Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 5 ТСС 1
Математичні моделі і моделювання
Моделирование — метод научного исследования явлений, процессов, объектов, устройств или систем (обобщенно – объектов исследований), основанный на построении и изучении моделей с целью получения новых знаний, совершенствования характеристик объектов исследований или управления ими.
Модель — материальный объект или образ (мысленный или условный: гипотеза, идея, абстракция, изображение, описание, схема, формула, чертеж, план, карта, блок-схема алгоритма, ноты и т.п.), которые упрощенно отображают самые существенные свойства объекта исследования.
Любая модель всегда проще реального объекта и отображает лишь часть его самых существенных черт, основных элементов и связей. По этой причине для одного объекта исследования существует множество различных моделей. Вид модели зависит от выбранной цели моделирования. Потребность в создании и использовании моделей связана с тем, что исследовать многие реальные явления и объекты сложно или дорого, а порой вовсе невозможно. Например,
Математическую модель сложной системы можно представить как функциональный оператор Ф, преобразующий пространство вектора входных , внутрисистемных параметров процесса и управляющих переменных в выходные параметры .
Вид модели и степень ее детализации определяется не только свойствами моделируемого объекта, но и целью, с которой выполняется моделирование. Поэтому процесс разработки модели сложной системы состоит в последовательном анализе и моделировании отдельных ее подсистем с последующим установлением связей между этими подсистемами.
1. Створення математичної моделі
Математична модель - це наближений опис довільного класу явищ зовнішнього світу, представлений за допомогою математичної символіки. Математичне моделювання (ММ ) виступає як метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і управління. Аналіз ММ дозволяє проникнути в сутність досліджуваних явищ. ММ проходить такі етапи (рис. 2):
• постановка задачі, тобто прийняття рішення про необхідність моделювання і його мету. На цьому етапі слід чітко визначити і сформулювати мету досліджень. З мети досліджень випливатиме сукупність властивостей об'єкта моделювання, які підлягатимуть відбиттю у моделі;
• побудова математичної моделі;
• дослідження системи на моделі і прогнозування й управління оригіна лом за результатами цих досліджень.
Побудова ММ, тобто вивчення явища за допомогою ММ, можна умовно розбити на 4 етапи (рис. 2): етап змістовного опису; етап формалізації опису; етап остаточної побудови моделі (ідентифікації параметрів і перевірки адекватності моделі); етап перегляду і вдосконалення моделі за результатами узагальнення емпірично накопичених даних .
1 етап - це формулювання законів, що пов'язують між собою об'єкти моделі. На цьому етапі визначаються об'єкти моделі і накопичуються факти, що стосуються досліджуваних явищ і дозволяють виявити їх взаємозв'язки. Цей етап закінчується записом в математичних термінах сформульованих якісних представлень про зв'язки між об'єктами моделі з вказанням граничних умов. Визначення об'єктів моделі і їх взаємозв'язків є вихідними положеннями ("аксіомами") гіпотетичної моделі, тому можна сказати, що на етапі змістовного опису формується аксіоматика моделі і синтезується її структура; остання може бути представлена як описово-аналітично, у вигляді опису зв'язків, так і гра фічно;
2 етап - це етап формалізації, суть якого - виявлення математичних співвідношень, що характеризують оригінал з точки зору мети моде лювання, аксіоматики моделі. Ці співвідношення розробляються на основі матеріальних та енергетичних балансів, фізики процесів. На цьому етапі визначається форма представлення математичної моделі і проводиться дослідження математичних задач, які випливають з математичних моделей. Серед них основним є розв'язання прямої задачі, тобто отримання в результаті аналізу моделі вихідних даних (у вигляді теоретичних наслідків) для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень досліджуваних явищ. На цьому етапі важливого значення набувають математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка як засіб отримання кількісної вихідної інформації в результаті розв'язання складних математичних задач. Часто математичні задачі, що вини кають на базі різних математичних моделей, бувають однаковими (наприклад, основна задача лінійного програмування відбиває ситуації, різноманітні за природою). Це дає підставу розглядати такі типові математичні задачі як самостійний об'єкт, абстрагуючись від конкретних явищ, що вивчаються;
3 етап - виявлення того, чи задовольняє прийнята (гіпотетична) модель критерій практики, тобто виявлення того, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. Якщо модель була повністю визначена, тобто всі її параметри були задані, то виявлення відхилень теоретичних наслідків від результатів спостережень дає розв'язок прямої задачі з наступною оцінкою відхилень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнята і потребує коригування. Досить часто при побудові моделі деякі її характеристики лишаються невизначеними. Задачі, в яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) таким чином, щоб вихідна інформація в межах точності спостережень піддавалася б зіставленню з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються зворотними задачами (зворотні задачі – це задачі ідентифікації параметрів моделі). Якщо ММ є такою, що при жодному наборі характеристик ці умови неможливо задовольнити, то модель є непридатною для дослідження явищ, що розглядаються. Застосування критерію практики до оцінки ММ дозволяє робити висновок про вірність положень, що лежать в основі гіпотетичної моделі, що вивченню. Цей метод є єдино можливим для вивчення безпосередньо недоступних нам явищ макро - і мікросвіту;
4 етап - наступний аналіз моделі в процесі накопичений даних про досліджувані явища і модернізація моделі. В ході розвитку науки та техніки дані про об'єктивні явища уточнюються і доповнюються, і надходить момент, коли висновки, що отримують ся на основі прийнятої моделі, не відповідають нашим знанням про явище. Таким чином, виникає потреба в побудові нової, більш досконалої моделі Типовим прикладом, що ілюструє характерні етапи в побудові ММ, є модель Сонячної системи.
Лекция 5 ТСС 3
Метод ММ, який зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, посідає провідне місце серед інших методів досліджень, особливо завдяки наявності обчислювальної техніки. Він дозволяє проектувати нові технічні засоби, що працюють в оптимальних режимах, для розв'язання складних задач науки і техніки; передбачати нові явища. ММ зарекомендували себе важливим засобом управління. Вони застосовуються у різних галузях знань, стали необхідним апаратом економічного планування і важливим елементом АСУ.
Створення ММ залежить від варіанта вихідної ситуації, тобто обсягу початкової інформації, мети і засобів моделювання.
За моделювання складних технічних систем можливі такі випадки:
• система добре вивчена, що дозволяє записати її ММ у вигляді аналітичних співвідношень, всі коефіцієнти яких відомі. В цьому випадку під час побудови моделі відсутні перші 2 етапи і зворотні задачі на 3-му етапі;
• ММ в загальному відома у вигляді аналітичної залежності, але деякі з коефіцієнтів її невідомі - побудова моделі починається з етапу 3, власне з розв'язання зворотних задач;
• відомо, що моделлю виступає функція певного типу, яка задається в неявному вигляді (наприклад, диференціальними рівняннями у частинних похідних), тому слід визначити мінімальну кількість експериментів для дискримінації моделі; моделювання починається з 2-го етапу, на якому випускають лише вибір способу представлення моделі:
• аналітичний вигляд моделі невідомий. Побудова моделі проходить повністю всі 4 етапи.
Методи побудови математичних моделей
Вибір цих методів залежить від вихідних ситуацій і типу моделі. Серед математичних моделей розрізняють моделі теоретичні і емпіричні. Теоретичні моделі створюються в результаті дослідження процесів і їх раніше виявлених за кономірностей, які притаманні даному класу об'єктів чи явищ. (Ідентифікація класу, до якого належить оригінал, визначається на першому етапі моделюван ня). Емпіричні моделі створюються під час вивчення зовнішніх властивостей оригіналу вимірюванням фазових змінних на входах і виходах з подальшою обробкою результатів вимірювання.
Для отримання як теоретичних, так і емпіричних моделей елементів сис тем використовують так звані неформальні методи; формальні методи застосо вують для отримання теоретичних моделей систем при відомих математичних моделях елементів.
Неформальні методи використовуються на всіх рівнях ієрархії і містять методи вивчення процесів і закономірностей, пов'язаних з оригіналом; методи виявлення суттєвих для мети моделювання властивостей, прийняття певного роду допущень та їх обґрунтування, інтерпретування відомих математичних залежностей тощо. Більшість операції процедур цих методів має евристичний характер і не піддається повній формалізації, хоча саме вони визначають аксіоматику моделі. Тому ці методи застосовують кваліфіковані спеціалісти, добре підготовлені як в предметній області, так і в області САПР і моделювання взагалі. Розробка моделей елементів полегшується застосуванням типових моделей елементів для побудови більшості систем, тому один раз розроблені моделі елементів можна застосувати при моделюванні багатьох систем (наприк лад, моделі транзисторів і діодів використовуються при моделюванні різноманітних ІС тощо).
Характеристики математичних моделей
До основних характеристик математичних моделей (ММ) належать:
• ступінь універсальності моделі; • точність моделі; • адекватність моделі;
• економічність моделі.
Ступінь універсальності ММ характеризує повноту відбиття у моделі властивостей реального об'єкта; кількісно ступінь універсальності може бути описаний співвідношенням потужності множини відбитих властивостей до множини наявних властивостей системи.
Враховуючи постулат модельованості, будь-яка ММ відбиває лишень певні властивості модельованої системи. Так, більшість ММ, що розробляються під час функціонального проектування РЕЗ, відбивають фізичні чи інформаційні процеси в об'єкті проектування (ОІІ); при цьому не вимагається, щоб ММ містила відомості про такі властивості ОІІ, як геометрична форма його складових елементів. Наприклад, ММ резистора у вигляді закону Ома характеризує його властивість пропускати електричний струм, але не відбиває габаритів резистора, його кольору, механічної міцності тощо.
Точність ММ оцінюється за збіжністю значень параметрів реального об'єкта і значень тих же параметрів, отриманих за допомогою побудованої моделі; ступінь збіжності розраховують через відхилення є цих параметрів.
Нехай властивості ОП, що відбиваються в ММ, оцінюються вектором вихідних параметрів
У = (у1 у2, ут). Тоді, позначивши дійсне і розраховане на ММ значення j-го вихідного параметра відповідно як уjд та уjм, відносну похибку εj, розрахунку параметра уj можна визначити за формулою:
εj= (уjм-уjд)/уjд
Отримана оцінка точності буде векторною: εj =(εj1,εj2,…εjт). За необхідності зведення цієї оцінки до скалярної використовують довільну норму вектора εj , наприклад, εj тах.
Лекция 5 ТСС 5
Адекватність ММ - це її здатність відбивати задані властивості об'єкта з похибкою не більше заданої. Оскільки вихідні параметри є функціями зовнішніх параметрів Q і внутрішніх параметрів X, то похибка εj залежить від значень Q та X. Переважно значення внутрішніх параметрів ММ а priori визначають з умови мінімізації похибки εj тах в деякій точці QНOM простору зовнішніх змінних, а застосовують модель з розрахованим вектором X для різних значень Q. При цьому адекватність моделі переважно спостерігається виключно в обмеженій області зміни зовнішніх параметрів, яка називається областю адекватності (ОА) MM. ОА моделі визначається як
ОА= {Q| εj тах ≤δ}
де δ= соnst >0 - задана граничнодопустима похибка моделі.
Для коректної оцінки точності і адекватності моделі при їх розрахунку повинні використовуватися значення уjд, які не застосовувалися під час розрахунку внутрішніх параметрів моделі. При цьому для користувача більш цінними є не відомості про оцінку точності моделі в двох-трьох випадкових точках простору зовнішніх параметрів, а дані про область адекватності. Однак визначення ОА потребує великих витрат обчислювального часу. Тому розрахунок ОА в повному обсязі виконують лишень при відпрацюванні ММ уніфікованих елементів, призначених для багаторазового використання. В решті випадків використовують наближені оцінки ОА, які отримали назву апроксимацій ОА і позначаються ОАА.
Відомості про ОАА надаються у вигляді діапазонів зміни складових вектору зовнішніх параметрів, в межах яких модель є адекватною (тобто збігається з оригіналом з точністю не гірше за δ):
Економічність ММ характеризується витратами обчислювальних ресурсів (машинного часу Тм і пам'яті Пм) на її реалізацію. Чим вони менше, тим модель економічніша. Замість значень Тм і Пм, які визначаються не лише властивостями моделі, а й специфікою використовуваної ЕОМ, для характеристики економічності моделі часом застосовують інші параметри, зокрема: середню кількість операцій N, яка виконується під час одного звертання до моделі ; розмірність системи рівнянь, кількість внутрішніх параметрів у моделі тощо.
Вимоги до характеристик математичних моделей
До моделі висуваються вимоги адекватності, достатньої універсальності і економічності. Вимога точності міститься у вимозі адекватності. Використання моделі без перевірки її на відповідність вимозі адекватності {точності) недопустима і може призвести до грубих помилок при проектуванні, керуванні і експлуатації ТС.
Для точності і адекватності моделі справедлива вимога максимізації: чим більша точність (менша похибка) моделі і у чим більшій області зовнішніх параметрів модель не виходить за межі цієї точності, тим краще. Але збільшення області адекватності спричиняє втрати в економічності, тому вибирають компромісний варіант з міркувань, що визначаються природою задачі і ОП, ієрархічним рівнем і аспектом проектування.
Щодо універсальності, то не можна сказати, що чим модель універсальніша, тим вона краща. Надлишок інформації не менш шкідливий, ніж її недосит; модель повинна відбивати ті і лише ті властивості, які відповідають меті моделювання. Крім того, універсальність і економічність є конфліктуючими параметрами: чим модель універсальніша, тим вона, переважно, менш економічна, і розв'язок тут переважно також буває компромісним.