Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
См. [8, стр. 272]
Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в области G={0<x<1,0<tT}:
, (22.1)
со следующими начальным и граничными условиями:
u(x,0) = u0(x) , (22.2)
u(0,t) = 1(t), u(1,t) = 2(t). (22.3)
Определим равномерную сетку h с шагом h по пространственной перменной и шагом по временной переменной. Для сеточной функции y(x,t) введем обозначение yin=y(xi,tn), где i = 0...N (hN = 1), n = 0...K (K=T). Правую часть заменим приближенно сеточной функцией in.
Явная разностная схема для уравнения (22.1) будет выглядеть следующим образом:
. (22.4)
Уравнение (22.4) решается по слоям, соответствующим моментам времени. Если решение найдено на слое n, то решение на слое n+1 вычисляется по явной формуле.
Утверждение 22.1. Схема (22.4) устойчива только при условии
. (22.5)
Чисто неявной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида
. (23.1)
Данная схема также решается послойно; и на каждом (n+1)-ом слое приводит к трехдиагональной системе с количеством неизвестных (N - 1).
Утверждение 23.1. Схема (23.1) абсолютно устойчива.
Утверждение 23.2. Схема (23.1) имеет первый порядок аппроксимации как по и второй порядок а по h, если только in = f(xi,tn+1)+O(+h2).
Шеститочечной симметричной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида
. (24.1)
Данную схему также можно решать методом прогонки.
Утверждение 24.2. Схема (24.1) имеет второй порядок аппроксимации как по , так и по h, если только in = f(xi,tn+0.5)+O(2+h2).
См. [1, стр. 60], [8, cтр. 286].
Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие три шага:
1. Заменить область непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой).
2. Заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором.
3. Сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.
Сетка - это некототорое конечное множество точек (узлов сетки), находящихся в области изменения аргумента. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.
В простейшем случае определяется равномерная сетка, где узлы отстоят друг от друга на фиксированны шаг h (в двухмерном случае возможны различные значения шагов h и по пространственной и временной координатам). Через h будем обозначать равномерную сетку с шагом h, через Bh - пространство функций, определенных на такой сетке. Через B0 обозначим пространство функций непрерывного аргумента. Отображение ph вида B0Bh, служащее для сравнения сеточных функций с обычными, называется оператором проектирования. В пространствах B0 и Bh выбираются какие-либо нормы (обычно, индуцированные скалярным произведением). Эти нормы называются согласованными, если для любой функци uB0 выполняется условие
. (25.1)
Утверждение 25.1. Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при |h|0.
Пусть исходная дифференциальная задача имеет вид
Lu(x) = f(x), (x G Rm), (25.2)
а соответствующая ей разностная задача на равномерной сетке имеет вид
Lhyh(x) = h(x). (x h), (25.3)
где h(x) = phf(x), а Lh - разностный аналог оператора L.
Пусть u(x) и yh(x) - соответственно решения дифференциальной и разностной задач. Сеточная функция
zh(x) = yh(x) - phu(x) (25.4)
называется погрешностью разностной схемы (25.3).
Очевидно, что погрешность zh(x) удовлетворяет уравнению
Lh(x)zh(x) = h(x) , (25.5)
где h(x) = h(x) - Lhuh(x). Сеточная функция h(x) называется погрешностью аппроксимации разностной задачи на решении исходной дифференциальной задачи. Эту погрешность можно представить в виде
h(x) = h,1(x)+h,2(x), (25.6)
где величины
h,1(x) = (Lu)h(x) - Lhuh(x) и h,2(x) = h(x) - fh(x) (25.7)
называются соответсвенно погрешностью аппроксимации разностного оператора и погрешностью аппроксимации правой части.
Говорят, что разностная задача (25.3) аппроксимирует исходную задачу (25.2), если ||h(x)||h0 при |h|0. Говорят, что схема (25.3) имеет k-й порядок аппроксимации, если существуют положительные постоянные k и M1 (не зависящие от h), такие, что
||h||h M1|h|k. (25.8)
Разностная схема (25.3) называется устойчивой (безотносительно к аппроксимации уравнения (25.2)), если существует постоянная M2 (не зависящая от h), такая, что
||yh||h M2||h||. (25.9)
Схема называется условно устойчивой, если она устойчива только при определенном ограничении на соотношении шагов по x и t.
Разностная схема называется корректной, если 1) ее решение yh существует и единственно и 2) она устойчива.
Говорят, что решение разностной задачи (25.3) сходится к решению дифференциальной задачи, если ||yh - phu||h 0 при |h|0.
Разностная схема имеет k-й порядок точности, если если существуют положительные постоянные k и M3 (не зависящие от h), такие, что
||yh - phu||h M3|h|k. (25.10)
Теорема 25.2. Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
См. [1, стр. 211], [8, стр. 291].
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: требуется найти непрерывную в G’=G+Г функцию u(x1,x2), удовлетворяющую в области G уравнению
, (26.1)
а на ее границе Г условию
u(x) = (x). (26.2)
Предположим, что G - прямоугольник вида {0<x1<l1, 0<x2<l2}, а функции f и таковы, что решение задачи (26.1,2) существует, единственно и является гладкой функцией.
Введем в G’ прямоугольную сетку ( h1,h2) с шагами h1 и h2, такими, что l1=h1N1 и l2=h2N2. Введем обозначения xi1 = ih1 , xj2 = jh2, yij = y(xi1, xj2).
Разностную схему для уравнения (26.1) удобно записать в каноническом виде, разрешенном относительно yij :
. (26.3)
Теорема 26.1. Если решение дифференциальной задачи Дирихле имеет в замкнутой области G’ непрерывные проивзодные до 4-го порядка включительно, то разностная схема (26.3) сходится и имеет второй порядок точности.
См. [1, стр. 516],[8, стр. 337, стр. 379].
Сеточное уравнение (26.3) приводит к сильно разреженной, симметричной и плохо обусловленной системе линейных уравнений. Для его решения можно использовать самые различные методы:
1. Прямые методы (метод Гаусса).
2. Простейшие явные итерационные методы (Якоби, Зейделя).
3. Метод верхней релаксации со специально подобранными параметрами.
4. Чебышевский метод.
5. Попеременно-треугольные итерационные методы.
6. Метод матричной прогонки.
7. Метод, основанный на быстром преобразовании Фурье.