Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный педагогический университет»
И.В. Мусихина
Математика
Пермь
ПГПУ
2009
УДК
ББК
П
Рецензенты:
М Мусихина И.В. Математика: учебно-методическое пособие для студентов факультета физической подготовки. Часть 1– Пермь: ПГПУ, 2009. – 47 с.
Пособие содержит краткие теоретические сведения, упражнения и задания для самостоятельной решения по темам «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия».
Для студентов специальностей 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (Адаптивная физическая культура)», 100103 «Социально-культурный сервис и туризм» факультета физической подготовки Пермского государственного педагогического университета.
УДК ….
ББК………
Печатается по решению редакционно-издательского отдела Пермского государственного педагогического университета.
ISBN ?
© Пермский государственный педагогический университет, 2008
© Мусихина И.В., 2008
Определение. Таблица чисел вида
, где i=1, 2, 3, …m; j= 1, 2, 3, …n;
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m× n.
Каждый элемент матрицы имеет двойной индекс: , где i – номер строки, j – номер столбца. Элементы, индекс которых состоит из одинаковых цифр, образуют главную диагональ. Например, а11 и а22.
Если m≠n, то матрица прямоугольная. Если m=1, n>1, то рассматривают однострочную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m>1, а n=1, то говорят об одностолбцовой матрице, которую называют матрицей-столбцом или вектором.
Если количество строк равно количеству столбцов (m=n), то матрицу называют квадратной. Число ее строк или столбцов называют порядком квадратной матрицы.
Например, – квадратная матрица второго порядка.
Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.
Например, – нулевая матрица второго порядка.
Матрица, в которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, все элементы которой равны 1, называется единичной
Например, – единичная матрица третьего порядка.
Две матрицы А и В называют равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны.
Например, если
и ,
, , , , то А=В.
Порядком определителя называется число столбцов (строк) квадратной матрицы.
Определение. Определитель второго порядка, соответствующий матрице , определяется равенством
. (1)
Пример. .
Определение. Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов , определяется равенством
. (2)
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части следует писать со знаком «+», какие – со знаком «-» применяют правило, называемое «правилом треугольника».
Пример. По формуле (2)
.
Иногда применяют следующую схему: справа приписывают два первых столбца, со знаком «+» берутся три произведения элементов, стоящих на главной и параллельной ей диагоналях, и со знаком «-» три произведения, стоящих на других диагоналях.
Минором Мik называется определитель (п-1)-го порядка, полученный из основного определителя, вычеркиванием i-той строки и k-того столбца.
Так минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.
Например, для элемента с2 определителя третьего порядка – это .
Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на (-1)т, где т – сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.
Например, алгебраическое дополнение для элемента с2 (вторая строка, третий столбец) определителя третьего порядка равно
=.
Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента определителя, определяется следующей таблицей:
.
Определение. Определителем квадратной матрицы п-го порядка называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
∆=.
Например, определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пример.
Например, .
Например, .
Например, .
Например, .
Например,.
Вычисление определителей можно проводить путем последовательного понижения порядка определителя, используя его свойства.
Пример. Выполним следующие преобразования: 1) по свойству (6) умножаем вторую строку на 5 и прибавляем ее к элементам первой строки; 2) умножаем вторую строку на 7 и прибавляем ее к элементам третьей строки; 3) расписываем определитель по элементам первого столбца.
Вычислить определитель второго порядка по определению
1) ; 2) ; 3) .
Вычислите определитель третьего порядка, разложив его по элементам
4) третьего столбца ; 5) второй строки .
Вычислите определитель, используя свойства:
6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
Вычислите определитель:
11) ; 12) ; 13) ; 14) ;
15) ; 16) .
Определение. Суммой двух матриц одинакового размера А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Если и , то их суммой называется матрица
.
Пример.
1) ,
2) – не имеет смысла.
Законы сложения:
А+В=В+А
А+(В+С)=(А+В)+С
А+О=А
Определение. Разностью двух матриц одинакового размера А и В называется матрица С, элементы которой равны разности соответствующих элементов данных матриц.
Если и , то их разностью называется матрица
.
Пример.
1) ,
2) – не имеет смысла.
Определение. Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А.
.
При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица.
Пример.
;
.
Сравните:
Определение. Результатом умножения матрицы А на одностолбцовую матрицу В будет матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки на элементы вектора В.
.
Пример.
.
Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой имеют вид:
, (i=1, 2, …, n; k=1, 2, …, n),
т.е. элемент таблицы С, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.
(m×n) (n×k) = (m×k)
Пример.
1) ;
2) =;
3) ;
4) – не имеет смысла.
Проверьте наоборот: .
При умножении квадратных матриц особое значение имеют нулевая и единичная матрицы:
Пример.
,
.
Свойства умножения матриц:
А·В ≠ В·А
0·А = А·0
Е·А = А·Е
Умножение матриц подчиняется сочетательному закону:
А (ВС) = (АВ)С.
Пример.
, ,
,
,
Пример.
.
А= , АТ=
Квадратная матрица и транспонированная к ней матрица имеют равные определители: .
Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице: АВ= ВА=Е.
Матрицу, обратную по отношению к матрице А, принято обозначать А-1, т.е. А·А-1=Е.
Теорема. Каждая невырожденная квадратная матрица А (определитель которой ) имеет единственную обратную матрицу А-1=В, элементы которой находятся по формуле
.
= АТ
Алгоритм нахождения обратной матрицы А-1:
Пример. Найти матрицу, обратную матрице .
Определитель равен 0.
, А12= - 6, А13=3, А21=-4, А22=2, А23=-1, А31= 2, А32=-1, А33=-4.
, ВТ=.
А-1=В·, т.е. А-1==.
Определение. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.
Пример.
А=, т.е. ранг r(А)=2
(количество элементов, отличных от нуля, примыкающих к гипотенузе нулевого треугольника).
Выполните действия:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) .
8) Найдите матрицу 2А+5В, если , .
9) Найдите матрицу 3А -2В, если .
Найдите произведение АВ и ВА, если
10) .
11) .
12) Найдите А2, А3, если.
13) Найдите матрицу 2А2+3А+5Е, если .
14) Определить ранг матрицы: а) А=; б) .
Запишите транспонированную матрицу АТ к данной матрице А:
15) ; 16).
Найдите обратную матрицу к матрице А и проверьте выполнение равенства А·А-1=Е., если
17) ; 18) ;
19) , 20) .
Равенство, содержащее неизвестную величину, называется уравнением.
Значение неизвестной величины, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Вид уравнения зависит от вида выражения. Вид целых уравнений определяется по степени старшего члена уравнения.
Например, 3х +2=0 –линейное уравнение, а – кубическое.
Дана система т линейных уравнений с п неизвестными
(3)
Решением этой системы называется совокупность п чисел , которые при подстановки вместо неизвестных в уравнения, обращают их в верные числовые равенства (тождества). Решить систему уравнений – значит найти все ее решения.
Коэффициенты системы линейных уравнений можно записать в виде таблицы, которая называется матрицей.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Матрицы
и (4)
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3).
Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений с несколькими переменными.
Выражают одну переменную из какого-либо уравнения и подставляют в остальные уравнения. Так поступают до тех пор, пока не получат уравнение с одним неизвестным. Находят его значение, подставляют во все уравнения и находят значения других неизвестных.
Пример. Решить систему уравнений
Выражаем переменную у из второго уравнения и подставляем в первое уравнение.
Ответ: (2; -1).
Составим главный определитель системы (3), т.е. определитель матрицы А (4) из коэффициентов при неизвестных
=
и п вспомогательных определителей, полученных путем замены в главном определителе соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов:
=, =, …, =.
Если , то решение системы (3) находится по формулам Крамера:
, , …, . (5)
Пример. Решить систему
≠0, , ,
, .
Ответ: .
Пример. Решить систему
, , ,
х=, y=, z=.
Ответ: (1; 2; 3).
Этот метод в школьном курсе математики известен как метод сложения. Суть его заключается в последовательном исключении неизвестных. Система уравнений при этом приводится к ступенчатому виду. Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно.
Пример. Решить систему уравнений
Умножаем второе уравнение на 6 и складываем его с первым, получим уравнение с одной переменной.
Ответ: (2; -1).
Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приводится к треугольной, в которой последнее уравнений содержит одно неизвестное.
Пример. Решить систему методом Гаусса
В качестве ведущего выберем 1-е уравнение системы, которое в дальнейшем останется без изменения. В качестве ведущего неизвестного – х, которое исключим из второго и третьего уравнения системы. Для этого из 1-го уравнения вычитаем второе, а затем 1-е уравнение умножаем на 3 , а 3-е уравнении – на 2 и вычитаем из одного другое.
В качестве ведущих возьмем второе уравнение и у. Исключим у из третьего уравнения, для этого второе уравнение умножаем на 2 () и вычитаем из него 3-е.
Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом получаем значения неизвестных:
.
Ответ: (4; 2; -1).
В случае неопределенной системы, т.е. такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, некоторые неизвестные принимают за базисные, которые выражают через остальные (свободные).
Пример. Решить
В данном случае число уравнений меньше числа неизвестных. Ранг системы r=2. поэтому только два неизвестных будут базисными.
Пусть неизвестные х и у – базисные, z – свободное. Выразим х и у через z
.
Придадим значение и получим решение системы в виде
.
Придавая t различные значения, будем получать различные частные решения данной системы уравнений.
Ответ: .
Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а соответствующую ей расширенную матрицу.
Пример. Решить систему уравнений
Поменяем местами первое и второе уравнения.
~
Вычитаем из 2-й и 3-й строк 1-ю строку, умноженную соответственно на 3 и на 4; поменяем знаки во второй строке.
~
Умножаем 2-ю строку на 5 и прибавляем к 3-й строке. Далее разделим 3-ю строку на (-11)
~.
Система уравнений приняла треугольный вид:
Она имеет единственное решение: .
Ответ: (2; 3; -1).
Запишем систему уравнений ( 3) в матричной форме
А Х=В,
где А – матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.
Если определитель матрицы системы отличен от нуля (), то существует обратная матрица А-1. Тогда решение системы уравнений можно свести к умножению матриц:
АХ=В А-1·АХ=А-1·В
Х= А-1·В. (6)
Пример. Решить матричным способом систему
Для данной системы составим матрицы
А=; Х=; В=.
Найдем матрицу, обратную к матрице А
А-1=.
Подставим ее в формулу (6)
=·==,
т.е..
Ответ: (2; -1; -3).
Решите систему методом подстановки:
1) 2)
Решите систему по формулам Крамера:
3) 4)
Решите систему методом Гаусса:
5) 6)
7) 8)
Решите систему матричным способом:
9) 10)
Решите систему:
11) 12)
13) 14)
15)
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;
11) ; 12) ; 13) ; 14) , 15). .
1); 2); 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .
А) первого столбца;
1) ; 2) ; 3) ;
Б) первой строки;
4) ; 5) ; 6) ;
В) третьего столбца;
7) ; 8) ; 9) ;
Г) третьей строки
10) ; 11) ; 12) ;
Д) второго столбца
13) ; 14) 15). .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .
1) М=2АВ - 4А, если , ;
2) М=2В2-5А, если , ;
3) , если , ;
4) , если , ;
5) , если , , ;
6) , если , , ;
7) , если , , ;
8) , если , ;;
9) , если , ;;
10) , если , ;
11) , если ;; ;
12) , если ;;
13) , если , , ;
14) , если , , ;
15) , если , , .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) .
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10) 11) 12)
13) 14) 15)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15)
Совокупность координатных осей Ох, Оу (с выбранной единицей масштаба) и их точки пересечения (начало отсчета) называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат.
Каждой точке на плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у, которые называют координатами точки А(х; у).
Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость на I, II, III и IVквадранты (координатные четверти).
Например, на рисунке 1 построены точки А(0; 4), В(3; 2), С(- 4; 0) М (-2;-3).
Основные задачи, решаемые методом координат
Найдем расстояние между двумя точками М1 (х1;у1) и М2 (х2;у2) (рис. 2).
Из прямоугольного треугольника М1М2 N по теореме Пифагора находим формулу для вычисления расстояния между точками:
. (7)
Пример. Найти расстояние между точками А(1; 3), В(4; 7).
По формуле (7) имеем
.
Требуется найти координаты точки М (х;у), лежащую на отрезке М1М2 и делящую его в данном отношении (рис. 3).
Если известны координаты концов отрезка М1 (х1;у1) и М2 (х2;у2), то координаты точки М(хМ;уМ), которая лежит на отрезке М1М2 и делит его в данном отношении
; (8)
. (9)
Пример. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(1; 3), В(5; 7). По формулам (8) имеем
.
Ответ: С(3; 5).
Пример. Вычислить координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ=4, если А(10; 2), В(5; 7).
По формулам (9) имеем
.
Ответ: М(6;6).
а) A(-3;-5) и B(2; 7); б) A(2; 7) и B(6; 4); в) A(12; 0) и B(0; -5);
г) A(-4; 0) и B(0; 3); д) A(-2;-7) и B(3; -2); е) О(0; 0) и B(-8; 6).
а) A(3; 7) и B(1; 7); б) A(5;-5) и B(5; 7); в) A(4; 3) и B(8; 1); г) A(-2; 4) и B(6; -7).
а) , А(3; 5), В(9; 8); б) , А(3; 5), В(9; 8); в) , А(7; 11), В(2; 1); г), А(7; 11), В(2; 1).
В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени относительно координат х и у
Ах+Ву+С=0, (10)
где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.
Уравнение (10) называется общим уравнением прямой на плоскости, где - нормальный (перпендикулярный) вектор данной прямой.
Уравнение прямой, которая проходит через точку М(х0;у0) перпендикулярно вектору , имеет вид
.
Если прямая проходит через точку М(х0;у0) параллельно вектору , то
.
Направление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е.
.
Исключение составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох.
Из общего уравнения прямой угловой коэффициент k равен
.
Если прямая задана двумя точками и , то угловой коэффициент k вычисляется по формуле
. (11)
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в точке с ординатой b,записывается в виде
у= kх+ b. (12)
Пример. Если α=450, b=7, то , и уравнение прямой имеет вид .
Пример. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом k=3, которая проходит через точку М (-1; 8).
По формуле (12) запишем условие: 8=3·(-1)+ b b=11. Тогда уравнение прямой имеет вид у= 3х+ 11.
Уравнение прямой, проходящей через точку М(х0;у0) с заданным углом наклона , можно записать в другом виде
. (13)
Если в общем уравнении прямой (10) , то прямая отсекает на координатных осях отрезки . Тогда уравнение прямой в отрезках имеет вид
. (14)
Пример. Записать уравнение прямой в отрезках.
Перепишем это уравнение и разделим его на 10, тогда уравнение примет вид .
Две точки определяют единственную прямую.
Пример. Написать уравнение прямой , проходящей через точки А(2; 3) и В(4; 5). Так как прямая у=kх+b проходит одновременно через две точки, то задача может быть решена с помощью системы линейных уравнений
т.е. уравнение имеет вид у= х+1.
Для написания уравнение прямой, проходящей через две данные точки и можно использовать формулу
. (15)
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу. По формуле (15) запишем
.
Расстояние от точки М(х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 равно
. (16)
Пример. Найти расстояние от точки К(2; 6) до прямой .
Из общего уравнения прямой А=3, В=4, С=5. По формуле (16) находим
.
Рассмотрим на плоскости две прямые и с углами наклона к оси Ох соответственно и . Углом между прямыми считается наименьший из углов, полученных при их пересечении.
Тангенс угла α между прямыми равен
,
выразим его через угловые коэффициенты данных прямых
. (17)
Пример. Найти тангенс угла между прямыми у=5х-7 и у=3х+1.
По формуле (17) запишем .
Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют общую одну точку); 2) параллельны (не пересекаются и не совпадают); 3) совпадают.
Прямые совпадают в случае, когда соответствующие коэффициенты в уравнениях прямых совпадают или пропорциональны.
.
Если прямые и параллельны, то = , следовательно k1=k2, т.е.параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
Условие параллельности прямых
k1=k2 или (18)
Если прямые Ах1+Ву1+С1=0 и Ах2+Ву2+С2=0 пересекаются в некоторой точке М(х; у), то ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, чтобы найти координаты точки М, надо решить систему уравнений.
Прямые пересекаются, если имеют различные угловые коэффициенты.
, т.е. .
Если прямые и перпендикулярны, то угол межу ними равен 900, т.е. . Тогда или .
Условие перпендикулярности прямых
. (19)
Пример. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат а) параллельно и б) перпендикулярно прямой у=2x – 4.
а) По формуле (18) k1=k2=2. Тогда по формуле (13) или . у=2x.
б) По формуле (19) . Тогда или у= –0,5x.
а) А(2; 3), В(4; 5); б) А(4; -2), В(3; -4); в) А(3; 0), В(7; 4); г) А(3; 5), В(0; 4).
а) k=3, b=2; б) k=-2, b= - 4; в) k=4, b= - 5; г) k=0, b=3; д) k=4, b=0.
а) М(0; 2), k=1; б) М(0; 0), k=-1; в) М(0; -3), k=0; г) М(0; 1), k=0,5;
д) М(1; 1), k=1; е) М(3; - 2), k=-1; ж) М(-2; 5), k=-0,5.
а) ; б) ; в) ; г) .
а) а=2 , b=4; б) а=- 7 , b=5; в) а=6, b=-3; г) а=-5 , b=-4.
а) А(0; 2) и В(5; 0); б) А(-3; 0) и В(0;-2); в) А(0; 1) и В(-2; 0).
а) 4х – 6у+12=0; б) 2х + 3у+12=0; в) - 2х+5у -10=0; г) 5х+4у - 20=0.
а) и ;
б) и ;
в) и .
а) и ;
б) и .
а) М(2;5), у=4х+3; б) М(-3;2), у=-2х+5; в) М(0;-3), у=6х - 5; г) М(4;0), у=3.
а) М(4;3), у=2х+3; б) М(-5;1), у=-2х+7; в) М(2;- 5), у=5х +3; г) М(0;-5), у=3.
а) 4х–6у+2=0 и 2х+4у+5=0; б) 5х–3у+8=0 и -5х+8у-7=0; в) 4х+2у=0 и 4у+5=0.
а) 2х+5у+1=0, К(2;4); б) 3х - 2у - 5=0, К(-1;-2); в) - х+2у+3=0, К(3;0).
а) ; б) ; в) .
а) и ;
б) и .
Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны следующим образом:
.
К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Каноническое уравнение окружности
, (20)
где - центр окружности; R – радиус окружности.
Если центр окружности совпадает с началом координат, уравнение окружности имеет вид
.
Пример. Написать уравнение окружности радиуса R=3 с центром в точке С(1; 2). По формуле (20) имеем .
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2а.
Если ось Ох проходит через фокусы F1 и F2 (расстояние между фокусами обозначим 2с), а начало координат находится в середине отрезка F1F2 (рис. 4), то фокусы имеют координаты F1(-с; 0) и F2(с; 0).
По определению и формуле (7) расстояния между точками получаем уравнение эллипса
.
Эллипс пересекает оси координат в четырех точках , которые называют вершинами эллипса Отрезок А1А2 называется большой осью эллипса, а отрезок В1В2 – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b – длина его малой полуоси.
В результате преобразований получено каноническое уравнение эллипса
. (21)
Эксцентриситетом эллипса ε называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси.
Если , то А1А2 – большая ось, а В1В2 – малая ось эллипса и
и , F1(- c; 0) и F2(c; 0).
Если , то А1А2 – малая ось, а В1В2 –большая ось эллипса и
и , F1(0; - c) и F2(0; c).
Если a=b, то уравнение (21) принимает вид и определяет окружность с центром в начале координат . В этом случае с=0.
Пример. Привести уравнение к каноническому виду, определить параметры a, b, с и ε.
Разделим уравнение на 576 и приведем уравнение к каноническому виду . Отсюда следует, что а=8, b=6, с=, .
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а.
Если ось Ох проходит через фокусы F1 и F2 (расстояние между фокусами обозначим 2с, причем ), а начало координат находится в середине отрезка F1F2 (рис. 5), то фокусы имеют координаты F1(-с; 0) и F2(с; 0).
По определению и формуле (7) расстояния между точками получаем уравнение гиперболы
.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
, (22)
где – асимптоты гиперболы (продолжение диагоналей прямоугольника 2a2b); ; – эксцентриситет гиперболы
Если , то при у=0 получают т.е. гипербола пересекает ось Ох в точках А1(-а; 0) и А2(а; 0), называемых вершинами гиперболы, отрезок А1А2 – вещественная ось гиперболы, а – длина действительной полуоси, b – мнимой полуоси; F1(- c; 0) и F2(c; 0).
Если , то при х=0 получают , т.е. гипербола пересекает ось Оу в точках В1(0; -b) и B2(0; b), отрезок B1B2 – вещественная ось гиперболы, т.е. а – длина мнимой полуоси, b – действительной полуоси; F1(0; - c) и F2(0; c).
Если a=b, то гипербола называется равносторонней. Асимптотами служат взаимно перпендикулярные прямые .
Пример. Найти параметры (a, b, с, ε) гиперболы, заданной уравнением . Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду . Отсюда следует a=6, b=3, с=, ε = Уравнение асимптот гиперболы , фокусы F1(- ; 0) и F2(; 0).
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (называемой фокусом параболы) и от данной прямой l (называемой директрисой параболы).
– фокус параболы; – уравнение директрисы.
Каноническое уравнение параболы
. (23)
. (24)
Если уравнение содержит у2, то график параболы симметричен относительно оси Ох; при p>0 ветви параболы направлены вправо, при p<0 – влево.
Если уравнение содержит х2, то ось параболы совпадает с осью Оу; при p>0 ветви параболы направлены вверх, при p<0 – вниз.
Пример. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(9; 3) и симметрична относительно оси Ох. Написать каноническое уравнение. Подставляя координаты точки в уравнение (23), находим, что р=0,5 и .
Пример. Определить координаты фокуса, написать уравнение директрисы параболы у2=36х. Из формулы (23) находим р=18, следовательно фокус находится в точке F(9; 0), а х= - 18 – уравнение директрисы.
а) R=5, С(2; 5); б) R=2, С(-4; -1); в) R=9, С(-8; 0); г) R=12, С(0; -8).
а) ; б) ; в) .
а) a=3, b=2; б) a=5, b=4; в) a=5, b=13; г) a=8, b=10.
а) ; б) ; в) .
.
Вектором называется направленный отрезок (рис. 7).
Вектор обозначается указанием его начала (т. А) и его конца (т. В), записывается или одной буквой, например .
Если известны координаты точек и , то координаты вектора находятся по формуле
. (25 )
Пример. .Найдите координаты вектора , если А(4; -3; 5) и В(9; 0; 2). По формуле (25) координаты вектора =(9- 4;0-(-3); 2-5)=(5; 3; -3).
Длина вектора называется его модулем и находится по формуле
или . (26)
Пример. Найдите модуль вектора , если А(4; -3; 5) и В(9; 0; 2). По формуле (26) длина вектора равна .
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Условием коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их соответствующих координат
. (27)
Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковые длины. Условием равенства двух векторов и является равенство их соответствующих координат
(28)
Например, векторы и равны; векторы а и сонаправлены , т.к. ; векторы и противоположно направлены , т.к. ; векторы – коллинеарные.
1. Сложение векторов
(29)
Свойства: + = +; +=; +()=.
Пример. , .
2. Вычитание векторов
. (30)
Пример. , .
3. Умножение вектора на число
(31)
Пример. , .
4. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними
. (32)
Скалярное произведение векторов можно найти по формуле
= . (33)
Пример. , .
Из формул (32) и (33) можно определить угол между векторами
. (34)
Пример. , , , тогда по формуле (34) находим .
Свойства:
Пример. Доказать, что векторы и перпендикулярны. Для этого применим свойство (4) скалярного произведения векторов: .
Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , перпендикулярный данным и определяемый формулой
. (35)
Свойства:
. (36)
Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах =(3; 1; 2) и =(2; -1; 0).
Найдем , по формуле (36) .
Определение. Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других, т.е. произведение вида
.
(37)
Свойства:
.
. (38)
Пример. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .
Найдем смешанное произведение данных векторов:
, (куб.ед.).
а) А(-1; 5; 2), В(2; 5; -2); б) А(1; 3; 0), В(-2; 3; 0); в) А(4; -7; -3), В(-1; 9; 3).
а) и ; б) и ; в) и , если А(-2; 3; 1), В(1; 5; -2), С(4; 5; -8), D(1; 3; -5)
а) и ; б) и ; в) и .
а) и ; б) и .
а) и ; б) и ?
а) и ; б) и .
а) и ; б) и ; в) и .
а) и ; б) и .
a) А(1; 1; 1), В(2; 3; 4) и С(4; 3; 2); б) А(0; 3; -2), В(1; -2; 2) и С(5; 0; -1).
а) , и ; б) , и .
а) , и ; б) , и ; в) , и .
а) , и ; б) , и .
А(0; 0; 1), В(2; 3; 5); С(6; 2; 3); D(3; 7; 2).
; ; ; ;; .
I. Метод координат на плоскости
II. Уравнение прямой на плоскости
|
Для задания № 2.1 |
Для задания № 2.2 |
Для заданий № 1(1-4), 2(3-6), |
|
|
|
2x + 5y – 5 =0 |
a = 3, b = – 2 |
А(-2; 4), В(3; 1), С(10; 7) |
|
|
7x + 2y =0 |
a = – 5, b = 4 |
А(2; 3), В(6; 2), С(5; 8) |
|
|
14x - 7y + 42 =0 |
a = 2, b = – 3 |
А(2; 6), В(8; 2), С(3; 2) |
|
|
3x - 4y – 12 =0 |
a = – 3, b = 5 |
А(-1; 3), В(1; 1), С(5; 7) |
|
|
3x - 2y – 4 =0 |
a = 3, b = – 3 |
А(-2;-1), В(2; 2), С(4; -2) |
|
|
2x - 5y + 10 =0 |
a = – 2, b = 6 |
А(-1; 2), В(2; 5), С(2; -7) |
|
|
21x + 7y - 14 =0 |
a = 2, b = 5 |
А(2; 2), В(8; 5), С(2; - 8) |
|
|
3x +2y + 4 =0 |
a = – 3, b = 3 |
А(1; 4), В(6; 1), С(10; 8) |
|
|
- 2x + 5y – 10 =0 |
a = 5, b = – 5 |
А(1; 6), В(8; 1), С(4; 1) |
|
|
3x + 4y – 24 =0 |
a = – 2, b = 5 |
А(-2; 4), В(3; -1), С(10; 7) |
|
|
- 3x + 6y – 24 =0 |
a = 4, b = 4 |
А(-2; 3), В(2; 1), С(4; -2) |
|
|
5x + 2y + 8 =0 |
a = – 5, b = 3 |
А(-2; 1), В(2; 5), С(1; -7) |
|
|
4x + 5y – 20 =0 |
a = 2, b = – 5 |
А(1; 1), В(8; 5), С(1; - 8) |
|
|
-5x + 3y –12 =0 |
a = – 4, b = 4 |
А(- 6; 1), В(1; 3), С(0; -7) |
|
|
7x + 2y + 6 =0 |
a = 2, b = – 2 |
А(7; 1), В(2; 5), С(1; 3) |
III. Кривые второго порядка
|
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
|
|
|
С(2;3), R=3 |
||||
|
|
С(1;-2), R=5 |
||||
|
|
С(-1;3), R=2 |
||||
|
|
С(0;4), R=4 |
||||
|
|
С(2;0), R=5 |
||||
|
|
С(-2;1), R=2 |
||||
|
|
С(2;3), R=3 |
||||
|
|
С(-3;2), R=4 |
||||
|
|
С(4;2), R=2 |
||||
|
|
С(-2;0), R=5 |
||||
|
|
С(2;-3), R=2 |
||||
|
|
С(-5;1), R=4 |
||||
|
|
С(4;-5), R=3 |
||||
|
|
С(1;4), R=5 |
||||
|
|
С(-2;3), R=4 |
IV. Векторы в пространстве
|
4.1 – 4.5 |
4.6 – 4.9 |
|
|
|
А(0; 3; 2), В(-1; 6; 6), С(5; 5; 1), D(2; 8; 5) |
|
|
|
А(2; 3; 0), В(3; 5; 1), С(6; 10; 5), D(11; 6; 2) |
|
|
|
А (6; 2; 3), В (2; 1; 1), С (7; 4; 2), D (5; 3; 1) |
|
|
|
А(6; 10; 5), В(11; 6; 2), С(3; 5; 1), D(2; 3; 0) |
|
|
|
А (9; 6; 3), В(1; 5; 2), С(4; 10; 6), D (0; 3; 1) |
|
|
|
A(5; 5; 1), В (2; 8; 5), C(0; 3; 2), D (-1; 6; 6) |
|
|
|
А(1; 3; 5), В (1; 1; 2), С(3; 2; 6), D(2; 4; 7) |
|
|
|
А (3; 1; 5), В (2; 3; 6), С (2; 2; 4), D (1; 0; 1) |
|
|
|
A(1; 5; 3), B(5; 10; 6), С (2; 6; 11), D (0; 3; 2) |
|
|
|
А(1; 3; 0), В(2; 5; 1), С(6; 10; 4), D(3; 6; 9) |
|
|
|
А(1; 0; 1), В(4; 2; 2), С(5; 1; 3), D(6; 3; 2) |
|
|
|
А (1; 5; 2), В (9; 6; 3), С(0; 3; 1), D(4; 10; 6) |
|
|
|
A(2; 8; 5), В (5; 5; 1), D(0; 3; 2), С (-1; 6; 6) |
|
|
|
А(2; 1; 1), В(5; 3; 1), С(6; 2; 3), D(7; 4; 2) |
|
|
|
А(0; 3; 1), В(1; 5; 2), С(4; 10; 6), D(9; 6; 3) |
Оглавление
|
[1] ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [1.1] Матрицы и определители [1.2] Свойства определителя [1.2.1] Упражнения [1.3] Действия над матрицами [1.3.1] Упражнения [1.4] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [1.4.1] Метод подстановки [1.4.2] Формулы Крамера [1.4.3] Метод Гаусса [1.4.4] Матричный способ [1.4.5] Упражнения [1.5] Вопросы к коллоквиуму [1.6] Задания для самостоятельного решения [2] II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ [2.1] МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ [2.1.1] Расстояние между двумя точками [2.1.2] Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка [2.1.3] Упражнения [2.2] Уравнение прямой на плоскости [2.2.1] Общее уравнение прямой [2.2.2] Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом [2.2.3] Уравнение прямой в отрезках [2.2.4] Уравнение прямой, проходящей через две данные точки [2.2.5] Расстояние от точки до прямой [2.2.6] Угол между прямыми [2.2.7] Взаимное расположение прямых [2.2.8] Упражнения [2.3] КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА [2.3.1] Уравнение окружности [2.3.2] Уравнение эллипса [2.3.3] Уравнение гиперболы [2.3.4] Уравнение параболы [2.3.5] Упражнения [2.4] 2.4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ в пространстве [2.4.1] Координаты вектора [2.4.2] Модуль вектора [2.4.3] Операции над векторами в координатной форме [2.4.4] Упражнения [2.5] Вопросы к коллоквиуму [2.6] Задания для самостоятельного решения [3] Литература |
Учебное издание
Мусихина Ирина Васильевна
Математика
Учебное пособие
Редактор
Компьютерный набор выполнен И.В. Мусихиной
Свидетельство о государственной аккредитации вуза № 1426 от 23.04.2004
Изд. лиц. ИД № 03857 от 30.01.2001
Подписано в печать . . . . Формат 60×84 1/16
Бумага ? Печать ?
Усл. печ. л. ?.Уч.-изд. л. ?
Тираж … экз. Заказ № …
Редакционно-издательский отдел
Пермского государственного педагогического университета
614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71,
тел. (34) 238-63-12
Отпечатано
–
+
–
+
у
о
В
С
М
1
2
3
1
2
3
4
х
х
-3
- 4
Рис. 1
х
у
о
М2
М1
N
x1
y1
y2
x2
Рис. 2
х
у
о
М2
М1
N
x1
y1
y2
x2
Рис. 3
М
уМ
хМ
Рис. 4
F2
F1
A1
o
B1
B2
M(x;y)
y
x
Рис. 5
F2
F1
A1
o
А2
M
y
x
Рис. 6
F
A
o
l
M
y
x
А
EMBED Equation.3
В
Рис. 7