Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕХАНИКА
Движение – это изменение положения тела или его частей в пространстве относительно другого тела, выбранного за тело отсчета, с течением времени.
Система отсчета – это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов.
Материальная точка – идеализированная модель, соответствующая физическому телу, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. На практике тело можно принять за материальную точку тогда, когда оно движется поступательно (не изменяя ориентацию относительно тела отсчета), или если его размеры оказываются намного меньше расстояний, рассматриваемых в данном движении.
Твердое тело – тело, деформациями которого при движении можно пренебречь.
Траектория – непрерывная линия, образованная множеством точек, через которые проходит движущаяся материальная точка в данной системе отсчета. Поэтому в разных системах отсчета траектория одного и того же движения имеет разную форму.
Понятие траектории используют лишь в классической механике для макромира. В микромире, где движение описывается квантовой механикой, понятие траектории теряет смысл.
Путь s – это скалярная физическая величина, длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени. Единица в СИ – метр (м).
2. Характеристики механического движения: перемещение, скорость, ускорение. Виды движения (равномерное, равноускоренное ) и их графическое описание.
Перемещение (или ) – вектор, соединяющий положения движущейся материальной точки в начале и в конце некоторого промежутка времени. При криволинейной траектории модуль вектора перемещения не совпадает с длиной пройденного пути, т.е. с длиной кривой линии.
Скорость – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела и равная пределу, к которому стремится отношение , т.е отношение перемещения к промежутку времени Dt, за которое произошло это перемещение, если промежуток времени уменьшается до нуля:
Единица в СИ – метр в секунду (м/с).
Если тело движется по прямой, то вдоль этой прямой выбирают направление одной из осей системы координат, например оси 0X, относительно которой рассматривается движение. Если перемещение тела происходит по направлению оси, то проекция вектора скорости x положительна, если против оси, то эта проекция отрицательна.
Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная пределу, к которому стремится отношение , т.е. отношение изменения скорости D к промежутку времени Dt, за который произошло это изменение, при уменьшении промежутка времени до нуля:
Единица в СИ – метр на секунду в квадрате (м/с2).
Если материальная точка движется по прямой линии, то вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор скорости, когда x увеличивается, и в противоположную сторону, когда x уменьшается (рис. 3).
Рис. 3
Если направление оси координат 0X совпадает с направлением начального вектора скорости, то на первом рисунке проекция ускорения ax положительна, а на втором отрицательна.
Это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна, а ускорение равно нулю.
Это самая простая модель движения, редко встречающаяся в реальности. При таком движении скорость тела постоянна, а координата может быть рассчитана по закону движения
,
где x0 – начальная координата материальной точки, а 0x – проекция ее начальной скорости на ось 0X.
Графиком такой зависимости в координатах (x, t) (рис. 4, а) является прямая линия, тангенс угла наклона которой задается проекцией скорости 0x.
Рис. 5
Это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно.
Примерами такого движения является свободное падение тел вблизи поверхности Земли и движение под действием постоянной силы.
При равноускоренном прямолинейном движении координата тела меняется с течением времени в соответствии с законом движения:
где x0 – начальная координата материальной точки, 0x – проекция начальной скорости и ax – проекция ускорения точки на ось 0X.
Проекция скорости материальной точки на ось 0X в этом случае меняется по следующему закону:
При этом проекции скорости и ускорения могут принимать различные значения, в том числе и отрицательные.
Графики зависимости x(t) и x(t) представляют собой соответственно прямую и параболу, причем, как и в алгебре, по коэффициентам в уравнениях прямой и параболы можно судить о расположении графика функции относительно координатных осей.
Рис. 6
На рисунке 6 приведены графики для x(t), x(t), s(t) в случае x0 > 0, 0x > 0, ax < 0. Соответственно прямая (t) имеет отрицательный наклон (tg a = ax < 0).
3. Вращательное движение и его кинематические параметры. Связь между угловой и линейной скоростями.
Равномерное движение по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью, т.е. = const (рис. 7). Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется, поэтому равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением.
Рис. 7
Для описания равномерного движения тела по окружности вводят следующие физические величины: период, частота обращения, линейная скорость, угловая скорость и центростремительное ускорение.
Период обращения T – время, за которое совершается один полный оборот.
Частота обращения n – это число оборотов, совершаемых телом за 1 с. Единицей частоты обращения в СИ является с–1.
Частота и период обращения связаны между собой соотношением .
|
|
Вектор скорости при движении точки по окружности постоянно изменяет свое направление (рис. 8).
При равномерном движении тела по окружности отрезок пути Ds, пройденный за промежуток времени Dt, является длиной дуги окружности. Отношение постоянно во времени и называется модулем линейной скорости. За время, равное периоду обращения Т, точка проходит расстояние, равное длине окружности 2pR, поэтому
Рис. 8
Скорость вращения твердых тел принято характеризовать физической величиной, называемой угловой скоростью w, модуль которой равен отношению угла поворота тела Da к промежутку времени, за которое этот поворот совершен (рис. 8):
Единицей угловой скорости в СИ является с–1.
Так как ориентация твердого тела одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно, то и угловая скорость обращения твердого тела будет одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно.
При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси любая точка этого тела движется вокруг этой же оси по окружности радиусом R с линейной скоростью, которая равна
= wR.
Если начальные координаты точки равны (R; 0), то ее координаты меняются по закону x(t) = R cos wt и y(t) = R sin wt.
|
|
4. Инерция. Инерциальные системы отсчета. 1-й закон Ньютона.
Движение тел в разных системах отсчета происходит по-разному. Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, где материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока остается изолированной. Система отсчета, в которой материальная точка движется в отсутствие воздействия других тел по инерции, называется инерциальной системой отсчета.
Как показывают наблюдения, такой системой для большинства задач может считаться система, центр которой связан с центром Земли, а оси направлены на удаленные звезды (геоцентрическая система отсчета). В этой системе отсчета звезды, удаленные друг от друга на большие расстояния, т.е. не взаимодействующие друг с другом, неподвижны.
Любая система, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с постоянной скоростью, также является инерциальной. В системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, только Полярная звезда неподвижна, а остальные звезды за сутки совершают движение по окружности. Однако для большинства задач, в которых рассматриваются движения, протекающие за время много меньше 24 ч, и эту систему отсчета можно считать инерциальной. В ряде задач точность расчетов не позволяет и геоцентрическую систему отсчета считать инерциальной, поэтому приходится начало системы отсчета выбирать в центре Солнца.
5. Взаимодействие тел. Сила. Принцип суперпозиции сил.
Рис. 1
Воздействие одного тела на другое проявляется в изменении формы каждого из них (деформация) или характера движения, например, в изменении направления или модуля вектора скорости (рис. 1).
Воздействие тел друг на друга в физике характеризуется силой. Сила – количественная мера воздействия одного тела на другое. Проявление воздействия меняется в зависимости от значения силы, направления ее действия и точки приложения, поэтому сила – векторная величина. Воздействие на рассматриваемое тело других тел изображается векторами, число которых равно числу воздействующих тел. Одно тело – одна сила, следовательно, и один вектор.
В механике рассматривают одну бесконтактную дальнодействующую силу – силу всемирного тяготения, которая может действовать на рассматриваемое тело на большом расстоянии (например, Земля притягивает Луну), и две контактные силы: силу упругости и силу реакции. В таблице показаны примеры изображения этих сил.
|
Графическое изображение сил |
Направление и точка приложения |
|
Сила тяжести направлена к центру Земли, приложена к центру тяжести тела |
|
|
Сила упругости направлена вдоль нити, стержня или пружины. |
|
|
Сила реакции: в общем случае направление не определено. |
В СИ сила выражается в ньютонах. Сила, равная 1 H, сообщает эталонному телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2.
Однако эталоном воздействия одного тела на другое могли бы служить, например, деформация стандартной пружины или изменение скорости стандартного тела.
|
|
Равнодействующая нескольких сил – сила, эквивалентная данной системе сил, т.е. сила, вызывающая такое же механическое воздействие на рассматриваемое тело, что и система сил.
Равнодействующая сила равна векторной сумме всех сил, приложенных к материальной точке. Это еще раз подчеркивает, что сила – векторная величина.
Если в инерциальной системе отсчета тело покоится, то это значит, что действие сил, приложенных к телу, скомпенсировано, или равнодействующая этих сил равна нулю.
Рис. 2
Принцип суперпозиции сил констатирует, что другие тела действуют на данное тело независимо друг от друга, присутствие одного тела никак не влияет на действие другого.
Принцип суперпозиции сил позволяет когда это удобно, рассматривать одну силу как сумму нескольких сил, называемых составляющими данной силы. Так, силу реакции чаще всего рассматривают как сумму нормальной составляющей силы реакции поверхности и силы трения (рис. 2)
6. Законы динамики Ньютона.
Если в инерциальной системе отсчета на материальную точку массой m оказывается воздействие со стороны других тел, характеризуемое равнодействующей силой , то эта материальная точка движется ускоренно. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей силы , а модуль ускорения равен отношению модуля силы к массе материальной точки:
.
Коэффициент пропорциональности m является скалярной положительной величиной, характеризующей способность тела реагировать на воздействие других тел (инертность тела), поэтому называется инертной массой материальной точки. Он не зависит ни от положения этой точки относительно воздействующих тел, ни от ее скорости, ни от значения и направления действующей силы, или от ее природы.
Каждая пара тел взаимодействует так, что сила воздействия одного тела на другое равна по модулю и направлена противоположно силе воздействия второго тела на первое, причем обе силы лежат на одной прямой. Если камень притягивается Землей силой , то Земля притягивается камнем силой , причем = – и эти силы приложены к разным телам. Если тело давит на подставку вертикально вниз силой , называемой весом тела, то подставка действует на тело вертикально вверх силой , равной весу тела по модулю и противоположно направленной. Точки приложения этих сил также находятся на разных телах (рис. 4).
Рис. 4
Если в условии задачи фигурируют ускорения, а требуется найти силы, то мы имеем дело с обратной задачей динамики. Приведенный выше план решения прямой задачи динамики годится и для этого случая. Полученная система уравнений будет просто содержать другие неизвестные в виде проекций искомых сил при известных ускорениях.
Для поиска искомых сил может помочь и третий закон Ньютона, так как, решив задачу с одним телом и рассчитав силы, действующие на него, можно сделать вывод и о другой силе, входящей в третий закон Ньютона. Так, определив силу, действующую на человека, качающегося на качелях, в нижней точке траектории, можно по третьему закону Ньютона сделать вывод о силе, с которой человек давит на качели в этой точке, т.е. о весе человека при таком движении. Рассмотрение равномерного движения самолета с летчиком по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, с помощью второго и третьего законов Ньютона приводит к выводу, что вес летчика наибольший в нижней точке траектории
7. Сила упругости. Виды деформаций. Закон Гука.
Силой упругости называется сила, характеризующая действие, которое оказывает деформированное тело (нить, пружина, трос и др.) на соприкасающееся с ним другое тело.
Рис. 7
Для пружин и стержней при малых деформациях установлено, что сила упругости пропорциональна изменению длины Dl пружины или стержня, т.е. пропорциональна деформации:
Fупр = kDl.
Это соотношение называют законом Гука, а коэффициент пропорциональности k – жесткостью или упругостью тела (стержня, пружины). Чем больше жесткость тела, тем меньше оно деформируется при заданной силе. Величина k определяется геометрическими размерами тела и материалом, из которого оно изготовлено. Если форма тела (стержня, пружины или резинового жгута) начинает существенно меняться, то пропорциональность между Fупр и Dl нарушается (рис. 8).
Рис. 8
Нить – модель тела с нулевой массой и с выделенной осью, которое способно изгибаться под бесконечно малой нагрузкой. Поэтому ее можно перебросить через блок, и сила натяжения будет везде одинакова.
Пружина – модель тела (обычно с нулевой массой), которое действует на рассматриваемое тело не только в растянутом, но и в сжатом состоянии. Причем закон Гука выполняется для пружины не только при растяжении, но и при сжатии.
Силой натяжения нити или пружины называют иногда силу воздействия одних частей нити (пружины) на другие, соседние части. Сила натяжения нити (пружины) направлена вдоль нити (оси пружины) и для невесомой нити (пружины) одинакова по всей длине нити (пружины).
Прямая пропорциональность между удлинением пружины и приложенной силой используется в простейшем приборе для измерения силы – динамометре.
8. Сила трения: скольжения, качения, покоя. Коэффициент трения.
При соприкосновении тел между ними наблюдается взаимодействие. Силу, характеризующую это взаимодействие, называют силой реакции поверхности, обозначают как и представляют в виде суммы сил, составляющих ее: , где – сила нормальной реакции поверхности, направленная перпендикулярно этой поверхности, – сила трения, направленная вдоль этой поверхности.
При контакте гладких поверхностей Fтр = 0 и .
Простейшее соотношение между модулями сил, составляющих силу реакции поверхности, формулируется в виде закона сухого трения:
Коэффициент пропорциональности m – коэффициент трения скольжения не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения.
Значение и направление силы трения покоя отыскиваются из услови неподвижности тела относительно опоры.
При постепенном увеличении (со временем) силы , приложенной вдоль трущихся поверхностей, происходит аналогичный рост силы трения покоя (рис. 9). Силы, действующие вдоль поверхности, скомпенсированы, поэтому тело покоится. Когда модуль силы достигнет значения mN, модуль силы трения покоя достигает своего максимального значения, а затем сила трения уже не уравновешивает внешнюю силу , и тело начинает скользить, разгоняясь (рис. 9).
Рис. 9
В реальных экспериментах закон сухого трения выполняется приближенно.
9. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Невесомость
Закон всемирного тяготения – сила гравитационного притяжения любых двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
|
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Гравитационную массу m1 (или m2) определяют сравнением ее с массой эталонного тела – цилиндра из платино-иридиевого сплава, масса которого принята за 1 кг (рис. 3). Процесс сравнения масс на рычажных весах называется взвешиванием (рис. 4). Гравитационная постоянная G = 6,67·10–11 Н.м2/кг2 впервые была измерена английским физиком Кавендишем в 1798 году.
Закон всемирного тяготения сформулирован для материальных точек. Если его применять к протяженному телу, то это тело следует разбить на малые части, а затем использовать принцип суперпозиции сил.
Ньютон доказал, что закон можно применять для расчета сил взаимодействия между симметричными сферическими телами, если считать, что r – это расстояние между их центрами (рис. 5).
Рис. 5
Для расчета силы притяжения между двумя телами произвольной формы (например, два куба) закон всемирного тяготения в таком виде неприменим.
Силу всемирного тяготения называют силой тяжести, если рассматривают притяжение к Земле тел, которые достаточно малы по сравнению с размером самой Земли.
Для тел массой m, расположенных близко к поверхности Земли, установлено, что сила притяжения примерно равна:
где g » 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. При точном измерении g должно зависеть от распределения пород на Земле, места расположения тела на Земле и от высоты над уровнем моря.
На полюсах Земли ускорение свободного падения больше, так как Земля сплюснута с полюсов.
Рис. 6
Вес тела – это сила, с которой тело вследствие притяжения Земли давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Таким образом, если на чаше весов стоит гиря, то вес – это сила, действующая не на гирю, а на чашу весов (рис. 6). Вес тела действует на подставку (опору) или подвес. При взвешивании в системе отсчета, покоящейся относительно Земли, вес неподвижного тела и сила тяжести совпадают, если не учитывать малые поправки, связанные с вращением Земли. Если весы движутся с ускорением, то вес может быть и больше, и меньше силы тяжести. Так, точные пружинные весы показывают вес тела, а не силу притяжения к Земле. На экваторе или в лифте, движущемся с ускорением, направленным вниз, вес тела меньше силы тяжести.
Если тело не давит на опору или не натягивает подвес, то говорят, что тело находится в состоянии невесомости. Если лифт и весы падают с ускорением свободного падения независимо друг от друга, то груз не давит на чашу, поэтому вес груза равен нулю, т.е. груз находится в состоянии невесомости.
10. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.
Импульс тела (материальной точки) – векторная физическая величина, равная произведению массы этого тела (материальной точки) на его скорость:
Единицей импульса в СИ является 1 кг·м/с.
Изменение импульса материальной точки за некоторый промежуток времени – вектор, равный разности конечного и начального вектора импульса: (рис. 1).
Рис. 1
Импульс силы – это векторная физическая величина, равная произведению среднего значения силы на промежуток времени ее действия: .
Второй закон Ньютона для материальной точки может быть записан с использованием понятий импульса силы и импульса материальной точки (в импульсном виде):
,
следовательно,
При скоростях близких к скорости света следует пользоваться другим определением импульса материальной точки.
Импульсом системы тел называется сумма векторов импульсов всех тел этой системы.
Силы, действующие между телами системы, называются внутренними. Силы, характеризующие воздействие тел, не входящих в систему, на тела системы, называются внешними.
На основе второго и третьего законов Ньютона может быть доказан закон сохранения импульса системы тел: в инерциальной системе отсчета импульс системы тел остается неизменным, если на систему не действуют внешние силы.
Приближенно он выполняется и в случаях, когда внешние силы конечны, а процессы, происходящие в системе, являются быстрыми и вызваны большими внутренними силами (столкновение тел, взрыв, выстрел и т. п.). Кроме того, если сумма внешних сил не равна нулю, но проекция суммы внешних сил на выбранную ось равна нулю, то сохраняется проекция импульса системы на эту ось.
На рисунке 2 приведены примеры реальных процессов, в которых закон сохранения импульса системы тел выполняется точно, приближенно и в проекции на выбранную ось.
|
, где – скорость после сцепки вагона и вагонетки, так как сумма внешних сил равна нулю |
, где m1 и m2 – массы, 1 и 2– скорости осколков снаряда после его разрыва, а – его скорость до разрыва. Силы тяжести m1 и m2 конечны, а время взаимодействия мало |
, но |
Рис. 2
Следует иметь в виду, что импульс тела – векторная физическая величина и его сохранение в случае равенства нулю суммы внешних сил означает выполнение векторного равенства. Например, при взаимодействии двух тел, движущихся в одной плоскости, это означает выполнение двух скалярных уравнений для проекций импульсов одновременно. Примером может служить нецентральный удар бильярдных шаров:
m11x + m22x = m1u1x + m2u2x
m11y + m22y = m1u1y + m2u2y
Реактивное движение – движение тела, возникающее при отделении от него с какой-либо скоростью некоторой его части. Если отделение частей тела происходит быстро, то для этих частей (осколки снаряда, ракета (рис. 3) и вылетающая порция продуктов сгорания топлива, тело медузы и порция выброшенной воды) выполняется закон сохранения импульса.
11. Механическая энергия и ее виды. Закон сохранения энергии.
Кинетическая энергия – скалярная физическая величина, характеризующая движущееся тело и равная для материальной точки половине произведения ее массы на квадрат ее скорости:
Единицей кинетической энергии в СИ является джоуль (Дж).
При скоростях, близких к скорости света, следует пользоваться иным определением кинетической энергии.
Кинетическая энергия протяженного тела равна сумме кинетических энергий его малых частей, которые можно считать материальными точками.
Используя второй закон Ньютона, можно доказать теорему об изменении кинетической энергии тела: в инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на это тело.
Если на прямолинейном участке траектории на тело, совершающее перемещение Dx, действуют две постоянные силы и , направленные под углами a1 и a2 к перемещению, то изменение кинетической энергии тела равно:
12. Механическая работа и мощность. КПД.
Механическая работа A постоянной силы на перемещение – это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы F, модуля перемещения s и косинуса угла между направлениями силы и перемещения.
А = Fs cos a=Fxs,
где Fx – проекция силы на направление перемещения (рис. 4).
Рис. 4
Работа постоянной силы в зависимости от угла между векторами силы и перемещения может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 5).
Рис. 5
Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).
В общем случае действия переменной силы на криволинейном участке траектории расчет работы оказывается более сложным.
Мощность – скалярная физическая величина, равная отношению работы силы DA к промежутку времени Dt, в течение которого она была произведена:
Мощность силы может измеряться во времени N(t)
Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).
При воздействии силы на тело, движущееся со скоростью (рис. 7), мощность этой силы равна:
N = F cos a.
Рис. 7
Часто термины работа и мощность относят к устройству, благодаря которому возникают силы, совершающие работу. Говорят о работе человека, мощности электродвигателя или двигателя автомобиля вместо работы и мощности силы натяжения веревки, с которой человек тянет сани, или работы и мощности внутренних сил или мощности сил сопротивления воздуха при движении автомобиля. В простейших случаях (подъемный кран поднимает груз) это вполне допустимо, однако в ряде случаев требует более аккуратного рассмотрения. Так, в случае движения автомобиля силой тяги является сила трения шин об асфальт, а ее работа равна нулю. В случае вертолета, зависшего над землей, сила тяги равна силе тяжести, мощность силы тяги равна нулю, однако энергия сгорающего топлива затрачивается на сообщение кинетической энергии потокам воздуха, отбрасываемого вниз.
При использовании простейших механизмов человек стремится совершить действия, которые не под силу выполнить «голыми руками» (поднять груз, сдвинуть тело и т.д.). Такие механизмы характеризуются физической величиной, называемой коэффициентом полезного действия (КПД). В механике обычно под КПД механизма понимают отношение полезной работы к затраченной.
Когда говорят о затраченной работе, то имеют в виду работу силы , которой человек воздействует на механизм. Если речь идет о полезной работе, то имеют в виду работу силы , приложенной к телу при его равномерном перемещении. Так, если человек поднимает груз с помощью системы блоков, перемещая конец веревки на длину s1, а груз при этом перемещается (поднимается) на высоту s2 под действием силы F2 = mg, то КПД механизма, обозначаемый буквой h, будет равен:
13.Колебательное движение и его характеристики. Виды колебаний.
Математический и пружинный маятники.
Рис. 1
Механические колебания – это повторяющееся движение, при котором тело многократно проходит одно и то же положение в пространстве. Различают периодические и непериодические колебания. Периодическими называют колебания, при которых координата и другие характеристики тела описываются периодическими функциями времени.
Примерами механических колебаний могут служить движение шара на пружине, на нити, движение ножек звучащего камертона или молекул воздуха вблизи него (рис. 1). В физике рассматривают и другие колебания – процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени (например, электромагнитные колебания.)
Колебания можно классифицировать по условиям возникновения (свободные, вынужденные, автоколебания) и по характеру изменения во времени кинематических характеристик (пилообразные, гармонические, затухающие).
Если колебания совершаются в системе за счет первоначально сообщенной энергии, то они называются свободными. Примером таких систем являются модели колеблющихся тел: математический маятник и пружинный.
Математический маятник – колеблющаяся материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. К этой модели ближе всего массивное тело (шар), размер (диаметр) которого много меньше длины нити. Если его отклонить от положения равновесия, увеличив при этом потенциальную энергию системы «шар–нить», то будут наблюдаться колебательные движения этой системы. Колебательное движение системы «шар–нить» будет наблюдаться и в том случае, если шару сообщить кинетическую энергию, т.е. заставить его двигаться.
Рассмотрев малые колебания математического маятника (рис. 4), при которых отклонение его от положения равновесия х(t) << L, можно получить выражение для периода его колебаний. Как мы знаем, в любой момент времени для этой системы выполняется закон сохранения механической энергии:
Выразив высоту h через координату x по оси 0Х (рис. 4, а) и учитывая, что при малых значениях х угол между нитью и вертикалью тоже мал, используем что для такого угла отклонения соотношение sin a » a » tg a.
Поэтому можно утверждать что малые колебания математического маятника происходят по гармоническому закону
x = A sin (wt + j0),
где
,
т.е. с периодом
По гармоническому закону y = A sin (wt + 50) колеблется и пружинный маятник, состоящий из груза массой m и пружины жесткостью k (рис. 5).
Рис. 5
При этом период его колебания равен
Если горизонтальный пружинный маятник колеблется относительно положения равновесия, где пружина не растянута, то вертикальный пружинный маятник колеблется относительно положения равновесия, где ky0 = mg.
Период и частота свободных гармонических колебаний в обоих случаях определяются только собственными параметрами системы: длиной нити математического маятника или жесткостью пружины и массой груза пружинного маятника, поэтому свободные колебания часто называют собственными колебаниями, а частоту, с которой они происходят, собственной частотой колебаний системы.
14. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс и его учет в технике.
Если колебания совершаются в системе за счет первоначально сообщенной энергии, то они называются свободными. Примером таких систем являются модели колеблющихся тел: математический маятник и пружинный.
Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием меняющейся во времени внешней силы, которая совершает работу. За счет этого энергия колебательной системы увеличивается. Такой процесс можно описывать как процесс притока энергии в систему извне в ходе самих колебаний. Примером систем, в которых происходят вынужденные колебания, являются качели, раскачиваемые человеком, груз, висящий на пружине, точку подвеса которой периодически поднимают и опускают.
Если внешняя сила, действующая на систему, изменяется с течением времени по закону косинуса или синуса, то возникающие в системе вынужденные колебания будут гармоническими. При этом частота вынужденных колебаний будет совпадать с частотой изменения внешней силы.
Если при вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, то колебания оказываются незатухающими.
Амплитуда вынужденных колебаний определяется амплитудой колебаний внешней силы, а также соотношением между частотой изменения этой силы и собственной частотой колебательной системы.
При вынужденных колебаниях может наблюдаться явление резкого возрастания амплитуды A вынужденных колебаний системы – резонанс. Это явление возникает тогда, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний этой системы. При этом энергия, поступающая в колебательную систему, также равна потерям энергии за счет работы силы трения, однако баланс энергий наступает при другой амплитуде колебаний.
Рис. 7
Резонанс может возникать и тогда, когда частота колебаний вынуждающей силы кратна собственной частоте колебаний системы.
Зависимость амплитуды колебаний системы от частоты вынуждающей силы (рис. 7) называется резонансной кривой.
В технике используются устройства, в которых незатухающие колебания поддерживаются за счет энергии источника, автоматически включаемого и выключаемого самой колебательной системой. Момент, когда требуется подать энергию в колеблющуюся систему, отслеживает система обратной связи, которая открывает и закрывает клапан поступления энергии. Такие системы с регулированием поступления энергии за счет обратной связи называются автоколебательными, а сами колебания в таких системах – автоколебаниями. Примером такой системы могут служить маятниковые часы, где источником энергии является гиря на цепочке, роль обратной связи и «клапана» выполняет анкерный механизм, а автоколебания совершает маятник, который имеет собственную частоту колебаний, равную 1с
15. Механические волны. Виды волн. Длина волны.
В среде между ее частицами существуют силы взаимодействия. Если за счет внешнего источника энергии (внешней силы) вызвать колебания одних частиц среды, то возникают вынужденные колебания соседних частиц, которые, в свою очередь, вызывают колебания следующих частиц среды. Процесс распространения колебаний частиц среды или другого типа возмущения среды называют механической волной.
Волны, в которых колебания частиц происходят вдоль направления распространения волны, называются продольными.
Волны, в которых колебания частиц происходят перпендикулярно направлению распространения волны, называются поперечными.
В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной – смещение (сдвиг) одних слоев среды относительно других. Пример продольных волн – распространение звука (зон сжатия) в газах, жидкостях и твердых телах, пример поперечных волн – распространение звука в твердом теле, волны на поверхности воды, на веревке или на пружине.
Деформация сжатия всегда сопровождается возникновением силы упругости, в то время как деформация сдвига приводит к появлению сил упругости только в твердых телах; сдвиг слоев в газах и жидкостях возникновением сил упругости не сопровождается. Поэтому продольные волны могут распространяться во всех средах: жидких, твердых, газообразных, а поперечные – только в твердых.
Рис. 2
График зависимости смещения каждой частицы среды от времени представляет собой синусоиду, сдвинутую относительно синусоиды для частицы в другой точке в соответствии со сдвигом фаз (рис. 2,б) Минимальное расстояние между точками волны, колеблющимися в фазе, т.е. с разностью фаз, равной 2p, называют длиной волны l.
Геометрическое место положений точек волны в момент времени t также представляет собой синусоиду (см. рис. 2,а) вида
y(x) = A sin (kx).
где
w = 2p/T, k = 2p/l
Аналогичные соотношения можно записать и для продольной волны, только в ней y(t, x) будет смещением частиц среды относительно положения равновесия вдоль оси x, по которой распространяется волна.
Если за время t одна частица среды переместилась из точки М в точку M1, а другая из точки N в точку N1, то остальные частицы переместятся так, что профиль поверхности раздела «вода – воздух» тоже переместится, и стороннему наблюдателю, не различающему частиц среды, будет казаться, что профиль смещается вдоль оси 0X со скоростью (рис. 3).
Рис. 3
Можно показать, что скорость движения профиля волны будет постоянной и равной
,
т.е. за время полного колебания частицы среды М профиль волны переместится на расстояние, равное длине волны l. Используя выражение для частоты колебаний частиц в среде , получим
16. Звуковые волны. Ультразвук и его использование в технике и медицине.
Колебания мембран, металлических деталей, голосовых связок, происходящие в воздухе с частотой от 20 до 20000 Гц, приводят к смещению около них молекул воздуха и созданию зон повышенной и пониженной концентрации этих молекул (а значит, и зон повышенного и пониженного давления воздуха). Распространение чередующихся зон повышенного и пониженного давления или продольных колебаний молекул упругой среды в указанном частотном диапазоне человек воспринимает как звук. На рисунке 4 схематично показан способ создания зон повышенного и пониженного давления в трубе при быстром движении поршня.
Звуковая волна способна вызывать вынужденные колебания барабанной перепонки человеческого уха, которые в конечном итоге регистрируются мозгом.
Рис. 4
Длиной волны l можно считать расстояние между двумя зонами максимального разрежения или сжатия, однако определение длины волны, данное ранее, для любых волн остается в силе. Справедливо и соотношение между скоростью звука, длиной волны и частотой: = åñ. Скорость звука меняется от среды к среде и при нормальных условиях составляет около 340 м/c в воздухе, около 1500 м/с в воде и около 5500 м/с в стали. Диапазон длин звуковых волн в воздухе составляет от 1,7 см до 17 м.
Рис. 5
Высота тона звука – субъективное слуховое ощущение, зависящее, главным образом, от частоты звука и позволяющее расположить все звуки по шкале от низких до высоких. Чем выше частота колебаний в звуковой волне (чем меньше длина волны), тем выше звук. Звук определенной частоты (рис. 5, а) излучается только с помощью динамика, присоединенного к электрическому генератору. В реальном случае форма колебаний сигнала источника звука, а значит, и форма графика колебаний частиц среды, существенно отличается от синусоиды (рис. 5, б). Даже при излучении звука динамиком форма вынужденных колебаний мембраны динамика, происходящих под действием электромагнита, отличается от синусоиды (при приближении к частоте собственных колебаний мембраны возникают искажения). Поэтому музыкальные установки содержат несколько динамиков, которые испускают низкие звуки тяжелыми мембранами (рис. 6).
Рис. 6
Громкость звука в основном связана с амплитудой колебаний частиц среды, связанной с энергией, которую переносит механическая волна. Однако в реальности субъективное восприятие громкости звуков разных частот и одинаковой амплитуды оказывается различным. Человек способен воспринимать звуковые волны, различающиеся по переносимой ими энергии в миллионы раз, поэтому громкость звука выражают в децибелах (дБ), т.е. в логарифмической шкале.
Продольные волны с частотами от 20 кГц до 1 ГГц, распространяющиеся в воздухе, жидкостях и твердых телах, называют ультразвуком. Человеческое ухо такие частоты не воспринимает. Однако некоторые животные, например летучие мыши и дельфины, способны излучать и улавливать ультразвук. Благодаря этому дельфины уверенно ориентируются в мутной воде, а летучие мыши способны летать в полной темноте, не натыкаясь на преграды. В последнее время ультразвук получил широкое распространение в медицине.