Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛЕКЦІЯ № 4. “Елементи векторної алгебри”.
1. Поняття вектора. Колінеарність та компланарність векторів. Рівність векторів.
2. Дії над векторами в геометричній формі.
3. Лінійна залежність векторів.
4. Базис. Розклад вектора за базисом. Ортогональна система векторів.
5. Координати вектора на площині та у просторі. Довжина вектора.
6.Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів.
Більшість величин, які вивчаються в математиці і фізиці, визначаються числовим значенням: довжина, площа, об’єм, маса, робота, температура та ін. Такі величини називаються скалярними. Але зустрічаються величини, які не можна повністю охарактеризувати лише їх числовим значенням. Це, наприклад, сила, швидкість, прискорення тощо. Крім їх числового значення потрібно знати ще й їх напрямок. Такі величини, які визначаються як числовим значенням, так і напрямком, називаються векторними або просто векторами. (Позначають =). Графічно вектор = – це направлений відрізок, де А – початок вектора, а В – його кінець.
Вектори позначаються як двома великими літерами, так і однією малою зі стрілкою, наприклад, (рис. 4.1).
|
Рис. 4.1. Зображення |
Рис. 4.2. Рівні вектори |
Довжину (модуль) вектора позначають
Якщо то вектор називають нульовим і позначають , іншими словами, нульовий вектор – це вектор, у якого початок та кінець співпадають. Напрямок нуль-вектора невизначений, а модуль дорівнює нулю.
Якщо то вектор називають одиничним, або ортом.
Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Нуль-вектор вважається колінеарним до будь-якого вектора. Колінеарність позначають символом ||: || Серед колінеарних векторів можуть бути співнапрямлені (позначають ↑↑) або протилежно напрямлені (позначають ↑↓).
Вектори, які лежать в одній площині або паралельні до однієї площини, називаються компланарними.
Вектори називають рівними, якщо вони мають однакові довжини та однакові напрями (рис. 4.2).
|
Рис. 4.3. Множення вектора |
Добутком вектора на дійсне число λ називається такий вектор (рис. 4.3), для якого виконуються умови: 1. ||=| λ | ||– довжина вектора ; 2. ↑↑– коли λ >0; 3. ↑↓– коли λ <0. Властивості: Для будь-яких дійсних чисел α і β та векторів , мають місце рівності: 1. 1·=; (–1)· = – ; 2. α·(+) = α·+α·; 3. (α+β)· = α·+β·; 4. α·(β·) = (α·β)·. |
Сумою векторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець з кінцем вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора (правило трикутника (рис. 4.4)). Вектор є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма). Додавання кількох векторів здійснюється за правилом замикання ланцюжка векторів (правило многокутника (рис. 4.5)).
|
Правило паралелограма |
Правило трикутника |
Правило многокутника |
|
Рис. 4.4. Додавання двох векторів |
Рис. 4.5. Додавання |
Властивості додавання:
1. Для будь-яких векторів , і : +(+)=(+)+ (асоціативний закон).
2. Для будь-яких векторів і : +=+ ( комутативний закон додавання ).
3. Існує вектор , такий, що для будь-якого : +=.
4. Існує вектор ′, такий, що для будь-якого вектора : +′ = .
Різницею двох векторів і називається сума вектора й вектора (), протилежного вектору (рис. 4.6):
– = + (–). (4.1)
|
Рис. 4.6. Різниця двох векторів |
Вираз вигляду , де – числа, називається лінійною комбінацією векторів
Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки тоді, коли c1 = c2 =…= cn = 0:
(4.2)
Якщо хоча б одне із чисел сk 0, то вектори називаються лінійно залежними, оскільки принаймні один із векторів можна подати у вигляді лінійної комбінації інших, наприклад, при с1 0:
(4.3)
Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.
Мають місце наступні твердження:
Будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні (рис. 4.7).
Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні (рис. 4.8).
Будь-які чотири вектори у тривимірному просторі лінійно залежні.
|
Рис. 4.7 Рис. 4.8 |
Упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимір ного простору Rn називається базисом, тобто базисом векторного простору називається така система векторів, яка:задана в певному порядку; лінійно незалежна; будь-який вектор простору є лінійною комбінацією цієї системи векторів.
Приклади базисів:
Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні), базис називають ортогональним. Ортонормованим називають ортогональний базис, утворений одиничними векторами.
Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:
, (4.4)
то кажуть, що він розкладений за базисом Вектори називають складовими (компонентами) вектора , а числа його координатами в базисі Зазвичай пишуть так:
На рис. 4.9 наведено приклад розкладу вектора за базисом Координатами вектора є числа (3, 2), а складовими вектори і
|
Рис. 4.9. Розклад вектора за базисом |
Умови колінеарності та лінійної залежності векторів
через їх координати
Два вектори і колінеарні, тоді і тільки тоді коли їх координати пропорційні.
Система векторів є лінійно незалежною, якщо визначник
і лінійно залежною, якщо
П. 5. Координати вектора на площині та в просторі. Довжина вектора.
У декартовій системі координат базисні вектори, що пов’язані з осями Ox, Oy, Oz, позначають . Якщо – координати вектора в базисі , то:
(7.6)
|
Рис. 4.10. Розклад вектора за базисом |
Якщо в базисі , , задані координати початку й кінця вектора : А(х1, у1, z1), В(x2, y2, z2) (рис. 4.10), то
= (х2 – х1)+ (у2 – у1)+ (z2 – z1) = (х2 – х1, у2 – у1, z2 – z1) (4.5)
Лінійні операції над векторами в базисі
Лінійні операції над векторами визначаються так:
(4.6)
(4.7)
Приклад 1. Дано вектори Знайти
Довжина вектора
(4.8)
(4.9)
Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними:
(4.10)
Відмітимо, що добуток ||∙cosα являє собою алгебраїчне значення ортогональної проекції вектора на напрямок вектора (позначають =||∙cosα). Тому мають місце рівності:
∙= ||∙= ||∙. (4.11)
Алгебраїчні властивості скалярного добутку
|
1) 2) |
3) 4) |
Геометричні властивості скалярного добутку
Скалярний добуток в ортонормованому базисі
У базисі скалярний добуток векторів
дорівнює сумі добутків їх відповідних координат:
(4.12)
Деякі важливі формули
(4.13)
(4.14)
(4.15) |
Рис. 4.11 |
Приклад 2. Вектори і утворюють кут Знайти:
1) 2) 3) 4)
1) 2)
3)
4)
Приклад 3. Дано вершини трикутника А(1, 3, 0); В(0, 1, –2);
С(–1, 2, 2). Визначити його внутрішній кут при вершині B.
Знайдемо вектори = (1, –2, 2), = (–1, –1, 4) та їх довжини:
За формулою (4.13) обчислимо косинус кута між векторами:
Приклад 4. При якому m вектори взаємно перпендикулярні?
Необхідна й достатня умова перпендикулярності двох векторів:
|
Права трійка Ліва трійка Рис. 4.12 |
Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою (лівою), якщо після зведення до спільного початку найкоротший поворот від вектора до вектора , що спостерігається з кінця вектора , здійснюється проти обертання стрілки (за стрілкою) годинника (рис. 4.12). |
|
Рис. 4.13 Векторний |
Векторним добутком векторів і називається вектор , що задовольняє умови (рис. 4.13):
|
Алгебраїчні властивості векторного добутку
|
1) 2) |
3) 4) |
Геометричні властивості векторного добутку
|| (4.16)
(4.18)
Векторний добуток в ортонормованому базисі
У базисі векторний добуток векторів
обчислюється за формулою:
(4.19)
Наслідок. Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні, тобто:
(4.20)
Приклад 5. Знайти площу трикутника з вершинами A(–1, 3, 0), B(7, 13, 0), C(–1, 1, 3) та довжину висоти h, опущеної з вершини В на сторону АС.
Площа трикутника дорівнює половині модуля векторного добутку векторів
Оскільки то
(од.2).
З іншого боку, площу трикутника можна обчислити за формулою звідки знаходимо висоту трикутника:
Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку , помноженому скалярно на вектор
Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку
Геометричні властивості мішаного добутку
Об’єм паралелепіпеда:
(4.21)
|
Мішаний добуток некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком плюс, якщо трійка векторів права, і зі знаком мінус, якщо трійка ліва (рис. 4.14): |
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
Об’єм чотирикутної піраміди: (4.22) |
Об’єм трикутної піраміди: (4.23) |
|
Рис. 4.15. |
Рис. 4.16. |
Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:
= 0 вектори компланарні.
Якщо > 0 трійка векторів права;
< 0 трійка векторів ліва.
Мішаний добуток в ортонормованому базисі
У базисі мішаний добуток векторів дорівнює визначнику:
(4.24)
Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:
= 0.
Приклад 6. Дано вершини піраміди A(1, 2, 3), B(0, –1, 1),
C(2, 5, 24), D(3, 0, –2). Знайти довжину висоти, опущеної з вершини D.
► Введемо вектори:
За формулою (4.24) обчислимо мішаний добуток векторів:
За формулою (4.23) обчислимо об’єм трикутної піраміди:
(од.3).
Знайдемо площу основи піраміди – трикутника ABC, яка дорівнює половині модуля векторного добутку векторів і
(од.2).
Об’єм трикутної піраміди:
PAGE 10