Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Розділ 3 Електрика
3.1 Електростатика
Зміст
3.1.1 Електричний заряд. Закон збереження електричного заряду.
3.1.2 Взаємодія зарядів. Закон Кулона.
3.1.3 Електричне поле. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції. Лінії напруженості. Поле диполя.
3.1.4 Потік вектора напруженості електростатичного поля. Теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі.
3.1.5 Робота сил електростатичного поля. Потенційний характер електростатичного поля.
3.1.6 Потенціал. Еквіпотенціальні поверхні. Напруженість, як градієнт потенціалу.
3.1.7 Вільні та зв’язані заряди. Провідники та діелектрики. Типи діелектриків.
3.1.8 Поляризація діелектриків. Вектор поляризації та його зв'язок із поверхневою густиною поляризаційних зарядів.
3.1.9 Теорема Остроградського-Гауса для електричного поля у діелектрику. Вектор електричного зміщення або індукції. Діелектрична проникність середовища.
3.1.10 Провідники в електричному полі. Електрична ємність провідника.
3.1.11 Конденсатори. Енергія зарядженого провідника. Енергія електростатичного поля.
3.1.1 Електричний заряд. Закон збереження електричного заряду
Властивість янтарю, що натертий шовком, притягувати легкі предмети була відома ще в древній Греції. У 1600 р. з’явилась книга Уїльяма Гілберта, де він зробив спробу узагальнити знання про природу електрики, але справжнє вивчення електрики почалось у XVIII сторіччі. Найбільший внесок у розвиток науки про електрику зробили англійський учений Генрі Кавендіш та французькій інженер Шарль Кулон. Розділ фізики, що вивчає взаємодію нерухомих зарядів називається електростатикою.
З досліду відомо, що під час електризації тіл тертям заряджаються обидва тіла, причому протилежними по знаку зарядами: один називають позитивним, інший – негативним. Однойменні заряди відштовхуються один від одного, а різнойменні притягуються (Дюфе, 1733 р.).
На сьогоднішній день встановлено експериментально, що тіла заряджаються дискретно (Міллікен, Іоффе). Найменшим (елементарним) електричним зарядом володіє електрон. Його заряд становить – 1,6 10-15 Кл. Таким самим за величиною зарядом, але позитивним, володіє протон.
В електростатиці запроваджують модель точкового заряду. Точковим електричним зарядом називається заряджене тіло, геометричною формою та розміром якого в умовах даної задачі можна знехтувати.
Систему тіл або частинок називають електрично ізольованою системою, якщо між нею та зовнішніми тілами немає обміну електричним зарядом.
Той факт, що під час електризації заряди виникають попарно та всі тіла заряджаються дискретно, дозволяє сформулювати закон збереження заряду: алгебраїчна сума електричних зарядів або зарядженнях тіл, що утворюють електричну ізольовану систему не змінюється за будь-яких процесів, що відбуваються у середині цієї системи.
Рекомендована література:
3.1.2 Взаємодія зарядів. Закон Кулона
Шарль Кулон у 1785 р. за допомогою спеціально сконструйованих крутильних ваг довів наступний закон взаємодії нерухомих точкових зарядів (закон Кулона): сила електричної взаємодії двох точкових електричних зарядів, що знаходяться у вакуумі, прямо пропорційна добутку цих зарядів, обернено пропорційна квадрату відстані між зарядами і спрямована вздовж прямої, що їх з’єднує (рис.3.1).
, (3.1)
де r – відстань між зарядами, Ф/м електрична стала.
Якщо взаємодія зарядів відбувається у деякому середовищі, то сила взаємодії між ними зменшується в порівнянні з вакуумом у ε разів:
, (3.2)
де коефіцієнт має назву відносної проникності середовища. Він показує у скільки разів сила взаємодії двох зарядів у вакуумі F0 більше сили взаємодії F у певному середовищі:
. (3.3)
Рекомендована література:
3.1.3 Електричне поле. Напруженість електричного поля.
Принцип суперпозиції. Лінії напруженості. Поле диполя
Те, що два заряди можуть взаємодіяти, не торкаючись один одного, свідчить про наявність навколо зарядів деякого силового поля, яке будемо називати електростатичним. Для дослідження електричного поля зручно користуватися одиничним позитивним зарядом. Сила, що діє на одиничний позитивний заряд є силовою характеристикою досліджуваного поля і має назву напруженості електричного поля.
Напруженість електричного поля у даній точці – фізична величина, що визначається силою, яка діє на одиничний позитивний заряд, який розміщено у цій точці поля.
. (3.4)
Розмірність напруженості електричного поля В/м.
Точковий заряд створює таку напруженість електричного поля:
. (3.5)
Фарадей для зручності запровадив уявлення про лінії напруженості електричного поля. Лінії напруженості будують так, щоб дотичні до них у кожній точці співпадали з напрямком вектора напруженості у даній точці.
Властивості силових ліній:
а) у кожній точці поля вектор має певний напрямок та величину, тому силові лінії не перетинаються;
б) силові лінії розпочинаються на позитивному заряді та закінчуються на негативному (рис.3.2).
Так, наприклад, розташування силових ліній напруженості для системи двох різнойменних зарядів зображено на рисунку 3.3.
Електричне поле буває однорідним та неоднорідним. Якщо вектори напруженості у кожній точці мають однакову величину та напрямок, то силові лінії паралельні між собою. Таке поле називається однорідним. Якщо силові лінії у кожній точці простору не є паралельними, то таке поле називають неоднорідним (рис.3.4).
Число ліній напруженості, що пронизують одиницю поверхні перпендикулярної лініям напруженості, дорівнює величині модуля вектора в даному місці простору. Як видно з рисунка 3.5, у точці 2 число ліній напруженості через поверхню dS у два рази більше ніж у точці 1, тому .
При взаємодії декількох зарядів використовується принцип суперпозиції. Згідно властивостям сил додаватись:
,
витікає, що для напруженості електричного поля:
.
Принцип суперпозиції. Напруженість поля, що утворене системою зарядів, дорівнює векторному додатку напруженості полів, що утворені кожним з окремих зарядів у даній точці:
. (3.6)
Скористуємося принципом суперпозиції для визначення поля диполя – системи двох різнойменних зарядів, що жорстко закріплені на деякій відстані l (рис.3.6). Така електрична модель, часто використовується для аналізу електричних властивостей атомів та молекул. Знайдемо спочатку поле на осі диполю.
Згідно принципу суперпозиції:
,
де E+; E- – поля створені відповідно позитивним та негативним зарядами. Нехай відстань від середини диполю до деякої точки A на його осі дорівнює r. Тоді:
=
. (3.7)
Враховуючи, що, як правило, інтерес становить поле віддалене від центру диполя, тобто , одержуємо:
. (3.8)
Запроваджуючи уявлення про дипольний момент як:
, (3.9)
де l –плече диполю, формулу для поля диполя на його осі можна записати так:
. (3.10)
Вектор дипольного моменту співпадає з напрямком поля на осі диполя.
Знайдемо тепер поле у деякій точці B, що лежить на симетричному перпендикулярі до осі диполя на деякій відстані r'. Будемо вважати, як і раніше, що точка B достатньо віддалена від центру диполя, тобто:
та .
Тоді маємо:
. (3.11)
Враховуючи геометричну подібність, можна записати:
, (3.12)
звідки , а тому:
. (3.13)
Як бачимо, вектор EB протилежний вектору EA, а тому протилежний дипольному моменту p за напрямком (рис.3.6).
Рекомендована література:
3.1.4 Потік вектора напруженості електростатичного поля. Теорема
Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі
Розрахунок напруженості поля системи електричних зарядів можна значно спростити, користуючись теоремою Остроградського-Гауса.
Як відомо, густина ліній напруженості електричного поля характеризує величину поля у даній точці. Тому зручно запровадити фізичну характеристику, що називається потоком напруженості. Кількість ліній напруги, що пронизують елементарну площадку, нормаль до якої утворює кут із вектором напруженості, називають потоком вектора напруженості. Елементарний потік дорівнює:
, (3.14)
де En проекція вектора напруженості на нормаль до елементу поверхні (рис.3.7). Щоб знайти потік через деяку замкнену поверхню S, треба знайти інтеграл від елементарного потоку:
. (3.15)
Потік величина алгебраїчна: залежить від форми силових ліній та вибору напрямку нормалі. Для замкнених поверхонь за позитивний напрямок беруть зовнішню нормаль, що направлена від об'єму під замкненою поверхнею. Саме для замкненої поверхні сформульована теорема Остроградського-Гауса.
Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчному додатку зарядів, що розміщено всередині цієї поверхні, поділеному на 0 (рис.3.8).
. (3.16)
Якщо заряди рівномірно розташовані у деякому об’ємі V з густиною q, тоді
, (3.17)
де q – об’ємна густина заряду:
. (3.18)
Наведемо приклад використання теореми Остроградського-Гауса для розрахунку напруженості поля, яке утворене рівномірно зарядженою безмежною площиною (рис.3.9).
Нехай поверхнева густина заряду дорівнює
(3.19)
та має позитивний знак. Виділимо замкнену поверхню, що є циліндром з основами S паралельними безмежній площині. Оскільки крізь бокову поверхню потік дорівнює нулю, то результуючий потік дорівнює:
. (3.20)
Згідно з теоремою Остроградського-Гауса:
. (3.21)
Тому, порівнюючи два останніх рівняння, одержуємо формулу для розрахунку поля зарядженої безмежної площини.
. (3.22)
Подібним чином можна довести наступні формули для розрахунку поля створеного іншими тілами:
, (3.23)
де r – відстань від центра кулі ;
, (3.24)
, (3.25)
де – лінійна густина заряду.
Рекомендована література:
3.1.5 Робота сил електростатичного поля. Потенційний характер
електростатичного поля
Одержимо формулу для розрахунку роботи сил електростатичного поля. З уявлення про напруженість поля:
.
, (3.26)
тому . (3.27)
Електричне поле, що утворене нерухомим точковим зарядом – центральне, тому повинно бути потенційним. Якщо заряд рухається вздовж замкненої траєкторії в такому полі, то, як відомо, робота сили в цьому випадку дорівнює нулю.
, (3.28)
тобто
. (3.29)
Цей інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості електростатичного поля для нерухомих зарядів. Одночасно, ця умова є достатньою щоб враховувати електричне поле потенційним, а кулонівську силу – консервативною. Внаслідок цього силові лінії розімкнуті.
Знайдемо формулу для потенційної енергії тіла в електростатичному полі. У потенційному полі робота, що здійснюється силами поля, призводе до змінювання потенційної енергії тіла :
. (3.30)
Для системи зарядів згідно принципу суперпозиції:
.
. (3.31)
Напруженість поля, що утворене системою точкових зарядів:
,
тому:
. (3.32)
Інтегруючи останнє співвідношення, одержуємо:
. (3.33)
Константа С залежить від початку відліку, тому зручно щоб енергія заряду q на нескінченості дорівнювала нулю. Тому остаточно формула для потенційної енергії електростатичного поля створеного системою зарядів набуває виразу:
. (3.34)
Рекомендована література:
3.1.6 Потенціал. Еквіпотенціальні поверхні. Напруженість,
як градієнт потенціалу
Потенційна енергія електростатичного поля залежить від величини заряду, який взаємодіє з системою зарядів, що утворюють це поле. Тому зручно запровадити деяку енергетичну характеристику електростатичного поля, яка б не залежала від заряду, розташованого у даній точці поля. Така характеристика отримала назву потенціал.
Потенціалом електростатичного поля називається фізична величина, що дорівнює відношенню потенційної енергії пробного заряду, який розташовано у даній точці поля, до величини цього заряду:
. (3.35)
Оскільки енергія, величина адитивна, то потенціал також має цю властивість.
. (3.36)
Розмірність потенціалу – Вольт (В). 1В – це потенціал такої точки поля, у якій заряд 1Кл володіє потенціальною енергією 1Дж.
Для поля створеного точковим зарядом q потенціал дорівнює:
. (3.37)
Користуючись уявленням про потенціал, легко отримати формулу для роботи сил електростатичного поля під час переміщення заряду:
. (3.38)
У загальному випадку елементарна робота сил електростатичного поля:
. (3.39)
Як ми установили раніше, в потенціальному полі існує зв’язок між силою та градієнтом потенціальної енергії: , але , тому
. (3.40)
Знак “–“ означає, що вектор спрямовано у бік зменшення потенціалу.
Геометричне місце точок силового поля зі сталим потенціалом називається еквіпотенціальною поверхнею. Робота під час переміщення потенціалу вздовж еквіпотенціальної поверхні дорівнює нулю, оскільки напрямок кулонівської сили перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні:
. (3.41)
Оскільки , то A=0 (рис.3.10).
Рекомендована література:
3.1.7 Вільні та зв’язані заряди. Провідники та діелектрики.
Типи діелектриків
Електричне поле існує не тільки у вакуумі, але й у певному середовищі, яке містить у собі заряди. Заряди у речовині можуть бути зв'язані та вільні. Зв'язані заряди це такі, які складають елементарні частинки речовини і не можуть вільно рухатися в об’ємі речовини, стикатись та обмінюватись зарядом один з одним. Якщо у такій речовині утворити електричне поле, то упорядкованого потоку руху зарядів не буде.
Вільні заряди можуть рухатись в об'ємі речовини вільно, стикатись й обмінюватися зарядами один з одним. Під дією зовнішнього електричного поля вільні заряди починають рухатися упорядковано, утворюючи потік, що називається електричним струмом.
Таким чином, типи речовин відносно реакції зовнішнього електричного поля можна поділити на: діелектрики, що складаються зі зв’язаних зарядів; провідники, що мають вільний заряд і утворюють електричний струм.
Розглянемо атом діелектрика, який, як відомо, складається з позитивного ядра та негативної електронної оболонки і в цілому є нейтральним.
Молекула називається неполярною, якщо центр інерції позитивного й негативного зарядів співпадають. Якщо центри інерції цих зарядів не співпадають, то така молекула називається полярною (рис.3.11).
Основні типи діелектриків:
Рекомендована література:
3.1.8 Поляризація діелектриків. Вектор поляризації та його зв'язок із поверхневою густиною поляризаційних зарядів
Розглянемо дію електричного поля на діелектрики.Для неполярної молекули за умов відсутності зовнішнього електричного поля центри інерції позитивного та негативного зарядів співпадають. За умов наявності зовнішнього поля молекула деформується.
Тобто з'являється пружній диполь, розміри якого залежать від напруженості зовнішнього електричного поля . Індукований дипольний момент неполярної молекули, як показує розрахунок дорівнює:
, (3.42)
де R радіус молекули.
У полярній молекулі існує власний дипольний момент (жорсткий диполь), тому під дією зовнішнього електричного поля виникає момент сил, який орієнтує диполь.
Таким чином, усі діелектрики у зовнішньому полі поляризуються. Механізми поляризації діелектриків залежить від типу діелектриків: неполярні діелектрики поляризуються деформаційно (рис.3.12 а, б); полярні – оріентаційно (рис.3.12 в). Для чисельної характеристики цього процесу запроваджується уявлення про вектор поляризації або поляризуємість. Фізична величина, що дорівнює відношенню сумарного електричного дипольного моменту деякого малого об’єму діелектрика до величини цього об’єму називається вектором поляризації.
. (3.43)
Розмірність вектора поляризації – Кл/м2.
Поляризуємість, як було показано залежить від величини зовнішнього електричного поля. Тому як для неполярних, так і для полярних діелектриків має місце наступне співвідношення:
, (3.44)
де діелектрична сприйнятливість речовини. Для неполярних діелектриків:
, (3.45)
де n – концентрація молекул, R – їх радіус.
Для полярних молекул:
, (3.46)
де p – власний дипольний момент молекули, k – стала Больцмана.
Як бачимо, діелектрична сприйнятливість залежить від природи речовини, а для полярних діелектриків ще й від температури, але у сильних електричних полях тепловий рух молекул не відіграє домінуючої ролі і величина – перестає залежати від температури.
У неполярних діелектриків, незважаючи на тепловий рух, дипольний момент завжди зорієнтований уздовж зовнішнього електричного поля.
Під дією зовнішнього електричного поля на поверхні діелектриків утворюється надмірний заряд (рис.3.13), поверхнева густина якого дорівнює за величиною модулю вектора поляризації.
. (3.47)
Тому для деякої замкненої поверхні S, що оточує діелектрик, маємо:
(3.48)
Тоді поляризаційний заряд, що виникає на поверхні діелектрика, пов’язаний з вектором поляризації:
. (3.49)
Знак “–“ означає, що поверхневий заряд qП утворює поле, яке спрямоване проти зовнішнього поля .
Рекомендована література:
3.1.9 Теорема Остроградського-Гауса для електричного поля у діелектрику. Вектор електричного зміщення або індукції. Діелектрична проникність середовища
У діелектрику, який знаходиться у зовнішньому електричному полі результуюча напруженість поля у середині діелектрика, згідно принципу суперпозиції, дорівнює:
, (3.50)
де поле, що утворене поляризаційними зарядами і спрямоване проти зовнішнього поля (рис.3.14).
Але поле в середині діелектрика можна утворити також, якщо розмістити в ньому деякі вільні заряди q0. Згідно теоремі Остроградського-Гауса:
. (3.51)
Як установлено вище, поляризаційний заряд пов’язаний з вектором поляризації , тому
, (3.52)
де сумарний вільний заряд в об’ємі діелектрика знаходиться як: .
Величина має назву вектор індукції електричного поля, або вектор електричного зміщення.
Сформулюємо теорему Остроградського-Гауса для електричного поля у діелектрику:
Потік вектора зміщення або індукції крізь будь-яку замкнену поверхню, що проведена у діелектрику, дорівнює алгебраїчній сумі вільних електричних зарядів, що охоплені цією поверхнею.
. (3.53)
Згадаємо, що вектор поляризації залежить від величини зовнішнього електричного поля наступним чином , тоді
. (3.54)
Величина одержала назву відносної діелектричної проникності середовища. Тому вектор електричної індукції пов’язаний з вектором напруженості електричного поля:
. (3.55)
Розмірність вектора електричної індукції – Кл/м2.
Правила зображення вектора електричної індукції такі самі, як і для вектора напруженості електричного поля. Особливості вектора полягають у тому, що він не залежіть від властивостей середовища й описує електричне поле, яке утворено всередині діелектрика тільки вільними зарядами. Лінії вектора електричної індукції починаються й закінчуються тільки на вільних зарядах і крізь області поля, де є зв’язані або поляризаційні заряди проходять безперервно.
Рекомендована література:
3.1.10 Провідники в електричному полі. Електрична ємність
провідника
Розглянемо дію електричного поля на провідник. Вільні заряди, які є в провіднику, під дією зовнішнього поля можуть вільно пересуватися по об’єму провідника до його поверхні, доки не займуть рівноважного положення, при якому поле в середині провідника буде відсутнє (рис.3.15). Явище перерозподілу поверхневих зарядів провідника у зовнішньому електростатичному полі називається електростатичною індукцією. Явище відсутності поля в середині провідника використовується для так званого електростатичного екранування в радіотехніці.
Оскільки поверхня провідника є еквіпотенціальною поверхнею, то згідно з теоремою Остроградського-Гауса:
, (3.56)
тобто вектор електричної індукції за модулем дорівнює поверхневій густині зміщених зарядів провідника. Саме тому вектор електричної індукції називають ще вектором електричного зміщення.
. (3.57)
З останнього рівняння знаходимо напруженість поля поблизу поверхні провідника:
. (3.58)
Оскільки поверхня провідника є еквіпотенціальною, то вектор напруженості електричного поля перпендикулярний до поверхні провідника.
Унаслідок особливості розподілу зарядів у провіднику існує пряма пропорційність між його потенціалом та зарядом. Для відокремленого провідника запроваджується поняття електричної ємності:
. (3.59)
Електроємність провідника – це величина, що дорівнює відношенню його заряду до його потенціалу. Електроємність показує, який заряд треба додати провіднику, щоб його потенціал збільшився на 1В. Розмірність електроємності – Фарада: 1Ф=1Кл/1В. Фарада дуже велика величина (заряджена куля діаметром 9109км має ємність 1Ф), тому на практиці використовують менші одиниці електроємності: 1мкФ=10-6 Ф; 1пкФ=10-9 Ф; 1нФ=10-12 Ф.
Одержимо формулу для електроємності точкового заряду. Як відомо, потенціал точкового заряду дорівнює:
.
Враховуючи, що , одержуємо:
. (3.60)
Рекомендована література:
3.1.11 Конденсатори. Енергія зарядженого провідника.
Енергія електростатичного поля
Конденсатором називають систему із двох або більше провідників з розвинутими поверхнями, як правило подібними одна до одній. Електроємність провідника зростає, якщо до нього наблизити інший. Оскільки електричне поле майже цілком зосереджене між зарядженими провідниками, то конденсатор можна застосовувати для накопичення заряду.
Конденсатори бувають різної конструкції. Наведемо формули для розрахунку електроємності основних типів конденсаторів (рис.3.16).
|
Плоский конденсатор (рис.3.16 а): |
Циліндричний конденсатор (рис.3.16 б): |
Сферичний конденсатор (рис.3.16 в): |
|
, де S- площа обкладин. |
. |
. |
З конденсаторів, шляхом їх поєднання, виготовляють конденсаторні батареї. Електроємність такої батареї залежить від способу з’єднання конденсаторів. За умов послідовного з’єднання (рис.3.17 а):
. (3.61)
За умов паралельного з’єднання (рис.3.17 б):
. (3.62)
Користуючись уявленням електроємності, можна одержати формулу для енергії електричного поля будь-якого відокремленого провідника.
З визначення роботи сил електростатичного поля маємо:
, (3.63)
тому
. (3.64)
Оскільки робота дорівнює змінюванню потенційної енергії , то
. (3.65)
Якщо підставити формулу ємності плоского конденсатора, то одержимо:
, (3.66)
де – об’єм плоского конденсатора.
Об’ємна густина енергії електричного поля згідно визначенню дорівнює:
, (3.67)
тому
. (3.68)
Якщо згадати зв’язок напруженості з електричною індукцією, то остаточно отримаємо:
. (3.69)
Тобто, об’ємна густина енергії електростатичного поля дорівнює половині добутку вектора напруженості на вектор індукції.
Рекомендована література:
PAGE 93