Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2.2. Теорема про момент рівнодійної системи збіжних сил
Теорема Варіньона: момент рівнодійної системи збіжних сил відносно деякого центру дорівнює векторній сумі моментів всіх сил, що входять в систему, відносно того ж самого центру .
Д о в е д е н н я
Розглянемо збіжну систему сил . Замінимо її рівнодійною . Виберемо довільний центр , тоді
2.3. Момент сили відносно осі
Моментом сили відносно осі називається скалярна величина, що дорівнює проекції на цю вісь момента даної сили відносно довільної точки цієї осі.
Проекції вектора момента сили відносно центра визначені формулами (6) попередньої лекції. Ці ж самі співвідношення визначають величини моментів сили відносно осей і (за означенням), і оскільки моменти сил відносно координатних осей не залежать від вибору т. , то
.
Цими позначеннями будемо користуватися і надалі.
Робоче правило для обчислення момента сили відносно осі
Момент сили відносно осі вважається додатнім, якщо спостерігачеві, що дивиться з додатнього напрямку вказаної осі, обертання тіла під дією сили бачиться таким, що відбувається проти руху стрілки годинника, в супротивному випадку момент сили відносно осі вважається від’ємним.
Якщо сила і вісь лежать в одній площині, тоді момент сили відносно цієї осі завжди дорівнює нулю.
|
Наприклад, моменти всіх вказаних на рисунку сил відносно осі дорівнюють нулю, тому що всі ці сили і вісь лежать у площині рисунку (див. робоче правило). |
2.4. Момент пари сил
Парою сил, прикладених до твердого тіла, називають сукупність двох рівних за величиною і паралельних сил, що діють у протилежних напрямках вздовж незбіжних ліній дії.
|
Площина, в якій лежать ці дві сили, називається площиною дії пари сил. Плечем пари () називається найкоротша відстань між паралельними лініями дії цих двох сил. Пара сил ніколи не зводиться до рівнодійної. Припустимо, що пара сил зводиться до рівнодійної. Тоді система сил , звідки . |
Дослідним шляхом встановлено, що пара сил надає тілу обертання.
Для визначення величини, яка описує обертальний ефект, знайдемо векторну суму моментів сил, утворюючих пару, відносно довільної точки простору. Послідовно знаходимо вектори , , та їх суму:
,
де .
|
Ця сума моментів називається моментом пари сил і позначається , тобто . Зауважимо, що момент пари сил не змінюється при зміні центру на інший (наприклад, ), оскільки . Величина моменту пари сил визначається так: , |
де плече пари . Таким чином, момент пари сил за величиною дорівнює добутку плеча пари на модуль сили, що утворює пару. Момент пари сил є вільним вектором.
Момент пари сил розташований перпендикулярно до площині пари і напрямлений в ту частину простору, звідки обертання тіла під дією пари сил бачиться таким, що відбувається проти руху годинникової стрілки.
2.5. Теореми про пари сил
Теорема 1: не змінюючи дії пари на тверде тіло, пару можна переносити і повертати у площині її дії, змінюючи при цьому плече і силу так, щоб момент пари залишався незмінним (без доведення).
Теорема 2: пара сил є зрівноважувальною для пари сил , що лежить в тій же площині, якщо моменти цих пар рівні за величиною і протилежно напрямлені.
Д о в е д е н н я
|
За теоремою 1 перенесемо пару сил у площині дії пари, змінюючи плече на , а силу на . Зауважимо, що , . Тоді , або . |
Звідси випливає, що
.
Тоді матимемо
, .
Отже пара сил є зрівноважувальною для пари сил , що і треба було довести.
Теорема 3: якщо дві пари сил мають геометрично рівні моменти, тоді вони називаються статично еквівалентними.
|
, . Тоді . |
Теорема 4: якщо дві пари сил і знаходяться в перетинних площинах, тоді вони еквівалентні одній парі, момент якої дорівнює векторній сумі моментів цих пар.
Д о в е д е н н я
Використовуючи теорему 1, приводимо розглядувані пари до нових пар із загальним плечем , що лежить на лінії перетину обох площин. Тоді
, .
Далі помічаємо, що , . Сили і утворюють пару. Визначимо її момент:
що і треба було довести.
Узагальнимо те, про що йшла мова вище.
Якщо розглядається система пар сил , тоді така система пар завжди зводиться до однієї пари, яка називається вислідною парою, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів розглядуваних пар:
|
, |
(1) |
Якщо всі пари лежать в одній площині, тоді формула (1) перетворюється в алгебричний вираз
|
.
|
(2) |
h
1
h
1
F
r
1
F
r
-
2
F
r
2
F
r
-
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
,
,
F
F
M
F
F
M
r
r
r
r
r
r
-
=
-