Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СОДЕРЖАНИЕ
|
[1]
[2] [2.1] 2.1. Модели линейных систем автоматического управления [2.2] 2.2. Эквивалентные преобразования в структурных схемах [2.3] 2.3. Характеристики линейных систем автоматического управления [2.4] 2.3. Устойчивость линейных систем автоматического управления [2.5] 2.4. Качество линейных систем автоматического управления [2.6] 2.5. Модели нелинейных систем автоматического управления [2.7] 2.6. Анализ нелинейных систем автоматического управления [2.8] 2.7. Модели дискретных систем автоматического управления [2.9] 2.8. Анализ дискретных систем автоматического управления
[3] [3.1] 3.1. Исследование типовых динамических звеньев [3.2] 3.2. Устойчивость систем автоматического управления [3.3] 3.3. Качество систем автоматического управления [3.4] 3.4. Оптимизация систем автоматического управления
[4]
[5] |
Рассмотрим построение математической модели на примере линейной электрической цепи.
Компонентами линейной электрической цепи являются: резистор, конденсатор и катушка (). Модели компонентов описываются следующими уравнениями:
|
, |
(.) |
где R, C, L – сопротивление резистора, емкость конденсатора и индуктивность катушки соответственно; IR, IC(t), IL(t) – токи через резистор, конденсатор и катушку соответственно; UR, UC(t), UL(t) – падение напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.
Рисунок . – Компоненты линейных электрических цепей.
Если принять оператор дифференцирования , то уравнения можно записать в следующем, операторном виде:
|
, |
(.) |
Законы Киргофа:
|
, |
(.) |
где n – номер ветви смежной с узлом, m – номер компонента в контуре.
Рисунок . – Пояснение законов Киргофа
Алгоритм составления системы уравнений схемы:
Пример .
Дана схема (), известны параметры всех компонентов: E, R1, L2, C3. Построить систему уравнений.
Рисунок . – Пример линейной электрической цепи
Решение.
В результате получаем систему уравнений:
С учетом операторных моделей компонентов :
|
(.) |
Полученная система уравнений состоит из 3-х уравнений и 3-х неизвестных (I1, I2, I3), следовательно, имеет единственное решение. После нахождения всех токов, можно вычислить падение напряжения на любом компоненте, используя соотношения или .
Обычно в системе имеется вход и выход, тогда для удобства исследования системы выделяют передаточную функцию, показывающую зависимость между входным и выходным сигналами. Для того чтобы получить передаточную функцию, необходимо определить входной и выходной сигналы определить как неизвестные системы уравнений, затем из системы уравнений исключить все неизвестные, кроме входа и выхода.
Пример .
Для схемы () найти передаточную функцию относительно входа E и выхода UR1.
Решение.
Согласно модели компонента UR1=I1R1. Подставив это уравнение в получим:
Теперь исключим из системы неизвестные I2 и I3. Например, так: из уравнения 3 выразим I3 и подставим в уравнение 1:
Затем из уравнения 1 выразим I2 и подставим в уравнение 2.
Запишем полученное уравнение в виде UR1=W(p)E:
.
Передаточная функция системы относительно входа E и выхода UR1 равна1:
.
Три основных вида компонентов линейных систем: звено передаточной функции, сумматор, узел ().
Рисунок . – Виды линейных компонентов структурных схем
а) звено передаточной функции; б) сумматор; в) узел
Математические модели компонентов представляются следующими уравнениями: звено передаточной функции , сумматор , узел .
|
(.) (.) (.) |
Пример .
Запишем модель конденсатора в виде компонента структурной схемы (), входом считать напряжение, выходом – ток.
Решение.
Сопоставим уравнение для конденсатора с уравнением звена передаточной функции . Получим передаточную функцию конденсатора: .
Рисунок . – Пример преобразования компонента электрической цепи в компонент структурной схемы
Варианты заданий.
Эквивалентные преобразования в электрических цепях. Для упрощения расчетов, некоторые участки схемы, заключенные между двумя узлами, заменяют одним компонентом, имеющим эквивалентную математическую модель. Например, любой из участков цепи между узлами 1 и 2 () можно заменить одним резистором сопротивлением R, которое можно рассчитать по формуле если соединение последовательное или если соединение параллельное.
|
или |
(.) (.) |
Рисунок . – Способы включения резисторов в цепи
а) последовательное, б) параллельное
Если перейти от параметров: емкость для конденсатора и индуктивность для катушки к параметрам реактивные сопротивления конденсатора и катушки (), то формулы эквивалентного преобразования будут выглядеть аналогично формулам и .
Рисунок . – Переход от параметров емкость и индуктивность к реактивному сопротивлению.
Реактивные сопротивления находятся по формулам:
|
(.) (.) |
Если в цепь включены разные компоненты, то пользуются понятием комплексное сопротивление Z, например, последовательное соединение резистора R и конденсатора C можно заменить комплексным сопротивлением .
Пример .
Найдем передаточную функцию относительно входа E и выхода UR1 системы () используя эквивалентное преобразование и понятие комплексное сопротивление.
Решение.
На данной схеме катушка L2 и конденсатор C3 включены параллельно относительно узлов 1 и 2. Преобразуем схему в виду изображенному на (). Тогда эквивалентное сопротивление Z запишется в следующем виде:
|
(.) |
Рисунок . – Эквивалентная схема
В полученной эквивалентной схеме два узла, уравнения для которых можно не записывать в систему уравнений, так как через комплексное сопротивление Z и через сопротивление R1 идет одинаковый ток I1. Остается записать уравнение для одного контура и уравнение для искомого напряжения:
Запишем первое уравнение через токи и выразим ток I1 из второго уравнения:
Теперь подставим выражение I1 из второго уравнения в первое:
.
Вынесем общий множитель UR1 и получим передаточную функцию:
или .
Подставив выражение для комплексного сопротивления Z , получим результат такой же как и в :
.
Передаточная функция:
.
Эквивалентные преобразования в структурных схемах.
Существуют три основных способа включения звеньев в структурную схему: последовательный, параллельный, обратная связь ().
Рисунок . – Виды соединений звеньев в структурной схеме
а) последовательное; б) параллельное; в) отрицательная обратная связь
Последовательное соединение двух звеньев W1(p) и W2(p) ( а) можно заменить одним звеном W (p) = W1(p)W2(p). Параллельное соединение ( б) – звеном W (p) = W1(p) + W2(p). Отрицательную обратную связь ( в) – звеном:
|
. |
(.) |
Алгоритм поиска передаточной функции для произвольной структурной схемы:
Пример .
Вычислить передаточную функцию для обратной связи ( в).
Решение.
Связи, соединяющие узел со звеньями2 W1 и W2 можно сразу пометить переменной Y, это соответствует модели узла заданной уравнением . Все остальные связи на в помечены. Запишем уравнение для сумматора, или точнее говоря для элемента сравнения, так как один из его входов помечен знаком минус: X1=X-X2. Уравнение для звена W1: Y=W1X 1, для W2: X 2=W2Y. В итоге получаем систему уравнений:
Исключим X2, а затем X1:
.
Получаем передаточную функцию, совпадающую с выражением : , т.е. .
Варианты заданий.
Заменив в передаточной функции W(p) аргумент p на j получим частотную характеристику W(j), где j – мнимая единица, – циклическая частота входного гармонического сигнала. Частотную характеристику можно записать двумя способами, в алгебраической форме и экспоненциальной форме .
|
, , |
(.) (.) |
где U() – действительная часть или вещественная частотная характеристика (ВЧХ), V() – мнимая часть, A() – амплитудно-частотная характеристика, () – фазо-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного гармонического сигнала единичной амплитуды. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного сигнала с нулевой фазой. Таким образом, если на входе системы действует сигнал x(t)=sin(t), то на выходе системы будет сигнал y(t)=A()sin(t+ ()).
Связь между АЧХ, ФЧХ и действительной и мнимой частями осуществляется по формулам Эйлера3:
|
, , |
(.) (.) |
где .
|
, . |
(.) (.) |
Кроме вышеперечисленных характеристик, применяют также следующие: логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ); амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). ЛАЧХ находится по формуле .
|
(.) |
АФХ задается двумя характеристиками как параметрическая функция, зависящая от частоты. График АФХ (годограф) строится при изменении частоты от 0 до , причем существует два способа: 1) если АФХ задан характеристиками АЧХ и ФЧХ, тогда годограф строится в полярных координатах, 2) если АФХ задан характеристиками U() и V(), тогда годограф строится в декартовых координатах ().
Рисунок . – Пример построения годографа АФХ
Пример .
Найти частотные характеристики для системы с передаточной функцией .
Решение.
Заменим в данной передаточной функции параметр p на j и получим частотную характеристику:
.
Для того чтобы выделить действительную и мнимую части из частотной характеристики домножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение знаменателя:
,
где .
Разделив почленно действительную и мнимую части на знаменатель и сопоставив результат с получим:
.
ФЧХ находится по формуле , где
.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и графоаналитические.
Алгебраические.
Передаточную функцию системы записывают в дробно-рациональном виде:
|
, |
(.) |
причем таким образом, чтобы выполнялось условие a0>0.
Корневой критерий.
Решается характеристическое уравнение: , где Q(p) – знаменатель передаточной функции (характеристический полином).
Система устойчива, если все корни характеристического уравнения (полюса) лежат в левой полуплоскости, т.е. Re(pi)<0, i=1,...,n ().
Рисунок . – Пример определения устойчивости по корневому критерию
Критерий Рауса-Гурвица.
Из коэффициентов полинома Q(p) составляют таблицу Ci,j, где i – номер столбца, j – номер строки. Первую строку таблицы (элементы Ci,1) составляют из коэффициентов с четными индексами: a0, a2, ... . Вторую строку таблицы (элементы Ci,2) составляют из коэффициентов с нечетными индексами: a1, a3, ... . Остальные элементы таблицы вычисляют по рекуррентной формуле:
|
,. |
(.) |
где – коэффициент, вычисляющийся для каждой j-й строки отдельно.
Для простоты восприятия рекуррентной формулы можно воспользоваться образом изображенным на , т.е. чтобы найти некоторый элемент таблицы, надо взять элементы двух предыдущих строк. Для вычисления коэффициента r берутся элементы из первого столбца таблицы, а элементы из столбца, справа от искомого, помещаются в первый столбец определителя.
Критерий Рауса-Гурвица заключается в следующем: система устойчива, если все n+1 элементов первого столбца таблицы будут положительными, т.е. , где n – степень полинома Q(p) (порядок системы).
Рисунок . – Пояснение к рекуррентной формуле
Критерий Гурвица.
Передаточная функция берется в том же виде . Составляется определитель порядка n следующим образом: первая строка составляется из коэффициентов с нечетными степенями: a1, a3, ... , вторая строка – из коэффициентов с четными степенями: a0, a2, ... . Остальные строки составляются аналогичным образом, со сдвигом коэффициентов вправо на одну позицию ().
Критерий Гурвица заключается в следующем: система устойчива, если все диагональные миноры больше нуля, т.е. .
Рисунок . – Определитель Гурвица
Диагональные миноры находятся следующим образом:
.
Пример .
Определить устойчивость системы корневым критерием, критерием Рауса-Гурвица и критерием Гурвица.
Решение.
Найдем корни характеристического уравнения . Данное уравнение можно решить через дискриминант: , тогда . Корни лежат в левой полуплоскости, следовательно, система устойчивая.
Определим устойчивость системы по критерию Рауса-Гурвица. Коэффициенты характеристического полинома следующие: . Составим таблицу Рауса-Гурвица:
|
j \ i |
1 |
2 |
|
1 |
0,08 |
1 |
|
2 |
0,3 |
0 |
|
3 |
1 |
... |
Найдем элемент C1,3 таблицы Рауса-Гурвица, для этого используем уже имеющиеся элементы таблицы (помечены маркером):
.
Все три элемента первого столбца таблицы найдены, следовательно, дальнейшее заполнение таблицы не имеет смысла. Данная система устойчива, так как все (n+1) элементов первого столбца больше нуля, .
По определителю Гурвица порядка n=2 , получаем: и . Система устойчива, так как .
Графоаналитические.
Критерий Михайлова.
В полиноме Q(p) параметр p заменяем на j, для полученной функции Q(j) строим годограф, подобно тому, как для W(j) строим годограф АФХ. Система устойчива, если годограф начинается на положительной действительной полуоси, и, огибая начало координат против часовой стрелки, проходит n квадратов, где n – порядок системы ().
Рисунок . – Пример годографа Михайлова устойчивой системы 5-ого порядка
Критерий Найквиста.
С помощью данного критерия определяют устойчивость замкнутой системы по признакам разомкнутой системы ().
Рисунок . – К понятию замкнутой и разомкнутой системы
а) замкнутая; б) разомкнутая
Критерий заключается в следующем: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы огибает точку (-1; j0) на угол k , где k – количество полюсов разомкнутой системы, находящейся в правой полуплоскости. Фраза «АФХ огибает точку (-1; j0) на угол k» означает следующее: вектор Ф(j) проведенный из точки (-1; j0) к точке годографа АФХ поворачивается на угол k при изменении от 0 до ().
Рисунок . – АФХ разомкнутой системы
Логарифмический критерий Найквиста.
Замкнутая система будет устойчива, если график ЛАЧХ разомкнутой системы пересечет уровень 0 раньше, чем ФЧХ разомкнутой системы окончательно пересечет сверху вниз уровень -. На изображены примеры ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы для неустойчивой замкнутой системы (график ФЧХ – 1()) и устойчивой замкнутой системы (ФЧХ – 2()).
Рисунок . – ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы
Критерии качества разделяются на четыре типа: прямые (определяются по переходному процессу), корневые (определяются по значениям полюсов передаточной функции), частотные (по частотным характеристикам), интегральные (показывают, на сколько близок переходный процесс к идеальному).
Прямые оценки качества: время переходного процесса или время регулирования tрег, определяется из условия ; перерегулирование , определяется по формуле ; время достижения первого максимума tmax ().
|
, , |
(.) (.) |
где – установившееся значение переходного процесса; – критерий завершения переходного процесса, в зависимости от требуемой точности берут значение (15)% от величины ступенчатого сигнала на входе или от значения hу; hmax – максимальное значение.
Рисунок . – Прямые критерии качества
Корневые оценки качества: степень устойчивости системы min; колебательность ; время регулирования tрег. Степень устойчивости определяется как минимальное расстояние полюсов до мнимой оси, оценка имеет смысл только для устойчивых систем, её можно по формуле . Колебательность показывает на сколько система склонна к колебаниям и определяется по формуле . Время регулирования для монотонный переходных процессов можно определить по формуле .Графический смысл оценок показан на .
|
, , |
(.) (.) (.) |
где .
Рисунок . – Определение корневых оценок качества
Частотные оценки качества: колебательность M , запас устойчивости по модулю L и запас устойчивости по фазе . Определение частотных оценок поясняет .
|
, , . |
(.) (.) (.) |
Рисунок . – Определение частотных оценок
Интегральные оценки. В случае монотонного переходного процесса можно использовать первую интегральную оценку качества . Если переходный процесс колебательный, то оценка даёт заниженный результат , поэтому применяют вторую интегральную оценку . Для оптимизации системы по быстродействию, использование оценки приводит к увеличению перерегулирования , поэтому, для уменьшения перерегулирования можно применить третью интегральную оценку .
|
, , . |
(.) (.) (.) |
где T – параметр, ограничивающий моментальную скорость переходного процесса и как следствие, ограничивает перерегулирование.
Рисунок . – Недостатки интегральных оценок I1 и I2
1 Для дальнейшего исследования системы, передаточную функцию записывают в дробно-рациональном виде.
2 Далее для краткости передаточные функции W(p) будем обозначать просто W.
3 Формулы приведения записаны с учетом, того, что сигнал на выходе не может опережать входной сигнал, т.е. сдвиг фаз не может быть положительным.