно, имеют одинаковое ускорение, равное ускорению груза. Но точки нити, расположенные в сечении yy’, имеют разные тангенциальные ускорения, поскольку этот участок нити вращается вместе с блоком Б1. Ускорение груза m совпадает с величиной тангенциального ускорения точки, лежащей на осевой линии нити (точка А на рис. 9). Радиус вращения точки А A==0.5(d+). Угловые ускорения i блока Б1 и iA точки А одинаковы вследствие отсутствия проскальзывания нити. Пользуясь связью между угловым и тангенциальным ускорением точки А находим.
(4)
Порядок выполнения работы.
1. Внимательно прочтите раздел «Описание эксперимента».
2. Измерьте расстояние Н1 от нулевого деления шкалы до нижнего положения груза m при полностью раскрученной нити. Отсчет сделайте по верхнему краю груза m.
3. Установите грузы m1 и m2 на одинаковом расстоянии R от оси вращения ОО’, указанном преподавателем.
4. Расположите верхний край груза m против деления 0 на шкале и зафиксируйте это положение тормозом. Установка готова к выполнению эксперимента.
5. Определите опытным путем отрезки времени t1 и t2. Для этого воспользуйтесь двумя секундомерами. Освободите тормоз и одновременно включите один из секундомеров. Когда груз опустится в крайнее нижнее положение, остановите работающий секундомер (отчет t1) и одновременно включите другой. Второй секундомер остановите, когда груз поднимется в положение 2, показанное на рис. 7 (отчет t2) . Зафиксируйте груз в этом положении, включив тормоз. Сделайте отчет h по верхнему краю груза.
Если Вы работаете с одним секундомером, то отчеты t1 и t2 придется делать при двух разных запусках груза m.
6. Повторите указанные измерения 5 раз. Результаты занесите в табл. 1. Определите приближенные (средние) значения ,, а также абсолютные погрешности t1, t2, h по методу Стьюдента. В эту же таблицу запишите измеренное в п. 2 значение Н1 и выбранную величину R. Поскольку случайный разброс практически равен нулю, , H1=110-2 м. , R=510-3 м
7. Запишите в таблицу 2 параметры экспериментальной установки, приближенные значения которые указаны на самом приборе.
8. По формулам (1), (2) и (4) рассчитайте приближенные значения , , , подставив в них приближенные значения соответствующих величин, взятые из табл. 1 и 2. Определите приближенные значения произведения . Заполните табл. 3. Если , то формулу (3) можно считать подтвержденной.
9. Более строгим подтверждением формулы (3) является проверка доверительных интервалов величин М и (Ji) на их перекрытие, наличие которого будет служить свидетельством справедливости проверяемого закона. Для этого надо рассчитать абсолютные погрешности M и (Ji) по формулам
,
и записать доверительные интервалы в виде
и
Для наглядности эти интервалы рекомендуется изобразить на числовой оси.
Таблица 1.
Результаты измерений
|
№ п.п. |
t1, c |
t2, c |
h, м |
H1, м |
R, м |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
|
110-2 |
510-3 |
Таблица 2.
Параметры установки
|
m1=m2,кг |
l, м |
mст, кг |
m, кг |
, м |
|
|
43110-3 |
51010-3 |
11110-3 |
15210-3 |
10.410-3 |
|
|
|
110-3 |
510-3 |
110-3 |
110-3 |
0.110-3 |
Таблица 3.
Результаты вычислений
|
H2, м |
i, c-2 |
I, кгм2 |
Ii |
M, Нм |
|
|
|
Контрольные вопросы
1. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Их направление и единицы измерения.
2. Как в данной работе определялось угловое ускорение стержня с грузами?
3. Что называется моментом инерции тела? Единицы измерения момента инерции в системе СИ. От чего зависит величина момента инерции?
4. Где должна проходить ось вращения, чтобы момент инерции тела был наименьшим? Как рассчитать момент инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс? Как рассчитать момент инерции тела с грузами в данной работе?
5. Что называется моментом силы относительно точки и относительно оси? Единицы измерения момента силы.
6. В чем состоит основной закон динамики для вращательного движения? Как этот закон проверялся в данной работе?
1. Савельев И. В. Курс физики. В 3 тт. СПб.: Издательство «Лань», 2008.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов //Т.И. Трофимова. – 16-у изд., стер. – М.: Издательский цунтр «Академия», 2008. – 560с.
4. Биргер Б.Н. Приближения при вычислениях и измерениях. : Метод. указания к решению задач и выполнению лабораторных работ по физике - Иваново, ИХТИ, 1989 г. - 28с.
5. Бутман М.Ф., Кудин Л.С. Обработка и представление результатов измерений. Методические указания к лабораторному практикуму. - Иваново 2005. 36с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: ознакомление с физическим маятником и определение его момента инерции относительно оси вращения. Изучение зависимости величины момента инерции маятника от пространственного распределения массы.
Приборы и принадлежности: физический маятник с кронштейном для его подвеса, металлическая призма для определения положения центра тяжести маятника, секундомер.
Теоретическое введение.
Физическим маятником (рис.1) называется любое твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси (О), не проходящей через центр его тяжести (С). Точка подвеса маятника является центром вращения.
Рис.1. Физический маятник
При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращающий момент, созданный силой тяжести:
,
где l – расстояние между точкой подвеса и центром тяжести маятника (знак минус обусловлен тем, что момент силы М имеет такое направление, что стремится вернуть маятник к положению равновесия, т.е. уменьшить угол ).
Для малых углов отклонения , тогда
()
С другой стороны момент возвращающей силы можно записать в виде:
()
I – момент инерции маятника
i – угловое ускорение.
Из (1) и (2) можно получить:
.
Обозначая ()
получим (4)
Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его решением является выражение .
С учетом уравнения (3) период малых колебаний физического маятника можно записать как:
, (5)
где - приведенная длина физического маятника
Из формулы (5) можно выразить момент инерции физического маятника относительно оси вращения
(6)
Находя путем измерений m, l и T, можно по формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника относительно заданной оси вращения.
В данной работе используется физический маятник (рис.2), представляющий собой стальной стержень, на котором закреплены две массивные стальные чечевицы (А1 и А2) и опорные призмы для подвеса (П1 и П2). Момент инерции такого маятника будет складываться из моментов инерции стержня, чечевиц и призм:
.
Момент инерции стержня можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера:
,
где I0 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести.
(7)
mст– масса стержня,
lст – длина стержня,
d – расстояние от центра тяжести стержня до точки подвеса.
Моменты инерции чечевиц и призм можно приближенно рассчитать как для точечных масс. Тогда момент инерции маятника запишется в виде:
, (8)
где - массы чечевиц А1 и А2,
- расстояния от оси вращения (точки подвеса) до чечевиц А1 и А2 соответственно,
- массы призм П1 и П1,
- расстояния от оси вращения до призм П1 и П2 соответственно.
Т.к. по условиям выполнения работы перемещается лишь одна чечевица А1, то изменяться будет лишь момент инерции и
(9)
Описание установки.
Применяемый в данной работе физический маятник (рис.2) представляет собой стальной стержень (С), на котором закреплены две массивные стальные чечевицы (А1 и А2) и опорные призмы для подвеса (П1 и П2). Маятник подвешивается на кронштейне.
Посредством перемещения одной из чечевиц можно изменить момент инерции маятника относительно точки подвеса (оси вращения).
Центр тяжести маятника определяется балансированием маятника на горизонтальном ребре специальной призмы (рис.3). На стержне маятника через 10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения расстояния от центра тяжести до оси вращения без помощи линейки. Небольшим смещением чечевицы А1 вдоль стержня можно добиться, чтобы расстояние l от точки подвеса до центра тяжести равнялось целому числу сантиметров, отсчитываемому по шкале на стержне.
Порядок выполнения работы.
а) Снять маятник с кронштейна и установить его в горизонтальном положении на специальной призме П3 (рис.3) так, чтобы он находился в равновесии. Точное положение равновесия достигается небольшим передвижением чечевицы А1.
Рис.3. Уравновешивание маятника
б) По шкале на маятнике измерить l - расстояние от точки подвеса (ребро призмы П1) до центра тяжести маятника (верхнее ребро призмы П3).
в) По шкале маятника измерить расстояние - от точки подвеса (ребро призмы П1) до верхней чечевицы А1.
2. Определить период колебаний физического маятника.
а) Установить маятник призмой П1 на кронштейн (рис.2)
б) Определить время полных 50 - 100 колебаний маятника. Записать время t и число n колебаний маятника.
в) Определить период колебаний физического маятника по формуле:
(10)
3. Снять маятник с кронштейна. Передвинуть чечевицу А1 на несколько сантиметров в новое положение и повторить опыт. Измерения должны быть выполнены не менее, чем для трех различных положений чечевицы А1 относительно точки подвеса.
4. По формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника Iоп.
5. Вычислить относительную погрешность момента инерции для одного из рассмотренных случаев по формуле:
. (11)
Величины T и l определяются по классу точности приборов.
6. Найти абсолютную погрешность для каждого случая, принимая относительную погрешность одинаковой для всех случаев.
Записать в таблицу окончательный результат в виде
7. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника Iтеор для каждого случая.
8. Сравнить полученные результаты Iоп и Iтеор, вычислив отношение:
(12)
Сделать вывод о том, насколько велико расхождение полученных значений и каковы причины расхождений.
Таблица
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
l, м |
t, с |
n |
T, c |
, м |
, кг м2 |
Iтеор, кг м2 |
|
|
1 2 3 |
Контрольные вопросы.
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Б. Ф. Алексеев, К. А. Барсуков, И. А. Войцеховская и др.; Под ред. К. А. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М.: Высш. школа,1988. – 351 с.: ил.
ISBN 5-06-001365-0
4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970
Определение ускорения свободного падения
с помощью оборотного маятника
Цель работы: познакомиться с оборотным маятником и определить с его помощью ускорение свободного падения.
Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер.
Маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь). Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Период колебаний математического маятника равен:
(1),
где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.
Физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. Под действием силы тяжести физический маятник способен совершать колебания относительно этой оси. При малых колебаниях период колебаний физического маятника определяется формулой:
(2),
где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса; m – масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
Сопоставление формул (1) и (2) показывает, что математический маятник с длиной
(3)
будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (3) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Этот период задается формулой:
(4).
Точка О' на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс C, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (рис. 1). Приведенная длина всегда больше l, поэтому точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра масс.
Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина маятника, а значит и его период колебаний, будут теми же, что и вначале (когда маятник был подвешен в точке О). Следовательно, точка подвеса О и центр качания О' обладают свойством взаимозаместимости: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.
На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называют такой физический маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые маятник можно поочередно подвешивать. Закрепленные на маятнике тяжелые грузы можно перемещать вдоль маятника. Перемещением грузов можно добиться того, чтобы при подвешивании маятника за любую из опорных призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине физического маятника lпр. Измерив период колебаний маятника и зная lпр , можно по формуле (4) найти ускорение свободного падения g.
Описание установки
Используемый в данной работе оборотный маятник изображен на рисунке 2. Маятник представляет собой стальной стержень С, снабженный двумя неподвижными опорными призмами П1 и П2. На стержне закреплены две массивные стальные чечевицы A1 и A2. Чечевицу A2 можно перемещать вдоль стержня и закреплять в различных положениях, определяемых расстоянием b от конца стержня. Маятник подвешивают на кронштейне К поочередно за каждую из призм П1 и П2. Перемещением чечевицы A2 добиваются того, чтобы при подвешивании на призмах П1 и П2 период колебаний маятника был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине lпр.
Порядок выполнения работы
1. Закрепите чечевицу А2 на некотором расстоянии b от конца стержня.
2. Установите маятник на опорной призме П1. Приведите маятник в колебательное движение, отклонив его на небольшой угол (не более 10°) от вертикальной оси. Найдите период колебаний , трижды определив время t, за которое маятник совершает n колебаний (рекомендуем взять n = 10), и вычислив среднее арифметическое tср. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 1.
3. Установите маятник на опорной призме П2 и проведите измерения периода колебаний так же, как описано в пункте 2.
Опыты (1-3) рекомендуем провести при пяти–шести (k = 56) положениях чечевицы А2, например, соответствующих расстояниям b1 = 2, b2 = 6, b3 = 10, b4 = 14, b5 = 18 см.
4. Постройте графики ТП1 = f1(b) и ТП2 = f2(b) зависимостей периода колебаний маятника от положения чечевицы А2, откладывая по оси абсцисс расстояние b, а по оси ординат периоды колебаний ТП1 и ТП2, измеренные при различных значениях b при двух положениях маятника (с опорой на призму П1 и на призму П2). Координата bx точки пересечения кривых ТП1 = f1(b) и ТП2 = f2(b) определяет такое положение чечевицы А2, при котором периоды ТП1 и ТП2 одинаковы: ТП1 = ТП2 = Т.
5. Уточните значение периода колебаний маятника Т при найденном положении bx чечевицы А2. Для этого закрепите чечевицу А2 в положении bx и, подвесив маятник сначала на призме П1, а потом на призме П2, по три раза измерьте соответствующие времена t1 и t2, за которые маятник совершает n колебаний (во всех опытах возьмите одно и то же значение n = 10). Вследствие погрешности определения расстояния bx величины ТП1 и ТП2, а следовательно и величины t1 и t2, могут отличаться друг от друга. Необходимое для вычисления периода колебаний наиболее вероятное значение t времени n колебаний, а также абсолютную погрешность Δt величины t найдите методом Стьюдента, используя шесть измеренных значений t (трех величин t1 и трех величин t2). Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2.
6. Определите приведенную длину маятника lпр, измерив расстояние между ребрами опорных призм (при измерении можно использовать нанесенные на стержень маятника сантиметровые метки).
7. Вычислите g по формуле: .
8. Вычислите относительную погрешность определения величины g по формуле:
,
при этом погрешность Δn определения числа колебаний можно принять равной нулю.
9. Найдите абсолютную погрешность:
Δg = ε·g .
10. Запишите окончательный результат:
g = (g ± Δg); ε = . . . .
Сравните этот результат с величиной ускорения свободного падения, приводимой в справочниках по физике: g = 9.80665 м/с2.
Таблица 1
Измерения периода колебаний оборотного маятника при опоре на призму П1 и на призму П2 при различных положениях b чечевицы А2
|
b, см |
№ |
Призма П1 |
Призма П2 |
||||
|
t, с |
tср, с |
T, с |
t, с |
tср, с |
T, с |
||
|
b1 |
1 2 3 |
||||||
|
b2 |
1 2 3 |
||||||
|
· · · |
|||||||
|
bk |
1 2 3 |
Таблица 2
Измерения периода колебаний оборотного маятника при положении чечевицы А2 , равном bx = . . . см
|
lпр, м |
n |
П1 t1, с |
П2 t2, с |
t, с |
Δt, с |
, м/с2 |
|
1 2 3 |
1 2 3 |
Контрольные вопросы
1. Что такое математический маятник? Что такое физический маятник?
2. Запишите формулы для периодов колебаний математического и физического маятников. Какие предположения использованы при выводе этих формул?
3. Что называется приведенной длиной физического маятника?
4. Докажите справедливость утверждения: «Приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника».
5. Что называется центром качания физического маятника?
6. Докажите справедливость утверждения: «Маятник, подвешенный в центре качания О', имеет такую же приведенную длину, какую он имел, когда был подвешен в исходной точке О».
7. Какой маятник называют оборотным? Как в данной работе с помощью оборотного маятника определяют величину ускорения свободного падения?
8. Тонкий однородный абсолютно твердый стержень, имеющий массу m и длину r, подвешен за один из своих краев. Найдите положение центра качания, соответствующего этой точке подвеса.
9. Физический маятник представляет собой однородное тело, обладающее центром симметрии. Докажите равенство периодов колебаний этого маятника для любых двух точек подвеса, равноотстоящих от центра масс и лежащих на прямой линии, проходящей через центр масс. Докажите, что эти две точки не обладают свойством взаимности. Имеется ли центр симметрии у физического маятника, использованного в настоящей работе?
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: 2.
2. Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Б. Ф. Алексеев, К. А. Барсуков, И. А. Войцеховская и др.; Под ред. К. А. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М.: Высш. школа,1988. – 351 с.: ил.
ISBN 5-06-001365-0
4. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.
Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами: 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты.
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль.
Теоретическое введение
Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1)
Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси (см. рис. 2)
Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием.
,
где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV– элемент объема)
Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:
а) стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню
,
б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)
,
где – радиус обруча (цилиндра)
в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра )
,
где – радиус диска (цилиндра)
г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести
.
Момент инерции тела зависит: 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела.
Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как:
,
где – момент инерции тела массой m относительно произвольной оси, – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно произвольной оси, – расстояние между осями.
Описание установки
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из шкива и четырех равноплечих стержней, закрепленных на горизонтальной оси (см. рис.2). На стержнях на равных расстояниях от оси вращения насажены четыре одинаковых груза массы m каждый. При помощи груза m1, прикрепленного к концу шнура, намотанного на один из шкивов, вся система может быть приведена во вращательное движение. Для отсчета высоты падения h груза m1 имеется вертикальная шкала.
Запишем второй закон Ньютона для падающего груза в векторной форме
(1)
где - сила тяжести; - сила натяжения шнура (см. рис. 1);
- линейное ускорение, с которым падает груз m1 вниз.
Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме
(2)
откуда получим выражение для силы натяжения шнура
(3)
Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости
(4)
где h – высота падения груза m1; t – время падения.
Сила натяжения нити Fнат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так :
M – Mтр = I i , (5)
где М – момент силы натяжения; Mтр - момент сил трения; I - момент инерции крестовины; i - угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения Mтр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь.
Из уравнения ( 5 ) с учетом сделанного замечания получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины
(6)
где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле
(7)
Подставляя (3) и (7) в (6), получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины
(8)
Порядок выполнения работы.
Часть I.
Экспериментальное определение момента инерции системы 4х грузов.
1. Снять со стержней грузы m .
2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив груз m1 на заранее выбранной высоте h. Отпустив крестовину, замерить время падения tо груза с помощью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте падения h ).
3. Закрепить на концах стержней грузы m.
4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t. Опыт повторить пять раз.
5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях.
6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин tо, t и d.
7. По формуле (4) рассчитать величину линейного ускорения a, с которым падает груз m1 для случаев:
а) крестовина без грузов (aо),
б) крестовина с грузами (а).
8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов (Io) и с грузами (I), используя приближенные значения m1, R, g и полученные значения а и ао.
(9)
(10)
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
to, c |
t, c |
d, м |
h, м |
m = (0,144+0,005) кг m1 = (0,175+ 0,005) кг R = (0,220 + 0,003) м |
|
1 2 3 4 5 |
|||||
|
Приближен. значения |
|||||
|
Абсолютная погрешность |
Часть II.
1. Теоретически найти момент инерции системы 4х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками)
(11)
2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность
(12)
и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов.
Контрольные вопросы.
1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела?
2. От чего зависит момент инерции тела относительно оси вращения?
3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены?
4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование.
5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов.
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.
4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).
Часть II. Колебания и волны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА
КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА
Цель работы: определить логарифмический декремент колебаний маятника при наличии разных сил сопротивления и построить графики изменения амплитуды колебаний со временем.
Приборы и принадлежности: маятник, кювета со шкалой, приспособление для пуска маятника, секундомер, емкость с водой.
Колебаниями называются движения или процессы, повторяющиеся во времени. Простейшим видом колебательного движения является гармоническое колебание. Оно возникает в том случае, когда на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению:
F = –kx, (1)
где х – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент пропорциональности, который зависит от упругих свойств системы и называется коэффициентом квазиупругой силы. Знак минус показывает, что сила направлена противоположно смещению.
Второй закон Ньютона для материальной точки, совершающей гармоническое колебание, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка
, (2)
где m – масса материальной точки.
Решением уравнения (2) является выражение
x = Acos(t + ), (3)
где A – амплитуда колебаний, – циклическая частота, – начальная фаза колебаний. Аргумент периодической функции
= t + (4)
называется фазой колебаний. При t = 0 фаза = . Начало отсчета можно выбрать так, чтобы = 0, тогда
x = Acost. (5)
График зависимости смещения х от времени t представляет собой график гармонического колебания (рис. 1).
Если колебания совершаются при наличии сил сопротивления, то энергия системы частично затрачивается на их преодоление. Вследствие этого амплитуда колебаний постепенно уменьшается, т.е. колебания будут затухающими.
Таким образом, затухающие колебания совершаются при наличии двух сил: силы, возвращающей систему в положение равновесия, и силы сопротивления среды. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна скорости υ:
Fсопр = –rυ, (6)
где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную скорости.
Для затухающих колебаний второй закон Ньютона имеет вид:
. (7)
Решением уравнения (7) является выражение:
x = A0e–tcos(t + α), (8)
где A0 – начальная амплитуда колебаний; – коэффициент затухания, равный
= ; (9)
– циклическая частота затухающих колебаний, равная = ; 0 – собственная частота колебаний системы. Собственной частотой колебаний называется частота колебаний в отсутствие сил сопротивления среды. Смещение колеблющейся системы в начальный момент времени равно
x0 = A0cosα.
Из уравнения (8) видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону:
A = A0e–t. (10)
График затухающего колебания представлен на рис. 2.
Кроме перечисленных выше величин A0, , , затухающие колебания характеризуются также логарифмическим декрементом D. Логарифмический декремент колебаний – безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное одному периоду
D = (11)
Из формулы (11) следует, что логарифмический декремент – величина, обратная числу колебаний Ne, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы также используется величина, называемая добротностью Q. При малых значениях логарифмического декремента (D << 1) добротность колебательной системы равна Q ,
тогда
Q = Ne.
Подставив в уравнение (11) At = A0e–t и At + T = A0e–(t + T), получим связь между параметрами затухающего колебания – логарифмическим декрементом, коэффициентом затухания и периодом колебаний:
D = Т. (12)
Для определения логарифмического декремента нужно измерить амплитуды двух последовательных колебаний и взять натуральный логарифм их отношения. На опыте измеряют амплитуду в начальный момент времени A0 и амплитуду At через N полных колебаний.
Получим формулу для вычисления логарифмического декремента. Выразим отношение двух амплитуд:
= eδt.
Так как t = NT, где N – число полных колебаний, Т – период колебаний, то eδNT.
Используя соотношение (12), получим
eDN.
Найдем натуральный логарифм отношения амплитуд:
ln = lneDN = DN,
откуда
D = . (13)
Описание установки
На рис. 3 изображена установка для наблюдения затухающих колебаний. Массивный маятник с длиной стержня около двух метров подвешен на треугольном стальном ноже 1, опирающемся на кронштейн 2. На стержне укреплен массивный диск 3. На нижнем конце стержня укреплен указатель 4 для отсчета числа делений по шкале 5. На стержне также закреплена лопатка 6. Маятник удерживается в отклоненном положении с помощью механического фиксатора 7. При повороте фиксатора маятник приходит в колебательное движение.
В работе изучаются затухающие колебания в воздухе и в воде. Чтобы заполнить кювету 8 водой, емкость 9 фиксируется в верхнем положении на кронштейне 10, и вода самотеком наливается в кювету через шланг.
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
В воздухе |
В воде |
||||||
|
А0 |
Аt |
N |
D |
А0 |
Аt |
N |
D |
|
|
1 |
50 |
25 |
||||||
|
2 |
100 |
50 |
||||||
|
3 |
150 |
75 |
||||||
|
4 |
200 |
100 |
||||||
|
5 |
250 |
125 |
||||||
|
Среднее значение D |
Среднее значение D |
|||||||
|
Абсолютная погрешность D |
Абсолютная погрешность D |
Контрольные вопросы и задания
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970
4. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов./ Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др.; Под редакцией А.С. Ахматова. – М.: Высшая школа. 1980. – 360 с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ
МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН
Цель работы: определение длины стоячей волны и скорости звука в воздухе.
Приборы и принадлежности: резонатор с телефоном и микрофоном, звуковой генератор, осциллограф, отсчетная линейка.
Звук представляет собой упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах и воспринимаемые ухом человека и животных. Человеческое ухо способно воспринимать звук с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Звук с частотами ниже 16 Гц называется инфразвуком, а выше 20 кГц – ультразвуком. Наука о звуке называется акустикой.
Если в упругую среду поместить источник колебаний, то соприкасающиеся с ним частицы будут выведены из положения равновесия и придут в колебательное движение. Колебания этих частиц передаются силами упругости соседним частицам среды, а от них – к другим, более удаленным от источника колебаний. Через некоторое время колебательный процесс охватит всю среду. Распространение колебаний в упругой среде называется волной или волновым процессом.
Различают продольные волны (частицы колеблются вдоль направления распространения волны) и поперечные волны (частицы колеблются перпендикулярно этому направлению). Продольные волны представляют собой чередующиеся сгущения и разрежения. Такие волны распространяются в средах, в которых возникают силы упругости при деформациях сжатия и растяжения, но не обладающих напряжением сдвига (т.е. в твердых телах, жидкостях и газах). Примером продольных волн являются звуковые волны. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига (т.е. в твердых телах или в некоторых особых случаях, например, волны на границе раздела жидкость-газ). Скорость распространения продольных и поперечных волн зависит от упругих свойств среды. Так, при 20 ºС скорость звука в воздухе равна 343 м/c, в воде – 1480 м/c, в стали – около 6000 м/c.
Скорость звука в газах теоретически можно рассчитать по формуле:
, (1)
где – показатель адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме), R – молярная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура, М – молярная масса газа. Таким образом, скорость звука в газах оказывается такого же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул.
Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль координаты x, имеет вид:
= Acos(t – kx), (2)
где – смещение частиц среды от положения равновесия; А – амплитуда волны; – циклическая частота колебаний; t – время; k – волновое число, ( – длина волны).
Стоячей волной называется особое колебательное состояние среды, возникающее при наложении двух встречных бегущих волн (например, прямой и отраженной) одинаковой амплитуды и частоты. Стоячая волна – это частный случай интерференции волн.
Рассмотрим сложение двух встречных волн с одинаковой амплитудой и частотой. Прямая волна описывается уравнением
1 = Acos(t – kx), (3)
в уравнении отраженной волны координата x меняет знак на противоположный:
2 = Acos(t + kx). (4)
Сложим уравнения (3) и (4):
= 1 + 2 = Acos(t – kx) + Acos(t + kx)
и, воспользовавшись формулой для суммы косинусов двух углов, получим уравнение стоячей волны:
= 2Acosxcost. (5)
Выражение, стоящее перед cost, представляет собой амплитуду стоячей волны:
Аст. в. = 2Acosx . (6)
Амплитуда колебаний частиц среды в стоячей волне зависит от координаты частиц x и, следовательно, меняется от точки к точке. Амплитуда стоячей волны максимальна (такие геометрические места называются пучностями) при условии
cosx = 1,
т.е.
x = n, (7)
откуда координаты пучностей
xпучн = . (8)
Амплитуда стоячей волны принимает нулевые значения (такие точки называются узлами) при условии
cosx = 0,
т.е.
x = (2n + 1), (9)
откуда координаты узлов
xузл= . (10)
В формулах (7) – (10) n = 0, 1, 2, 3 … . Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно /2, а соседние узлы и пучности сдвинуты на /4. Точки, находящиеся в узлах, не совершают колебаний.
Расстояние между двумя смежными узлами или пучностями называется длиной стоячей волны. Следовательно, длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны:
ст = . (11)
Построим график стоячей волны. По уравнению (5) рассчитаем смещения для фиксированных моментов времени t = 0, T/8, T/4, 3T/8, T/2. В каждое из получившихся уравнений = f(x) подставим координаты x = 0, /4, /2, 3/4, , 5/4… . Результаты расчетов приведены ниже.
Полученные зависимости = f(x) изображены на рис. 1 и представляют собой своего рода «мгновенные фотографии» стоячей волны.
Стоячая волна имеет следующие особенности:
|
t = 0, = 2Acosx |
||||||
|
x |
0 |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
5/4 |
|
|
2A |
0 |
–2A |
0 |
2A |
0 |
|
t = , = 2Acosxcos, = Acosx |
||||||
|
x |
0 |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
5/4 |
|
|
A |
0 |
–A |
0 |
A |
0 |
|
t = , = 2Acosxcos, = 0 |
||||||
|
x |
0 |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
5/4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
t = , = 2Acosxcos, = –Acosx |
||||||
|
x |
0 |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
5/4 |
|
|
–A |
0 |
A |
0 |
–A |
0 |
|
t = , = 2Acosxcos, = –2Acosx |
||||||
|
x |
0 |
/4 |
/2 |
3/4 |
|
5/4 |
|
|
–2A |
0 |
2A |
0 |
–2A |
0 |
υ = λν. (12)
Из формулы (11) следует, что λ = 2λст, тогда
υ = 2λстν. (13)
По формуле (13) можно рассчитать скорость звука при температуре эксперимента.
Зависимость скорости звука от температуры описывается соотношением
υ = υ0, (14)
где υ0 – скорость звука при 0 ºС, t – температура в ºС, α – температурный коэффициент объемного расширения газа. Для воздуха α = (3,67 0,05)·10–3 ºС–1. Из формулы (14) выразим скорость звука при 0 ºС:
υ0 = . (15)
Подставив (13) в (15), получим расчетную формулу:
υ0 = . (16)
Упрощенное описание установки и процессов, в ней происходящих
Установка для определения скорости звука (рис. 2) состоит из резонатора 1, звукового генератора 2, осциллографа 3 и отсчетной линейки 4. Резонатор представляет собой закрытую с обоих торцов трубу, в которую вмонтирован телефон 5 и подвижный шток 6 с микрофоном 7. Звуковой генератор создает электрические колебания определенной частоты. Телефон преобразует эти колебания в звуковые колебания той же частоты. Звуковая волна от телефона распространяется внутри резонатора. В результате интерференции прямой и отраженной звуковой волны в резонаторе возникает стоячая волна, которая представляет собой чередующиеся сгущения и разрежения воздуха.
На рис. 2 условно изображена стоячая волна, пучностям которой соответствует наибольшая амплитуда. Звук улавливается микрофоном и преобразуется в электрический сигнал, подаваемый на осциллограф. На экране осциллографа наблюдается сигнал синусоидальной формы, амплитуда которого пропорциональна амплитуде звуковых колебаний в данном месте резонатора. Когда мембрана микрофона находится в пучностях стоячей волны, амплитуда воспринимаемых колебаний максимальна, а когда в узлах – минимальна.
На опыте обычно измеряют положение первого максимума x1 и последнего максимума xk и рассчитывают длину стоячей волны по формуле
λст = , (17)
где k – число максимумов.
В несколько более точном представлении схема эксперимента и происходящие в ней явления выглядит иначе. Диаметр микрофона равен внутреннему диаметру резонатора. Таким образом, между микрофоном и телефоном существует замкнутое пространство, в котором распространяются падающая и отраженная волны. Стоячие волны возникают в том случае, когда между мембранами телефона микрофона укладывается целое число длин волн λст и возникает явление резонанса, отчетливо воспринимаемое на слух и регистрируемое осциллографом.
Порядок выполнения работы
Таблица
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
, Гц |
k |
x1 |
xk |
ст |
υ0, м/с |
,
где ст принять равной цене деления отсчетной линейки, = 20 Гц, t принять равной половине цены деления шкалы термометра,
= 510–5 ºС –1. Абсолютная приборная погрешность будет равна
υсист = υ0.
υ = .
(γ = 1,40; М = 29·10–3 кг/моль) и сравнить с полученным на опыте значением.
Литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М.: Высшая школа, 1970
4. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов./ Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др.; Под редакцией А.С. Ахматова. – М.: Высшая школа. 1980. – 360 с.
Часть III. Молекулярная физика, термодинамика, явления переноса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ
ПО МЕТОДУ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА
Цель работы – определить отношение теплоемкостей для воздуха.
Приборы и принадлежности – стеклянный баллон емкостью около 25 литров с краном, манометр, насос, соединительные трубки.
Теоретическое введение
Удельной теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания единицы массы вещества на 1 оС(К) в данном процессе.
Молярной теплоемкостью вещества называется физическая величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля вещества на 1оС(К) в данном процессе.
Очевидно,
где молярная масса вещества.
Для газов принято различать теплоемкость при постоянном объеме Сv и при постоянном давлении Cp, в зависимости от процесса нагревания газа.
Согласно первому закону термодинамики количество переданной системе теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии системы и работу расширения
dQ=dU+dA
При нагревании газа при V=const работа расширения dA=0, и все тепло идет на увеличение внутренней энергии, т.е. на нагревание газа.
При нагревании газа при P=const тепло затрачивается не только на нагревание, но и на работу расширения газа. Поэтому Сp > Сv.
Согласно кинетической теории идеального газа
где z – число степеней свободы молекулы
n – число молей газа
T –температура по шкале Кельвина
R – универсальная газовая постоянная
Соответственно: для двухатомного газа z = 5 и γ = 1,40; для многоатомного z = 6 и γ = 1,33.
Для экспериментального определения воздуха в данной работе используется адиабатический процесс расширения или сжатия.
Адиабатическим процессом называется процесс без теплового обмена с окружающей средой. dQ=0
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса запишется как
0=dU+dA
или
а) dU = – dA - увеличение внутренней энергии газа (нагревание) происходит за счет работы внешних сил, совершающих сжатие газа.
б) dA = – dU – работа расширения, совершаемая газом, происходит за счет уменьшения его внутренней энергии.
Таким образом, при адиабатическом сжатии газ нагревается, при адиабатическом расширении – охлаждается.
Для осуществления адиабатического процесса нужно либо теплоизолировать систему, либо вести процесс так быстро, чтобы теплообмен не успел произойти.
Описание установки.
Стеклянный баллон А емкостью 25 литров с пробкой q соединен резиновыми трубками с насосом N и манометром М. На трубке, соединяющей баллон с насосом, имеется кран К (см. рис. 1).
Проведение эксперимента
I. Определение при сжатии воздуха.
1) Перед опытом открыть пробку q. Давление воздуха в баллоне А станет равным атмосферному давлению, и жидкость в манометре установится на одном и том же уровне в обоих коленах.
2) Закрыть трубку сосуда пробкой q, открыть кран К и осторожно накачать при помощи насоса N некоторое количество воздуха. Уровень жидкости в левом (соединенном с баллоном) колене начинает при этом опускаться, а в правом – подниматься.
Накачивать воздух следует до тех пор, пока разность высот уровней жидкости в манометре не достигнет нескольких десятков сантиметров ( 25 – 30 см ). (При накачивании воздух в баллоне сжимается, и температура его повышается ).
3) Закрыть кран К и дать воздуху в баллоне охладиться до комнатной температуры. Так как при охлаждении газа в баллоне его давление понижается, то разность уровней жидкости в манометре несколько уменьшается. Когда температура в баллоне станет равной температуре окружающего воздуха, перемещение уровней жидкости в манометре прекратится, и установится определенная разность высот h1 , которую отмечают по шкале манометра. Давление внутри баллона будет равно
P1 = H + h1 ,
где Н – атмосферное давление. Удельный объем газа (объем, занимаемый единицей массы газа) в баллоне будет V1, а температура t1 = tкомн . Это состояние изобразится точкой А на графике, приведенном в таблице 1.
4). Открыть и очень быстро закрыть пробку q . При этом с воздухом в баллоне произойдут два следующие друг за другом процесса:
а). В момент открытия пробки происходит быстрое расширение воздуха, заключенного в баллоне, которое можно считать адиабатическим из-за его кратковременности. Давление при этом упадет до атмосферного и будет равно Р2 = Н объем возрастает до V2 , так как часть воздуха вышла, и на единицу массы теперь приходится больший объем. Температура становится ниже комнатной t2 < t1 , так как воздух адиабатически расширился. Это второе состояние изображается на графике, приведенном в таблице 1, точкой В.
б). После закрытия пробки q через 2 – 3 минуты воздух в баллоне в результате теплообмена снова нагревается до комнатной температуры tк . В процессе теплообмена происходит изохорическое нагревание воздуха, так как удельный объем V2 остается неизменным. При этом давление воздуха возрастает до
Р3 =Н + h2.
Разность уровней h2 ( после того, как она установится ) снова отмечают по шкале манометра. Это третье состояние газа изобразится точкой С (см. тот же график и таблицу).
Состояниям А и С соответствует одна и та же температура, поэтому на графике эти точки можно соединить изотермой.
Таблица трех состояний в процессе работы не заполняется, она нужна для вывода расчетной формулы.
Таблица 1
Три состояния воздуха при сжатии и графики соответствующих переходов
|
При каких условиях |
Состоя- ние |
Уд. объем |
Давле- ние |
Темпе- ратура |
|
|
До откры- тия пробки |
А |
V1 |
H +h1 |
tк |
|
|
В момент открытия пробки |
В |
V2 |
H |
t2 |
|
|
После закрытия пробки |
С |
V2 |
H + h2 |
tк |
Таблица 2
Три состояния воздуха при расширении и графики соответствующих переходов
|
При каких условиях |
Состоя- ние |
Уд. объем |
Давле- ние |
Темпе- ратура |
|
|
До откры- тия пробки |
А |
V1 |
H – h1 |
tк |
|
|
В момент открытия пробки |
В |
V2 |
H |
tк |
|
|
После закрытия пробки |
С |
V2 |
H – h2 |
tк |
Вывод расчетной формулы
Рассматривая переход воздуха из состояния А в состояние В как процесс адиабатический, применим к нему уравнение Пуассона
или (1)
Переход от конечного состояния С к начальному состоянию А можно было бы произвести изотермически, так как температура в обоих состояниях одинаковая – tk..
Применим к этому переходу закон Бойля-Мариотта
(2)
Возводя левую и правую части уравнения (2) в степень γ, получим
(3)
Левые части равенств (1) и (3) равны, следовательно, равны и правые
(4)
Логарифмируя (4), получим
откуда
или
Вычитая и прибавляя в знаменателе последнего выражения ln H, получим
Из теории рядов известно, что выражение может быть представлено в виде
Если Х мало, то ln
В нашем случае
– достаточно малы и
Формула (5) позволяет определить величину по двум показаниям манометра h1 и h2 .Опыт следует провести не менее пяти раз при различных показаниях для случаев расширения и сжатия воздуха в баллоне. Результаты измерений h1 и h2 занести в таблицу 3. Для каждой пары h1 и h2 по формуле (5) вычислить γ, полученные значения занести в таблицу. Вычислить приближенное значение γ, абсолютную и относительную погрешности. Окончательный результат записать в виде
Таблица 3
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
h1 |
h2 |
||
|
Сжатие |
1 2 3 4 5 |
|||
|
Расширение |
1 2 3 4 5 |
|||
Приближенное значение γпр
Абсолютная погрешность ∆γ
Контрольные вопросы
1. Что называется удельной и молярной теплоемкостями? Соотношение между ними. Единицы измерения.
2. Что такое Сv и что такое Ср ? Почему Ср > Сv ?
3. Какой процесс называется адиабатическим? Как практически можно осуществить адиабатический процесс?
4. Пользуясь первым началом термодинамики и уравнением Менделеева-Клапейрона, обосновать закон Пуассона для адиабатического процесса.
5. В системе координат P и V представьте адиабату и сопоставьте с изотермой. Почему адиабата идет более круто, чем изотерма?
6. Выведите расчетную формулу Клемана и Дезорма. Какие изопроцессы имели место в данной работе?
7. Проанализировать таблицы 1 и 2 для расширения и сжатия и выяснить физический смысл процессов.
1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.
2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.
4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
Цель работы – в работе требуется определить коэффициент вязкости глицерина по методу Стокса.
Приборы и принадлежности: труба с глицерином, масштабная линейка, шарики, микрометр и секундомер.
Теоретическое введение.
Если привести один слой жидкости в упорядоченное движение со скоростью 1, то он увлечет за собой прилегающий слой со скоростью 2, последующий со скоростью 3 и т.д. При этом скорость упорядоченного движения убывает в перпендикулярном направлении к движению слоев жидкости, т.е. 1>2>3… . Выделим два слоя жидкости на расстоянии x друг от друга, движущихся со скоростями и (см. рис.1).
Вследствие передачи импульса при переходе молекул из слоя в слой возникает сила внутреннего трения.
Сила внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения взаимодействующих слоев жидкости и градиенту скорости
, (1)
где - коэффициент динамической вязкости жидкости (или просто вязкость); S - площадь слоя; - градиент скорости.
Коэффициентом динамической вязкости называется величина, численно равная силе внутреннего трения, с которой один слой увлекает или тормозит другой слой жидкости при условии, что площадь соприкосновения слоев и градиент скорости .
В системе СИ за единицу динамической вязкости принимают - вязкость такой среды, в которой один слой увлекает или тормозит другой с силой в , если площадь соприкосновения слоев и градиент скорости .
Коэффициентом кинематической вязкости называется отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости
. (2)
Коэффициент вязкости существенно зависит от температуры. Для жидкости с повышением температуры он резко уменьшается.
Определение коэффициента динамической вязкости методом Стокса
Рассмотрим свободное падение тела внутри покоящейся жидкости. Пусть в сосуде с жидкостью вертикально падает небольшой шарик радиуса с малой скоростью (см. рис. 2). В этом случае между тонким слоем жидкости, обволакивающим шарик, и окружающей средой возникает сила внутреннего трения. Последняя направлена против движения и, согласно закону Стокса, равна
, (3)
где - коэффициент вязкости жидкости.
Кроме указанной силы , на шарик действуют две силы – сила тяжести (вертикально вниз) и сила Архимеда (вертикально вверх).
В первый момент падения шарик движется равноускоренно, так как сила тяжести больше суммы сил, действующих вертикально вверх. При дальнейшем падении скорость шарика увеличивается, возрастает и сила внутреннего трения (см. формулу 3). Когда скорость шарика будет иметь такое значение, при котором все три силы , и уравновешиваются (сумма сил равна нулю), тогда шарик согласно первому закону Ньютона, будет падать равномерно с постоянной скоростью .
Для этого случая имеем
. (4)
Обозначим через плотность шарика, а через - плотность жидкости. Если силу тяжести выразить через плотность, то получим
. (5)
Соответственно сила Архимеда
. (6)
Подставляя значения сил (3), (5) и (6) в (4) и выражая , найдем
. (7)
По формуле (7) можно вычислить коэффициент вязкости жидкости, если измерить на опыте скорость равномерного движения шарика в жидкости. Для этой цели необходимо измерить время t прохождения шариком расстояния l между метками m и n (см. рис.2). Скорость равномерного движения будет , и расчетная формула примет вид
. (8)
Порядок выполнения работы
.
Таблица
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
Радиус шарика r, м |
Время падения шарика t, с |
Расстояние между метками l, м |
Коэффициент вязкости , |
|
1 2 3 4 5 |
||||
|
Приближенное значение |
||||
|
Абсолютная погрешность |
Контрольные вопросы
1. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.
2. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Б. Ф. Алексеев, К. А. Барсуков, И. А. Войцеховская и др.; Под ред. К. А. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М.: Высш. школа,1988. – 351 с.: ил.
ISBN 5-06-001365-0
3. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа , 1990г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА
Цель работы: определить среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекул воздуха по коэффициенту внутреннего трения.
Приборы и принадлежности: сосуд с капилляром, секундомер, мерный и химический стаканы, барометр.
Теоретическое введение
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом (см. рис. 1). При нормальных условиях каждая молекула воздуха за одну секунду испытывает до 109 столкновений с другими молекулами (для упрощения задачи не будем принимать во внимание химический состав воздуха, а будем рассматривать некую эффективную молекулу). Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекула изменяет направление своего движения.
Расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега .
Длина свободного пробега между отдельными столкновениями молекулы могут значительно отличаться друг от друга, поэтому вводят понятие средней длины свободного пробега <>, которая определяется как отношение:
, (1)
где <v> и <z> – средняя скорость и среднее число столкновений молекулы в единицу времени.
Весьма приближенно число столкновений молекул за одну секунду можно подсчитать исходя из следующих соображений. Условно изобразим путь, пройденный молекулой за 1 с, прямой линией (рис. 2), длина которой численно равна <v>. Пусть в окружающем пространстве в единице объема содержится n молекул. Тогда рассматриваемая молекула, двигаясь по прямой, столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом R, равным эффективному диаметру молекул d. Под эффективным диаметром понимается минимальное расстояние (рис. 3), на которое сближаются при столкновении центры двух молекул.
Так как объем цилиндра равен R2<v> = d2<v>, то всего молекул в нем окажется d2<v>n. С этими молекулами и произойдут столкновения за 1 с. Таким образом, <z> = d2<v>n.
Более точный расчет с учетом распределения Максвелла молекул по скоростям приводит к выражению:
. (2)
Подставив это значение <z> в (1) получим для средней длины свободного пробега следующую формулу:
. (3)
После замены d2 на эффективное сечение молекулы , формула (3) принимает вид:
. (4)
При постоянной температуре концентрация n пропорциональна давлению p (n = p/kT). Следовательно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
. (5)
Эффективное сечение молекул уменьшается с повышением температуры по уравнению
(6)
где – 0 величина, которую можно рассматривать как истинный диаметр молекулы, С – константа.
В соответствии с уравнением (6) при повышении температуры длина свободного пробега увеличивается. При нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекул в газе составляет величину порядка 10–7 м. При очень высоком вакууме соударений молекул между собой практически не происходит. Они ударяются только о стенки сосуда и длина пробега молекулы становится постоянной, равной линейным размерам сосуда.
Столкновения молекул, происходящие в газах в результате теплового движения молекул, определяют характер процессов, известных под названием явлений переноса. К этим процессам относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение или вязкость.
Диффузией называется самопроизвольный процесс, возникающий при наличии градиента концентрации в системе, заключающийся в переносе массы в направлении убывания концентрации и совершающийся за счет теплового движения атомов, молекул, ионов, или более крупных агрегированных частиц. Диффундировать могут как растворенные в веществе посторонние частицы, так и частицы самого вещества (самодиффузия).
Теплопроводность – это процесс переноса теплоты внутри неравномерно нагретой среды ппри наличии градиента температуры и при условии, что конвекция и другие явления устранены. При этом молекулы, находящиеся в более нагретых областях и обладающие в среднем более высокой кинетической энергией, при хаотическом тепловом движении переносят энергию в более холодные области, в результате чего происходит выравнивание температуры по всей области.
Внутреннее трение или вязкость – это свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. При переходе частиц (атомов, молекул, ионов) из одного слоя в другой, движущихся относительно друг друга с некоторой скоростью, они переносят с собой импульс, при этом слой, движущийся быстрее, замедляется, а слой, движущийся медленнее, ускоряется.
Все явления переноса формально могут быть описаны уравнением:
, (7)
где J – поток переносимой величины (массы, теплоты, импульса), k – коэффициент пропорциональности (диффузии D, теплопроводности , внутреннего трения ), dJ/dn – градиент переносимой величины (концентрации, температуры, скорости) вдоль нормали к площадке S, через которую осуществляется перенос величины J, t – время.
Молекулярно-кинетическая теория газов позволяет во всех деталях интерпретировать явления переноса и установить связь между коэффициентами переноса (диффузии, теплопроводности, вязкости):
(8)
, (9)
, (10)
где – плотность вещества, СV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Последнее уравнение положено в основу определения средней длины свободного пробега молекул воздуха в данной работе.
Из формулы (9) получаем:
(10)
Коэффициент вязкости, в свою очередь, можно определить из закона Пуазейля, описывающего ламинарное течение вязкой среды в тонкой цилиндрической трубке.
Согласно закону Пуазейля объем газа/жидкости, протекающей через поперечное сечение трубки под действием перепада давления на концах трубки p, определяется выражением:
, (11)
где V – объем газа, r – радиус капилляра, l – длина капилляра, p – разность давлений на концах капилляра, t – время, в течение которого через капилляр протекает данный объем газа.
Из (3) получаем:
. (12)
Все величины, входящие уравнение (12) легко измеряются в опыте.
Средняя арифметическая скорость молекул газа <v> согласно молекулярно-кинетической теории определяется выражением:
, (13)
где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура,
М – молярная масса.
Плотность газа находится из уравнения Менделеева-Клапейрона:
, (14)
где P – давление газа.
После подстановки (12), (13) и (14) в (10) получаем:
. (15)
Разность давлений P может быть рассчитана по формуле:
, (16)
где h1 и h2 – высоты уровней жидкости в сосуде А (рис. 4), g – ускорение свободного падения, в – плотность воды.
Эффективный диаметр d молекулы находится из соотношения (3), в котором n – число молекул газа в единице объема при данных условиях. Для перехода к нормальным условиям (T0 = 273,15 K, P0 = 760 мм рт.ст. или 1,01325105 Па) воспользуемся соотношением:
, (17)
Из (3) и (17) получаем выражение для эффективного диаметра молекулы газа:
. (18)
Описание установки
Для определения средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха используется установка, состоящая из сосуда, заполненного водой (1), капилляра (2) и мерного стакана (3) (рис. 1). Если открыть кран, то вода будет выливаться из сосуда, одновременно через капилляр в сосуд будет засасываться воздух. Таким образом, капилляр является той трубкой, в которой устанавливается ламинарное течение воздуха в результате того, что разные концы трубки находятся под разным давлением (верхний конец – под атмосферным давлением, нижний – меньше атмосферного). Сосуд снабжен шкалой, с помощью которой можно определить высоту столба вытекшей воды. Под сосудом устанавливается мерный стакан для определения объема вытекшей воды, равного объему воздуха, поступившего в сосуд.
Порядок выполнения работы
= <> (м).
d = <d> d (м).
Таблица
Результаты измерений и вычислений
|
№ п/п |
t (c) |
V (м3) |
h1 (м) |
h2 (м) |
Тк (К) |
Р (Па) |
Р (Па) |
(м) |
d (м) |
|
1 |
|||||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|||||||||
|
5 |
|||||||||
|
Среднее значение |
|||||||||
|
Случайная погрешность |
Примечание: R = 8,314 Дж/мольК;
Мвозд = 28,9610–3 кг/моль;
n0 = 2,691025 м–3;
1 мм рт. ст. = 133,3 Па.
Радиус r и длина l капилляра указаны на установке.
Контрольные вопросы
Литература:
Савельев И.В. Курс общей физики. Учеб. Пособие. В 3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика. – 3-е изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1986. 432 с.
PAGE \* MERGEFORMAT 86
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
чиcловая ось
Рис. 9. К расчету момента сил, действующих на блок
A
y׀
y
x׀
x
EMBED Equation.3
h
Б1
d
Рис. 8. Силы, действующие на груз и блок при движении.
EMBED Equation.3
Вид сверху на блок Б1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Б2
Б1
m1
m2
R
R
0
O’
m
2
h
H1
1
R
R
m1
d
0
H2
Б1
Б2
l
m2
Рис. 7. Схема установки
Рис. 6. Определение направления угловой скорости и углового ускорения
m
O
h
O
О
С
О
90о
r3
r2
r1
ri
mi
m3
m2
m1
О’
О
O
l
С
mg
А1
А2
С
П2
П1
Рис.2. Схема установки
O
О
А1
П3
r
m
Pис. 1. Схема определения момента инерции матери-альной точки
r
m
R
Рис.2. Схема установки
m
m
m
К
А
N
q
0
10
20
30
10
40
20
30
P
M
Рис. 1. Схема установки
P
A
C
B
H+h1
H+h2
H
V1
V2
V
P
H-h2
H-h1
H
B
A
C
V2
V1
V
X
Рис.1. Схема передачи импульса при внутреннем трении
m
n
Cт
F
A
F
g
m
Рис.2. Схема установки
d
R
d
<v>
Рис. 2.Путь, пройденный молекулой за 1 с
Рис. 1. Тепловое движение молекул
Рис. 3.Эффективный диаметр молекулы
2
1
3
4
h
1
l
h
2
Рис. 4. Схема установки
1
–
сосуд
2
–
капилляр
3
–
мерный стакан
4
–
кран
l
lпр.
о
о
С
Рис. 1. Схема физического маятника
А2
А1
С
П2
П1
Рис.2. Схема установки
К