Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 3.
Тема 3.
Определения, основные теоремы и правила вычисления пределов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. 1. -окрестностью точки называют симметричный интервал
(3.1)
Где параметр характеризует размер интервала (рис.1).
( )
рис.1
запись
(3.2)
означает-окрестность точки , которая не содержит самой точки (рис.2)
( )
рис.2
Если размер -окрестности неограниченно уменьшать до нуля, то любые точки из этой окрестности будут сколь угодно близко приближаться к точке , но никогда не будут равны точке . Кратко это будем записывать формулой
(3.3)
Значение функции в точке. Рассмотрим функцию, заданную формулой . Всякая формула есть указание тех математических операций, которые нужно произвести над переменной величиной . Чтобы вычислить значение функции в конкретной точке принадлежащей области определения функции нужно подставить число вместо переменной в формулу функции и произвести вычисления задаваемые формулой.
Пример 3.1. Вычислить значения функции в точках .
Решение. Число 1 не принадлежит области задания функции. Поэтому значение
функции в точке вычислить невозможно. Значение функции в точке легко вычисляется . В более сложных случаях для вычисления значения функции используют калькулятор.
Интервал , лежащий на оси , будем далее называть (по аналогии с окрестностью)-окрестностью точки . Длина этого интервала равна и тем меньше, чем меньше число .
По аналогии с формулами (3.1) и (3.2), если все значения функции принадлежат интервалу , то запись будет выглядеть так
(3.4)
Если параметр неограниченно уменьшать до нуля, то все значения из (3.4) будут
сколь угодно близки к числу . По аналогии с формулой (3.3) можно записать
Прежде чем давать формальное определение предельного значения функции в точке
рассмотрим два примера, использующие ту же методику.
Пример 3.2. Пусть в некотором процессе формула даёт зависимость объёма тела от времени. Оказалось, что рабочий объём тела достигается через от начального момента времени . Требуется указать границы временного интервала, при котором объём тела отличается от рабочего на 0.1.
Решение. Вычисляем рабочий объём тела Объём должен отличаться от рабочего объёма не более чем на 0.1. Отсюда
Таким образом, объём будет отличаться от рабочего на величину 0.1мтолько во временном промежутке.
Пример 3.3. Возьмём произвольно малое положительное число . Требуется указать границы временного интервала, в котором объём тела отличается от рабочего объёма не более, чем на . По условию задачи имеем
Таким образом, чтобы объём отличался от необходимого не более, чем на величину нужно, чтобы время действия укладывалось в интервал.
То есть если , то .
Проанализируем полученный результат: для любого малого найдётся величина , что неравенство выполняется для всякого момента времени удовлетворяющего неравенству , где .
Следующее определение является фундаментальным.
Определение 3. 2. Функция имеет предельным значением число в точке , если для любого малого числа , найдется число , что если то все значения функции с этими аргументами будут принадлежать интервалу
если (3.5)
Замечание. Для вычисления значения функции в точке нужна только одна точка Вычисление предельного значения предполагает задание функции на каждом малом интервале слева от точки и справа от точки . Поэтому вычисление значения и предельного значения функции независимы друг от друга.
Определение 3.3. Если для любого большого положительного числа найдётся окрестность что для всякого аргумента из этой окрестности, значение функции будет М, то пишут .
Определение 3.4. Если для любого большого отрицательного числа найдётся окрестность что для всякого аргумента из этой окрестности, значение функции будет, то пишут
Определение 3.5. Если значение функции в точке равно числу то пишут
(3.6)
Если предельное значение функции в точке равно , то будем писать:
(3.7)
Определение 3.6. Левое предельное значение функции в точке вычисляют на
левом интервале . Аналитическая запись левого предельного значения функции имеет вид
(3.8)
Определение3.7. Правое предельное значение функции в точке вычисляют на правом интервале . Аналитическая запись правого предельного значения функции имеет вид
(3.9)
Пример 3.4. Используя график функции, вычислить значение функции, левое и правое предельные значения функции в точке.
Приведём эскиз графика данной функции (рис.3)
рис.3
Решение. Значение функции в точке равно 4. Любая точка, лежащая на данном графике, имеет координаты . Используя рисунок, определяем левое предельное значение. Если аргумент , при неограниченном уменьшении до 0, абсцисса графика приближается слева вдоль осисколь угодно близко к ,то ордината точки графика согласно рисунку неограниченно приближается к предельному значению 2. Следовательно, мы можем записать (см. (3.8)) Аналогично, используя рисунок, определяем правое предельное значение. Если аргумент , при неограниченном уменьшении до 0, абсцисса приближается справа вдоль оси сколь угодно близко к , то ордината точки графика согласно рисунку неограниченно приближается к предельному значению 1. И мы можем записать (см. (3.9))
ТЕОРЕМА 3.1.
ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ СУЩЕСТВУЕТ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА КОГДА ЛЕВОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАВНО ПРАВОМУ ПРЕДЕЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ.
На рис.4 приведён пример графика функции, у которой не существует предельного значения в точке . Так как
рис.4
На рис.5 приведён пример графика функции, у которой существует предельное значение в точке . Так как , то .
рис.5
Пример 3.5. Найти значение и предельное значение функции
в точке .
Решение. Значение аргумента равное 3 не входит в область задания функции. Поэтому функция не имеет значения в точке 3. Проверим, имеет ли наша функция левое предельное значение.
Пусть . Умножим обе части неравенства на 2 . Прибавим к обеим частям неравенства 3Отсюда получаем, что если . Устремляя параметр к нулю видим, что при значения функции . Следовательно, левое предельное значение равно .
Проверим, имеет ли наша функция правое предельное значение. Пусть. Умножим обе части неравенства на 2. Прибавим к обеим частям не равенства 3.Отсюда получаем, что если . Устремляя параметр к нулю видим, что при значения функции . Следовательно, правое предельное значение равно. По теореме 3. 1 предельное значение существует и .
Вывод. Значения функции в точке 3 не существует. Предельное значение в точке 3 равно 9.
Пример 3.6. Вычислить значение и предельное значение функции в точке
Решение. Значение функции в точке существует и равно0. Исследуем имеет ли функция в точке предельное значение
Начинаем исследование с проверки существования левого предельного значения. Рассмотрим интервал слева от точки . Умножим обе части равенства на 2 . Получаем
отсюда, что если . Устремляя параметр к нулю видим, что при слева значение функции . Следовательно, левое предельное значение функции равно .
Проверим существование у функции правого предельного значения. Рассмотрим интервал справа от точки . Умножим обе части равенства на (-3) и прибавим к обеим частям неравенства число 1. Получаем отсюда, что если. Устремляя параметр к нулю видим, что при справа значение функции. Следовательно, правое предельное значение функции равно.
Сравнивая левое и правое предельные значения убеждаемся, что наша
функция по теореме 3.1 не имеет предельного значения в точке .
Вывод. Значение функции в точке равно 0, а предельное значение в точке не существует.
Пример 3.7. Вычислить значение и предельное значение функции в точке .
Решение. В отличие от функции из примера 3.5 данная функция определена всюду. Значение функции в точке равно . Предельное значение в точке существует (мы его вычислили в примере 3.5). .
Вывод. Значение функции в точке 3 совпадает с предельным значением в точке 3 .
Далее для краткости будем вместо предложения «предельное значение функции в точке » писать «предел функции в точке».
На практике пределы вычисляются с помощью правил, которые называются алгоритмами. Основные алгоритмы о пределах, используемые при решении различных задач дают нам следующие теоремы
Теорема 3.2.
2. Если и то:
а) существует предел функции в точке и равен
;
б) существует предел функции в точке и равен
;
в) существует предел функции в точке и равен
;
г) предел функции в точке равен
, при .
Следующая теорема говорит нам о том, что в неравенствах можно переходить к пределу и
при этом знак неравенства сохраняется.
Теорема 3.3
1. Если и существует - окрестность точки , для каждого из которой справедливо неравенство , то .
2. Если и существует - окрестность точки , в которой для каждого справедливо, то существует предел функции в точке и также равен : .
Следующая теорема очень часто используется при вычислении различных пределов
Теорема 3.4.
2. У любой базовой элементарной функции предельное значение в точке и значение функции в точке совпадают. То есть если базовая элементарная функция , то .
Пример 3.8. Пусть .
Вычислить:
а) ; в)с) ;
d) ; e) ; f) ;
Решение. а)
Для решения пункта а) использовали теорему3.2 . Пункты в) и с) предлагаем решить самостоятельно.
Решаем пункт ): =
Для решения пункта ) использовали теорему 3.2 . Пункт е) предлагаем решить самостоятельно.
Решаем пункт.
Для решения пункта ) использовали теорему 3. 2 .
Определение 3.8. назовём пределом функции при если для любого малого числанайдется положительное число, что при всех аргументах все значения функции. Это записывают так:
(3.10)
Определение3.9. назовём пределом функции при если для любого малого числанайдется большое отрицательное число , что при всех аргументах все значения функции . Это записывают так:
(3.11)
Пример 3.9. Докажем, что 1); 2).
Докажем 1). Нужно доказать, что какую бы малую окрестность нуля ни взять, всегда найдётся число , что при любом функция . Так как аргумент ,то со временем он примет значение большее чем , то есть . А это значит, что . Следовательно, для любого малого интервала как только . По определению 3.8 это означает .
Формула 2) доказывается аналогично.
Следствие. Для любого целого числа .
Определение 3.10. Прямая называется правой горизонтальной асимптотой графика функции при, если выполняется условие (3.10). Прямая называется левой горизонтальной асимптотой графика функции, если выполняется условие (3.11).
Из определений горизонтальных асимптот следует, что при удалении аргумента от начала координат к график функции неограниченно приближается к асимптоте.
Пример 3.9. Прямая является двусторонней асимптотой для функции при . Действительно
Аналогично
Определение3.11. Прямая линия называется левой вертикальной асимптотой, если выполняется условие :
(3.12)
Прямая линия называется правой вертикальной асимптотой, если выполняется условие:
(3.13)
Контрольные вопросы.
.
2) на бесконечности.
IV. Дайте определение бесконечного предельного значения функции в конечной
точке.
асимптотой.
Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены решения упражнений и ответы.
Задачи для самостоятельного решения. Вычисление пределов.
Упражнение3.1 . Используя эскиз графика функции
вычислить значение функции, левое и правое предельные значения функции в точке.
Упражнение 3 .2. Пусть
Вычислить:
Упражнение 3.3. Пусть переменная удовлетворяет неравенству
1) 2)
На числовой прямой укажите множества, которым принадлежит переменная.
Упражнение 3.4. Используя график функции вычислить приближенно значения функций, левые и правые предельные значения функций в точке
1) 2) 3)
Упражнение 3.5 . Пусть.
Вычислить:
Упражнение 3.6. Используя результаты теорем 3.2, 3.3 вычислить указанные пределы и значения функции в предельных точках
Упражнение 3.7. Используя результаты теорем 3. 2, 3.3 вычислить указанные пределы
Упражнение 3.8. Вычислить указанные пределы
Упражнение 3.9. Вычислить указанные пределы
Упражнение 3.10. Вычислить и написать уравнения горизонтальных асимптот к графикам функций
Упражнение3.11. Вычислить и написать уравнения вертикальных асимптот к графикам функций