Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №9
Устойчивость
Понятие, виды и общее условие устойчивости
Одной из важнейших характеристик системы автоматического управления наряду с точностью является устойчивость. Причем, если показатели точности определяют степень полезности и эффективности системы, то от устойчивости зависит работоспособность системы. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность (т.е. система даже вредна). Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.
Устойчивость системы автоматического управления – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.
Неустойчивость систем автоматического управления возникает, как правило, из-за неправильного или очень сильного действия главной обратной связи. Неправильное действие главной обратной связи имеет место обычно в тех случаях, когда из-за ошибки, допущенной при монтаже системы, связь оказывается положительной (вместо отрицательной), что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой. Возникающую при этом неустойчивость называют статической.
Более сложным и более распространенным видом неустойчивости является динамическая неустойчивость. Она проявляется в системах с отрицательной обратной связью, при достаточно большом значении передаточного коэффициента разомкнутого контура (k>8) и при количестве инерционных звеньев не меньше трех. Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная (в статическом режиме!), в динамике (в режиме гармонических колебаний) проявляется на определенной частоте как положительная.
Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости. Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
a0dny(t)/dtn+a1dn-1y(t)/dtn-1+…+any(t)=0,
где y(t)=yC(t) – свободная составляющая выходной величины системы.
Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения
a0dny(t)/dtn+a1dn-1y(t)/dtn-1+…+any(t)=b0dmx(t)/dtm+b1dm-1x(t)/dtm-1+…+bmx(t)
на устойчивость системы не влияет.
Математическое определение понятия «устойчивость»
1. Устойчивая система управления – это такая система, у которой свободная составляющая yC(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю
limyC(t)=0.
При этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения. Устойчивость в смысле этого условия принято называть асимптотической.
2. Неустойчивая система – это такая система, у которой свободная составляющая неограниченно возрастает
limyC(t)=∞.
3. Если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.
Найдем общее условие, при котором исходная система устойчива. Решение исходного уравнения равно сумме
yC(t)=∑Сkepkt,
где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий;
pk – корни характеристического уравнения a0pn+a1p+…+an=0.
Корни характеристического уравнения могут быть действительными (pk=ak), мнимыми (pk=jβ) и комплексными (pk=αk±jβ). Причем комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.
Свободная составляющая при t∞ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Сkepkt0. Характер этой функции времени зависит от вида корня pk.
Рассмотрим все возможные случаи расположения корней pk на комплексной плоскости и соответствующие им функции yk(t), которые показаны внутри кругов.
1. Каждому действительному корню pk=αk в решении исходного уравнения соответствует слагаемое вида
y(t)=Сkekt.
Если αk<0 (корень р1), то y(t) при t∞ стремится к нулю.
Если αk>0 (корень р3), то y(t) неограниченно возрастает.
Если αk=0 (корень р2), то y(t) постоянна.
2. Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=αk+jβk и pk+1=αk-jβk в решении исходного уравнения соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое
yk(t)=2Ckektsin(βkt+ψk).
Эта функция представляет собой синусоиду с частотой βk и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте:
а) если действительная часть двух комплексных корней αk<0 (корни р4 и р5), то колебательная составляющая будет затухать;
б) если αk>0 (корни р8 и р9), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать;
в) если αk=0 (корни р6 и р7), т. е. если оба сопряженных корня – мнимые (pk=+jβk и pk+1=-jβk), то yk(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой βk.
Если среди корней характеристического уравнения имеются l равных между собой корней pl, то в решении исходного уравнения вместо l слагаемых вида Сkepkt появится одна составляющая
(С0+C1t+С2t2+ ...+Cl-1tl-1)ерlt.
Учитывая, что функция вида е-βt при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида tr, можно доказать, что и в случае кратности корней решение исходного уравнения будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней рl.
На основании проведенного анализа можно сформулировать общее условие устойчивости
для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными.
При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.
Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему.
Устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.
Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной)
для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.
Мнимая ось jβ является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (pk=+jβk и pk+1=-jβk), все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой ω=|βk|. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.
Точка β=0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.
Внимание! При применении сформулированного выше условия для оценки устойчивости реальных систем, следует иметь ввиду, что линейные уравнения, как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя. Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему устойчивой или неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.
Таким образом, для суждения об устойчивости линейной системы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.
В теории автоматического управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.
Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения является необходимым (но не достаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива.
Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.
Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения.
Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы.
При анализе устойчивости систем управления обычно решают одну или несколько задач:
1) оценивают, устойчива или нет система при заданных параметрах;
2) определяют допустимый по условию устойчивости диапазон изменения некоторых незаданных параметров системы;
3) выясняют, может ли система при заданной структуре быть в принципе устойчивой.
Первая задача может быть решена с помощью критериев, вторая – построением областей устойчивости, третья - с использованием условий структурной устойчивости.
Алгебраические критерии устойчивости
В инженерной практике наиболее распространены критерии Гурвица и Рауса.
Критерий Гурвица
Этот критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком Адольфом Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости решений линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Применительно к задачам теории управления критерий Гурвица можно сформулировать так
cистема автоматического управления, описываемая характеристическим уравнением
a0pn+a1pn-1+a2pn-2+…+an=0,
устойчива, если при а0>0 положительны все определители 1, 2, …, n вида
a1 a3 a5 … a2i-1
a0 a2 a4 … a2i-2
0 a1 a3 … a2i-3
… … … … …
… … … … …
0 … … ai-2 ai
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.
Матрицы, по которым вычисляют определители Гурвица, составляют следующим образом:
1) на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до ai (в порядке возрастания индекса);
2) в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;
3) на место коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждая i-я матрица получается квадратной размером ixi.
Так как последний столбец главного определителя n содержит всегда только один элемент an, отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей
n=ann-1.
Если главный определитель n=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
С учетом последнего выражения это условие распадается на два
an=0 и n-1=0.
Условию an=0 соответствует один нулевой корень, т. е. апериодическая граница устойчивости, а условию n-1=0 – пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости.
Частные случаи критерия Гурвица для n=1; 2; 3; 4
Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка
a0p+a1=0
условием устойчивости является a00 и 1=a1>0,
т. е. положительность коэффициентов уравнения является в данном случае и необходимым и достаточным условием. Действительно, при а00 и а10 единственный корень уравнения будет отрицательным
р1=-(a1/а0)<0.
2. Для уравнения второго порядка
a0p2+a1p+a2=0
условие устойчивости a0>0, 1=a1>0, 2=a21>0 или a2>0.
Таким образом, и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка
a0p3+a1p2+a2p+a3=0
условие устойчивости a0>0, 1=a1>0, 2=a2 a3 =a1a2-a0a3>0, 3=a3a2>0.
Последнее неравенство при а3>0 эквивалентно неравенству 2>0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется, чтобы 2>0.
Учитывая выражение для 2, можно сформулировать мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка
произведение средних коэффициентов уравнения должно быть больше произведения крайних.
4. Для уравнения четвертого порядка
a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4=0
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
3=a1a2a3-a0a32-a12a4>0.
Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов данное условие обеспечивает выполнение условия 2>0.
Для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель n-1 были положительными.
Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 вычисление определителей становится громоздким.
Критерий Рауса
Был предложен в 1877 г. английским математиком Эдвардом Джоном Раусом. Этот критерий целесообразно использовать при анализе устойчивости систем выше четвертого порядка. Для этого из коэффициентов характеристического уравнения составляют таблицу, в первой строке (i=1) которой записаны коэффициенты уравнения с четными индексами, во второй (i=2) – с нечетными индексами, в последующих строках (i≥3) помещены коэффициенты Рауса, полученные как комбинации коэффициентов двух вышестоящих строк по формуле
rik=ri-2,k+1-(ri-2,1ri-1,k+1/ri-1,1),
где i – номер строки; k – номер столбца.
Сам критерий формулируется так
система автоматического управления устойчива, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а1).
Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Таблица 5.1 Коэффициенты Рауса
|
строка |
столбец |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
|
|
1 |
r11=a0 |
r12=a2 |
r13=a4 |
… |
r1k |
… |
|
2 |
r21=a1 |
r22=a3 |
r23=a5 |
… |
r2k |
… |
|
3 |
r31 |
r32 |
r33 |
… |
r3k |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
i |
ri1 |
ri2 |
ri3 |
… |
rik |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
n+1 |
rn+1,1 |
rn+1,2 |
rn+1,3 |
… |
rn+1,k |
… |
Алгоритм вычисления коэффициентов легко запрограммировать, поэтому критерий Рауса используют для анализа систем высокого порядка (n>5) с помощью ЭВМ.
Преимуществом критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем. Вывод об устойчивости при применении этих критериев делается применительно к той системе (замкнутой или разомкнутой), уравнение которой анализируется.
Частотные критерии
Критерий Михайлова
Был сформулирован и обоснован в 1936 г. советским ученым А.В. Михайловым в работе «Гармонический метод в теории регулирования», которая послужила началом широкого применения частотных методов в теории автоматического управления.
Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.
Пусть левая часть характеристического уравнения, называемая характеристическим полиномом, имеет вид
F(р)=а0рn+а1pn-1+…+аn.
Подставим в этот полином вместо переменного р чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать jω. Тогда получим функцию комплексного переменного
F(jω)=а0(jω)n+а1(jω)n-1+…+аn,
которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей
F(jω)=P(ω)+jQ(ω).
Действительная часть P(ω) содержит только четные степени частоты ω
P(ω)=аn-аn-2ω2+аn-4ω4-…,
а мнимая часть jQ(ω) – только нечетные
Q(ω)=аn-1ω+аn-3ω3+….
Каждому фиксированному значению частоты ω соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. При изменении частоты ω от 0 до ∞ конец вектора F(jω) будет описывать некоторую линию, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой и судят об устойчивости системы.
Формулировка критерия Михайлова
САУ, описываемая уравнением n-го порядка, устойчива, если при изменении частоты ω от 0 до ∞ характеристический вектор системы F(jω) повернется против часовой стрелки на угол n/2, не обращаясь при этом в нуль.
Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении частоты ω до 0 до ∞ пройти последовательно через n квадрантов. Из последних выражений следует, что кривая F(jω) всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину аn.
Характеристические кривые, устойчивых систем, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения.
Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива.
Если кривая F(jω) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.
Если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень рk=0 (апериодическая граница устойчивости) или одну пару чисто мнимых корней рk=±jβk (колебательная граница устойчивости), то функция F(jω) при ω=0 или ω=βk обратится в нуль.
В практических расчетах применяют следствие из критерия Михайлова
САУ устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции F(jω) обращаются в нуль поочередно, т. е. если корни уравнений
P(ω)=0 и Q(ω)=0
перемежаются.
Это утверждение вытекает непосредственно из формулировки критерия Михайлова – из условия последовательного прохождения кривой F(jω) через n квадрантов.
Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n>5).
Критерий Найквиста
Критерий был сформулирован в 1932 г. американским физиком Xарри (Гарри) Найквистом, занимавшимся исследованием свойств электронных усилителей с обратной связью. Позднее А. В. Михайлов обосновал этот критерий и показал возможность применения его для анализа систем автоматического управления.
В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, так как построение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев. А в тех случаях, когда неизвестно математическое описание одного или нескольких конструктивных элементов системы и оценка их свойств возможна только путем экспериментального определения частотных характеристик, критерий Найквиста является единственно пригодным.
Основная формулировка критерия Найквиста
система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика W(jω) разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).
Эта формулировка справедлива для систем, которые в разомкнутом состоянии устойчивы. Таковыми являются большинство реальных систем, состоящих из устойчивых элементов.
На рисунке изображены амплитудно-фазовые характеристики разомкнутого контура, соответствующие трем различным случаям: система устойчива (кривая 1); система находится на колебательной границе устойчивости (кривая 2); система неустойчива (кривая 3).
Употребленное в формулировке критерия Найквиста понятие охвата точки имеет некоторую неопределенность, из-за чего в случаях сложной формы кривой W(jω) могут возникнуть затруднения в суждении об устойчивости системы. Поэтому для большей ясности рекомендуется следующий прием. Надо проследить мысленно за движением вектора W1(jω)=1+W(jω), вращающегося вокруг точки (-1; j0) и скользящего по кривой W(jω). Угол поворота вектора W1(jω), равный , означает охват точки (-1; j0), а угол, меньший – неохват.
Для использования изложенного приема применительно к астатическим системам, которые содержат интегрирующее звено, и амплитудно-фазовые характеристики которых начинаются в -∞ на мнимой оси, характеристику W(jω) предварительно дополняют в четвертом квадранте дугой окружности бесконечно большого радиуса.
Для суждения об устойчивости систем, имеющих а.ф.х. сложной конфигурации, когда кривая а.ф.х. пересекает действительную ось левее точки (-1; j0) несколько раз, можно также использовать правило переходов, сформулированное Я. 3. Цыпкиным
а.ф.х. не охватывает точку (-1; j0), т. е. система устойчива, если при возрастании частоты ω разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов а.ф.х. через ось абсцисс слева от точки (-1; j0) равна нулю.
Если а.ф.х. начинается или заканчивается на отрезке (-∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.
Частота, при которой амплитудная характеристика А(ω) [модуль функции W(jω)] принимает значение 1, называется частотой среза и обозначается ωСР. Частоту, при которой фазовый сдвиг φ(ω)=-, обозначают ω.
Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие нахождения системы на границе устойчивости
ωСР=ω.
Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается ωКР.
Физическая трактовка основной формулировки критерия Найквиста
На входе системы действует гармонический сигнал g(t)=gmsinωt с малой амплитудой gm.
Пусть частота ω равна частоте ω, при которой фазовый сдвиг φ(ω), создаваемый звеном W(jω), равен -. Тогда сигнал отрицательной обратной связи окажется в фазе с сигналом g(t), и мгновенные значения сигналов будут суммироваться.
1. Если на частоте ω=ω модуль |W(jω)|=1, (т.е. ωСР=ω), то в контуре системы будут поддерживаться незатухающие колебания даже после исчезновения внешнего воздействия g(t). Система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика W(jω) при этом проходит через точку (-1; j0).
2. Если на частоте ω=ω модуль |W(jω)|<1, то после исчезновения внешнего воздействия колебания в контуре затухнут. Система устойчива, характеристика не охватывает точку (-1; j0).
3. Если на частоте ω=ω модуль |W(jω)|>1, то амплитуда сигналов в контуре будет неограниченно возрастать. Система будет неустойчивой. Характеристика W(jω) в этом случае охватит точку (-1; j0).
Таким образом, особая роль точки (-1; j0) заключается в том, что она, во-первых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и во-вторых, является граничной между режимами усиления и ослабления сигналов звеном W(jω).
Иногда на практике встречаются системы, в контуре которых имеется одно или несколько неустойчивых элементов. Такие системы в разомкнутом состоянии неустойчивы. Для суждения об их устойчивости необходимо использовать другую формулировку критерия Найквиста
система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика W(jω) разомкнутого контура охватывает l/2 раз точку с координатами (-1; j0),
где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.
Количество охватов при этом можно определять по правилу Цыпкина как разность между числом положительных и отрицательных переходов.
Данная формулировка критерия Найквиста является более общей, чем предыдущая. Действительно, если разомкнутая система устойчива (т. е. l=0), то для устойчивости замкнутой системы а.ф.х. W(jω) должна точку (-1; j0) охватывать нуль раз, т.е. не охватывать.
Из обеих формулировок следует, что для суждения об устойчивости системы необходимо предварительно установить устойчивость ее в разомкнутом состоянии. Обычно эта вспомогательная задача решается сравнительно легко, при помощи критерия Гурвица: для этого приравнивают к нулю знаменатель передаточной функции W(p) разомкнутого контура и анализируют данное характеристическое уравнение.
Во многих практических случаях устойчивость разомкнутого контура может быть оценена без каких-либо вычислений непосредственно по виду входящих в контур звеньев.
Критерий Найквиста удобно использовать для анализа устойчивости систем, содержащих звено запаздывания. Если звено запаздывания включено последовательно с остальными звеньями,
то амплитудно-фазовая функция разомкнутого контура может быть представлена как произведение
W(jω)=W'(jω)e-jω.
где W'(jω) – эквивалентная амплитудно-фазовая функция остальных звеньев.
Характеристику W(jω) строят следующим образом. Вначале строят кривую W'(jω), а затем каждый вектор, соответствующий частоте ωi поворачивают на угол ωi .
Звенья запаздывания, как правило, ухудшают устойчивость систем.
Если разомкнутый контур системы образован последовательным соединением типовых динамических звеньев, то целесообразно частотную характеристику контура строить в логарифмической системе координат и об устойчивости системы судить по виду этой характеристики.
При этом используют разновидность основной формулировки критерия Найквиста
САУ устойчива, если при достижении фазовой частотной характеристикой значения -180° логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной (кривые 1).
Действительно, если L(ω)<0, то А(ω)<1. Поэтому отрицательность L(ω) при φ(ω)=-180° свидетельствует о том, что а.ф.х. разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j0).
Логарифмические частотные характеристики L(ω) и φ(ω) разомкнутого контура находят суммированием ординат соответствующих характеристик отдельных звеньев. Фазовые характеристики отдельных звеньев строят либо по нескольким вычисленным точкам, либо при помощи специальных шаблонов. Амплитудные характеристики отдельных звеньев строят приближенно в виде совокупности прямолинейных отрезков.
Критерий Найквиста, применяемый в логарифмической системе координат, называют часто логарифмическим критерием.