Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Тема 11 Развитие понятия о числе

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

             

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

I.Основная часть……………………………………………………………….....4

Тема 1.1 Развитие понятия о числе……………………………………………...4

Тема 1.2Корни степени и логарифмы……………………………………….…

Тема 1.3 Основы тригонометрии…………………………………………………

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики……………………………………….

Тема 1.5 Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции…………………………………………………………………………….

Тема 2.1 Последовательности…………………………………………………….

Тема 2.2 Производная………………………………………………………….

Тема2.3 Уравнения и неравенства………………………………………………

Тема 3.1Элементы комбинаторики………………………………………….

Тема3.2 Элементы теории вероятностей…………………………………

Тема3.3 Элементы математической статистики……………………………..

Тема 4.1 Прямые и плоскости в пространстве…………………………….

Тема 4.2 Многогранники………………………………………………………..

Тема 4.3 Тела и поверхности вращений…………………………………….

Тема 4.4 Измерения в геометрии…………………………………………..

Тема 4.5 Координаты и векторы……………………………………………….

Список литературы…………………………………………………………

Введение

Переход на новые образовательные стандарты сопровождался определением задач, места, количества часов, содержания, форм работы в учебной плане самостоятельной внеаудиторной работы студентов. Одной из составляющих  ФГОС является увеличение числа часов, отводимых на внеаудиторную самостоятельную работу студентов. Считается, что специалист со средним специальным образованием должен постоянно  самостоятельно совершенствовать  свои знания. А для этого необходимо уметь самостоятельно  приобретать знания.

В нормативных документах определены цели самостоятельной внеаудиторной работы студентов:

- закрепление, углубление, расширение и систематизация знаний, полученных во время аудиторных занятий, самостоятельное овладение новым учебным материалом;

- формирование общетрудовых и общепрофессиональных умений;

- формирование умений и навыков самостоятельного умственного труда;

- развитие самостоятельности мышления;

- формирование убежденности, волевых черт характера, способности к самоорганизации.

Самостоятельные работы студентов прослушиваются на занятиях, анализируются преподавателем, оцениваются по 5-ти балльной системе с выставлением оценки в журнал.

Воспитание морально-волевых качеств  студентов – важнейшая функция внеаудиторной самостоятельной работы. Нельзя забывать, что требованием времени является воспитание инициативы, активности – качеств, без которых невозможен творческий труд, который и лежит в основе самостоятельной работы студентов.

                                                         3.

Тема 1.1 Развитие понятия о числе.

4.

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Развитие понятия о числе».

          Числа, полученные в результате  счета, называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначаются

Целые числа – бывают положительными и отрицательными. Совокупность целых чисел образует множество целых чисел. Число видов,    где а и b целые числа, причём   называется рациональным числом.  Множество,  состоящее из положительных и отрицательных дробных чисел, называется множеством рациональных чисел.

                Действие с положительными и отрицательными числами.

  1.  18-20=-2
  2.  -3+7=4
  3.  -11+18=7
  4.  -12+19=-7
  5.  17-30=-13
  6.  12-(-6)=18
  7.  -11+(-7)=-18
  8.  12/(-3)=-4

                              Признаки делимости чисел.

На  2 все чётные;

На 3 сумма чисел должна делиться на 3;

На 4 если 2 крайние цифры делятся на 4;

На 5 все числа, которые оканчиваются на 5 и на 0

На 6 числа, которые делятся на 3 и на 2

На 10 все числа, у которых на конце 0

5.

                                  Периодические дроби.

  1.  Определение: Периодические дроби бывают чистыми и смешанными.

Чистой периодической дробью называется дробь, у которой период

142857.

Смешанной называется дробь, у которой  между запятой и первым периодом есть одна или несколько повторяющихся цифр:

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную нужно ее период сделать  числителем, а в знаменателе столько раз  надо написать «9» сколько в периоде  чисел.

 Обращение смешанной периодической дроби в обыкновенную:

            Чтобы  обратить смешанную периодическую дробь достаточно из числа до второго периода вычесть число стоящее до первого периода, и полученную разность взять числителем  , а знаменателем написать цифру в периоде столькими нулями сколько цифр между запятой и периодом:

0,0(142857)=

                                            Действительные числа.

Бесконечная непериодическая дробь называется рациональным числом:

=1,4142135…

=3,14

Иррациональные вместе с рациональными числами образуют область действительных чисел.

Действительным числом называется конечная или бесконечная периодическая дробь.

Q-это множество всех рациональных чисел.

Y- множество  всех  иррациональных чисел..

R- множество действительных чисел.

                                         Комплексные числа.

Термин «комплексные числа» ввел немецкий математик Карл Гаус.

Введём новое понятие: j- мнимая единица :

x=±

  1.  комплексными числами - называется числа вида  Z= a+b j  где a и d действительные числа, а число  мнимая единица.
  2.  Комплексные числа называются взаимно сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаками

Например число:

Z=-3+5j

Z=-3-5(-j)

Z=-3+5j

Z=5-7j

Z=5=7j

Множество комплексных чисел обозначается буквой С

Комплексное число сложно изобразить тоской или соответствующим вектором на комплексном

Модулем Z=a+bj называется действительным числом Ч= Модуль действительного  числа, называется также абсолютной величиной этого числа.

                            Сложение комплексных чисел.

                             Деление комплексных чисел.

=

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

1.Какие числа называются натуральными? Какое значение введено для множества натуральных чисел?

2.Какое множество называется множеством рациональных чисел и как это

множество обозначается?

3.Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные?

4.  Какие числа входят в множество целых чисел? Какое обозначение принято для этого множества?

5. Перечислите основные законы действий над рациональными числами.

6. Какие обыкновенные дроби выражаются только приближенными десятичными?

7. Какие десятичные дроби называются бесконечными периодическими?

8 . Что называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби?

9. Какие периодические дроби называются чистыми и смешанными и как сокращенно они записываются?

10. Как записываются целые числа и конечные десятичные дроби в виде бесконечных периодических дробей?

11.Любая ли бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом?

12. Как обратить чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную?

13.Как обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную?

14. Какое исключение представляет собой бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 9?

15. Какие числа называются действительными иррациональными и как обозначается множество иррациональных чисел?

16.Докажите, что не существует числа, квадрат которого равен 2.

17. Какие числа называются действительными и какое для них введено обозначение?

18.Какими свойствами обладает множество действительных чисел?

19. Что называется числовой прямой?

20 .Что называется числовым отрезком?

21. Что называется числовым интервалом?

22.Какие промежутки называются полуоткрытыми?

23 .Какие промежутки называются бесконечными?

24 .Что понимается под абсолютной величиной действительного числа?

25. Почему нельзя делить на нуль?

26. Какие числа называются комплексными и мнимыми?

27. Как геометрически представляется комплексное число?

28. Что называется модулем комплексного числа?

29. Как выполняется сложение и вычитание комплексных чисел?

30. Как геометрически представляется сумма двух комплексных чисел?

31. Как выполняется умножение комплексных чисел?

32. Как выполняется деление комплексных чисел?

33. Как выполняется возведение в степень мнимых и комплексных чисел?

Задание III.

3.1 Выполнить действия согласно своего варианта,

30 вариантов по 1 заданию.

Цель: Закрепить навык на все  действия с дробями

Вариант 1

Выполнить действия:

Вариант 2

Вычислить:

Вариант 3

Вычислить:

Вариант  4

Вычислить:

( 

Вариант   5

Найти число, если 3.6%  его  составляют

                          

Вариант  6

Найти x из  пропорции:

+1

Вариант  7

Найти x, если:

Вариант 8

Вычислить:

Вариант  9

Вычислить:

1.32:(1.17:1.3+8

Вариант  10

Найти 72% от числа:

Вариант   11

Найти число, если 26% его составляют:

Вариант  12

Вычислить:

Вариант   13

Вычислить:

3.25-(

Вариант  14

Найти x из  пропорций:

Вариант  15

Найти x, если:

Вариант   16

Вычислить:

Вариант   17

Вычислить:

Вариант  18

Вычислить:

(

Вариант  19

Найти число, 3.6% которого  составляют:

Вариант  20

Найти x из  пропорции:

=

Вариант  21

Найти x, если:

Вариант  22

Вычислить:

Вариант  23

Вычислить:

1.32:(1.17:1.3+8

Вариант 24

Найти 72% от числа:
1314-2527-1056*230.04+46.750.01

Найти число, если 26% его  составляют:

Вариант  26

Вычислить:

Вариант  27

Вычислить:

*2

Вариант  28

Найти x из  пропорции:

Вариант  29

Найти x, если:

Вариант   30

Вычислить:

3.2Решить задачи:.( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр4-5)

Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические:

Вариант 1-№1.1;  Вариант 2-№1.2;  Вариант 3-№1.3;  Вариант 4-№1.4

Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

Вариант 1-№2.1;  Вариант 2-№2.2;  Вариант 3-№2.3;  Вариант 4-№2.4

Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обыкновенные:

Вариант 1-№3.1;  Вариант 2-№3.2;  Вариант 3-№3.3;  Вариант 4-№3.4

3.3Выполнить действия: ( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр4-5)

Сложение комплексных чисел:

Вариант 1-№4.1;  Вариант 2-№4.2;  Вариант 3-№4.3;  Вариант 4-№4.4

Разность комплексных чисел:

Вариант 1-№6.1;  Вариант 2-№6.2;  Вариант 3-№6.3;  Вариант 4-№6.4

Произведение комплексных чисел:

Вариант 1-№7.1;  Вариант 2-№7.2;  Вариант 3-№7.3;  Вариант 4-№7.4

3.4  Вычислить:

Вариант 1-№8.1;  Вариант 2-№8.2;  Вариант 3-№8.3;  Вариант 4-№8.4

Вариант 1-№9.1;  Вариант 2-№9.2;  Вариант 3-№9.3;  Вариант 4-№9.4

Вариант 1-№10.1;  Вариант 2-№10.2;  Вариант 3-№10.3;  Вариант 4-№10.4

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 1.2 Корни, степени и логарифмы

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Корни, степени и логарифмы»

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

ЗаданиеIII.

3.1 Выполнить действия  согласно  варианта,

30 вариантов по 2 задания.

Цель: Закрепить теоретические  знания  по  данной  теме,  приобрести  практические  навыки  решения  задач  на  нахождение корней,  действий  с  логарифмами.

Вариант 1

Вычислить:;

Решить логарифмическое уравнение

log2(x+3)=log216

Вариант 2

Вычислить корни:; ;;

Решить логарифмическое уравнение:Ln (3x-5)=0

Вариант 3

Вычислить:;   ;   ;

Решить логарифмическое уравнение

log2(x+3)=log216

Вариант 4

Вычислить:  

Решить логарифмическое уравнение

log5(x+1) = log5 (4x-5)

Вариант 5

Вычислить:;

Решить логарифмическое уравнение:

log (x-10)=2+log 52

Вариант 6

Вычислить: ;

Решить логарифмическое уравнение

Lg (3x-2)=3-lg 25

Вариант 7

Вычислить:+;

Решить логарифмическое уравнение

log2 (4-x)+log2 (1-2x)=2log2 3

Вариант 8

Вычислить:-

Решить логарифмическое уравнение

Lg x=(lg m+lg n)

Вариант 9

Вычислить:+

Решить логарифмическое уравнение

log7log4log23(x-7)=0

Вариант 10

Вычислить:;

Решить логарифмическое уравнение

log2x+3+2=0

Вариант 11

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

lg(lg(1+x)-1=0

Вариант 12

Вычислить: ;

Решить логарифмическое уравнение

2 log0.5x=log0.5 (2x-x)

Вариант 13

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

logx0.125=-2

Вариант 14

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

lg2 (10x)+lgx=19

Вариант 15

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log2 log3 log5(x-3)=0

Вариант 19

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log3=1

Вариант 20

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log3-1=0

Вариант 21

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log3-2=0

Вариант 22

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log=0

Вариант 23

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log3x+log2 x=1

Вариант 24

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log8-=0

Вариант 25

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log(2x-5)35-=0

Вариант 26

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log(x+5)=-1

Вариант 27

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log =x

Вариант 28

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

logx-2(x2+10x-9)=2

Вариант 29

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

2log3 x=3log3 x+2

Вариант 30

Вычислить:

Решить логарифмическое уравнение

log3-x5-=0

3.2  Решить уравнения:

В.№ 1

1)  log 3 (2 – 5х) = 2                5)  3 log2 8 х  + 5 log 8 х  - 2 = 0

2)  9 2,5х-2   = 1_      6) 2х+4 - 2 х = 120

                     27

3)   =                 7)

4)   Х4 – 3х2 + 2 = 0     8) 9х4 + 8х2 - 1 =0

В.№ 2

  1)  log 2  (2х – 1) = 3        5)  3 log3 (х + 7) +  log 3 (3х + 21) = 5

  2)  3 х+3   = 234       6) 3х+2  +  3 х+1 – 3 х = 33

  3)   = х + 2        7)  

 4)   Х4 – 3х2 - 4  = 0                                 8) 6х4 -  5 х2 + 1 = 0

В.№ 3

  1)  log 22  х – 3 log 2Х +2 = 0              5)     log2 (3х + 2) = 3

  2)  х4 + х2 – 2   = 0              6) 20х4 – х2 - 1   = 0

  3)  10  · 5х-1 +5х+1=35                        7) 9 · 3х-1 + 3х = 36

 4)    -  = 0                      8) -  = 1

В.№ 4

  1)  lоg (х2- 5х + 33) = -3                             5)    lоg х – 5 lоg3 х + 4 = 0

  2)  0,5х+2 = 7                 6) 32х+1 + 10 ·  3х + 3   = 0

  3)   =                          7) 2= Х -1

 4)   4х4   - 15х2 - 4 = 0                          8) х4 – 34х2 + 225 =0

 В.№ 5

  1)  lоg (х2- 3х - 6) = -2                                    5)   - =  1  

  2)  х+1 =                               6) 52х+1 - 3 ·  5х-1    = 55 0

  3)   =2х                                              7) lоg х – 2 lоg3 х - 3 = 0

 4)   х4   + х2 - 2 = 0                  8) х4 –  8х2 + 7 =0

В.№ 6

  1)  lg (х – 2) +lg х = lg3                              5)    lоg х – 3 lоg2 Х + 2 = 0

  2) 253,5х+3 =                                     6) 53х + 3 · 53х-2    = 140

  3)   = 3                           7) = х +2

 4)    х4   - 8х2  + 7 = 0                                    8) 9х4 – 37х2 + 4 =0

В.№ 7

  1)  lоg (х2- 3х - 6) = -2                                      5)  logх – 2 log3  Х – 3 =0

  2)  х+1 =                                   6) 64х – 8х -  56     = 0

  3)   =                                                   7) + 7  = Х

 4)   х4   -10 х2 + 9 = 0                       8) 4х4 –  65х2 + 16 =0

В.№ 8

  1)  lоg3 (х2- 4х - 2) = 1                            5)  log2  ( х – 2) +  log2  (х – 3) =1

  2) 82,5х-2 =                         6) 52х+1 – 3 ·52х-1  = 550

  3)    +  =0                  7)  = 3

 4)   х4   -5 х2 + 4 = 0                      8) 9х4   +   8х2 - 1 =0

В.№ 9

  1)  lg ( 6-х) = 2 lgх                                               5) 3 logх  + 5 log8  Х – 2 =0

  2)   =                     6) 4х+1 + 28 · 4х    = 1

  3)    -  = 0                            7)   = х +3

 4)   х4   - 3 х2 + 2 = 0                      8) 4х4 –  17х2 + 4 =0

В.№ 10

  1)  lоg4 (4 + 6х + х2) = 1                                          5)  log  х  +  log2  х – 6 = 0

  2) 61,5х + 2 =                                6) 5х+2 – 3 ·5х +1  = 0,4

  3)   -   = 0                          7)  =  х +2

 4)   4х4   - 9 х2 + 2 = 0                             8) 4х4    -   17х2 + 4 =0

В.№ 11

  1)  lоg2 (2х2 + 4х + 2) = 3                                 5)  lg  ( х + 2) +  lg  (10х + 20) = 3

  2) 92,5х-2 =                              6) 3х+1 – 4 ·3х-1  = 45

  3)    =                            7)  2 = х + 2

 4)   9х4   - 10 х2 + 1 = 0                    8) 20х4   -   х2 - 1 =0

В.№ 12

  1)  lоg3 (х2 + 2х + 3) = 3                                           5)  log  ( х2 – х) = 1 +  lg   3

  2) 41,5х +1 =                                        6) - = 1

  3)    -  = 0                                    7) 6х4 - 5х2 +1 = 0

 4)  х4   - 10 х2 + 9 = 0                             8) 2х   -  2 х-4  = 15

В.№ 13

  1)  lоg2 (х2 - 5х + 1) = 0                                           5) = х + 3

  2) 9х4 + 8х2 - 1 = 0                              6) 9 · 3х-1 + 3х = 36

  3)  32х + 2 + 32х = 30                                          7) logх  - 5 log3 Х + 4 = 0

 4)   = х-1                                                8) х4 – 40х2 + 144 = 0

В.№ 14

  1)   = 64                    5)    lоg х – 9 lоg8 Х  = 4

  2)     =                                 6)  10 · 5х -1 + 5х + 1    = 7

  3)   = 3                   7)  2=Х  - 1

  4)    х4    + х2  - 2 = 0                            8) х4 – 11х2 + 2 4 =0

В.№ 15

  1)  lоg3 (2- 5х ) = 2                                          5)  3lоg Х + 5 lоg8 Х - 2 = 0

  2) 92,5х-2 =                              6) 2х+4 – 2х  = 120

  3)    =                             7)    = 3

 4)   х4   - 3 х2 + 2 = 0            8) 9х4   +  8 х2 - 1 = 0

В.№ 16

  1)  lоg2 (2х - 1) = 3                                       5)  log3  ( х + 7) +  log3  (3х + 21) = 5

  2) 3 х +3 - 3х = 234                              6) 3х+2  +3х +1  = 33

  3)    =  х +2                       7)   = х + 2

 4)  х4   - 3х2    - 4 = 0                 8)  6х4   - 5 х2  + 1 =0

В.№ 17

  1)  lоg  - 3 lоg2 Х +2  = 0                                       5)  log2   (3х + 2) = 3

  2)  х4 + х2  - 2 = 0                          6) 20х 4 – х2  - 1  = 0

  3)  10 · 5х-1 + 5 х+1 = 35                       7)  9 · 3 х-1 + 3х = 36

 4)                            8)  

В.№ 18

  1)  lоg2 (2х - 1) = 3                                    5)  log3  ( х + 7) +  log3  (3х + 21) = 5

  2) 3 х +3 - 3х = 234                               6) 3х+2  +3х +1  = 33

  3)    =  х +2                   7)   = х + 2

 4)  х4   - 3х2    - 4 = 0             8)  6х4   - 5 х2  + 1 =0

В.№ 19

  1)  log 3 (2 – 5х) = 2                  5)  3 log2 8 х  + 5 log 8 х  - 2 = 0

  2)  9 2,5х-2   = 1_      6) 2х+4 - 2 х = 120

                       27

  3)   =                  7)

 4)   Х4 – 3х2 + 2 = 0     8) 9х4 + 8х2 - 1 =0

В.№ 20

  1)  log 2  (2х – 1) = 3       5)  3 log3 (х + 7) +  log 3 (3х + 21) = 5

  2)  3 х+3   = 234               6) 3х+2  +  3 х+1 – 3 х = 33

  3)   = х + 2       7)  

 4)   Х4 – 3х2 - 4  = 0            8) 6х4 -  5 х2 + 1 = 0

В.№ 21

  1)  log 22  х – 3 log 2Х +2 = 0     5)     log2 (3х + 2) = 3

  2)  х4 + х2 – 2   = 0     6) 20х4 – х2 - 1   = 0

  3)  10  · 5х-1 +5х+1=35               7) 9 · 3х-1 + 3х = 36

 4)    -  = 0             8) -  = 1

В.№ 22

  1)  lоg (х2- 5х + 33) = -3                           5)    lоg х – 5 lоg3 х + 4 = 0

  2)  0,5х+2 = 7               6) 32х+1 + 10 ·  3х + 3   = 0

  3)   =                        7) 2= Х -1

 4)   4х4   - 15х2 - 4 = 0                        8) х4 – 34х2 + 225 =0

В.№ 23

  1)  lоg (х2- 3х - 6) = -2                                  5)   - =  1  

  2)  х+1 =                             6) 52х+1 - 3 ·  5х-1    = 55 0

  3)   =2х                                               7) lоg х – 2 lоg3 х - 3 = 0

 4)   х4   + х2 - 2 = 0                   8) х4 –  8х2 + 7 =0

В.№ 24

  а)  lg (х – 2) +lg х = lg3              а)    lоg х – 3 lоg2 Х + 2 = 0

  б) 253,5х+3 =            б) 53х + 3 · 53х-2    = 140

  в)   = 3            в) = х +2

 г)    х4   - 8х2  + 7 = 0           г) 9х4 – 37х2 + 4 =0

В.№ 25

  1)  lоg (х2- 3х - 6) = -2                   5)  logх – 2 log3  Х – 3 =0

  2)  х+1 =                6) 64х – 8х -  56     = 0

  3)   =                                 7) + 7  = Х

 4)   х4   -10 х2 + 9 = 0    8) 4х4 –  65х2 + 16 =0

В.№ 26

  1)  lоg3 (х2- 4х - 2) = 1                            5)  log2  ( х – 2) +  log2  (х – 3) =1

  2) 82,5х-2 =                         6) 52х+1 – 3 ·52х-1  = 550

  3)    +  =0                     7)  = 3

 4)   х4   -5 х2 + 4 = 0                8) 9х4   +   8х2 - 1 =0

                         В.№ 27

  1)  lg ( 6-х) = 2 lgх                                             5) 3 logх  + 5 log8  Х – 2 =0

  2)   =                   6) 4х+1 + 28 · 4х    = 1

  3)    -  = 0                          7)   = х +3

 4)   х4   - 3 х2 + 2 = 0                    8) 4х4 –  17х2 + 4 =0

В.№ 28

1)  lоg4 (4 + 6х + х2) = 1                             5)  log  х  +  log2  х – 6 = 0

2) 61,5х + 2 =                   6) 5х+2 – 3 ·5х +1  = 0,4

3)   -   = 0                      7)  =  х +2

4)   4х4   - 9 х2 + 2 = 0                8) 4х4    -   17х2 + 4 =0

В.№ 29

  1)  lоg2 (2х2 + 4х + 2) = 3                             5)  lg  ( х + 2) +  lg  (10х + 20) = 3

  2) 92,5х-2 =                          6) 3х+1 – 4 ·3х-1  = 45

  3)    =                         7)  2 = х + 2

 4)   9х4   - 10 х2 + 1 = 0                 8) 20х4   -   х2 - 1 =0

В.№ 30

  1)  lоg3 (х2 + 2х + 3) = 3                         5)  log  ( х2 – х) = 1 +  lg   3

  2) 41,5х +1 =                      6) - = 1

  3)    -  = 0                   7) 6х4 - 5х2 +1 = 0

 4)  х4   - 10 х2 + 9 = 0             8) 2х   -  2 х-4  = 15

3.3.  Решить неравенства:

В.№ 1

 1)  25х   > 1253х-2      3) 9х – 2 · 3х < 0

 2) log 5 (2х + 4)   < 2                                             4) log 2 (х2 – 2 х) ≥  3

В.№ 2

 1)  log 2 (2 – 4 х) ≤ 1                      3) log 8 (х2 – 4 х +3) ≤ 1

 2 ) 9х+4   <  27                                4) <  8х-1 

В.№ 3

 1)  log 2,2 (1,1 – 0,5 х) ≥ 1                      3) log   (4 – х) ≤ log 2 - log(х-1)

 2 ) 5х-2  >                                    4) 4х -  2 х – 12 < 0  

                                           В.№ 4

 1)       ≥ 144                                   3) 8х + 8х+2   <65

 2) log 2 (2 – 4х)  ≤ 1                                 4) log   (х2 – 5х - 6) ≥-3

                                         В.№ 5

 1)    log 9 (4 – 3х)  ≤                                3)  lg (х2 – 5х + 7)  <0

 2)    ≤                                    4)  4х – 2 · 2х - 3  ≥ 0

В.№ 6

 1)       >                                      3) log (х-2) +   log(12-х) ≥-2

 2 ) log 0,5 (1 +2х)  > - 1                             4) log8   (х2 –4х + 3)   ≤  1

В.№ 7

 1)    log (х2 +3х-6)  < -2                     3) 2 · 3х+2 + 3х < 5

 2)     <                                 4) log   (х2 – 2,5х )  <  1

В.№ 8

 1)    162-1,2х < 64                                                       3) 9х - 2 · 3х - 3  > 0

 2)    log2 (2-4х)  ≤ 1                                                4) lg   (х2 – 5х + 7 )  <  

В.№ 9

 1)      <                                       3) 2х-1 + 2х+2 > 17

 2)   log2 (2х - 1)  .> 2                                  4) log   (4 - х )  ≥ log 2 - log(х-1)

В.№ 10

 1)    271 +2 х >                                                       3) 3 · 9х + 11· 3x < 4

 2 )    log (2х - 1)  > - 2                                                 4) lоg 8  (х2 – 4х + 3 )  ≤  1

В.№ 11

 1)    25х > 1253х-2                                                       3) 4х – 2х     <  12

 2)    log0,5 (2х - 4)  < 0                                              4) log2   (х2 – х  )   ≥ 3

В.№ 12

 1)    72х+3 <                                               3) 4х – 2х     <  12

 2)    log (6 – 0,3х)  > -1                              4) log2  (3х+2  )  -   log2  (1 -2х ) > 2

В.№ 13

 1)    72х+3 <                                                   3) log2  (3х + 2  )  -   log2  (1 -2х ) > 2

 2)    log4 (6 – 3х)  <  2                                       4) 9х – 2 · 3х - 3 < 0

В.№ 14

 1)   log(6 – 3х)   >  -1                                   3) log (х2 – 5х + 6) > -1

 2) 271 +2х >                                              4) 32х-1 – 32х + 32х +3  ≥ 237

В.№ 15

 1)    25х > 1253х-2                                                       3) 9х – 2 · 3х - 3    <  0

 2)    log0,5 (2х + 4)  < 0                                             4) log2   (х2 – х  )   ≥ 3

В.№ 16

 1)   log2 (2 – 4х)  ≤  1                                      3) log8 (х2 – 4х + 3)  ≤  1

 2)    9х+4  < 27                                                 4)    <   8х-1 

В.№ 17

 1)   log 2,2 (1,1 – 0,5х)  ≥  1                               3) log (4-х) ≥  log2 - log(х-1)

 2)    5х-2  >                                            4)  4х – 2х   -12  <  0

В.№ 18

  1)   log2 (2 – 4х)  ≤  1                                      3) log8 (х2 – 4х + 3)  ≤  1

 2)    9х+4  < 27                                                  4)    <   8х-1 

В.№ 19

 1)  25х   > 1253х-2      3) 9х – 2 · 3х < 0

 2) log 5 (2х + 4)   < 2                                             4) log 2 (х2 – 2 х) ≥  3

В.№ 20

 1)  log 2 (2 – 4 х) ≤ 1                                            3) log 8 (х2 – 4 х +3) ≤ 1

 2) 9х+4   <  27                                                         4) <  8х-1 

В.№ 21

 1)  log 2,2 (1,1 – 0,5 х) ≥ 1                      3) log   (4 – х) ≤ log 2 - log(х-1)

2 ) 5х-2  >                                    4) 4х -  2 х – 12 < 0  

В.№ 22

 1)       ≥ 144                                   3) 8х + 8х+2   <65

2 ) log 2 (2 – 4х)  ≤ 1                                 4) log   (х2 – 5х - 6) ≥-3

В.№ 23

 1)    log 9 (4 – 3х)  ≤                                3)  lg (х2 – 5х + 7)  <0

 2 )    ≤                                   4)  4х – 2 · 2х - 3  ≥ 0

В.№ 24

 1)       >                                     3) log (х-2) +   log(12-х) ≥-2

 2) log 0,5 (1 +2х)  > - 1                             4) log8   (х2 –4х + 3)   ≤  1

В.№ 25

 1)    log (х2 +3х-6)  < -2                     3) 2 · 3х+2 + 3х < 57

 2)     <                                  4) log   (х2 – 2,5х )  <  1

В.№ 26

 1)    162-1,2х < 64                                                       3) 9х - 2 · 3х - 3  > 0

 2 )    log2 (2-4х)  ≤ 1                                                4) lg   (х2 – 5х + 7 )  <  1

                         В.№ 27

 1)      <                                          3) 2х-1 + 2х+2 > 17

 2 )   log2 (2х - 1)  .> 2                                    4) log   (4 - х )  ≥ log 2 - log(х-1

В.№ 28

 1)    271 +2 х >                                                       3) 3 · 9х + 11· 3x < 4

 2)    log (2х - 1)  > - 2                                                 4) lоg 8  (х2 – 4х + 3 )  ≤  1

В.№ 29

 1)    25х > 1253х-2                                                       3) 4х – 2х     <  12

 2 )    log0,5 (2х - 4)  < 0                                              4) log2   (х2 – х  )   ≥ 3

                               В.№ 30

 1)    72х+3 <                                                2) 4х – 2х     <  12

 3 )    log (6 – 0,3х)  > -1                               4) log2  (3х+2  )  -   log2  (1 -2х ) > 2

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 1.3 Основы тригонометрии

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме «Основы тригонометрии»

Задание II. Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

1.Какие величины принимаются за  единицу при  градусном и  радианном измерении  дуг (углов).

2.При решении каких  задач удобнее применять радианное измерение дуг (углов) по  сравнению с  градусным?

3.Выведите формулы перехода от  градусного изменения к  радианному  и от радианного к градусному.

4.Чему равна  градусная мера  дуги в 1 рад?

5.Чему равна радианная  мера  дуги  в 10?

6.По  какой формуле вычисляется длина  дуги, измеренная в радианах?

7.По  какой формуле вычисляется площадь сектора, центральный  угол которого измерен в радианах?

ЗаданиеIII.

3.1

Вариант  1

Радиус  круга  равен  0,56 м , а площадь  кругового сектора  составляет

0,72 м2.  Найдите дугу сектора в радианах .                                                           Вариант  2

Круговой  сектор, имеющие  площадь 0,39 м2 , стягивается дугой  в 1,4 радиана . Найдите радиус круга .

Вариант  3

Шкив , радиус которого 0,45 м , при равномерном вращении совершает 180 оборотов в минуту . Найти линейную скорость точки , находящейся на ободе шкива .

Вариант  4

Точка колеса , находящаяся от его центра на расстоянии  0,56 м , равномерно  вращается с линейной скоростью 4,6 м/с . Найти период вращения колеса .   

Вариант  5

Равномерно вращающееся колесо , радиус которого 0,24 м , имеет линейную скорость  на ободе  4,8 м/с . Найдите число оборотов колеса в секунду .

Вариант  6

Точка на ободе равномерно вращающегося маховика имеет линейную скорость 1,6 м/с  . Период вращения маховика равен    /4  с . Найдите радиус маховика .

Вариант  7

Точка, находящаяся на расстоянии 0,12 м от оси вращения равномерно вращающейся шестеренки , имеет линейную скорость  0,48 м/с  . Найдите период вращения шестеренки .

Вариант  8

Равномерно  вращающийся вал совершает  600  оборотов  в  минуту . Найти угловую скорость и период вращения этого вала .

Вариант  9

Линейная скорость на  ободе равномерно  вращающегося  маховика , радиус которого 0,64  м , равна  256 м/с . Найти  угловую скорость маховика .

Вариант  10

Колесо , радиус  которого  0,125 м , равномерно вращается с угловой скоростью  24 рад/с .  Вычислите линейную скорость в точке , лежащей на ободе колеса .

Вариант  11

Угловая скорость равномерно вращающегося вала равна  10     рад/с . Найдите число оборотов вала в секунду .

Вариант  12

Шестеренка равномерно вращается с угловой скоростью            /3   рад/с .      Найдите  период вращения шестеренки .

Вариант  13

При торможении маховик за          с  поворачивается  на угол                           Найти : 1) угловую скорость вращения маховика при      =3 с ;  2) угловое ускорение в момент      ;  3) момент , когда вращение прекратится .

Вариант   14

Тело вращается вокруг оси по                          . Найдите : 1)  угловую скорость вращения в момент     = 2 с ; 2) угловое ускорение в момент      ;  3) момент , когда  вращение прекратится .

Вариант   15

Углы треугольника относятся , как  1:3:5 . Вычислите их величины в радианной мере .

Вариант   16

Четыре точки делят окружность в отношении 3:4:5:6 . Вычислите в радианной мере величины соответствующих дуг .

Вариант   17

Вычислите радианную меру внутренних углов пятиугольника , если они относятся , как  2:4:5:6:7 .

Вариант  18

Радиусом  R=0,12 м описана дуга , радианная мера которой равна  2,5 .  Найдите длину этой дуги .

Вариант  19

Вычислите в радианной мере величину вписанного угла , опирающегося на дугу , радианная мера которой равна   4   /15 .

Вариант  20

Величина дуги в радианной мере равна  5  /9 . Под каким углом из точек этой дуги видна стягивающая ее хорда ?

Вариант  21

Вычислите ( в рад/с ) угловую скорость часовой , минутной и секундной стрелок .

Вариант  22

Колесо , радиус которого равен  0,6 м , совершает при равномерном вращении 480 оборотов в минуту . Найдите : 1) угловую скорость колеса ;     2) линейную  скорость точки  колеса , отстоящей от его оси на  0,1 м                  3) линейную скорость точки , находящейся на окружности колеса .

Вариант  23

Радиус  круга  равен  0,56 м , а площадь  кругового сектор  составляет  0,72 м2.  Найдите дугу сектора в радианах .

 Вариант  24

Круговой  сектор , имеющие  площадь 0,39 м2 , стягивается дугой  в 1,4 радиана . Найдите радиус круга .

Вариант  3

Шкив, радиус которого 0,45 м , при равномерном вращении совершает 180 оборотов в минуту . Найти линейную скорость точки , находящейся на ободе шкива .

  Вариант  25

Точка колеса, находящаяся от его центра на расстоянии  0,56 м , равномерно  вращается с линейной скоростью 4,6 м/с . Найти период вращения колеса .   

Вариант  26

Равномерно вращающееся колесо , радиус которого 0,24 м , имеет линейную скорость  на ободе  4,8 м/с . Найдите число оборотов колеса в секунду .

Вариант  27

Точка на ободе равномерно вращающегося маховика имеет линейную скорость 1,6 м/с. Период вращения маховика равен    /4  с . Найдите радиус маховика .

Вариант  28

Точка , находящаяся на расстоянии 0,12 м от оси вращения равномерно вращающейся шестеренки , имеет линейную скорость  0,48 м/с  . Найдите период вращения шестеренки .

Вариант  29

Равномерно  вращающийся вал совершает  600  оборотов  в  минуту. Найти угловую скорость и период вращения этого вала .

Вариант  30

Линейная скорость на  ободе равномерно  вращающегося  маховика, радиус которого 0,64  м, равна  256 м/с . Найти  угловую скорость маховика .

3.2 Решить  уравнение любым  способом;

30  вариантов  по  3  задания.

Цель: сформировать  навыки  решения  тригонометрических  уравнений

Вариант 1

  1.  Sin2x = sinx
  2.  2- 5sinx +2 =0
  3.  2x-sinx-1=0

Вариант 2

  1.  Cos4x = sin2x
  2.  - 2x-1=0
  3.  

Вариант  3

  1.  Cosx+sinx=1
  2.  2x+5sinx-4=0
  3.  Cosx-3sinx=0

Вариант 4

  1.  x=x
  2.   2ctgx =5
  3.  cosx - sinx = cos3x

Вариант 5

    1)Sinx - 2x-1=0

2)5sinx-3sin2x=0

    3)=0

Вариант 6

  1.  2tgx+3ctg=4
  2.  Sin7x-sinx=0
  3.  Cos2x+cos7x=2

Вариант 7

  1.  Cos x*cos2x = cos3x
  2.  Sin x- cosx=0
  3.  Sin3x =

Вариант 8

  1.  +3x=1
  2.  - x=0
  3.  ) =

Вариант 9

  1.  Sinx +cosx=0
  2.  
  3.  3tgx-2ctgx=1

Вариант 10

  1.  1+Sin3x = (
  2.  
  3.  cosx+4=0

Вариант 11

  1.  Sinx+sin3x=sin2x
  2.  Sin3x*cos3x= -
  3.  Sin2x+sinx=0

Вариант 12

  1.  x+
  2.  Sin2x*cos (x-
  3.  (2sinx+1) *=0

Вариант 13

  1.  3x-sin2x=
  2.  2
  3.  

Вариант 14

  1.  Cos2x= 2(cos x –sin x)
  2.  Cos2x+5cosx=0
  3.  

Вариант 15

  1.  
  2.  4+5cosx-2
  3.  cos

Вариант 16

  1.  4sinx*cosx*cos2x=1
  2.  3tgx-3ctgx=8
  3.  2

Вариант 17

  1.  Sinx*cos(x+
  2.  7cosx-4sin2x=0
  3.  Cos

Вариант 18

  1.  2
  2.  Sinx-cosx=0
  3.  3cosx+sinx=0

Вариант 19

  1.  Cos2x+5sinx+2=0
  2.  sinxcosx+
  3.  

Вариант 20

  1.  2
  2.  Cos5x+cosx=0
  3.  

Вариант 21

  1.  Tgx+2ctgx=3
  2.  
  3.  Cos2x+cos5x=-2

Вариант 22

  1.  3cos2x-2sin2x=0
  2.  Cos3x=
  3.  Cos4x=

Вариант 23

  1.  
  2.  Tg(x+
  3.  Tg(x+

Вариант 24

  1.  Sinx*cosx+
  2.  3tgx+2ctgx=5
  3.  4tgx+3ctgx=7

Вариант 25

  1.  Cos2x+4
  2.  Cos2x-4

Вариант 26

  1.  4
  2.  Sin2x-cosx=0
  3.  Sin2x+2cosx=0

Вариант 27

  1.  
  2.  
  3.  (2cos+

Вариант 28

     1) Sin3x*cos(x+

  1.  
  2.  

Вариант 29

  1.  
  2.  
  3.  

Вариант 30

  1.  
  2.  Sin
  3.  Sin2x = sinx

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 1.4: «Функции, их свойства и графики».

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

(Составьте краткий конспект)

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Функции, их свойства и графики».

1. Функции. Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х, соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства у=f (х), где f означает совокупность действий, которые надо произвести над  х, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется частным значением этой функции. Например, функция у=f (х) при х=а принимает значение у= f(а).

Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции  y = x областью определения является множество всех действительных чисел  R; для функции  областью определения является множество R кроме . Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Например, множеством значений функции  является множество R, множеством значений функции  является множество действительных чисел, больших или равных 1.                                                                  Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соответствия, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и её область определения.                                                      Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

ПРИМЕР.                                                                                                                      Найти область определения функции: 1) ;  2).

РЕШЕНИЕ. 1) областью определения данной функции является общая часть областей определения каждого из слагаемых. Для первого слагаемого , для второго . Областью определения функции служит промежуток .

2) Функция определена для всех значений , удовлетворяющих неравенству . Таким образом,

                                                                                                                                                 

 

На рисунке показаны области определения данной функции.

2. Четные и нечетные функции. Функция у=f (х)  называется четной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е.   f (-х)= f (х). Например, парабола  является четной функцией, так как . График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция у=f (х)  называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. f (-х)= f (х). Например, функция  - нечетная, так как . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной:

 .

ПРИМЕР

Исследовать на четность и нечетность функцию: 1) ;

2) 3) , определенную на всей числовой оси.

РЕШЕНИЕ

Подставляем на место аргумента .

  1.   - функция четная;
  2.   – функция нечетная;
  3.    - функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Возрастающие и убывающие функции. Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими.

Функция у =(х ) называется возрастающей в промежутке , если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку, при  имеет место неравенство .

Функция у =(х) называется убывающей в промежутке , если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку, при  имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Например, функция   при  монотонно убывает, а при  монотонно возрастает. Функция  на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция  на всей числовой оси монотонно убывает.

4. Обратная функция. Если функция  у =(х) принимает каждое своё значение только при единственном значении x, то такую функцию называют обратимой.

Например, функция  является обратимой, так как каждое значение y принимается при единственном значении аргумента x. Напротив, функция  не является обратимой, поскольку, например, значение  она принимает и при , и при .

Пусть у =(х) - обратимая функция. Это означает, что каждому y из множества значений функции соответствует одно определенное число x из области ее определения такое, что (х)=y. Решив это уравнение относительно x, получим уравнение , в котором y является аргументом, а x – функцией этого аргумента. Поменяв местами в соответствии с принятыми обозначениями x и y, получим .

Функция  называется обратной к функции  у=(х).

Областью определения обратной функции является множество значений исходной функции, а множеством значений обратной функции является область определения исходной функции.       

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

1.Сформулируйте определение функции.

2.Что называется областью определения функции?

3. Что называется областью изменения функции?

4.Какими способами может быть задана функция?

5.Как находится область определения функции?

6.Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

7.Какие функции называются нечетными и как они исследуются на нечетность?

8.Приведите примеры функций, которые не являются ни четными, ни нечетными.

9.Какие функции называются возрастающими? Приведите примеры.

10. Какие функции называются убывающими? Приведите примеры.

11. Какие функции называются обратными?

12.Как расположены графики прямой и обратной функции?

ЗаданиеIII.

Постройте графики и исследуйте функции:

  1.  D(y)-область определения;  
  2.  E(y)-множество её значений;
  3.  Проверить на чётность (нечётность);         
  4.  Найти промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства;   
  5.  Определить точки пересечения с осями координат и другие характерные точки.   13

Пример.

Задание III.

Построить график функции: у=х2+2;

Исследовать функцию:

1.D(y)-область определения;  

2.E(y)-множество её значений;

3.Проверить на чётность (нечётность);

4.Найти промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства;

5.Определить точки пересечения с осями координат и другие характерные точки

График функции: у=х2+2

яфмсс

                              14.

1.D(y)-область определения-(      );

2.E(y)-множество её значений(2,     ) ;

3. Проверка на чётность.

Подставляем на место аргумента (-х)

(-х2)+2=(х2)+2  – функция четная;

4.От минус бесконечности до ноля функция  убывает, от ноля до плюс бесконечности возрастает.

5.Точка пересечения с осью координат: (0,2)

Вариант №1.

1)

2)

Вариант №2

1)

2)

Вариант №3

1)

2)

Вариант №4

1)

2)

Вариант №5

1)

2)

Вариант №6

1)

2)

Вариант №7

1)

2)

Вариант №8

1)

2)

Вариант №9

1)

2)

Вариант №10

1)

2)

Вариант №11

1)

2)

Вариант №12

1)

2)

Вариант №13

1)

2)

Вариант №14

1)

         2)

Вариант №15

1)

         2)

Вариант №16

1)

         2)

Вариант №17

1)

         2)

Вариант №18

1)

         2)

Вариант №19

1)

         2)

Вариант №20

               1)

2)

Вариант №21

         1)

         2)

Вариант №22

          1)

         2)

Вариант №23

     1)

         2)

Вариант №24

          1)

         2)

Вариант №25

          1)

         2)

Вариант №26

          1)

         2)

Вариант №27

          1)

         2)

Вариант №28

          1)

         2)

Вариант №29

          1)

         2)

Вариант №30

          1)

         2)

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 1.5 Степенные, показательные, логарифмические функции

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Степенные, показательные, логарифмические функции»

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

1.Приведите  определение степенной, показательной  и  логарифмической  функции.

2.Приведите определение логарифма числа  по  данному  основанию.

3.Как  связаны  между  собой графики показательной и логарифмической  функций?

4.Укажите  область определения и  области изменения показательной и логарифмической функций.

5.Перечислите основные  свойства показательной функции  при а > 1 и  при 0 < a < 1.

6.Перечислите основные свойства логарифмической функции при а > 1 и  при 0 < a < 1.

7.Сформулируйте   основное логарифмическое  тождество.

8.Перечислите  основные  свойства логарифмов.

9.Приведите доказательства логарифмических тождеств.

Радианное измерение дуг  и  углов.

1.Какие величины принимаются за  единицу при  градусном и  радианном измерении  дуг(углов).

2.При  решений каких  задач удобнее применять радианное измерение дуг (углов) по  сравнению с  градусным?

3.Выведите формулы перехода от  градусного изменения к  радианному и от радианного к градусному.

4.Чему равна  градусная мера  дуги в 1 рад?

5.Чему равна радианная  мера  дуги  в 10?

6.По  какой формуле вычисляется длина  дуги, измеренная в радианах?

7.По  какой формуле вычисляется площадь сектора, центральный  угол которого измерен в радианах?

                                Обобщение понятия дуги(угла).

1.Дайте определение единичной окружности. Как  записывается уравнение единичной  окружности?

2.Какие дуги в  единичной окружности называются положительными (отрицательными)?

3.Как в  общем  виде обозначить множество положительных(отрицательных) дуг и углов?

4.Каким условиям должна удовлетворять единичная числовая  окружность?

5.В чем заключается соответствие между точками числовой оси и точками числовой единичной  окружности, имеющими общие  нулевые точки?

 Знаки, числовые  значения и  свойства четности и  нечетности                 тригонометрических  функций.

1.Дайте определения тригонометрических функций числового аргумента и укажите области их определения.

2.Какие  тригонометрические функции являются ограниченными и  какие- неограниченными?

3.Как  определяются знаки тригонометрических функций по  четвертям?

4.Как  найти числовые значения функций для значений аргумента 0, π/2 , π , 3π/2, 2π?

5.Вычислите числовые  значения ,тригонометрических функций для значений аргумента π/6, π/4, π/3.

6.Какие тригонометрические функции являются четными и какие – нечетными

 Выражение тригонометрических функций через другие тригонометрические функции.

1.Как изменяются основные тригонометрические функции с возрастанием аргумента от 0 до 2π(по  четвертям)?

2.Какие тригонометрические выражения называются тождественно равными?

3.Докажите основные тригонометрические тождества. При каких допустимых значениях аргумента тождества справедливы?

4.Выразите тригонометрические функции через  синус, косинус, тангенс и  котангенс соответственно.

Периодичность тригонометрических функций.

1.Дайте определение периодической функции.

2.Являются ли  числа, кратные наименьшему периоду, периодам функции?

3.Какие  числа являются периодами функций синуса  и  косинуса?

4.Какие числа являются периодами функций  тангенса и котангенса?

5.Приведите примеры вычисления периодов тригонометрических функций.

                               Формулы приведения.

1.Какие формулы называются формулами приведения?

2.При  каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

3.В чем заключается свойство полупериода синуса и  косинуса?

4.Сформулируйте правила названий тригонометрических функций при  составлений формул приведения.

5.Сформулируйте правила знаков при составлении формул приведения.

                                   Тригонометрические функции алгебраической суммы двух  аргументов (формулы сложения)

1.Выведите формулы сложения для основных  тригонометрических функций.

2.При каких значениях аргумента формулы tg(α ± β) и ctg(α ± β) не  имеют смысла?

3.Выведите формулу сложения для  косинуса разности двух углов. Как из  нее получить остальные формулы сложения?

4.Приведите простейшие  примеры применения формул сложения.

        Тригонометрические функции удвоенного аргумента.

1.Выведите формулы тригонометрических функций удвоенного аргумента.

2.При  каких значениях аргумента функция tg2a не  имеет  смысла?

3.Приведите примеры вычислений с  использованием формул  удвоения.

      Тригонометрические функции половинного аргумента.

1.Выведите формулы тригонометрических функций половинного аргумента.

2.При  каких значениях аргумента формулы tg (a/2) и ctg (a/2) не  имеет смысла?

3.Покажите,что в  формулах (3.81) и (3.82) имеет место несовпадение областей определения левой и правой частей формул.

4.Приведите простейшие примеры применения формул для тригонометрических функций  половинног

 Выражения тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

1.Выведите формулы преобразования произведения тригонометрических функций  в  сумму.

2.Как выполняется понижение степени тригонометрической функций?

Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в  произведение.

1.Выведите формулы для преобразования алгебраической суммы тригонометрических функций в  произведение.

2.При  каких значениях аргумента формулы для  суммы tgα+-tgβ не  имеют  смысла?

3.Выведите формулы для  преобразования выражений(1±cos α) и (1±sin α) в  произведение.

4.Запишите условия равенства одноименных тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции.

1.На  каком промежутке изменений аргумента задается функция y=arcsin x?

2.Дайте определение функции y=arcsin x.

3.Укажите  область значений функции y=arcsin x.

4.Постройте график функции y=arcsin x.

5.Охарактеризуйте таким же образом функции y=arcsin x, y=arctg x, y=arcctg  Построение дуги(угла)по  данному  значению тригонометрической функций. Простейшее тригонометрические  уравнения.

1.Запишите в общем  виде решение уравнения sin α=α.Приведите примеры решения  таких уравнений.

2.Приведите такой же анализ решения уравнений cos α=α, tg α=α, ctg α=α.

                   Тригонометрические  уравнения.

1.Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?

2.Что понимается под  решением тригонометрического уравнения?

3.Перечислите основные  способы решения  тригонометрических  уравнений.

4.Выведите  формулу преобразования выражений (1±cos α) и (1±sin α)в произведение.

5.Как выполняются преобразования с  помощью вспомогательного  аргумента?

ЗаданиеIII.

3.1Логарифмическая функция. (Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.(стр19)

Найдите область определения функции:

Вариант 1-№85.1;  Вариант 2-№85.2;  Вариант 3-№85.3;  Вариант 4-№85.4

Постройте график функции:

Вариант 1-№86*.1;  Вариант 2-№86*.2;  Вариант 3-№86*.3;  Вариант 4-№86.4

Прологарифмируйте выражение:

Вариант 1-№87.1;  Вариант 2-№87.2;  Вариант 3-№87.3;  Вариант 4-№87.4

Выполните потенцирование:

Вариант 1-№88.1;  Вариант 2-№88.2;  Вариант 3-№88.3;  Вариант 4-№88.4

Вычислите значение х:

Вариант 1-№89.1;  Вариант 2-№89.2;  Вариант 3-№89.3;  Вариант 4-№89.4

3.2Показательные уравнения и системы показательных уравнений. Показательные неравенства. (Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.(стр10-21)

Решите уравнения:

Вариант 1-№90.1;  Вариант 2-№90.2;  Вариант 3-№90.3;  Вариант 4-№90.4

Вариант 1-№91.1;  Вариант 2-№91.2;  Вариант 3-№91.3;  Вариант 4-№91.4

Вариант 1-№92.1;  Вариант 2-№92.2;  Вариант 3-№92.3;  Вариант 4-№92.2

Вариант 1-№93.1;  Вариант 2-№93.2;  Вариант 3-№93.3;  Вариант 4-№93.4

Вариант 1-№94.1;  Вариант 2-№94.2;  Вариант 3-№94.3;  Вариант 4-№94.4

Решите систему показательных уравнений:

Вариант 1-№95.1;  Вариант 2-№95.2;  Вариант 3-№95.3;  Вариант 4-№95.4

Решите  показательное неравенство:

Вариант 1-№96.1;  Вариант 2-№96.2;  Вариант 3-№96.3;  Вариант 4-№96.4

Решите  неравенство:

Вариант 1-№97.1;  Вариант 2-№97.2;  Вариант 3-№97.3;  Вариант 4-№97.4

3.3Логарифмические уравнения и системы логарифмических уравнений. Логарифмические неравенства. (Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.(стр22-23)

Решите уравнения:

Вариант 1-№98.1;  Вариант 2-№98.2;  Вариант 3-№98.3;  Вариант 4-№98.4

Вариант 1-№99.1;  Вариант 2-№99.2;  Вариант 3-№99.3;  Вариант 4-№99.4

Вариант 1-№100.1;  Вариант 2-№100.2; Вариант 3-№100.3; Вариант 4-№100.4

Решите систему логарифмических уравнений:

Вариант 1-№101.1;  Вариант 2-№101.2; Вариант 3-№101.3; Вариант 4-№101.4

Вариант 1-№102.1;  Вариант 2-№102.2; Вариант 3-№102.3; Вариант 4-№102.4

Решите логарифмическое неравенство:

Вариант 1-№103.1;  Вариант 2-№103.2; Вариант 3-№103.3; Вариант 4-№103.4

Вариант 1-№104.1;  Вариант 2-№104.2; Вариант 3-№104.3; Вариант 4-№104.4

3.4Тригонометрические функции (Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.(стр23-24)

А.Векторы на плоскости.

Вариант 1-№107;  Вариант 2-№109; Вариант 3-№110; Вариант 4-№113

Б.Радианное измерение дуг и углов.

Вариант 1-№107;  Вариант 2-№109; Вариант 3-№110; Вариант 4-№113

В.Числовые значения и знаки тригонометрических функций:

Вариант 1-№127.1;  Вариант 2-№127.2; Вариант 3-№127.3; Вариант 4-№127.4

Вариант 1-№128.1;  Вариант 2-№128.2; Вариант 3-№128.3; Вариант 4-№128.4

Вариант 1-№129.1;  Вариант 2-№129.2; Вариант 3-№129.1; Вариант 4-№128.2

3.5Основные тригонометрические тождества. Доказательства тождеств. (Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,

-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.(стр27-28)

Вариант 1-№133.1;  Вариант 2-№133.2; Вариант 3-№133.3; Вариант 4-№133.4

Вариант 1-№134.1;  Вариант 2-№134.2; Вариант 3-№134.3; Вариант 4-№134.4

Вариант 1-№135.1;  Вариант 2-№135.2; Вариант 3-№135.3; Вариант 4-№135.4

Вариант 1-№136.1;  Вариант 2-№136.2; Вариант 3-№136.3; Вариант 4-№136.4

3.6Построить графики функций и исследовать их:

1.D(y)-область определения;  

2.E(y)-множество её значений;

3.Проверить на чётность (нечётность);

4.Найти промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства;

5.Определить точки пересечения с осями координат и другие характерные точки

30 вариантов по 4 задания.

Цель: Закрепить навык построения степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функции, проводя частичное предварительное исследование функции.

Вариант 1.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                          У=lg(х-1)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции: У=sin 2х

Вариант 2.

Задание 1.

Построить график степенной функции: У=Х

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=sin х

Вариант 3.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                            y=cos x

Вариант 4.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                          y=tg x

Вариант 5.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=ctg x

Вариант 6.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=ctg 2

Вариант 7.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                                y=tg 2

Вариант 8.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=cos 2

Вариант 9.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                          У=lg(х-1)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                                y=sin 2

Вариант 10.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                             y=sin 4х

Вариант 11.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=cos 4x

Вариант 12.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции: y=tg 4x

Вариант 13.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                            y=ctg 4x

Вариант 14.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                         У=lg(х-2)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                            У=sin 2х

Вариант 15.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                           У=lg(х-3)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                               У=sin 3х

Вариант 16.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                        У=lg(х-4)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         У=sin 4х

Вариант 17.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                            У=lg(х-5)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                              У=sin 5х

Вариант 18.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                        У=lg(х-6)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=tg 2x 

Вариант 19.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                          y=tg 3x 

Вариант 20.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

                                                     У=-Х

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=tg  5x 

Вариант 21.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=ctg  2x 

Вариант 22.

Задание 1.

Построить график степенной функции: У=-2х

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции: y=ctg  3x

Вариант 23.

Задание 1.

Построить график степенной функции: У=-4х

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=ctg  4x 

Вариант 24.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

                                                     У=-3х

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                        y=ctg  5x 

Вариант 25.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                           y=ctg  6x 

Вариант 26.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=cos 4x

Вариант 27.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

                                                      у=ах

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                          У=lg(х+1)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=cos 3x 

Вариант 28.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                         У=lg(х+2)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=ctg 4x 

Вариант 29.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                         У=lg(х+3)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=tg 2x 

Вариант 30.

Задание 1.

Построить график степенной функции:

Задание 2.

Построить график показательной функции:

Задание 3.

Построить график логарифмической функции:

                                                       У=lg(х+4)

Задание 4.

Построить график тригонометрической функции:

                                                         y=sin 5x

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 2.3.1«Уравнения и неравенства»

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Уравнения и неравенства»».

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

  1.  Дайте определение уравнения  с одной переменной.
  2.  Как записывается в общем виде линейное уравнение?
  3.  Какие уравнения называются равносильными?
  4.  Что называется корнем уравнения?
  5.  Сформулируйте теоремы, на основании которых решаются линейные уравнения.
  6.  Какой вид имеют линейные уравнения, имеющие одно решение, не имеющие решения и имеющие бесконечное множество решений?
  7.  Какие уравнения называются дробно-рациональными?
  8.  Дайте определение модуля действительного числа.
  9.  Перечислите основные свойства модуля действительного числа.
  10.  Что называется системой двух уравнений с одной переменной?
  11.  Что называется совокупностью двух уравнений с одной переменной?
  12.  Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?
  13.  Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?
  14.  16.Что называется неравенством?
  15.  17.Какие выражения называются алгебраическими, и какие числовыми      неравенствами?
  16.  18.Что называется решением неравенства?
  17.  Какие неравенства называются равносильными?
  18.  Перечислите основные свойства неравенств.
  19.  Какие неравенства называются линейными?
  20.  Какие неравенства не имеют решения?
  21.  Какому неравенству удовлетворяет любое число?
  22.  В каких случаях решение неравенства сводится к решению совокупности неравенства?
  23.  Какие уравнения с двумя переменными называются линейными?
  24.  Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются однородными и неоднородными?
  25.  Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются совместными и несовместными? Приведите примеры.
  26.  Как решаются в общем виде система двух линейных уравнений с двумя переменными?
  27.  Как составляется определитель второго порядка и каким знаком он обозначается?
  28.  Как составляют определения X и Y?
  29.  Как записываются формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с помощью определителей?
  30.  При каком значении определителя система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет одно решение?
  31.  Как записываются условия несовместности и неопределенности решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными?
  32.  Как записываются формулы Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными?
  33.  При каком значении определителя система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет бесконечное множество решений?
  34.  Как решается система трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса?
  35.  Какое уравнение называется квадратным уравнение общего вида и какое приведенным квадратным уравнением?
  36.  Выведите формулу корней квадратного уравнения общего вида.
  37.  Какое выражение называется дискриминантом квадратного уравнения общего вида?
  38.  Как по дискриминанту определяется характер уравнения?
  39.  Какие уравнения называются неполными квадратными?
  40.  Приведите примеры неполных квадратных уравнений и укажите способы их решения.
  41.  Докажите теорему Виета о свойстве корней квадратного уравнения.
  42.  Приведите примеры решения квадратного уравнения с использованием теоремы Виета.
  43.  Как составляются квадратные уравнения по его корням?
  44.  Как можно найти знаки корней квадратного уравнения, не решая уравнение?
  45.  Какое выражение называется квадратным трехчленом и как находится его корни?
  46.  По какой формуле квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители?
  47.  Какое уравнение называется биквадратным, и как находятся его корни?
  48.  Какое уравнение называется двучленным, и как находятся его корни?
  49.  Приведите примеры частных случаев квадратной функции y=ax2+bx+c. Как называется график квадратной функции?
  50.  При каких значениях коэффициента a ветви графика функции y=ax2+bx+c направлены вверх (вниз)?
  51.  Как расположены ветви параболы по отношению к ее оси симметрии при различных значениях коэффициента a(a>1,0<a<1)?
  52.  Как найти абциссу вершины параболы, если она пересекается с осью Ox?
  53.  По каким формулам вычисляются координаты вершины любой параболы?
  54.  Какие неравенства называются квадратными неравенствами?
  55.  Перечислите возможные варианты решения квадратных неравенств графическим способом.
  56.  В каких случаях квадратное неравенство не имеет решения?
  57.  Какие неравенства можно решать методом промежутков?
  58.  Обьясните с помощью примеров применение метода промежутков при решении 
  59.  Дайте определение с одной переменной.
  60.  Как записывается в общем виде линейное уравнение?
  61.  Какие уравнения называются равносильными?
  62.  Что называется корнем уравнения?
  63.  Сформулируйте теоремы, на основании которых решаются линейные уравнения.
  64.  Какой вид имеют линейные уравнения, имеющие одно решение, не имеющие решения и имеющие бесконечное множество решений?
  65.  Какие уравнения называются дробно-рациональными?
  66.  Дайте определение модуля действительного числа.
  67.  Перечислите основные свойства модуля действительного числа.
  68.  Что называется системой двух уравнений с одной переменной?
  69.  Что называется совокупностью двух уравнений с одной переменной?
  70.  Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?
  71.  Как выполняется решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля?
  72.  Что называется неравенством?
  73.  Какие выражения называются алгебраическими и какие числовыми не равенствами?
  74.  Что называется решением неравенства?
  75.  Какие неравенства называются равносильными?
  76.  Перечислите основные свойства неравенств.
  77.  Какие неравенства называются линейными?
  78.  Какие неравенства не имеют решения?
  79.  Какому неравенству удовлетворяет любое число?
  80.  В каких случаях решение неравенства сводится к решению совокупности неравенства?
  81.  Какие уравнения с двумя переменными называются линейными?
  82.  Как решаются системы двух линейных уравнений с двумя переменными способами подстановки, алгебраического сложения ?
  83.  Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются однородными и неоднородными?
  84.  Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются совместными и несовместными? Приведите примеры.
  85.  Как решаются в общем виде система двух линейных уравнений с двумя переменными?
  86.  Как составляется определитель второго порядка и каким знаком он обозначается?
  87.  Как составляют определения X и Y?
  88.  Как записываются формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с помощью определителей?
  89.  При каком значении определителя система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет одно решение?
  90.  Как записываются условия несовместности и неопределенности решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными?
  91.  Как записываются формулы Крамера для решения системы трух линейных уравнений с тремя переменными?
  92.  При каком значении определителя система трух линейных уравнений с тремя переменными имеет бесконечное множество решений?
  93.  Как решаются система трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса?
  94.  Какое уравнение называется квадратным уравнением общего вида и какое приведенным квадратным уравнением?
  95.  Выведите формулу корней квадратного уравнения общего вида.
  96.  Какое выражение называется дискриминантом квадратного уравнения общего вида?
  97.  Как по дискриминанту определяется характер уравнения?
  98.  Какие уравнения называются неполными квадратными?
  99.  Приведите примеры неполных квадратных уравнений и укажите способы их решения.
  100.  Докажите теорему Виета о свойстве корней квадратного уравнения.
  101.  Приведите Примеры решения квадратного уравнения с  использованием теоремы Виета.
  102.  Как составляются квадратные уравнения по его корням?
  103.  Как можно найти знаки корней квадратного уравнения, не решая уравнение?
  104.  Какое выражение называется квадратным трехчленом и как находится его корни?
  105.  По какой формуле квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители?
  106.  Какие уравнение называется биквадратным и как находятся его корни?
  107.  Какое уравнение называется двучленным и как находится его корни?
  108.  Приведите примеры частных случаев квадратной функции y=ax2+bx+c. Как называется график квадратной функции?
  109.  При каких значениях коэффициента a ветви графика функции y=ax2+bx+c направлены вверх (вниз)?
  110.  Как расположены ветви параболы по отношению к ее оси симметрии при различных значениях коэффициента a(a>1,0<a<1)?
  111.  Как найти абциссу вершины параболы, если она пересекается с осью Ox?
  112.  По каким формулам вычисляются координаты вершины любой параболы?
  113.  Какие точки графика функции y=ax2+bx+c называются характеристическими?
  114.  Приведите шесть вариантов построения графика функции y=ax2+bx+c.
  115.  Какие неравенства называются квадратными неравенствами?
  116.  Перечислите возможные варианты решения квадратных неравенств графическим способом.
  117.  При каком расположении графика квадратного трехчлена решением неравенства служит множество всех действительных чисел?
  118.  В каких случаях квадратное неравенство не имеет решения?
  119.  Какие неравенства можно решать методом промежутков?
  120.  Обьясните с помощью примеров применение метода промежутков при решении неравенств.

Задание III.

3.1 Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта

3.2Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки

Цель: Проверить уровень сформированности навыка решения квадратных уравнений и систем линейных уравнений.

Вариант 1

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 2

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 3

Задание3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 4

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    
  5.  Вариант 5

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 6

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 7

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    

  1.    

Вариант 8

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 9

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 10

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 11

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 12

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    
  5.  Вариант 13

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 14

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 15

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 16

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 17

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 18

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    

  1.    

Вариант 19

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 20

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 21

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 22

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 23

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 24

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    

  1.    

Вариант 25

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 26

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Вариант 27

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 28

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 29

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

Вариант 30

Задание 3.1.

Решить квадратные уравнения двумя способами:

  1.  По дискриминанту
  2.  По теореме Виетта
  3.  
  4.  

Задание 3.2.

Решить систему линейных уравнений двумя способами:

  1.  Способом алгебраического сложения
  2.  Способом подстановки
  3.    
  4.    

3.3: Решите систему способами алгебраического сложения,подстановки и графическим:( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр11)

Вариант 1-№45.1;  Вариант 2-№45.2;  Вариант 3-№45.3;  Вариант 4-№45.4

3.4 Решите систему по формулам Крамера (стр11-12):

Вариант 1-№51.1;  Вариант 2-№51.2;  Вариант 3-№51.3;  Вариант 4-№51.4

Вариант 1-№52.1;  Вариант 2-№52.2;  Вариант 3-№52.3;  Вариант 4-№52.4

3.5 Решите систему с применением метода Гаусса:

Вариант 1-№53.1;  Вариант 2-№53.2;  Вариант 3-№53.3;  Вариант 4-№53.4

3.6  Составьте квадратное уравнение по его корням:( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр13)

Вариант 1-№58.1;  Вариант 2-№58.2;  Вариант 3-№58.3;  Вариант 4-№58.4

3.7Решите биквадратное уравнение :( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр13)

Вариант 1-№62.1;  Вариант 2-№62.2;  Вариант 3-№62.3;  Вариант 4-№62.4

3.8 Решите неравенства:( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр15)

Вариант 1-№66.1;  Вариант 2-№66.2;  Вариант 3-№66.3;  Вариант 4-№66.4

Вариант 1-№67.1;  Вариант 2-№67.2;  Вариант 3-№67.3;  Вариант 4-№67.4

Вариант 1-№69.1;  Вариант 2-№69.2;  Вариант 3-№69.3;  Вариант 4-№69.1

3.9Решите иррациональные уравнения:( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр16)

Вариант 1-№70.1;  Вариант 2-№70.2;  Вариант 3-№70.3;  Вариант 4-№70.4

Вариант 1-№71.1;  Вариант 2-№71.2;  Вариант 3-№71.3;  Вариант 4-№71.4

Вариант 1-№72.1;  Вариант 2-№72.2;  Вариант 3-№72.3;  Вариант 4-№72.4

3.10 Решите иррациональные неравенства:( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 (стр17)

Вариант 1-№74.1;  Вариант 2-№74.2;  Вариант 3-№74.3;  Вариант 4-№74.4

Вариант 1-№75.1;  Вариант 2-№75.2;  Вариант 3-№75.3;  Вариант 4-№75.4

Вариант 1-№76.1;  Вариант 2-№76.2;  Вариант 3-№76.3;  Вариант 4-№76.4

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 2.3.2 Уравнения и неравенства (графики)

Цель: Приобрести навыки использования графиков при решении уравнений  и неравенств.

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

Теоретические сведения по теме: «Уравнения и неравенства»».

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

  1.  Как графически изображается решения совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?
  2.  Как графические изображается решение системы однородных линейных уравнений с двумя переменными?
  3.  Как выполняется графическое решение линейных уравнений?
  4.  Как графически изображается линейное уравнение, имеющее одно решение, не имеющее решения и имеющее бесконечное множество решений?
  5.  Как графически изображается решение совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?
  6.  Как графические изображается решение системы однородных линейных уравнений с двумя переменными?
  7.  Как графически изображается решение системы двух линейных уравнения с двумя переменными, имеющими бесконечное множество решений? Как стоится график функции y=a(x-m)2+n?
  8.  Какие точки графика функции y=ax2+bx+c называются характеристическими?
  9.  Приведите шесть вариантов построения графика функции y=ax2+bx+c.
  10.  Укажите способы графического решения квадратного уравнения.
  11.  Как решаются квадратные неравенства графическим способом?
  12.  Перечислите возможные варианты решения квадратных неравенств графическим способом.
  13.  Как графически изображается линейное уравнение, имеющие одно решение, не имеющее решения и имеющие бесконечное множество решений?
  14.  Как решаются системы двух линейных уравнений с двумя переменными способами подстановки, алгебраического сложения и графическим?
  15.  Как графически изображается решения совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?
  16.  Как графические изображается решение системы однородных линейных уравнений с двумя переменными?
  17.  Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, имеющие бесконечное множество решений?
  18.  Как стоится график функции y=a(x-m)2+n?
  19.  Приведите шесть вариантов построения графика функции y=ax2+bx+c.
  20.  Укажите способы графического решения квадратного уравнения.
  21.  Какие неравенства называются квадратными неравенствами?
  22.  Как решаются квадратные неравенства графическим способом?
  23.  Перечислите возможные варианты решения квадратных неравенств графическим способом.

ЗаданиеIII.

Решить графическим способом квадратное уравнение и неравенство

30 вариантов по 3 задания

Вариант 1

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

Вариант 2

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3  Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

Вариант 3

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

Вариант 4

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

Вариант 5

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 6  

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 7

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 8

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 9

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 10

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 11

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 12

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 13

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 14

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 15

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 16 Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

Вариант 17

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 18

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 19

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 20

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 21

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 22

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 23

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 24

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 25

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 26

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 27

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 28

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 29

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов

Вариант 30

Задание 1 Решить квадратное уравнение графическим способом

Задание 2 Решить квадратное неравенство графическим способом

Задание 3 Решить неравенство методом промежутков (интервалов)

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 3.2 Элементы математической статистики.

Цель: Приобрести практические навыки определения вероятности повторных испытаний.

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

Теоретические сведения по теме: «Элементы математической статистики.»

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

Элементы комбинаторики.

1.Какие соединения называются размещениями?

2.Выпишите  формулу для  числа размещений из n элементов по  m.

3.Какие  соединения называются перестановками?

4.Выпишите формулу для  числа перестановок из n элементов.

5.Какие соединения называются сочетаниями?

6.Выпишите формулу для  числа сочетаний из n элементов по  m.

Элементы теории вероятности.

1.Какие  случайные события называются достоверными  и  какие невозможными?

2.Какие  события называются несовместными?

3.Какие  события называются  совместными?

4.Какие  события называются противоположным?

5.Дайте  классическое определение вероятности.

6.Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

7.Сформулируйте теорему  сложения вероятностей  совместных  событий.

8.Чему  равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

9.Что называется условной вероятностью событий?

10.Какие  события в  совокупности называются независимыми?

11.Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.

12.Сформулируйте теорему  умножения вероятностей зависимых событий.

                 Статистическое  распределение выборки.

1.В чем  заключается задача математической статистики?

2.Что  называется выборкой?

3.Дайте определения генеральной совокупности и  обьема совокупностию

4.Как различаются  выборка с  возращением и  выборка без возвращения?

5.Охарактеризуйте возможные  способы выбора.

6.Дайте определение эмпирической функции распределения.

7.Что называется полигоном частот и гистограммой частот?

ЗаданиеIII.

3.1Выполните задание согласно своего варианта

30 вариантов по 2 задания

Вариант 1

Задание 1: Найти число размещений из 10 элементов по 4

Задание 2: Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов 1)не превышало 100; 2)было меньше 200?

Вариант 2

Задание 1: Найти число размещений из n+4 элементов по n-2

Задание 2: Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Вариант 3

Задание 1: Решить уравнение

Задание 2: Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

Вариант 4

Задание 1: Составить всевозможные перестановки из 1 элемента

Задание 2: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 без повторений?

Вариант 5

Задание 1: Составить всевозможные перестановки из 5,6 элементов

Задание 2: Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 7 местам?

Вариант 6

Задание 1: Составить всевозможные перестановки из a, b, c элементов.

Задание 2: Вычислите

Вариант 7

Задание 1: Вычислить значение выражения 5!+6!

Задание 2: Вычислите

Вариант 8

Задание 1: Вычислить значение выражения

Задание 2: Вычислите

Вариант 9

Задание 1: Вычислить:

Задание 2  : Вычислите

Вариант 10

Задание 1 : Вычислить  

Задание 2: Проверьте равенство:

Вариант 11

Задание 1: Решить систему уравнений:

Задание 2: Проверьте равенство:

Вариант 12

Задание 1:

Задание 2: Число сочетаний их n элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из n+2 элементов по 4.Найдите n.

Вариант 13

Задание 1: Найдите число размещений: .

Задание 2: Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Вариант 14

Задание 1 : Вычислите:

Задание 2: Решите систему уравнений:

Вариант 15

Задание 1: Вычислите:

Задание 2: Решите систему уравнений:

Вариант 16

Задание 1: Вычислите:

Задание 2: В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Вариант 17

Задание 1: 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Задание 2: Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Вариант 18

Задание 1: Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Задание 2: Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Вариант 19

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Вариант 20

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1,2 или 3 сорта?

Вариант 21

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.

Вариант 22

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

Вариант 23

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

Вариант 24

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов два окажутся выигрышными.

Вариант 25

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2:  В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Вариант 26

Задание 1: Решите уравнение:

Задание 2: Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 27

Задание 1: Составьте всевозможные перестановки из букв: a, b, c, d.

Задание 2: В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 28

Задание 1: Вычислите значения следующих выражений:

Задание 2: В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

Вариант 29

Задание 1: Вычислите значения следующих выражений:

Задание 2: Найдите вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 30

Задание 1: Вычислите значения следующих выражений: 6!(7!-3!)

Задание 2: В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

3.2 Найти вероятность событий.

1 вариант.

В лотерее  из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что билет выигрышный?

2 вариант.

Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

3 вариант.

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

4 вариант

В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными.

5 вариант.

В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1, 2 или 3 сорта?

6 вариант.

В урне находится 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

7 вариант

Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

8 вариант

В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей).

Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4  билетов два окажутся выигрышными

9 вариант.

В лотерее  из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что билет выигрышный?

10 вариант.

Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

11 вариант.

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

12 вариант

В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными.

13вариант.

В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1, 2 или 3 сорта?

14 вариант.

В урне находится 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

15 вариант

Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

16 вариант

В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей).

Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4  билетов два окажутся выигрышными

17 вариант.

В лотерее  из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что билет выигрышный?

18 вариант.

Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

19 вариант.

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

20 вариант

В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными.

21 вариант.

В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1, 2 или 3 сорта?

22 вариант.

В урне находится 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

23 вариант

Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.

24 вариант

В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей).

Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4  билетов два окажутся выигрышными

25 вариант.

В лотерее  из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что билет выигрышный?

26 вариант.

Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

28 вариант.

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

29 вариант

В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными.

30вариант.

В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1 сорта, 200 деталей 2 сорта и 50 деталей 3 сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь 1, 2 или 3 сорта?

3.3Решить пример на сложение вероятностей.

Вариант-1.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант-2.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

Вариант 3.В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 4. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным .

Вариант 5.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 6.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант 7.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

Вариант 8.В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 9. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным .

Вариант 10.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 11.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант 12.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

Вариант 13.В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 14. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным .

Вариант 15.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 16.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант 17.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

Вариант 18.В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 19. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным .

Вариант 20.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 21.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант 22.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

Вариант 23.В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 24. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным .

Вариант 25.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Вариант 26.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых  деталей окажется стандартной.

Вариант 27.Найти вероятность того, что наудачу взятой двузначное число откажется кратным либо, 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.                            

4 стандартных .Контролер взял наудачу 3 детали .Найдите вероятность того , что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Вариант 29. В урне находится 10 белых, 15 черных , 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар откажется : 1) белым ;2) черным или красным

Вариант 30.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 4.1 Прямые и плоскости в пространстве

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3.Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Прямые и плоскости в пространстве»

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Параллельность прямых a и b обозначается так:

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Скрещивающиеся прямые.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Параллельность трёх прямых.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Прямые и плоскости в пространстве.

Значение коэффициента

Вид уравнения

Положение прямой

1. C=0

Проходит через начало координат

2. A=0

3.B=0

4. A=C=0

B=C=0

Совпадает с

с

Векторное уравнение прямой:

Каноническое уравнение:

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Расстояние между двумя точками:

Параллельность двух прямых:

Точка пересечения двух прямых:

                                                   

                     

                  

Перпендикулярность двух прямых:

Угол между двумя прямыми:

Параллельность прямой и плоскости.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой и плоскости обозначается так:

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна                какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только  одна.

Утверждения: 

  1.  Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
  2.  Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

 

Теорема: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Перпендикуляр и наклонные.
Угол между прямой и плоскостью.

Теорема: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к её проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой лежащей в плоскости.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Двугранный угол.                                                                             Перпендикулярность плоскостей.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой  и двумя полуплоскостями с общей границей , не принадлежащими одной плоскости.

Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную к ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называется линейным углом двугранного угла.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен .

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Задание II.

Ответьте на контрольные вопросы (письменно):
1.Дайте определение  вектора.

2.Какие  векторы называются коллинеарными?

3.Какие векторы называются равными?

4.Как производится сложение и  вычитание вектора?

5.Дайте  определение угла  между  векторами.

6.Дайте определение угла между вектором и  осью.

7.Какой  вектор называется единичным?

8.Как находится  проекция вектора  на  ось?

9.Как  записываются координаты радиуса-вектора?

10.Как записывается формула разложения радиуса-вектора по координатным осям?

11.Перечислите правила действий над  векторами, заданными своими координатами.

12.Сформулируйте условие коллинеарности двух  векторов.

13.Как вычисляется длина  вектора?

14.Как  вычисляются углы, образуемые вектором с  осями  координат?

15.Дайте определение скалярного произведения двух  векторов.

16.Сформулируйте условие перпендикулярности двух  векторов.

17.Как  выражается скалярное произведение двух векторов через их  координаты?

18.По какой формуле вычисляется угол между двумя векторами?

          Метод  координат.

1.Как определяется положение точки на  плоскости?

2.Как  вычисляется расстояние между  двумя  точками?

3.Как  определяется середина  отрезка между двумя данными  точками?

4.Как находится точка, делящая отрезок в данном отношении?

           Управления  .

1.Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат, а также осей координат.

2.Запишите уравнение прямой, проходящей через начало координат.

3.В каких случаях угловой коэффициент является  величиной положительной и в  каких отрицательной?

4.Запишите уравнение прямой с  угловым коэффициентом и  начальной  ординатой.

5.Проведите исследование общего уравнения прямой, перечислите частные случаи.

6.Какими способами можно построить прямую Ax+By+С=0?

7.Выведите уравнение прямой в  отрезках  на осях.

8.Как построить прямую, используя уравнение прямой  в  отрезках  на  осях?

                         Система прямых.

1.Выпишите  уравнение пучка прямых.

2.Выпишите уравнение прямой, проходящей через две  данные точки.

3.Как  можно  вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через две  данные точки?

4.Как  вычисляется  угол  между двумя  прямыми через их угловые коэффициенты?

5.Сформулируйте условие параллельности двух  прямых.

6.Сформилируйте условие перпендикулярности двух  прямых.

7.Как  находится точка пересечения двух  прямых?

8.Как  найти расстояние от данной  точки до  прямой?

ЗаданиеIII.

3.1Решить задачу: .( Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-    2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005 стр122-123)

Вариант 1- №655 .1;  Вариант 2-№655.2;  Вариант 3-№655.

Вариант 4-№655.4; Вариант 5-655.5; Вариант 6-№655.6;

Вариант 7-№655.7; Вариант 8-№655.8;  Вариант 9-. №655.9;

Вариант 10-№656.1;

Вариант 11

1. №656.2

Вариант 12

1. №656.3

Вариант 13

1. №656.4

Вариант 14

1. №656.5

Вариант 15

1. №656.6.а

Вариант 16

1. №656.6.б

Вариант 17

1. №656.6.в

Вариант 18

1. №6556.6.г

Вариант 19

1. №656.6.д

Вариант 20

1. №655.7.а

Вариант 21

1. №656.7.б

Вариант 22

1. №656.7.в

Вариант 23

1. №656.7.г

Вариант 24

1. №656.7.д

Вариант 25

1. №655.7

Вариант 27

1. №6556.6.г

Вариант 28

1. №656.6.в

Вариант 29

1. №656.6.б

Вариант 30

. №656.6.а

Тема 4.2:   Многогранники

Цель : Закрепить теоретические знания по теме, приобрести практические навыки построения и нахождение, сечений многогранников.

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

Теоретические сведения по теме: «Многогранники»».

Прямоугольный параллелепипед.

Свойства:

  1.  В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
  2.  Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми.

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Следствие: Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

  

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):                                                                                                                                                                               

 1.Что называется  многогранником?

2.Что  называется гранями, ребрами и  вершинами многогранника?

3.Какой многогранник называется  призмой?

4.Что называется диагональю, высотой и  диагональным сечением призмы?

5.Какая  призма называется прямой?

6.Какая  призма называется  правильной?

                                         Параллелепипед.

1.Какая  фигура называется параллелепипедом?

2.Какая фигура называется кубом?

3.Какие  свойства параллелепипеда следуют  из  того, что эта фигура является частным случаем призмы?

4.Сформулируйте свойства противолежащих граней параллелепипеда.

5.Сформулируйте свойства диагонали параллелепипеда.

                                        Пирамида.

1.Что  называется пирамидой? Ее вершиной? Основанием? Высотой?

2.Что  называется диагональным сечением  пирамиды?

3.Какая  пирамида называется  правильной?

4.Сформулируйте теорему о  свойстве параллельных сечений пирамиды.

5.Что  называется усеченной  пирамидой?

6.Что  называется правильной усеченной пирамидой?

ЗаданиеIII.

30 вариантов по 5заданий

Вариант 1.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей  равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 2.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м.  Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 3.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см.Найти  а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 4.

1) 1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ  равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 5.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 6.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 7.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см. а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 8.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 9.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 10.

1)В правильном n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 11.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей  равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 12.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м.  Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 13.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см.Найти  а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 14.

1) 1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ  равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 15.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 16.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 17.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см. а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 18.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 19.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант20.

1)В правильном n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 21.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей  равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 22.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м.  Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 23.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см.Найти  а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 24.

1) 1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ  равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 25.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 26.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Вариант 27.

1)В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=6, a=23, h=5.

2)Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; AD перпендикулярно  к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонено к плоскости основания под углом 45.Наибольшее боковое ребро равно 12 см. а)высоту пирамиды; б)Площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН равно 9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

5)В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Вариант 28.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=5, a=0,4, h=10.

2) Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30 и 45. Найдите площадь поверхности пирамиды

3) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный  треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует  угол в 60 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

5)Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основанием 25 см и 9 см и высотой  8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребер призмы.

Вариант 29.

1)В правильной  n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=3, a=10, h=15.

2)Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота основания равна 7см.

3) Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45 . Найдите S боковой поверхности пирамиды.

4)Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см.

а)Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

б)Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен  42 см.

5) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция  с основанием 6 см и 4 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамида равно 13 см. Найдите её высоту.

Вариант 30.

1)В правильном n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхности призмы: если  n=4, a=12, h=8.

2)Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 и 4 м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3)Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

4)Основанием пирамиды является равнобедренный  треугольник с углом 120. Боковые ребра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45. Найдите площадь основания пирамиды.

5)Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 4.3: Тела и поверхности вращения


Цель: Закрепить теоретические знания по данной теме, приобрести практические навыки вычисления площадей цилиндра, конуса, шара; основания, высоты, боковой поверхности.

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

Теоретические сведения по теме: «Тела и поверхности вращения»».

Задание II.

Ответьте  на контрольные вопросы (письменно):

ЗаданиеIII.


30 вариантов по 3 задания

Вариант 1.

1.Найти площадь сечения цилиндра, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от неё, если его высота 6см, радиус основания 5см.

2.Найти образующую конуса, если радиус его основания 3м, высота 4м.

3.Найти радиус шара, если две касательные к этому шару образуют угол в 120, обращённый к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности шара между точками касания 70см.

Вариант 2.

1. Определить радиус основания и высоту цилиндра, если его высота на 10см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144.

2.Определить площадь полученного сечения конуса, у которого высота равна радиусу основания R, проведена через вершину плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в .

3.Определить площадь сечения шара, радиус которого равен 41 дм, пересечён плоскостью на расстоянии 9 дм от центра.

Вариант 3.

1.Определить радиус круга, равновеликого полной поверхности этого цилиндра, если радиус основания r=2см, а высота h=7см.

2.Найти площадь сечения, проведённого через две взаимно перпендикулярные образующие, если высота конуса H, угол между высотой и образующей равен 60.

3.Найти объем стенок, если внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см.

Вариант 4.

1.Найти объём правильной вписанной в этот цилиндр восьмиугольной призмы, если диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра ( в осевом сечении- квадрат) равна а.

2.Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

3.Определить боковую поверхность и объём усеченного конуса, описанного около шара, если его образующая равна 13см, а радиус шара 6см.

Вариант 5.

1.Найти отношения боковых поверхностей цилиндра и призмы, если в цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

2.Найти образующую  конуса, если радиус основания 3 м, а высота 4м.

3.Найти радиус описанного шара, если высота правильной четырёхугольной призмы 2 см, сторона основания 4 см.

Вариант 6.

1.Определить полную поверхность подвала, если полуцилиндрический его свод  имеет 6м длинны и 5,8м в диаметре.

2.Найти высоту конуса, если его образующая L наклонена к плоскости основания под углом в 30.

3.Найти диаметр описанного шара, если боковое ребро правильной треугольной призмы 2м, сторона основания 3м.

Вариант 7.

1.В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 120. Длинна оси h=10см; её расстояние от секущей плоскости а =2см. Определить площадь сечения.

2.Найти площадь конуса, если радиус основания R, осевым сечением служит  прямоугольный треугольник.

3.Найти радиус вписанного шара, если высота конуса 8м, образующая 10м

Вариант 8.

1.Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5дм. Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получится квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

2.Найти угол наклона образующий к основанию, если отношения площади основания конуса к площади осевого сечения равно .

3.Определить поверхность шара, если в нём проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 49 и 4 , а расстояние между ними 9 дм.

Вариант 9.

1.Найти S бок, если диаметр основания цилиндра равен 1; высота равна длине окружности основания.

2.Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

3.Найти поверхность шара, если площадь большого круга равна 1 м2.

Вариант 10.

1.Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5дм. Концы данного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси.

2.В равностороннем конусе (в осевом сечении - правильный треугольник) радиус основания R. Найти площадь сечения.

3.В шар, радиус которого 14 см, вписана правильная треугольная призма; диагональ его боковой грани 26 см. найти сторону основания призмы.

Вариант 11.

1.Определить полную поверхность равностороннего цилиндра, если боковая поверхность P=50см2 ().

2.Высота конуса H . Угол между высотой и образующей равен 60. Найти площадь сечения проведённого через две взаимно перпендикулярные образующие.

3.Высота правильной шестиугольной призмы 8м. Диагональ  боковой грани 13 м. Найти радиус описанного шара.

Вариант 12.

1.Найти Sбок.,  ,если диаметр основания цилиндра равен 1; высота равна длине окружности основания.

Поверхность конического шпиля башни равна 250 м2, диаметр основания 9м. Найти высоту шпиля.

3.Найти поверхность шара, если площадь большого круга равна 1м2.

Вариант 13.

1.Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7м. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его находятся на окружностях оснований. Найти сторону квадрата.

2.Определить вершину поверхности, полученной вращением хорды около диаметра, выходящего из неё конца,  если диаметр равен 25 см, а хорда равна 20 см.

3.Найти площадь основания, если кривая поверхность полушара на М более площади его основания.

Вариант 14.

1.В цилиндре радиус основания r =2 см, а высота h= 7 см. определить радиус круга равновеликого полной поверхности этого цилиндра.

2.Найти полную поверхность конуса если высота h=4, образующая a=5.

3.Поверхность шара равна 225. Определить его объём.

Вариант 15.

1.Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии  4 см от неё.

2.Найти боковую поверхность конуса, если его высота h=6 см, радиус основания r=8 см.

3.Радиус шара 9 дм. В него вписана правильная четырехугольная призма, высота которой 14 дм. Найти сторону основания призмы.

Вариант 16.

1.В цилиндре проведена параллельно оси плоскость отсекающая от окружности основания дугу 120. Длинна оси h= 10 см; её расстояние от секущей плоскости  а=2 см. определите площадь сечения.

2.а) Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найти угол между образующей и высотой конуса.

б) радиус сектора равен 3м; его угол 120. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найти радиус основания конуса.

3.В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 492  и 4 м2, а расстояние  между ними 9дм. Определить поверхность шара.

Вариант 17.

1.Высота цилиндра 6дм, радиус основания 5дм. Концы данного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси.

2.В данном конусе радиус основания r=39см, а высота h=52см. в него вписан цилиндр такой высоты, что его боковая поверхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего  на его верхнем основании. Определить высоту цилиндра.

3.Ребра прямоугольного параллелепипеда 4 см, 6см,12 см. Найти радиус описанного шара.

Вариант 18.

1.В цилиндре радиус основания r =2 см, а высота h = 7 см. определить радиус круга равновеликого полной поверхности этого цилиндра.

2.Найти полную поверхность конуса если высота h=4, образующая a=5.

3.Поверхность шара равна 225. Определить его объём.

Вариант 19.

1.Определить радиус основания и высоту цилиндра, если его высота на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144.

2.Определить площадь полученного сечения конуса, у которого высота равна радиусу основания R, проведена через вершину плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в .

3.Определить площадь сечения шара, радиус которого равен 41 дм, пересечён плоскостью на расстоянии 9 дм от центра.

Вариант 20.

Вариант 21.

1.В цилиндре радиус основания r =2 см, а высота h= 7 см. определить радиус круга равновеликого полной поверхности этого цилиндра.

2.Найти полную поверхность конуса если высота h=4, образующая a=5.

3.Поверхность шара равна 225. Определить его объём.

Вариант 22.

1.Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5дм. Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получится квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

2.Найти угол наклона образующий к основанию, если отношения площади основания конуса к площади осевого сечения равно .

3.Высота конуса 8 м, образующая 10. Найти радиус вписанного шара.

Вариант 23.

1.В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. определить полную поверхность этого цилиндра.

2.Боковая поверхность конуса содержит 80 см2; угол в её развёртке равен 11230. Определить площадь основания.

3.Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6см, 8см и 10см. высота призмы 24см. Найти радиус описанного шара.

Вариант 24.

1.Определить полную поверхность подвала, если полуцилиндрический его свод  имеет 6м длинны и 5,8м в диаметре.

2.Найти высоту конуса, если его образующая L наклонена к плоскости основания под углом в 30.

3.Найти диаметр описанного шара, если боковое ребро правильной треугольной призмы 2м, сторона основания 3м.

Вариант 25.

1.Определить полную поверхность равностороннего цилиндра, если боковая поверхность P=50см2 ().

2.Высота конуса H . Угол между высотой и образующей равен 60. Найти площадь сечения проведённого через две взаимно перпендикулярные образующие.

3.Высота правильной шестиугольной призмы 8м. Диагональ  боковой грани 13 м. Найти радиус описанного шара.

Вариант 26.

1.Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7м. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его находятся на окружностях оснований. Найти сторону квадрата.

2.Определить вершину поверхности, полученной вращением хорды около диаметра, выходящего из неё конца,  если диаметр равен 25 см, а хорда равна 20 см.

3.Найти площадь основания, если кривая поверхность полушара на М более площади его основания.

Вариант 27.

1.В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. определить полную поверхность этого цилиндра.

2.Боковая поверхность конуса содержит 80 см2; угол в её развёртке равен 11230. Определить площадь основания.

3.Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6см, 8см и 10см. высота призмы 24см. Найти радиус описанного шара.

Вариант 28.

1.Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5дм. Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получится квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

2.Найти угол наклона образующий к основанию, если отношения площади основания конуса к площади осевого сечения равно .

3.Шар радиуса R=10см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12см. Найти полную поверхность тела.

Вариант 29.

1.В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти отношение боковых поверхностей цилиндра и призмы.

2.Определить величину поверхности, полученной  вращением хорды около диаметра, выходящего из её конца, если диаметр равен 25см, а хорда равна 20см.

3.Радиус шара равен 5см. определить его поверхность (  ).

Вариант 30.

1.В цилиндре проведена параллельно оси плоскость отсекающая от окружности основания дугу 120. Длинна оси h= 10 см; её расстояние от секущей плоскости а=2 см. определите площадь сечения.

2.а) Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найти угол между образующей и высотой конуса.

б) радиус сектора равен 3м; его угол 120. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найти радиус основания конуса.

3.  В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 492  и 4 м2, а расстояние  между ними 9дм. Определить поверхность шара.

Критерии оценки результатов

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

  1.  уровень освоения учебного материала;
  2.  умение использовать теоретические знания и практические умения при выполнении профессиональных задач;
  3.  уровень сформированности общих и профессиональных компетенций.




1. Методичні вказівки з фізики для вступників до НУК- СС Коваль, ВВ Кондратенко
2. Дипломная работа бакалавра
3. на тему Эпоха промышленного переворота и ее отражение в экономических исследованиях Д
4. тема являлась частью Единой энергетической системы СССР российский опыт энергосбережения представляет не
5. Ластандырушы заттар~а тек улы заттар ~ана емес зиянды емес немесе а~за~а ~ажет затты~ оптималды консентрац
6. Налог как экономическая и правовая категория
7. бомбардировала сознание людей проявилась в поэзии концептуалистов подчеркнуто отстраненной бесчувстве
8. Медовик Разработал- ученица 8 б класса Зайцева Настя Руководитель- учитель технологии М
9. задание- представить описания личностных особенностей коллег по работе 3х человек связанных с проявлениям
10. Легкая атлетика
11. Назначение гидроэнергетических установок Базовыми составляющими гидроэнергетики в целом являются гидр
12. Обозначенные признаки можно заметить когда ребенок только начинает развиваться то есть до трехлетнего воз
13. Электробезопасность для специальности 140211 Классификация электроустановок и помещений в отношен1
14. ВВЕДЕНИЕ 4 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ВОДОСБОРНОЙ ПЛОЩАДИ 5 2 ГИДРОЛОГИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ 6
15. Варианты контрольных работ по курсу История олимпийского движения 1
16. Методические рекомендации по дисциплине безопасность жизнедеятельности и медицина катастроф для студентов
17. е гг Утверждение что развал коммунизма и перемены в международной системе открыли новую фазу конфликтов1
18. Нормы употребления терминов, заимствованных и универсальных слов
19. Тема- Асиметричні шифри та їх криптоаналіз Мета роботи Практично освоїти шифрування та дешифрування
20. і М~ны~ арысы Батысты~ берісі Ресейді~ озы~ м~дениеті мен ~ылымынан кенже келе жат~ан ~аза~ ~о~амына игі ы

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе