Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематический анализ ИИТ230104 230201230203

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 2.11.2024

Вопросы к экзамену по предмету

математический анализ

ИИТ,230104, 230201,230203.

  1.  Функции нескольких переменных, определение. Геометрическое изображение функции двух переменных:график, линии уровня. Предел, непрерывность функции двух переменных.

  1.  Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость и дифференциал функции двух переменных.

  1.  Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.

  1.  Частные производные функции нескольких переменных Производные сложных функций. Производная неявной функции.

  1.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала.

  1.  Производная по направлению функции двух переменных, функции трех переменных. Градиент, свойства градиента.

  1.  Локальный экстремум функции двух переменных, необходимые и достаточные условия экстремума.

  1.  Условный экстремум функции двух переменных, функция Лагранжа.

  1.  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

y=f(x,y), однородное, если f(x,y)=fx,λy)

Если при замене х→λх, у→λу уравнение вида не меняет, то уравнение однородное.

y=f(x,y) λ=1/x

y=f(λx,λy)=f(1,y/x)

Замена y=Ux   y=yU+U

Ux+U=f(1,U)

dU/dx*x=f(1,U)-U

∫dU/(f(1,U)-U)=∫dx/x

ln|x|=∫dU/(f(1,U)-U)+C – общий вид решения.

Если ур-е однородное, то подстановка y=Ux приводит ур-е к ур-ю с разделяющимися переменными.

Функция f(x;y) наз-ся однородной, если выполняется след. равенство: f(x;y)=f(ax;ay), где а - число

Пример

y=2xy/x2+y2, y1=(2ax+ay)/a2x2+a2x2=a22xy/a2(x2+y2)=2xy/(x2+y2)

Уравнения вида y′=f(x;y), где f(x;y) -  однородная функция наз-ся однородными. Это уравнение сводится к уравнению с разд-ся переменными с помощью след. подстановки: вводим вспомогат. функцию t(x)=y/x, y=t*x, y′=tx+t

Пример:

y′=(x2+y2)/2xy|:x2, y′=f(x/y)      ∫2t*dt/(1-t2)= ∫dx/x обратная замена

y′=(1+y/x2)/(2y/x),                    -ln|1-t2|=ln|x|+lnC     y/x=±√(1- x*1/C))

 t(x)=y/x, y=tx, y′=t′x+t      

t′x+t=(1+t2)/2t;                   ln|(1-t2)*x|*C=0   y=±√(x2-x/C)=±√(x2-C*x)

t′x=((1+t2)/2t)-t,                          (1-t2)*x*C=1

t′x=(1+t2-2t2)/2t,                           1-t2= x*1/C

t′x=(-t2+1)/2t,                                    t2=1- x*1/C

dt*x/dx=(1-t2)/2t|*dx,                           t=±√(1- x*1/C)

dt*x=(1-t2)dx/2t|:x*(1-t2)/2t

  1.  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Линейные уравнения, уравнения Бернулли.

Линейные уравнения первого порядка.

Уравнения вида y′+y*p(x)=f(x)*, где р(х) и f(х)- непрерывные функции наз-ся линейными уравнениями 1 порядка. Название уравнения объясняется тем, что у и у′ входят в уравнение 1й степени.

решаем лин. уравнение способoм введения 2-х вспомогательных функций U(х) и V(х)

y=U*V, y′=U′V+UV′                U′* e-∫p(x)dx=f(x)

U′V+UV′+UV*p(x)=f(x)          U ′=e∫p(x)dx*f(x)

U′V+U(V′+V*p(x))=f(x)**       U= ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx+C

dV/dx+V*p(x)=0|*dx

dV=-Vp(x)dx|:V

∫dV/V=-∫p(x)dx

ln|v|=-∫p(x)dx (C=0)

V=e-∫p(x)dx

y= e-∫p(x)dx*( ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx)+C – общ.

формула для решения лин. уравнений 1 порядка

Замечание: При решении уравнений можно вместо непосредств. использовании этой громоздкой формулы можно использовать подстановку y(x)=U(x)*V(x)

Пример

xy′+(x+1)y=3x2*e-x|:x                                     U′*e-x*1/x=3x*e-x

y′+(x+1)y/x=3x*e-x – лин. уравн. 1 порядка    U′=3x2

p(x)=(x+1)/x; f(x)=3x*e-x                                   U=3∫x2dx=x3+C

y=U*V; y′=U′V+UV′                                         y=(x3+C)*e-x*1/x

U′V+UV′+((1+x)/x)*UV=3x*e-x                        y=(x3+C)*e-x*1/x

U′V+U(V′+((x+1)/x)*V)=3x*e-x

V′+((x+1)/x)*V=0

dV/dx=-((x-1)/x)*V|*dx

dV=-((x+1)/x)*V*dx|:V

∫dV/V=∫(1-x)dx/x

ln|V|=-(x+ln|x|)

V=e-x-ln|x|=e-x*x-1

Уравнение Бернулли

y+P(x)y=Q(x)y(n)

если n=1 – ур-е с раздел-ся переменными

если n=0 – ур-е линейное

если nне=0не=1:

умн-ем обе части на y(-n) 

y(-n)y`+P(x)y(1-n)=Q(x)

y(1-n)=z

(1-n)y(-n)*y`=z`

(1-n)*y(-n)*y`+(1-n)P(x)y(1-n)=Q(x)(1-n)

z`+P1(x)z=Q1(x)-линейное уравнение

Можно сделать подстановку y=UV

Уравнение Бернулли:

y′+y*p(x)=f(x)*yn – оно сводится к решению лин. уравнения относительно х из вспомогательной функции z=y1-n

y′+xy=xy3|:y3                                           Uex2=-2x

z=y1-3=y-2                                                                             U′= e-x2*(-2x)

(-1/2)*(-2)y-3*y′+xy-2=x; ((y-2)′=-2y-3)     U=∫ e-x2*(-2x)dx

z′+xz=x                                                      e-x2+C=U

-1/2z′+xz=x|*(-2) – лин. уравн.                z=(e-x2+C)*ex2

z′-2xz=-2x                                                  z=1+ex2*C

z=UV; z′=U′V+UV′                                    

U′V+UV′-2xUV=-2x                                  y-2=1+ex2*C

U′V+U(V′-2xV)=-2x                                  y2=1/(1+ex2*C)

v′-2xV=0                                                     y=±√1/(1+ex2*C)

dV/dx=2xV|*dx

dV=2xVdx|:V

dV/V=2xdx

ln|V|=x2

V=ex2

  1.  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения в полных дифференциалах.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, если его левая часть

представляет полный дифференциал некоторой

функции.

dU= M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU/dx*dx+dU/dy*dy

Теорема для того, чтобы ур-е явл-сь ур-ем

в пол-х диф-ов необходимо и достаточно

чтобы в некот. обл-и изменения х и у выпол-

нялось усл-е dM/dy=dN/dx. Общий интеграл

этого ур-я имеет вид:

x             y

∫M(x,y)+∫N(x,y)=C

x0          y0

1)проверим ур-е пол.диф. или нет.

2) U(x,y)=∫M(x.y)dx+φ(y)

3) N=dU/dy=d(∫M(x.y)dx+φ(y))/dy Найдем φ(y)`,

а затем φ(y) и подставим в U(x,y).

  1.  Дифференциальные уравнения высших порядков, основные понятия. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.

  1.  Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Имеет вид: y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+an-1y=0

ai(x) может зависеть от х

Рассмотрим когда ai=const

y=ekx – решение

y`=kekx; y``=k2ekx; y(n)=knekx

knekx+a1k(n-1)ekx+a2k(n-2)ekx+…+an-1kekx+anekx=0 сократим на ekx

kn+a1k(n-1)+a2k(n-2)+…+an-1k+an=0 хар-ческое уравнение

1) k1не=k2         y=C1ek1x+C2ek2x

2) k1=k2             y=(C1+C2x)ekx

3) k 1,2=α+-βi     y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

  1.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, структура общего решения.

  1.  Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации произвольной постоянной.

  1.  Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов.

  1.  Двойной интеграл, определение, геометрический смысл, свойства.

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y)  D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область  D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di)  Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D    0 , то число n областей Di  . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при   0. Обозн:

или

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) 0 то и f/g   интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:

В частности: g(x,y) >=0 то и

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, ) Д, что:

(2), где S – площадь фигуры Д. Значение f(, )  опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.

  1.  Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

  1.  Замена переменных в двойном интеграле, двойной интеграл в полярной системе координат.

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

  1.  Приложения двойного интеграла.

  1.  Тройной интеграл, определение, свойства, приложения. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами V1… Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(i,i,i) составим сумму: f(i,i,i)Vi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при   0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

  1.  Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z)  взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos,  y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r?  , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,  

y=r sinsin, z=rcos.

(0<=r<=+, 0<= <= 2,

0<= <=2)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2sin.

Итак, в сферических координатах сие будет:

  1.  Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в сферических  координатах.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z)  взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos,  y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r?  , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,  

y=r sinsin, z=rcos.

(0<=r<=+, 0<= <= 2,

0<= <=2)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r2sin.

Итак, в сферических координатах сие будет:

  1.  Криволинейный интеграл I рода, определение, свойства. Вычисление криволинейного интеграла I рода.

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(k,k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

1 = f(k,k)lk 

2 = Р(k,k)хk

3 = Q(k,k)yk,

где хk = xk-xk-1, yk = yk-yk-1 

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги  будет называться предел интегральной суммы 1  при условии, что max(lk) 0

  1.  Криволинейный интеграл II рода, определение, свойства. Вычисление криволинейного интеграла II  рода.

Если предел интегральной суммы 2 или 3 при   0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:

или

 сумму: + принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

  1.  Формула Остроградского-Грина.

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со  своими частными производными: в данной области. тогда имеет место ф-ла:

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл  к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:

каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

Итак двойной интеграл:

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.

  1.  Условия независимости криволинейного интеграла II рода от  пути интегрирования, интегрирование полных дифференциалов.

Плоская область наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.

1. Для замкнутой кусочногладкой кривой L в значение криволинейного интеграла:

2. Для все т. А и т. В области значение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в существует ф-ция E=(х,у) опред в такая, что dE = Pdx+Pdy

4. В области  

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y)  - непрерывны в замкнутой области и выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в , что равносильно условию: , тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:

или

А(x0,y0)   , В = (х,у)   

поэтому

F(x,y)=

где (х0,у0) – фиксированная точка  ,  (x,y) – произвольная точка   , с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

2 Признаки сравнения

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.

Если  фция f(x,y) задана на Д и при каждом х [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл : , наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.

  1.   Поверхностный интеграл I рода, определение, свойства. Вычисление поверхностного интеграла I рода.

  1.  Поверхностный интеграл II рода, определение. Вычисление поверхностного интеграла II рода.

  1.  Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса.

  1.  Числовые ряды, основные понятия, свойства. Необходимый признак сходимости ряда. Вопрос о сходимости гармонического ряда.

а1+a2+…+an+… ряд ; ai – член ряда

S=Σ ai – сумма ряда

Sn=Σ ai – частичная сумма ряда

Если сумма ряда равна некоторому числу меньшему бесконечности, то говорят, что ряд сходится, если бесконечному – расходится.

Теорема 1: если сх-ся ряд, получившийся из данного ряда путем отбрас. неск. его членов, то сх-ся и данный ряд. И наоборот.

Теорема 2: если ряд а1+…+аn+… сх-ся и его сумма равна S, то ряд са1+…+сan+…, где с- фиксир. число, также сх-ся как ряд (1) и сумма равна cs.

Теорема 3: Если ряды а1+…+аn+… и b1+..+bn+… сх-ся и суммы соотв-но равны S1 и S2, то ряды (а1+b1)+…+(an+bn)+… и (a1-b1)+…(an-bn)+… тоже сх-ся, а суммы S1+S2 и S1-S2.

Необходимый признак сходимости.

Теорема: Если ряд сх-ся, то его n-й член стр. к 0

lim Un=0

n→беск.

  1.  Сходимость рядов с неотрицательными членами. Признаки сравнения.

  1.  Сходимость рядов с неотрицательными членами. Признак Даламбера, радикальный, интегральный признаки Коши.

Признак Далампера

lim Un+1/Un=A

a) A<1, сходится

b) A>1, расходится

c) A=1, ничего сказать нельзя

Радикальный признак Коши

lim кв.корень n-степени из Un=A

a) A<1, сходится

b) A>1, расходится

c) A=1, ничего сказать нельзя

Радикальный признак Коши применяется

один раз. Тогда применяется формула Стирлинга:

n!=кв.корень из 2πn*(n/e)n*e θ/12n

Интегральный признак Коши

Пусть ф-я f(x) пол-на и монотонна на при x>=1 и пусть для всех n имеет место равенство f(n)=Un. Тогда числовой ряд из Un членов сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом ∫f(x)dx  a>=1

  1.  Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

Знакопеременный ряд – встречаются как положительные, так и отрицательные члены. ½+1/5-1/7-1/9+1/11… Частный случай – знакочередующиеся ряды – идет чередование плюса и минуса.

ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА: (достаточный признак сходимости значередующегося ряда): U1, U2..Un – абсолютные величины знакочередующегося ряда, n1>0, U1-U2+U3-U4+…+(-1)(c.n-1)Un+…(1). Сформулируем теорему: если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) убывают и общий член ряд lim(n∞)Un=0,

тогда знакочередующийся ряд (1) сходится, его сумма положительна и не привосходит модуля 1-го члена ряда 0<S≤ |U1|, Дано: U1-U2+U3…(1)

1) U1>…>Un>… 2) lim(n∞)Un=0, Д-ть: lim(n∞)Sn=S, 0<S≤U1 - ?.

Д-во: рассмотрим частичную сумму четного количества членов: 1) S2m=

=U1-U2+U3…+(-1)(c.n-1)U2m, сгруппируем: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)…+

+(U2m-1 – U2m). Разности в скобках >0, =>Sm>0, S2m=U1-[(U2-U3)+

+(U4-U5)+…+(U2m-2 – U2m-1)+U2m]. Все разности положительны, значит вся эта скоба положительна. 0<S2m<U1. 2) рассмотрим S2m+1 = S2m +

+ U2m+1. Рассмотрим lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m + lim(n∞)Um+1,

lim(n∞)Um+1=0, lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m=S, 0<S≤U1.

Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся рядом, если он сходится по Лейбницу и сходится ряд, составленный из модулей его членов. Знакочередующийся ряд (1) называется условно-сходящимся, если он сходится по Лейбницу, а знакоположительный ряд, составленный из модулей членов ряда расходится.

  1.  Степенные ряды. Сходимость степенных рядов. Свойства степенных рядов.

  1.  Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Маклорена.

  1.  Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Маклорена.

  1.  Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Маклорена.

  1.  Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле.

  1.  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

  1.  Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.




1. Перевод лексики ограниченного употребления
2. mgi от греч. понятие используемое для описания системы мышления при которой человек обращается к
3. д`Эрвильи ГЛАВА I На берегу реки В холодное пасмурное и дождливое утро на берегу огромной реки сидел м
4. учитель життя Його ім~я входить до сузір~я імен російських письменників І
5. 3 Организационный механизм менеджмента организации Жесткиеrdquo; и мягкиеrdquo; системные подходы к уп
6. Реализация права граждан на оружие в РФ
7. г междудалее ~ Истец и далее ~ Ответчик заключен договор участия в дол
8. нЮгоВосточная окраина г
9.  Понятие формы государственного правления
10. Управление предприятием на основе системного подхода4 1.html
11. Воспитать личность
12. записка Програму зовнішнього незалежного оцінювання з української мови далі ~ програма ЗНО розроблено
13. Об’єднання підприємств Джерела формування оборотних коштів Розподіл і використання прибутк
14. Реферат- Приближенные вычисления в расчетных химических задачах
15. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Киї
16. тематизує прийоми створення збереження відтворення обробки та передачі даних засобами обчислювальної тех
17. Психиатрия детского возраста
18. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Дніпро
19. выгодное географическое положение в Кировской области находится в 120км от областного центра 2
20. лекцияФедеративное устройство рф1