Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона+погрешность формулу.
Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, .
h- называется шагом. Введем понятие конечных разностей:
Пусть известны значения функции в узлах
Составим разности значений функции:
…….
Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.
Составим вторые разности ф-ии:
Аналогично, разности порядка
Конечные разности можно выразить непосредственно через значения ф-ии. Для любого
(4)
Эту формулу можно записать и для значения разности в узле
Используя конечные разности можно определить
(5)
Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Будем искать его в виде:
(6)
График многочлена должен проходить через заданные узлы. Т.е. (i=0,1,…,n).
Эти условия используем для нахождения коэф-тов многочлена:
……..
Найдем отсюда коэффициенты
Аналогично можно найти и другие коэфф.. Общая формула имеет вид:
Подставляя эти выражения в формулу (6) получим следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона :
Эту формулу часто записывают в другом виде. Для этого введем переменную
Тогда
С учетом всех этих соотношений, формулу (7) можно записать в виде:
Т.о. интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в виде:
- это первый интерполяционный многочлен для интерполирования вперед.
Второй интерполяционный многочлен для интерполирования назад.
График интерполяционного многочлена проходит через заданные точки, т.е. значения многочлена и данной функции совпадают в узлах . Если функция сама является многочленом степени , то имеет место тождественное совпадение: В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции,
Эта разность есть погрешность интерполяции и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.
Предположим, что заданные числа являются значениями некоторой функции в точках . Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка включительно.
Остаточный член интерполяционного многочлена Ньютона можно записать в виде:
Существует только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен. Разница лишь в алгоритме их построения.
Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху.
Повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет уменьшения шага и специального расположения точек Повышение степени интерполяционного многочлена при локальной интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной при увеличении . Поэтому на практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяции, сплайны).