Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).
2. В n-мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М(х1; х2; …; хn), координаты которых удовлетворяют неравенству
,
называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А(а1; а2; …; аn) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А.
Множество точек М(х1; х2; …; хn), координаты которых удовлетворяют системе неравенств
называется параллелепипедальной окрестностью точки А(а1; а2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве параллелепипед с центром в точке А.
3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.
1. Внутренняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой целиком состоит из точек данного множества.
Точка A называется внутренней точкой фигуры Ф, если существует шар с центром в точке A, целиком содержащийся в фигуре Ф.
Точка B называется называется внешней точкой фигуры Ф, если существует шар с центром в точке B, не содержащий точек фигуры Ф.
Точка C называется граничной точкой фигуры Ф, если она не является ни внутренней ни внешней точкой этой фигуры, т.е. в любом шаре с центром в точке C имеются как точки фигуры Ф, так и точки, не принадлежащие фигуре Ф.
Итак, для любой точки по отношению к фигуре Ф есть только три возможности: быть внутренней, внешней или граничной точкой.
Внутренностью фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех ее внутренних точек. Будем обозначать ее вн(Ф). Ясно, что фигура вн(Ф) содержится в фигуре Ф.
Фигура Ф называется открытой, если она совпадает со своей внутренностью, т.е. Ф = вн(Ф). Таким образом, у открытой фигуры все точки являются внутренними.
В качестве примера рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, удаленных от данной точки O на расстояние меньшее R. Обозначим ее U(O, R) и докажем, что она является открытой. Для этого нужно доказать, что каждая ее точка является внутренней.
Пусть A – произвольная точка фигуры U(O, R). Обозначим через d расстояние от A до O и рассмотрим шар V с центром в точке A и радиусом r = (R – d). Если точка X принадлежит этому шару, то расстояние от нее до A меньше или равно r и, следовательно, меньше R – d. В силу неравенства треугольника, расстояние от X до O меньше или равно сумме расстояний от X до A и от A до O, т.е. меньше чем R – d + d = R. Это означает, что точка X принадлежит фигуре U(O, R). Поскольку X – произвольная точка шара V, то V содержится в U(O, R). Следовательно, A – внутренняя точка фигуры U(O, R). Что и требовалось доказать.
Свойство 1. Объединение двух открытых фигур является открытой фигурой.
Доказательство. Пусть Ф1 и Ф2 – открытые фигуры, Ф – их объединение. Если A принадлежит Ф, то она принадлежит или Ф1 или Ф2. Пусть, например, A принадлежит Ф1. Из открытости фигуры Ф1 следует, что существует шар с центром в этой точке и радиусом R1 соответственно, целиком содержащийся в фигуре Ф1. Но тогда этот шар будет содержаться и в объединении Ф и, следовательно, точка A является внутренней точкой фигуры Ф. Поскольку A – произвольная точка фигуры Ф, то Ф – открытая фигура.
Свойство 2. Пересечение двух открытых фигур является открытой фигурой.
Доказательство. Пусть Ф1 и Ф2 – открытые фигуры, Ф – их пересечение. Если A принадлежит Ф, то она принадлежит как Ф1 так и Ф2. Из открытости этих фигур следует, что существуют шары с центром в этой точке и радиусами R1 и R2 соответственно, целиком содержащиеся в этих фигурах. Обозначим через R наименьший из этих радиусов. Тогда шар с центром в точке A и радиусом R будет содержаться как в фигуре Ф1 так и в фигуре Ф2. Значит, он будет содержаться в пересечении Ф и, следовательно, точка A является внутренней точкой фигуры Ф. Поскольку A – произвольная точка фигуры Ф, то Ф – открытая фигура.
Границей фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех ее граничных точек. Будем обозначать ее гр(Ф).
Фигура Ф называется замкнутой, если она содержит свою границу. Таким образом, замкнутая фигура содержит все свои граничные точки.
Нетрудно доказать, что сфера S(O, R) с центром в точке O и радиусом R является границей фигуры U(O, R), рассмотренной выше, а шар с центром в точке O и радиусом R является замкнутой фигурой.
Фигура Ф называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками она содержит и соединяющий их отрезок.
На рисунке 6 представлены выпуклые и невыпуклые фигуры.
Свойство 3. Пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.
Доказательство. Пусть Ф1 и Ф2 – выпулые многогранники, Ф – их пересечение. Если точки A и B принадлежат Ф, то они принадлежат как Ф1 так и Ф2. Из выпуклости этих фигур следует, что в них содержится и отрезок AB. Следовательно, этот отрезок содержится и в пересечении этих фигур. Значит, пересечение фигур Ф1 и Ф2 является выпуклой фигурой.
Фигура Ф называется линейно связной, если любые две ее точки можно соединить ломаной, целиком содержащейся в этой фигуре. Ясно, что выпуклая фигура связна.
Открытая связная фигура называется областью. Например, фигура U(O, R), рассмотренная выше, является областью.
Фигура Ф называется ограниченной, если она целиком содержится в некотором шаре. Например, шар, куб являются ограниченными фигурами.
Наконец, дадим определения тела и его поверхности.
Телом называется ограниченная область вместе со своей границей. Граница тела называется его поверхностью.