Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Вопросы к экзамену по предмету
математический анализ
ИИТ,230104, 230201,230203.
y=f(x,y), однородное, если f(x,y)=f(λx,λy)
Если при замене х→λх, у→λу уравнение вида не меняет, то уравнение однородное.
y=f(x,y) λ=1/x
y=f(λx,λy)=f(1,y/x)
Замена y=Ux y=yU+U
Ux+U=f(1,U)
dU/dx*x=f(1,U)-U
∫dU/(f(1,U)-U)=∫dx/x
ln|x|=∫dU/(f(1,U)-U)+C общий вид решения.
Если ур-е однородное, то подстановка y=Ux приводит ур-е к ур-ю с разделяющимися переменными.
Функция f(x;y) наз-ся однородной, если выполняется след. равенство: f(x;y)=f(ax;ay), где а - число
Пример
y=2xy/x2+y2, y1=(2ax+ay)/a2x2+a2x2=a22xy/a2(x2+y2)=2xy/(x2+y2)
Уравнения вида y′=f(x;y), где f(x;y) - однородная функция наз-ся однородными. Это уравнение сводится к уравнению с разд-ся переменными с помощью след. подстановки: вводим вспомогат. функцию t(x)=y/x, y=t*x, y′=t′x+t
Пример:
y′=(x2+y2)/2xy|:x2, y′=f(x/y) ∫2t*dt/(1-t2)= ∫dx/x обратная замена
y′=(1+y/x2)/(2y/x), -ln|1-t2|=ln|x|+lnC y/x=±√(1- x*1/C))
t(x)=y/x, y=tx, y′=t′x+t
t′x+t=(1+t2)/2t; ln|(1-t2)*x|*C=0 y=±√(x2-x/C)=±√(x2-C*x)
t′x=((1+t2)/2t)-t, (1-t2)*x*C=1
t′x=(1+t2-2t2)/2t, 1-t2= x*1/C
t′x=(-t2+1)/2t, t2=1- x*1/C
dt*x/dx=(1-t2)/2t|*dx, t=±√(1- x*1/C)
dt*x=(1-t2)dx/2t|:x*(1-t2)/2t
Линейные уравнения первого порядка.
Уравнения вида y′+y*p(x)=f(x)*, где р(х) и f(х)- непрерывные функции наз-ся линейными уравнениями 1 порядка. Название уравнения объясняется тем, что у и у′ входят в уравнение 1й степени.
решаем лин. уравнение способoм введения 2-х вспомогательных функций U(х) и V(х)
y=U*V, y′=U′V+UV′ U′* e-∫p(x)dx=f(x)
U′V+UV′+UV*p(x)=f(x) U ′=e∫p(x)dx*f(x)
U′V+U(V′+V*p(x))=f(x)** U= ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx+C
dV/dx+V*p(x)=0|*dx
dV=-Vp(x)dx|:V
∫dV/V=-∫p(x)dx
ln|v|=-∫p(x)dx (C=0)
V=e-∫p(x)dx
y= e-∫p(x)dx*( ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx)+C общ.
формула для решения лин. уравнений 1 порядка
Замечание: При решении уравнений можно вместо непосредств. использовании этой громоздкой формулы можно использовать подстановку y(x)=U(x)*V(x)
Пример
xy′+(x+1)y=3x2*e-x|:x U′*e-x*1/x=3x*e-x
y′+(x+1)y/x=3x*e-x лин. уравн. 1 порядка U′=3x2
p(x)=(x+1)/x; f(x)=3x*e-x U=3∫x2dx=x3+C
y=U*V; y′=U′V+UV′ y=(x3+C)*e-x*1/x
U′V+UV′+((1+x)/x)*UV=3x*e-x y=(x3+C)*e-x*1/x
U′V+U(V′+((x+1)/x)*V)=3x*e-x
V′+((x+1)/x)*V=0
dV/dx=-((x-1)/x)*V|*dx
dV=-((x+1)/x)*V*dx|:V
∫dV/V=∫(1-x)dx/x
ln|V|=-(x+ln|x|)
V=e-x-ln|x|=e-x*x-1
Уравнение Бернулли
y+P(x)y=Q(x)y(n)
если n=1 ур-е с раздел-ся переменными
если n=0 ур-е линейное
если nне=0не=1:
умн-ем обе части на y(-n)
y(-n)y`+P(x)y(1-n)=Q(x)
y(1-n)=z
(1-n)y(-n)*y`=z`
(1-n)*y(-n)*y`+(1-n)P(x)y(1-n)=Q(x)(1-n)
z`+P1(x)z=Q1(x)-линейное уравнение
Можно сделать подстановку y=UV
Уравнение Бернулли:
y′+y*p(x)=f(x)*yn оно сводится к решению лин. уравнения относительно х из вспомогательной функции z=y1-n
y′+xy=xy3|:y3 U′ex2=-2x
z=y1-3=y-2 U′= e-x2*(-2x)
(-1/2)*(-2)y-3*y′+xy-2=x; ((y-2)′=-2y-3) U=∫ e-x2*(-2x)dx
z′+xz=x e-x2+C=U
-1/2z′+xz=x|*(-2) лин. уравн. z=(e-x2+C)*ex2
z′-2xz=-2x z=1+ex2*C
z=UV; z′=U′V+UV′
U′V+UV′-2xUV=-2x y-2=1+ex2*C
U′V+U(V′-2xV)=-2x y2=1/(1+ex2*C)
v′-2xV=0 y=±√1/(1+ex2*C)
dV/dx=2xV|*dx
dV=2xVdx|:V
dV/V=2xdx
ln|V|=x2
V=ex2
Уравнения в полных дифференциалах.
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, если его левая часть
представляет полный дифференциал некоторой
функции.
dU= M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU/dx*dx+dU/dy*dy
Теорема для того, чтобы ур-е явл-сь ур-ем
в пол-х диф-ов необходимо и достаточно
чтобы в некот. обл-и изменения х и у выпол-
нялось усл-е dM/dy=dN/dx. Общий интеграл
этого ур-я имеет вид:
x y
∫M(x,y)+∫N(x,y)=C
x0 y0
1)проверим ур-е пол.диф. или нет.
2) U(x,y)=∫M(x.y)dx+φ(y)
3) N=dU/dy=d(∫M(x.y)dx+φ(y))/dy Найдем φ(y)`,
а затем φ(y) и подставим в U(x,y).
Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Имеет вид: y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+an-1y=0
ai(x) может зависеть от х
Рассмотрим когда ai=const
y=ekx решение
y`=kekx; y``=k2ekx; y(n)=knekx
knekx+a1k(n-1)ekx+a2k(n-2)ekx+…+an-1kekx+anekx=0 сократим на ekx
kn+a1k(n-1)+a2k(n-2)+…+an-1k+an=0 хар-ческое уравнение
1) k1не=k2 y=C1ek1x+C2ek2x
2) k1=k2 y=(C1+C2x)ekx
3) k 1,2=α+-βi y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) D произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S площадь D, то Si площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di) Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D 0 , то число n областей Di . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.
Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при 0. Обозн:
или
1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то:
4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) <= g(x,y), то:
В частности: g(x,y) >=0 то и
7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем
обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (, ) Д, что:
(2), где S площадь фигуры Д. Значение f(, ) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области Д.
Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. = угол между векторами ОА и ОР полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .
Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .
Якобиан преобразования будет равен:
И формула при переходе примет вид:
Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами V1… Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(i,i,i) составим сумму: f(i,i,i)Vi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)
Якобиан преобразования:
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим координатам: r? , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,
y=r sinsin, z=rcos.
(0<=r<=+, 0<= <= 2,
0<= <=2)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2sin.
Итак, в сферических координатах сие будет:
Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)
Якобиан преобразования:
И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим координатам: r? , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,
y=r sinsin, z=rcos.
(0<=r<=+, 0<= <= 2,
0<= <=2)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2sin.
Итак, в сферических координатах сие будет:
Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть lk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(k,k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:
1 = f(k,k)lk
2 = Р(k,k)хk
3 = Q(k,k)yk,
где хk = xk-xk-1, yk = yk-yk-1
Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы 1 при условии, что max(lk) 0
Если предел интегральной суммы 2 или 3 при 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:
или
сумму: + принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:
в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А начальной, В конечной точками интегрирования, dl дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода по функции..
Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:
, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:
В случае, когда l замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:
Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
и три интеграла 2 рода:
сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.
Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.
Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными: в данной области. тогда имеет место ф-ла:
И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.
Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или
y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).
Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:
каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:
Итак двойной интеграл:
Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.
Плоская область наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.
Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные 3.
1. Для замкнутой кусочногладкой кривой L в значение криволинейного интеграла:
2. Для все т. А и т. В области значение интеграла
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в .
3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в существует ф-ция E=(х,у) опред в такая, что dE = Pdx+Pdy
4. В области
Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути интегрирования.
Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) - непрерывны в замкнутой области и выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в , что равносильно условию: , тогда dF=Pdx+Qdy.
Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют обозначение:
или
А(x0,y0) , В = (х,у)
поэтому
F(x,y)=
где (х0,у0) фиксированная точка , (x,y) произвольная точка , с const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.
2 Признаки сравнения
1 Сведение 2-ного интеграла к повторному
Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем отрезке.
D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок [a,b] проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении оси оу.
Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = , наз. интегралом, зависящим от параметра I, а интеграл : , наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой переменной.
а1+a2+…+an+… ряд ; ai член ряда
S=Σ ai сумма ряда
Sn=Σ ai частичная сумма ряда
Если сумма ряда равна некоторому числу меньшему бесконечности, то говорят, что ряд сходится, если бесконечному расходится.
Теорема 1: если сх-ся ряд, получившийся из данного ряда путем отбрас. неск. его членов, то сх-ся и данный ряд. И наоборот.
Теорема 2: если ряд а1+…+аn+… сх-ся и его сумма равна S, то ряд са1+…+сan+…, где с- фиксир. число, также сх-ся как ряд (1) и сумма равна cs.
Теорема 3: Если ряды а1+…+аn+… и b1+..+bn+… сх-ся и суммы соотв-но равны S1 и S2, то ряды (а1+b1)+…+(an+bn)+… и (a1-b1)+…(an-bn)+… тоже сх-ся, а суммы S1+S2 и S1-S2.
Необходимый признак сходимости.
Теорема: Если ряд сх-ся, то его n-й член стр. к 0
lim Un=0
n→беск.
Признак Далампера
lim Un+1/Un=A
a) A<1, сходится
b) A>1, расходится
c) A=1, ничего сказать нельзя
Радикальный признак Коши
lim кв.корень n-степени из Un=A
a) A<1, сходится
b) A>1, расходится
c) A=1, ничего сказать нельзя
Радикальный признак Коши применяется
один раз. Тогда применяется формула Стирлинга:
n!=кв.корень из 2πn*(n/e)n*e θ/12n
Интегральный признак Коши
Пусть ф-я f(x) пол-на и монотонна на при x>=1 и пусть для всех n имеет место равенство f(n)=Un. Тогда числовой ряд из Un членов сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом ∫f(x)dx a>=1
Знакопеременный ряд встречаются как положительные, так и отрицательные члены. ½+1/5-1/7-1/9+1/11… Частный случай знакочередующиеся ряды идет чередование плюса и минуса.
ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА: (достаточный признак сходимости значередующегося ряда): U1, U2..Un абсолютные величины знакочередующегося ряда, n1>0, U1-U2+U3-U4+…+(-1)(c.n-1)Un+…(1). Сформулируем теорему: если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) убывают и общий член ряд lim(n∞)Un=0,
тогда знакочередующийся ряд (1) сходится, его сумма положительна и не привосходит модуля 1-го члена ряда 0<S≤ |U1|, Дано: U1-U2+U3…(1)
1) U1>…>Un>… 2) lim(n∞)Un=0, Д-ть: lim(n∞)Sn=S, 0<S≤U1 - ?.
Д-во: рассмотрим частичную сумму четного количества членов: 1) S2m=
=U1-U2+U3…+(-1)(c.n-1)U2m, сгруппируем: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)…+
+(U2m-1 U2m). Разности в скобках >0, =>Sm>0, S2m=U1-[(U2-U3)+
+(U4-U5)+…+(U2m-2 U2m-1)+U2m]. Все разности положительны, значит вся эта скоба положительна. 0<S2m<U1. 2) рассмотрим S2m+1 = S2m +
+ U2m+1. Рассмотрим lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m + lim(n∞)Um+1,
lim(n∞)Um+1=0, lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m=S, 0<S≤U1.
Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся рядом, если он сходится по Лейбницу и сходится ряд, составленный из модулей его членов. Знакочередующийся ряд (1) называется условно-сходящимся, если он сходится по Лейбницу, а знакоположительный ряд, составленный из модулей членов ряда расходится.