Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определённый интеграл и его свойства
В дальнейшем будем рассматривать определенный интеграл, построенный по схеме Римана. В отличие от неопределенного интеграла определённый интеграл от функции одной переменной с фиксированными пределами интегрирования сводится к некоторому числу
Геометрический смысл определённого интеграла
Из истории математики известно, что одной из первых задач, приведшей к понятию определенного интеграла, является задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определение:
Простейшей криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную
сверху – кривой y=f(x)
снизу – осью абсцисс y=0
слева – прямой x=a
справа – прямой x=b (см. рис. 1)
Рис. 1
Очевидно, геометрически эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. ниже рис. 2)
Рис. 2
(3)
При достаточно общих предположениях площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции
Определение
Если существует конечный предел (3), то он называется определённым интегралом от функции f(х) по промежутку [a, b] и обозначается
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f(x) – интегрируемой.
Отметим, что построенный по схеме 1) – 4) интеграл называется интегралом Римана. Однако, при менее жестких ограничениях на подинтегральную функцию такой интеграл может не существовать. Тем не менее, потребности прежде всего современной физики привели к созданию интеграла Лебега, обслуживающего более широкий класс функций. В математике используются и другие конструкции интеграла
Механический смысл определённого интеграла
Если известна скорость v(t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить пройденный этим объектом путь s(t), а именно,
По аналогии, если известно ускорение a(t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить скорость движения этого объекта, а именно,
Предположим, что тело движется равноускоренно с ускорением а на временном периоде (0, t), причем в начальный момент времени скорость и путь равны нулю, т.е. a(t)=v’(t)=a, v(0)=0, s(0)=0. Тогда
Итак, справедливы известные из школьного курса физики формулы
Ниже на графике ускорения (рис. 3) скорость тела численно равна площади заштрихованного прямоугольника
Рис. 3
Ниже на графике скорости (рис. 4) путь, пройденный телом за время (0, t), численно равен площади заштрихованного треугольника
Рис. 4
Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [a, b].
Определение
Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл следующего вида:
Здесь х – переменный верхний предел (a<x<b), t – переменная интегрирования (a<t<x). Геометрически интеграл с переменным верхним пределом означает площадь простейшей криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой t=x. (см. рис. 5)
Рис. 5
Имеет место утверждение
Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции
(4)
Доказательство. Рассмотрим приращение функции F(x) в точке х:
По определению имеем
(5)
Из рисунка 5 видно, что правую часть равенства (5) можно интерпретировать так: из трапеции aAD(x+) вычитается трапеция aACx. Ясно, что после вычитания остается узкая криволинейная трапеция xCD(x+) с основанием . Ее площадь выражается интегралом
(6)
Рис. 6
По предположению функция y=f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Это позволяет считать, что площадь узкой криволинейной трапеции (на рис. 6 – закрашенная область) приблизительно равна площади прямоугольника с таким же основанием и высотой f(с), где . (см. рис. 7)
Рис. 6
Таким образом, равенство (6) можно заменить приближенным равенством
или
Переходя к пределу при , получаем
что и требовалось доказать
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [a, b]. Тогда определённый интеграл находится по формуле:
Действительно,
{согласно теореме Лагранжа о дифференцируемой функции}
=
Свойства определённого интеграла
1.
Это простейший пример формулы Ньютона-Лейбница.
2.
Используется свойство, что предел суммы равен сумме пределов. Аналогичное свойство имеет место и для производной суммы двух функций
3.
Постоянный множитель выносится за знак интеграла
4.
Это аддитивное свойство определенного интеграла
5.
Если поменять пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный
5. , если на [a, b].
Это свойство следует из аналогичного неравенства для интегральных сумм.
6.
Данное неравенство очевидно, если иметь в виду, что определенный интеграл на отрезке, где функция отрицательна, сам отрицателен.
Замена переменной и интегрирование по частям
в определённом интеграле
Рассмотрим два простейших приема определенного интегрирования. Пусть функция f (x) имеет первообразную F (x). Покажем, что интеграл с переменным верхним пределом также является первообразной функцией относительно f (x).
Вычислим производную от интеграла с переменным верхним пределом:
{воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница}
=
Далее - первообразная f (x)
Верно ли тождество
?
Да, верно. В самом деле, переобозначение переменной интегрирования — это не замена переменной интегрирования.
Не всякий определённый интеграл с переменным верхним пределом может быть выражен в виде комбинации элементарных функций. В качестве примера таких интегралов, которые получили название специальных функций, приведём
— интегральный синус
— интеграл вероятностей
Теорема о среднем
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда найдется такая точка ξ (a, b), что выполняется равенство
, где ξ (a, b)
Для обоснования этого равенства будем исходить из формулы Ньютона-Лейбница
{по теореме Лагранжа} =
=
Каков геометрический смысл теоремы о среднем?
Всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.
Оценка интеграла
m (b – a) < < М (b – a), где
Это двойное неравенство является очевидным следствием теоремы о среднем
Пусть f [u (x)] непрерывна, а функция u (х) дифференцируема на [а, b], причём u (а) = с, u (b) = d. Тогда
Заметим, что пределы интегрирования изменяются. Итак, формула замены переменной в определенном интеграле такова:
Пример 1. Вычислить .
Решение.
Выполним перенос производной под знаком интеграла , если функции u (х) и v (x) дифференцируемы на отрезке [a, b]. Для этого используем формулу дифференцирования произведения функций
или
Теперь проинтегрируем это равенство
= 1 <
и окончательно получим:
Итак, формула интегрирования по частям в сокращенной записи такова:
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение.
Геометрические приложения определенного интеграла
Определение определённого интеграла как предела интегральных сумм позволяет получить различные формулы для нахождения длин, площадей и объёмов геометрических объектов.
Найдем площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат, ограниченной линиями:
у = f1 (x), y = f2 (x), х = a, x = b.
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями:
Решение. Представим на графике указанную площадь. Для этого вычертим параболу и прямую , а затем выделим фигуру, заключенную между этими геометрическими объектами. Вычисление площади этой фигуры с помощью определенного интеграла потребует знания пределов интегрирования. Это нижняя и верхняя границы проекции фигуры на ось абсцисс. Для нахождения таких границ приравняем правые части заданных уравнений: x2-x+3=7-x. Отсюда x2-4=0. Значит, x1=-2, x2=2.
Площадь выделенного участка вычислим с помощью определенного интеграла:
Найдем площадь криволинейного сектора в полярной системе координат, ограниченного линиями: кривой ρ = ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β.
Площадь выделенного узкого треугольника можно вычислить по формуле:
или, в силу первого замечательного предела, при малом
Переходя к пределу при и , получаем
Итак, площадь криволинейного сектора можно вычислить по формуле:
Пример 4. Найти площадь трилистника, если длина лепестка равна а.
Решение.
Найдем объём тела вращения, если он ограничен плоскостями х = а, х = b и поверхностью, образованной вращением кривой у = f (x).
В качестве элемента интегральной суммы примем объём диска:
Переходя к пределу при , получаем следующую формулу вычисления объема тела вращения:
Пример 2. Найти объем шара радиуса R.
Решение. Вращением какой кривой описывается шар? Ответ: Вращением полуокружности. Уравнение верхней центральной полуокружности радиуса R: Отсюда получаем
Несобственные интегралы
До сих пор мы занимались вычислением интегралов на ограниченном промежутке от ограниченной функции. В некоторых случаях эти ограничения на область и на функцию можно снять. Однако, прежде чем вычислять, такие интегралы необходимо сначала исследовать на сходимость.
Интеграл называется несобственным интегралом 1 рода, если его область интегрирования неограниченна, т.е. один из пределов или оба сразу принимают бесконечные значения
Интеграл называется несобственным интегралом 2 рода, если его подынтегральная функция неограниченна, т.е. минимум или (и) максимум функции в некоторой точке промежутка интегрирования принимают бесконечные значения
Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится
Несобственный интеграл 1 рода
Это интеграл следующего вида:
или
Пример 1. Вычислить .
Решение.
Несобственный интеграл 2 рода
Это интеграл следующего вида:
, где
или
, где
Пример 2. Вычислить .
Сходимость несобственных интегралов
Порядковый признак сравнения. Пусть выполняется неравенство
0 < g (x) ≤ f (x), где х [a, b].
Тогда, если несобственный интеграл сходится от большей функции f (x), то он сходится и от меньшей функции g (х), а если он расходится от меньшей функции, то он расходится и от большей функции.
Предельный признак сравнения. Пусть функции f (x) и g (х) с точностью до постоянного множителя эквивалентны в точке их разрыва или и бесконечно удаленной точке. В этом случае несобственные интегралы от этих функции сходятся или расходятся одновременно.
Пример 3. Исследовать .
Решение.
.
Ответ: Заданный интеграл расходится
При исследовании несобственных интегралов на сходимость часто используют для сравнения интегралы Дирихле 1 и 2 рода
Пусть Тогда несобственный интеграл 1 рода сходится, если α > 1 и расходится, если α ≤ 1. Действительно,
Пусть Тогда несобственный интеграл 2 рода сходится, если α < 1, и расходится, если α ≥ 1. В самом деле,
Пример 4. Исследовать
Решение. Поскольку α = 2, то данный интеграл 1 рода, т.е. интеграл с неограниченным пределом интегрирования сходится. Но в точке х = 3, принадлежащей отрезку интегрирования, неограниченна подынтегральная функция, и в результате данный интеграл 2 рода, т.е. интеграл с неограниченной подынтегральной функцией расходится. Учитывая это, получаем ответ: заданный интеграл расходится.
Приближённое вычисление интегралов
Ниже мы получим два простейших численных алгоритма вычисления интегралов.
Формула прямоугольников
Выразим интегральную сумму в виде суммы площадей прямоугольников с равными основаниями.
х0 = а, хn = b,
∆ хi = хi+1 – хi = , т.е.
х1 = а + ,
…………………….
хi = а + i , i [0, п]
Формула трапеций
Выразим интегральную сумму в виде суммы площадей трапеций с равными основаниями.
Как следует из школьного курса геометрии, площадь любой из трапеций равна
.
Действуя аналогично, нетрудно получить