Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант №16.
Задание №1.
1) Составим вариационный ряд, упорядочив выборку по 8 разрядам. Объем выборки n = 100.
|
Номера значений х |
||||||||||
|
41-50 |
51-60 |
71-80 |
81-90 |
91-100 |
101-110 |
111-120 |
121-130 |
131-140 |
141-150 |
|
|
Значения х |
45 |
30 |
39 |
23 |
42 |
35 |
37 |
38 |
33 |
43 |
|
40 |
31 |
25 |
23 |
34 |
37 |
38 |
39 |
29 |
42 |
|
|
19 |
35 |
42 |
35 |
40 |
33 |
39 |
28 |
29 |
39 |
|
|
45 |
31 |
29 |
35 |
32 |
26 |
28 |
38 |
45 |
27 |
|
|
46 |
32 |
28 |
26 |
40 |
29 |
38 |
35 |
40 |
35 |
|
|
34 |
29 |
45 |
33 |
23 |
40 |
35 |
28 |
33 |
53 |
|
|
13 |
38 |
34 |
26 |
39 |
41 |
28 |
29 |
36 |
46 |
|
|
37 |
33 |
41 |
36 |
37 |
27 |
29 |
27 |
46 |
47 |
|
|
37 |
40 |
38 |
41 |
21 |
35 |
27 |
41 |
39 |
34 |
|
|
31 |
42 |
29 |
24 |
35 |
43 |
41 |
37 |
37 |
28 |
Табл. 1. Значения признака x генеральной совокупности.
xmin =13
xmax = 53
Размах выборки: d = xmax - xmin = 53-13 = 40
Число разрядов: s = 8
= = 5 ⇒ d1=Sh=40 ⇒ xmin=13; xmax =53
Таким образом, получим 8 интервалов:
[13;18),[18;23),[23,28),[28;33),[33;38),[38;43),[43;48),[48;53]
Составим таблицу 1.1, где ni – количество вариантов х;
ωi – относительная частота (ωi = ).
|
Интервал |
13-18 |
18-23 |
23-28 |
28-33 |
33-38 |
38-43 |
43-48 |
48-53 |
Σ |
|
ni |
1 |
2 |
12 |
20 |
27 |
27 |
10 |
1 |
100 |
|
ωi |
0,01 |
0,02 |
0,12 |
0,20 |
0,27 |
0,27 |
0,1 |
0,01 |
1 |
Табл. 1.1. Абсолютные и относительные частоты вариантов х.
Построим гистограмму частот и гистограмму относительных частот (рис. 1.1 и рис. 1.2)
13 18 23 28 33 38 43 48 53
Рис. 1. Гистограмма частот вариантов признака x.
13 18 23 28 33 38 43 48 53
Рис. 2. Гистограмма относительных частот вариантов признака x.
2) Составим статистическое распределение выборки (табл. 1.2), приняв середины разрядов за варианты хi:
|
хi |
15,5 |
20,5 |
25,5 |
30,5 |
35,5 |
40,5 |
45,5 |
50,5 |
|
ni |
1 |
2 |
12 |
20 |
27 |
27 |
10 |
1 |
|
ωi |
0,01 |
0,02 |
0,12 |
0,20 |
0,27 |
0,27 |
0,1 |
0,01 |
Табл. 1.2. Статистическое распределение выборки
Найдем эмпирическую функцию распределения и построим её график (рис. 3):
15,5 20,5 25,5 30,5 35,5 40,5 45,5 50,5
Рис. 3. График эмпирической функции распределения
Построим полигон частот и полигон относительных частот:
Рис. 4. Полигон частот
Рис. 5. Полигон относительных частот.
3) Найдем числовые характеристики выборки
а) эмпирические начальные моменты
;
+42882211,6875+72641341,6875+42859350,625+6503775,0625=1876788,2125
б) Средняя выборочная
в) эмпирические центральные моменты
=44,46
=5523,1752
г) Выборочная дисперсия
=μ²=44,46
д) Выборочное СКО
=6,6678
е) Асимметрия
ж) Эксцесс
На основании формы полигонов распределения выборки (форма ломанных близка к форме кривой Гаусса) и близости к 0 значений асимметрии и эксцесса. Делаем вывод, что распределение признака x возможно нормальным.
4) Выдвигаем гипотезу H0, что распределение x является нормальным с параметрами и .
Запишем вид функции плотности нормального распределения с параметрами:
Найдем теоретические частоты признака x, используя формулу Лапласа Ф(x):
Построим сравнительную таблицу 1.3
|
i |
хi |
|||||||||
|
1 |
18 |
-2,59 |
-0,5 |
-0,4953 |
0,0047 |
0,47 |
1 |
15,5 |
||
|
2 |
18 |
23 |
-2,59 |
-1,84 |
-0,4953 |
-0,4671 |
0,0282 |
2,82 |
2 |
20,5 |
|
3 |
23 |
28 |
-1,84 |
-1,09 |
-0,4671 |
-0,3621 |
0,1050 |
10,5 |
12 |
25,5 |
|
4 |
28 |
33 |
-1,09 |
-0,34 |
-0,3621 |
-0,1331 |
0,2290 |
22,9 |
20 |
30,5 |
|
5 |
33 |
38 |
-0,34 |
0,40 |
-0,1331 |
0,1554 |
0,2885 |
28,85 |
27 |
35,5 |
|
6 |
38 |
43 |
0,40 |
1,15 |
0,1554 |
0,3749 |
0,2195 |
21,95 |
27 |
40,5 |
|
7 |
43 |
48 |
1,15 |
1,90 |
0,3749 |
0,4713 |
0,0964 |
9,64 |
10 |
45,5 |
|
8 |
48 |
1,90 |
0,4713 |
0,5 |
0,0287 |
2,87 |
1 |
50,5 |
Табл. 1.3. Сравнительная таблица для частот и
Сравним на графике ломаные - полигоны эмпирических и теоретических частот:
Рис.6. Ломаные полигоны эмпирических и теоретических частот
Проверим гипотезу о нормальном распределении признака х, используя критерий Пирсона i2 с заданным уровнем значимости α = 0,05.
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
По заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s - 3 = = 8 - 3 = 5 находим
Вывод:
Гипотеза о нормальном распределении признака х не противоречит выбранным данным, можно считать, что признак х имеет нормальное распределение.
5) Найдем интервальные оценки для следующих уровней надежности:
а) γ = 0,95; б) γ = 0,99; в) γ = 0,999.
а)
0,475
t= 1,96
б)0,495
t= 2,58
в) 0,4995
t= 3,30
Задание №2
1) Объем выборки равен 60.Вычислим частоты значений. Построим таблицу 2.1
|
х у |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Σ |
|
-11 |
4 |
7 |
4 |
15 |
||
|
-6 |
2 |
2 |
4 |
8 |
||
|
-1 |
3 |
16 |
19 |
|||
|
4 |
2 |
16 |
18 |
|||
|
Σ |
2 |
19 |
22 |
9 |
8 |
60 |
Табл. 2.1. Корреляционная таблица
Построим полигоны частот:
Рис. 2.1. Полигон частот для х
Рис. 2.2. Полигон частот для y.
На основании форм полигонов распределения признаков x и у (с ростом значений признака частоты в начале растут, затем убывают) можно предположить, что между признаками существует корреляционная связь.
2) Найдем числовые характеристики выборки, построив в процессе вычислений таблицу 2.2:
|
х у |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Σ |
|||||
|
-11 |
4 |
7 |
4 |
15 |
-165 |
121 |
1815 |
19 |
5415 |
||
|
-6 |
2 |
2 |
4 |
8 |
-48 |
36 |
288 |
19,25 |
2964,5 |
||
|
-1 |
3 |
16 |
19 |
-19 |
1 |
19 |
17,842 |
6048,4023 |
|||
|
4 |
2 |
16 |
18 |
72 |
16 |
288 |
16,889 |
5134,2898 |
|||
|
Σ |
2 |
19 |
22 |
9 |
8 |
60 |
-160 |
2410 |
72,981 |
19562,1921 |
|
|
32 |
323 |
396 |
171 |
160 |
1082 |
||||||
|
256 |
289 |
324 |
361 |
400 |
|||||||
|
512 |
5491 |
7128 |
3249 |
3200 |
19580 |
Табл. 2.2. Корреляционная таблица
Выборочные средние:
3) Вычислим групповые средние:
Вычислим СКО групповых средних:
Корреляционное отношение
Так как корреляционное отношение , то можно сделать вывод, что между x и у существует достаточно тесная корреляционная связь.
4) Вычислим выборочный коэффициент линейной корреляции:
Так как , то связь тесная, обратная.
5)Найдем уравнение линейной регрессии в виде:
17,636
у=17,636-0,149х
Построим таблицу 2.3
|
-11 |
-6 |
-1 |
4 |
|
|
15 |
8 |
19 |
18 |
|
|
19 |
19,25 |
17,842 |
16,889 |
|
|
урегр. |
19,275 |
18,53 |
17,785 |
17,04 |
|
0,0756 |
0,5184 |
0,0032 |
0,0228 |
Табл. 2.3. Таблица сравнения условных средних и значений функции регрессии
Найдем среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии:
=0,31
Прямая регрессии достаточно хорошо согласуется с выборочными данными.
6)Найдем интервальную оценку для углового коэффициента линейной корреляции с надежностью γ = 0,95
t=1.96
Найдем уравнение предельных положений:
у=17,513-0,195х
у=17,513-0,195х
Построим уравнение регрессии, предельных положений и эмпирическую ломаную регрессии:
Вывод:
Между признаками существует тесная, обратная линейная связь
Уравнение прямой регрессии достаточно хорошо согласуется с выборочными данными.
С надежностью γ = 0,95 можно утверждать, что уравнения предельных положений прямой регрессии имеют вид:
у=17,513-0,195х
у=17,513-0,195х
Задание №3.
1) Объем выборки равен 50. Построим таблицу 3.
|
х у |
16 |
17 |
18 |
19 |
Σ |
|
12,5 |
3 |
4 |
7 |
||
|
14,5 |
3 |
7 |
5 |
15 |
|
|
16,5 |
2 |
10 |
3 |
4 |
19 |
|
18,5 |
6 |
3 |
9 |
Табл.3. Корреляционная таблица
Найдем числовые характеристики выборки. Построим таблицу 3.1.
|
х у |
16 |
17 |
18 |
19 |
Σ |
|||||
|
12,5 |
3 |
4 |
7 |
87,5 |
156,25 |
1093,75 |
18,143 |
2304,179 |
||
|
14,5 |
3 |
7 |
5 |
15 |
217,5 |
210,25 |
3153,75 |
17,133 |
4403,095 |
|
|
16,5 |
2 |
10 |
3 |
4 |
19 |
313,5 |
272,25 |
5172,75 |
17,474 |
5801,473 |
|
18,5 |
6 |
3 |
9 |
166,5 |
342,25 |
3080,25 |
18,333 |
3024,890 |
||
|
Σ |
5 |
20 |
14 |
11 |
50 |
785 |
12500,5 |
71,083 |
15533,637 |
|
|
80 |
340 |
252 |
209 |
881 |
||||||
|
256 |
289 |
324 |
361 |
|||||||
|
1280 |
5780 |
4536 |
3971 |
15567 |
Табл. 3.1. Корреляционная таблица
Выборочные средние:
1,876
0,938
2) Вычислим групповые средние:
Вычислим СКО групповых средних:
Корреляционное отношение:
Так как корреляционное отношение , можно сделать вывод, что между x и у существует слабая корреляционная связь.
Вычислим выборочный коэффициент линейной корреляции:
Так как , то можно сделать вывод, что линейная связь слабая.
Таким образом, между признаками х и у существует достаточно тесная корреляционная связь, но она не линейная.
3) Найдем уравнение нелинейной регрессии вида
Построим таблицу 3.2
|
12,5 |
7 |
87,5 |
1093,75 |
13671,875 |
170898,4375 |
18,143 |
127 |
1587,5 |
19843,75 |
|
14,5 |
15 |
217,5 |
3153,75 |
45729,375 |
663075,9375 |
17,133 |
257 |
3726,5 |
54034,25 |
|
16,5 |
19 |
313,5 |
5172,75 |
85350,375 |
1408281,1875 |
17,474 |
332 |
5478 |
90387 |
|
18,5 |
9 |
166,5 |
3080,25 |
56984,625 |
1054215,5625 |
18,333 |
165 |
3052,5 |
56471,25 |
|
Σ |
50 |
785 |
12500,5 |
201736,25 |
3296471,125 |
71,083 |
881 |
13844,5 |
220736,25 |
Для определения коэффициентов a,b,c нужно составить и решить систему:
3296463,125a+201736,25b+12500,5c=220736,25
201736,25a+12500,5b+785c=13844,5
12500,5a+785b+50c=881
∆=-221975,0
Δ1 =890760,0
Δ2 =-27860055,0
Δ3 =210801664,0
a=≈-4,01
b=≈125,51
c=≈-949,66
Уравнение кривой регрессии имеет вид:
-4,01х2+125,51х-949,66
4) Построим таблицу 3.3 сравнения групповых средних и значений функции регрессии
|
12,5 |
14,5 |
16,5 |
18,5 |
|
|
7 |
15 |
19 |
9 |
|
|
18,143 |
17,133 |
17,474 |
18,333 |
|
|
-6,347 |
27,132 |
29,532 |
-0,147 |
|
|
599,7601 |
145,3954 |
145,3954 |
341,5104 |
Табл.3.3 Сравнительная таблица групповых средних и значений функции регрессии
Найдем СКО:
Уравнение регрессии достаточно хорошо согласуется с выборочными данными.
Построим эмпирическую ломаную и кривую регрессии на одном графике
13 15 17 19
Рис. 3. График эмпирической ломаной и кривой регрессии
Вывод:
Между признаками x и у существует достаточно тесная нелинейная корреляционная связь. Уравнение регрессии -4,01х2+125,51х-949,66 удовлетворяет выборочным данным.