тематики который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется мат
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.
Линейное программирование является составной частью раздела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется математическим программированием. В классическом математическом анализе рассматривается задача отыскания условного экстремума функции. Тем не менее, время показало, что для многих задач, возникающих под влиянием запросов практики, классические методы недостаточны. В связи с развитием техники, ростом промышленного производства и с появлением ЭВМ все большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование — формальное описание изучаемого явления и исследование с помощью математического аппарата.
Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.
В большинстве случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важна и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной функции получается на основе изучения ее производной — происходит замена этой функции в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями.
Основные формы задачи ЛП.
Различают три основные формы задач линейного программирование в зависимости от наличия ограничений разного типа.
Стандартная задача ЛП.
или, в матричной записи,
где — матрица коэффициентов. Вектор называется вектором коэффициентов линейной формы, — вектором ограничений.
Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к этому классу задач ЛП.
Каноническая задача ЛП.
или, в матричной записи,
Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.
Общая задача ЛП.
В этой задачи часть ограничений носит характер неравенств, а часть является уравнениями. Кроме того, не на все переменные наложено условие неотрицательности:
Здесь . Ясно, что стандартная задача получается как частный случай общей при ; каноническая — при .
Все три перечисленные задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных.
При изучении задач ЛП сложилась определенная терминалогия. Линейная форма , подлежащая максимизации (или минимизации) , называется целевой функцией. Вектор , удовлетворяющий всем ограничениям задачи ЛП, называется допустимым вектором, или планом. Задача ЛП, для которой существуют допустимые векторы, называется допустимой задачей. Допустимый вектор , доставляющий наибольшее значение целевой функции по сравнению с любым другим допустимым вектором , т.е. , называется решением задачи, или оптимальным планом. Максимальное значение целевой функции называется значением задачи.
Двойственная задача линейного программирования.
Рассмотрим задачу ЛП
(1)
или, в матричной записи,
(2)
Задачей, двойственной к (1) (двойственной задачей), называется задача ЛП от переменных вида
(3)
или, в матричной записи,
(4)
где .
Правила построения задачи (3) по форме записи задачи (1) таковы: в задаче (3) переменных столько же, сколько строк в матрице задачи (1). Матрица ограничений в (3) — транспортированная матрица . Вектор правой части ограничений в (3) служит вектором коэффициентов максимизируемой линейной форме в (1), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (3) выступает линейная форма, коэффициентами которой задаются вектором правой части ограничений задачи (1), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменные накладывается условие неотрицательности. Задача (1), в отличии от двойственной задачи (3) называется прямой.
Теорема двойственности. Если взаимодвойственные задачи (2), (4) допустимы, то они обе имеют решение и одинаковое значение.
Теорема равновесия. Пусть — оптимальные планы прямой (1) и двойственной (3) задач соответственно. Тогда если то
4
2. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Харків ~1
3. СевероОсетинская Государственная медицинская академия Минздравсоцразвития Российской Федерации КАФЕД
4. Контрольная работа- Секретарское дело
5. Екзюпері Маленький принц Леонові Верту Даруйте мені дітки що я присвятив цю книжку дорослому
6. х годов XX века большинство жителей Великобритании традиционно не стремились к открытию собственных малых пр
7. Инвестиционные фонды Виды государственных ценных бумаг
8. Реферат- Поэтический и реальный образ Ярослава Осмомысла
9. Рассмотрим множество векторов {[x1t x2t
10. Сыктывкарский Медицинский колледж им
11. великолепный запах отбросов ждали пока солдаты уйдут
12. Начальное овладение основами позитивных знаний
13. Физические величины характеризующие поля ионизирующих излучений
14. Стилеобразующие средства на уровне слова в документах XVII века на примере жанра Память
15. исследовательская деятельность учащихся в общеобразовательном процессе
16. Тема- СМЭ Вопрос 1 Экспертиза проводится на основании Варианты к вопросу 1 1постановления следоват
17. тема состоит из отдельных блоков
18. Верхнеуслонская гимназия По следам пушкинских сказок Великим быть желаю Люблю России ч
19. і Цей факт породжує безліч проблем і протиріч як в житті окремої людини так і людства в цілому
20. Выбор решения в условиях непределенност