Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Приборостроительный факультет
Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Методические указания к лабораторной работе № 3
по дисциплине «Общая физика»
раздел «Механика. Молекулярная физика»
Минск 2011 г.
Указание по мерам безопасности
при выполнении лабораторной работы
Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.
Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.
К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.
Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:
Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.
При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:
замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.
Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру.
По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель работы:
Задача работы: определить момент силы трения.
Кинематические и некоторые динамические характеристики вращательного движения
Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис.1).
Абсолютно твердое тело (или просто твердое тело) – это тело, изменением размеров и формы которого можно пренебречь, т.е. расстояния между любыми частями тела остаются неизменными.
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (Рис.1) и за промежуток времени t повернулась на угол .
Элементарные (бесконечно малые) углы поворотов (или d) можно рассматривать как векторы. Модуль вектора Δ равен значению угла поворота, а сам вектор Δ направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта (т.е. его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения по окружности). Этот вектор не имеет определенных точек приложения: он может откладываться из любой точки на оси вращения. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота по времени:
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. Линейная скорость точки:
.
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение угловой скорости и радиуса вектора точки r относительно любой точки на оси вращения:
|
Рис.1. |
Если вращение равномерное, т.е. =const, его можно характеризовать периодом вращения T –временем, за которое точка или тело совершает один полный оборот. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном вращении за единицу времени называется частотой вращения: n=1/T.
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
Как видно из определения, направление углового ускорения совпадает с направлением изменения угловой скорости. Поэтому при ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен также как вектор угловой скорости, при замедленном – эти вектора направлены в разные стороны.
Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная произведению силы на ее плечо. Плечо силы относительно оси – это кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (линия действия силы).
|
Рис.2. |
Моментом M силы F относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы (точка B), на силу F (Рис.2):
Модуль вектора момента силы:, где - угол между векторами r и F, d = r*sin – плечо силы относительно точки – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F. Направление вектора M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке.
Момент силы относительно оси также равен проекции на эту ось вектора момента силы M определенного относительно произвольной точки на этой оси. Значение момента силы относительно оси не зависит от выбора положения точки на оси.
Кинетическая энергия вращающего тела. Момент инерции
Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных объемов, масса каждого из которых равна mi и радиус вращения ri (Рис.3).
|
Рис.3. |
Кинетическая энергия i – го элемента равна
(1)
Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:
(2)
или
, (3)
т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью i=ri.
Поскольку угловая скорость одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:
. (4)
Величина называется моментом инерции твердого тела, а - моментом инерции одного элемента (материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело:
. (5)
Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид:
. (6)
Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина которого много меньше его радиуса R) момент инерции, согласно (5), будет равен:
(7)
В случае непрерывного распределения массы сумма в определении (5) сводится к интегралу:
, (8)
где dm – масса материальной точки тела, - плотность в определенной точке тела, dV – элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела.
В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (рис.4).
|
Рис.4. |
Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра равны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле:
, (9)
где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность :
. (10)
Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен:
, (11)
а всего цилиндра:
, (12)
где R – радиус цилиндра. Производя интегрирование и подставив пределы, получим:
. (13)
Но hR2 - объем цилиндра, а его масса m=V=hR2. Тогда его момент инерции равен:
. (14)
Без расчета приведем формулы моментов инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
(15)
и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр:
, (16)
где – длина стержня, R – радиус шара, m – массы этих тел.
Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния, между осями:
. (17)
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Для вывода уравнения динамики вращательного движения твердого тела используем теорему о кинетической энергии: работа результирующей всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии:
Пусть к телу, закрепленному на оси О, в горизонтальной плоскости приложена внешняя сила F (рис.5).
|
Рис.5. |
Напомним, что элементарной работой dA силы F называется скалярное произведение силы F на бесконечно малое перемещение dl:
, (18)
где - угол между направлением силы и направлением перемещения.
Отметим, что нормальная составляющая силы Fn (в отличие от тангенциальной Fτ) и сила реакции опоры N работы не совершают, так как они перпендикулярны направлению перемещения.
Элемент dl=rd при небольших углах поворота d (r – радиус-вектор элемента тела). Тогда работа этой силы записывается следующим образом:
. (19)
Выражение Fr cos является моментом силы (произведение силы F на плечо p=r cos):
(20)
Тогда работа равна
. (21)
Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращения:
. (22)
Если I=const, то после дифференцирования правой части получим:
или, так как
, (23)
где - угловое ускорение.
Выражение (23) является уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, которое лучше с точки зрения причинно-следственных связей представить как:
. (24)
Угловое ускорение тела определяется алгебраической суммой моментов внешних сил относительно оси вращения деленной на момент инерции тела относительно этой оси.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см. таблицу 1):
Таблица 1
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
Масса m |
Момент инерции I |
|
Скорость |
Угловая скорость |
|
Ускорение |
Угловое ускорение |
|
Сила |
Момент силы или |
|
Основное уравнение динамики: |
Основное уравнение динамики: |
|
Работа |
Работа |
|
Кинетическая энергия |
Кинетическая энергия |
Динамика поступательного движения твердого тела полностью определяется силой и массой как мерой их инертности. При вращательном движении твердого тела динамика движения определяется не силой как таковой, а ее моментом, инертность не массой, а ее распределением относительно оси вращения. Тело не приобретает углового ускорения, если сила приложена, но ее момент будет равен нулю.
Методика выполнения работы
Принципиальная схема лабораторной установки представлена на рис.6. Она состоит из диска массой md, закрепленных на нем четырех стержней массами m2, и четырех грузов массами m1 , расположенных симметрично на стержнях. На диск намотана нить, к которой подвешен груз массой m.
Согласно второму закону Ньютона составим уравнение поступательного движения груза m без учета сил трения:
|
Рис.6. |
(25)
или в скалярном виде, т.е. в проекциях на направление движения:
. (26)
Откуда
, (27)
где T – сила натяжения нити. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (24), момент силы T, под действием которой система тел md, m1, m2 совершает вращательное движение, равен произведению момента инерции I этой системы на ее угловое ускорение :
или , (28)
где R – плечо этой силы равное радиусу диска.
Выразим силу натяжения нити из (28):
(29)
и приравняем правые части (27) и (29):
. (30)
Линейное ускорение связано с угловым следующим соотношением a=R, следовательно:
. (31)
Откуда ускорение груза m без учета сил трения в блоке равно:
. (32)
Рассмотрим динамику движения системы с учетом сил трения, которые действуют в системе. Они возникают между стержнем, на котором закреплен диск и неподвижной частью установки (внутри подшипников), а также между подвижной частью установки и воздухом. Все эти силы трения мы будем учитывать с помощью момента сил трения.
С учетом момента сил трения уравнение динамики вращения записывается следующим образом:
, (33)
где a’ – линейное ускорение при действии сил трения, Mтр – момент сил трения.
Вычитая уравнение (33) из уравнения (28), получим:
,
. (34)
Ускорение без учета силы трения (а) можно рассчитать по формуле (32). Ускорение гирьки с учетом сил трения а' можно рассчитать из формулы для равноускоренного движения, измерив пройденный путь S и время t:
. (35)
Зная значения ускорений (а и а'), по формуле (34) можно определить момент сил трения. Для расчетов необходимо знать величину момента инерции системы вращающихся тел, который будет равен сумме моментов инерции диска, стержней и грузов.
Момент инерции диска согласно (14) равен:
. (36)
Момент инерции каждого из стержней (рис.6) относительно оси О согласно (16) и теореме Штейнера равен:
, (37)
где ac=l/2+R, R – расстояние от центра масс стержня до оси вращения О; l – длина стержня; Ioc – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
Аналогично рассчитываются моменты инерции грузов:
, (38)
где h – расстояние от центра масс груза до оси вращения О; d – длина груза; I0r – момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр масс. Сложив моменты инерции всех тел, получим формулу для вычисления момента инерции всей системы:
(39)
Порядок выполнения работы и задание
Все расчёты проводить, используя следующие значения: d=0.02 м; S=0,4 м; l=0,24 м; R=0,045 м; m=0,093 кг; m1= 0,2 кг; m2=0,054 кг; md=0,1 кг; ∆R=0,05 мм; ∆m=0,5 г.
Здесь
l - длина стержня массой m2(см. рис.6);
h - расстояние от оси вращения до центра груза m1 на стержне (см. рис.6);
d - толщина груза m1 на стержне (см. рис.6);
I - момент инерции вращающейся части всей системы (кг м2);
a - линейное ускорение груза на нити без учета силы трения (м/с2);
а' - линейное ускорение при действии сил трения (м/с2);
S - путь, пройденный грузом m на нити;
t - время падения груза m на нити (делать по 5 измерений);
Мтр - момент сил трения (Н м);
∆Mтр - абсолютная погрешность измерения момента сил трения (Н м);
εMтр - относительная погрешность измерения момента сил трения (%).
.
.
Таблица 1
|
№ п/п |
h, м |
I, кг м2 |
а, м/с2 |
S, м |
t, с |
а', м/c2 |
Мтр, H м |
εMтр |
∆Mтр, H м |
|
1 |
0,1 |
0,4 |
|||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|||||||||
|
5 |
|||||||||
|
Сред. |
Таблица 2
|
№ п/п |
h, м |
I, кг м2 |
а, м/с2 |
S, м |
t, с |
а', м/c2 |
Мтр, H м |
εMтр, % |
∆Mтр, H м |
|
1 |
0,2 |
0,4 |
|||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|||||||||
|
5 |
|||||||||
|
Сред. |
Контрольные вопросы
Литература