Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №6
Тема: «Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с симметрической матрицей. Метод квадратного корня»
Цель: изучение метода квадратного корня решения СЛАУ; практическая реализация метода с помощью компьютера
Программное обеспечение: табличный и текстовый процессоры
Метод квадратного корня используется для решения линейных систем следующего вида:
(1)
Здесь матрица , - симметрическая, т.е. .
Этот метод более удобный и экономичный по сравнению с методами решения систем общего вида. Метод квадратного корня принадлежит к точным методам, поскольку при предположении, что вычисления проводятся точно (без округления), он позволяет получить точные значения неизвестных. Заметим, что на практике все вычисления ведутся с округлениями, поэтому значения неизвестных неизбежно будут иметь погрешности.
Решение (1) проводится в два этапа.
Прямой ход. Поскольку - симметрическая матрица, то ее можно представить в виде произведения двух взаимно транспонированных между собой треугольных матриц
(2)
где
, .
Перемножим матрицы и , полученную матрицу приравняем к матрице . Получим следующие формулы для нахождения неизвестных :
Так как матрица представима в виде (2), то систему (1) можно эквивалентным образом заменить двумя системами уравнений вида:
(3)
Обратный ход. Запишем в развернутом виде системы (3):
и
Отсюда последовательно находим:
, (4)
, , (5)
Метод квадратного корня экономичен по времени по сравнению с методом Гаусса. Он легко программируется. Алгоритм этого метода представлен формулами (3), (4), (5).
Контрольные вопросы
Варианты заданий
Решить следующие СЛАУ методом квадратного корня:
|
1. |
9. |
|
2. |
10. |
|
3. |
11. |
|
4. |
12. |
|
5. |
13. |
|
6. |
14. |
|
7. |
15. |
|
8. |
16. |
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Решить заданную СЛАУ методом квадратного корня с помощью табличного процессора.
6. Оформить отчёт.