Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант 4
Задача №1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить дисперсию остатков Se-квадрат, построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (альфа=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (альфа=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости альфа=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
- гиперболической;
- степенной;
- показательной.
Привести графики построенных моделей.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
X |
Y |
36 |
104 |
28 |
77 |
43 |
117 |
52 |
137 |
51 |
143 |
54 |
144 |
25 |
82 |
37 |
101 |
51 |
132 |
29 |
77 |
Решение:
1) Построим модель Yт=a0+a1*X. Коэффициенты a0, a1 этой модели определяются по методу наименьших квадратов. Получим их и дополнительную статистическую информацию о качестве построенной модели с помощью средств Excel: сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ.
ВЫВОД ИТОГОВ:
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,984054389 |
R-квадрат |
0,968363041 |
Нормированный R-квадрат |
0,964408421 |
Стандартная ошибка |
5,095843023 |
Наблюдения |
10 |
Дисперсионный анализ
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
1 |
6358,6591 |
6358,659071 |
244,8688029 |
2,8E-07 |
Остаток |
8 |
207,74093 |
25,96761611 |
||
Итого |
9 |
6566,4 |
|
|
|
|
Коэффи-циенты |
Станда-ртная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пере-сечение |
13,89223512 |
6,4362066 |
2,158450791 |
0,062941142 |
-0,9497 |
28,7342 |
Пере-менная X 1 |
2,401669086 |
0,1534781 |
15,64828434 |
2,77465E-07 |
2,04775 |
2,75559 |
Получили уравнение линейной регрессии Yт=13.89+2.4X. Коэффициент регрессии а1=2.4 говорит о том, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции в среднем увеличится на 2.4 млн. руб.
2) ВЫВОД ОСТАТКА:
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
ei2 |
отн. погр. |
1 |
100,3523222 |
3,6476778 |
13,30555329 |
3,507382494 |
2 |
81,13896952 |
-4,13897 |
17,1310687 |
5,375285092 |
3 |
117,1640058 |
-0,164006 |
0,026897904 |
0,140175902 |
4 |
138,7790276 |
-1,779028 |
3,164939117 |
1,298560275 |
5 |
136,3773585 |
6,6226415 |
43,85938056 |
4,631217839 |
6 |
143,5823657 |
0,4176343 |
0,174418369 |
0,290023786 |
7 |
73,93396226 |
8,0660377 |
65,06096476 |
9,836631385 |
8 |
102,7539913 |
-1,753991 |
3,076485451 |
1,736625041 |
9 |
136,3773585 |
-4,377358 |
19,16126735 |
3,316180675 |
10 |
83,54063861 |
-6,540639 |
42,77995338 |
8,494335853 |
Сумма |
0 |
207,7409289 |
38,62641834 |
Оценим дисперсию остатков:
5,095843023.
Проверим выполнение предпосылок МНК.
1) свойство независимости по d-критерию Дарбина-Уотсона:
354,62.
1,71.
2) Т.к модуль рассчитанного первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|=0,01< r таб=0,32 - значит уровни независимы.
3) Проверка нормальности распределения остаточной компаненты по R/S- критерию. Рассчитаем значение RS:
Emax = 8,066037736;
Emin = -6,540638607;
Se = 5,095843023;
2,866390561.
Т.к 2.67 < 2,87 <3.57, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
4 свойство гомоскедастичности. Упорядочим данные по мере возрастания переменной х:
X |
Y |
25 |
82 |
28 |
77 |
29 |
77 |
36 |
104 |
37 |
101 |
43 |
117 |
51 |
143 |
51 |
132 |
52 |
137 |
54 |
144 |
Разделим совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнения регрессии.
Первая группа:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,895544412 |
R-квадрат |
0,801999793 |
Нормированный R-квадрат |
0,735999724 |
Стандартная ошибка |
6,810642296 |
Наблюдения |
5 |
Дисперсионный анализ |
|||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
1 |
563,64545 |
563,6454545 |
12,15149931 |
0,03988 |
Остаток |
3 |
139,15455 |
46,38484848 |
||
Итого |
4 |
702,8 |
|
|
|
|
Коэффи-циенты |
Станда-ртная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересе-чение |
18,02727273 |
20,359565 |
0,885444901 |
0,441130436 |
-46,766 |
82,8205 |
Пере-менная X 1 |
2,263636364 |
0,6493693 |
3,485900072 |
0,039884762 |
0,19705 |
4,33022 |
Вторая группа:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,928605773 |
R-квадрат |
0,862308682 |
Нормированный R-квадрат |
0,816411576 |
Стандартная ошибка |
4,699541188 |
Наблюдения |
5 |
Дисперсионный анализ
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
1 |
414,94294 |
414,9429379 |
18,78786613 |
0,02265 |
Остаток |
3 |
66,257062 |
22,08568738 |
||
Итого |
4 |
481,2 |
|
|
|
|
Коэффи-циенты |
Станда-ртная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пере-сечение |
13,07062147 |
28,116372 |
0,464875826 |
0,673683069 |
-76,408 |
102,549 |
Пере-менная X 1 |
2,420903955 |
0,5585201 |
4,334497217 |
0,022652811 |
0,64344 |
4,19836 |
Остаточные суммы квадратов:
139,1545455; 66,257.
Вычислим отношение: 2,100222089.
Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы к1=n1-m=4, к2=n-n2-m=4, т.е. Fкр=6,39.
Т.к. , то имеет место гомоскедастичность.
4) Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Стьюдента: их значения содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" соответственно в строках "t-статистики".
t(a0) = 0,465;
t(a1) = 4,334.
Критическое значение при =5%, k=n-p-1=10-2-1=7 составляет tкр=2,36.
|0,465| <2,36; таким образом, на уровне значимости =5% коэффициент a1 не является значимым. |4,334| > 2,36; таким образом, на уровне значимости = 5% коэффициент a2 является значимым.
5) Рассмотрим коэффициент детерминации, его значение содержатся в таблицах вывода итогов программы "РЕГРЕССИЯ" в строке "R-квадрат".
0,968363041. Таким образом, изменение объема выпуска продукции Y на 96,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений X.
Оценим значимость полученного уравнения с помощью критерия Фишера:
F= 244,87.
Критическое значение при =5%, k1=p= 1, k2=n-p-1=10-1-1=8 составляет Fкр=5,59.
F= 244,87 >Fкр следовательно, уравнение модели является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель переменной X.
Найдем среднюю относительную ошибку:
3,86.
В среднем расчетные значения y для регрессионной модели отличаются от фактических на 3,86%.
6) Прогнозное значение переменной Х: X*= 0,8*maxX= 43,2.
По уравнению модели рассчитаем Yт*=13,89+2,4*43,2 = 117,64. 117,64
7) График:
8) Для построения нелинейных регрессионных моделей используем прием линеаризации уравнений. Модель степенной парной регрессии имеет вид yт=a*x^b. Логарифмируя обе части равенства, получим ln(yт)=ln(a)+b*ln(x).
Обозначим тогда
линейная модель.
Рассчитаем по исходным данным столбцы (мастер функций / математические / LN).
|
|
|
36 |
||
2 |
28 |
|
3 |
43 |
|
4 |
52 |
|
5 |
51 |
|
6 |
54 |
|
7 |
25 |
|
8 |
37 |
|
9 |
51 |
|
10 |
29 |
|
|
|
|
104 |
3,58 |
4,64 |
77 |
3,33 |
4,34 |
117 |
3,76 |
4,76 |
137 |
3,95 |
4,92 |
143 |
3,93 |
4,96 |
144 |
3,99 |
4,97 |
82 |
3,22 |
4,41 |
101 |
3,61 |
4,62 |
132 |
3,93 |
4,88 |
77 |
3,37 |
4,34 |
Используем функцию "ЛИНЕЙН" для определения коэффициентов линейной модели: 0,86 и 1,54. Таким образом, b= 0,86, A= 1,54. Определим a=e^A=4,66 (мастер функций/математические/EXP). yт= 4,66*x^0,86 уравнение степенной модели. Для расчета yт(xi) по полученному уравнению можно использовать функцию "СТЕПЕНЬ". Результаты вычислений для степенной модели приведем в таблице и покажем на графике.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
36 |
104 |
100,77 |
3,23 |
3,10331 |
10,4164 |
2 |
28 |
77 |
81,23 |
-4,23 |
5,49629 |
17,911 |
3 |
43 |
117 |
117,36 |
-0,36 |
0,3096 |
0,13121 |
4 |
52 |
137 |
138,14 |
-1,14 |
0,83211 |
1,29958 |
5 |
51 |
143 |
135,86 |
7,14 |
4,99419 |
51,0038 |
6 |
54 |
144 |
142,68 |
1,32 |
0,91335 |
1,7298 |
7 |
25 |
82 |
73,71 |
8,29 |
10,1125 |
68,7616 |
8 |
37 |
101 |
103,17 |
-2,17 |
2,14733 |
4,7037 |
9 |
51 |
132 |
135,86 |
-3,86 |
2,92296 |
14,8865 |
10 |
29 |
77 |
83,71 |
-6,71 |
8,71981 |
45,0812 |
Сумма |
|
|
|
|
39,5515 |
215,925 |
Средняя относительная ошибка аппроксимации 3,95514518.
Коэффициент детерминации 0,967116721.
Модель показательной парной регрессии имеет вид yт = a*b^x. Логарифмируя, получим ln(yт)=ln(a)+x*ln(b). Обозначим
тогда линейная модель. Рассчитаем по исходным данным столбец
|
|
|
|
1 |
36 |
104 |
4,64 |
2 |
28 |
77 |
4,34 |
3 |
43 |
117 |
4,76 |
4 |
52 |
137 |
4,92 |
5 |
51 |
143 |
4,96 |
6 |
54 |
144 |
4,97 |
7 |
25 |
82 |
4,41 |
8 |
37 |
101 |
4,62 |
9 |
51 |
132 |
4,88 |
10 |
29 |
77 |
4,34 |
Найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: 0,02 и 3,78. Таким образом, B = 0,02, A= 3,78. Определим a=e^A= 43,68 ; b=e^B= 1,02 и запишем уравнение показательной модели yт=43,68*(1,02)^x. Результаты вычислений для показательной модели приведем в таблице и покажем на графике.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
36 |
104 |
97,73 |
6,27 |
6,02673 |
39,2852 |
2 |
28 |
77 |
81,72 |
-4,72 |
6,12463 |
22,2404 |
3 |
43 |
117 |
114,30 |
2,70 |
2,30637 |
7,28163 |
4 |
52 |
137 |
139,80 |
-2,80 |
2,04193 |
7,8257 |
5 |
51 |
143 |
136,70 |
6,30 |
4,40243 |
39,633 |
6 |
54 |
144 |
146,19 |
-2,19 |
1,52417 |
4,81715 |
7 |
25 |
82 |
76,41 |
5,59 |
6,81542 |
31,233 |
8 |
37 |
101 |
99,94 |
1,06 |
1,04616 |
1,11644 |
9 |
51 |
132 |
136,70 |
-4,70 |
3,56403 |
22,1325 |
10 |
29 |
77 |
83,56 |
-6,56 |
8,52569 |
43,0963 |
Сумма |
|
42,3776 |
218,661 |
Средняя относительная ошибка аппроксимации 4,2378.
Коэффициент детерминации 0,9667.
Модель гиперболической парной регрессии имеет вид yт = a+b/x.
Обозначим и получим линейную модель.
Рассчитаем по исходным данным столбец.
|
|
|
|
1 |
36 |
104 |
0,03 |
2 |
28 |
77 |
0,04 |
3 |
43 |
117 |
0,02 |
4 |
52 |
137 |
0,02 |
5 |
51 |
143 |
0,02 |
6 |
54 |
144 |
0,02 |
7 |
25 |
82 |
0,04 |
8 |
37 |
101 |
0,03 |
9 |
51 |
132 |
0,02 |
10 |
29 |
77 |
0,03 |
И найдем с помощью функции "ЛИНЕЙН" коэффициенты: -3293,90 и 198,76.
Таким образом, b = -3293,90; a = 198,76. Следовательно, уравнение гиперболической модели yт=198,76-3293,76/x. Результаты расчетов для гиперболической модели приведем в таблице и покажем на графике.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
36 |
104 |
107,26 |
-3,26 |
3,13891 |
10,6567 |
2 |
28 |
77 |
81,12 |
-4,12 |
5,35382 |
16,99 |
3 |
43 |
117 |
122,16 |
-5,16 |
4,4097 |
26,6188 |
4 |
52 |
137 |
135,42 |
1,58 |
1,15517 |
2,50455 |
5 |
51 |
143 |
134,18 |
8,82 |
6,17106 |
77,8739 |
6 |
54 |
144 |
137,76 |
6,24 |
4,3309 |
38,8939 |
7 |
25 |
82 |
67,01 |
14,99 |
18,2857 |
224,828 |
8 |
37 |
101 |
109,74 |
-8,74 |
8,65085 |
76,3415 |
9 |
51 |
132 |
134,18 |
-2,18 |
1,64801 |
4,73228 |
10 |
29 |
77 |
85,18 |
-8,18 |
10,622 |
66,8954 |
Сумма |
|
63,7661 |
546,339 |
Средняя относительная ошибка аппроксимации 6,3766.
Коэффициент детерминации 0,9168.
Таблица сравнения качества:
модель |
|
Еотн ср |
R-квадрат |
линейная |
3,86 |
0,968 |
|
гиперболическая |
6,38 |
0,917 |
|
степенная |
3,96 |
0,967 |
|
показательная |
4,24 |
0,967 |
Выберем в качестве наилучшей линейную модель. Она имеет лучшую точность, в среднем расчетные данные для гиперболической модели отличаются от фактических на 3.86%. = 0.968, следовательно, изменение объема выпуска продукции Y на 96.8% объясняется изменением объема капиталовложений X.
Задача № 2 (а, б).
Для каждого варианта даны по две структурные формы модели (СФМ), которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
1 |
-1 |
b12 |
b13 |
0 |
a12 |
0 |
a14 |
2 |
b21 |
-1 |
0 |
a21 |
0 |
a23 |
a24 |
3 |
b31 |
b32 |
-1 |
a31 |
a32 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
b13 |
a11 |
a12 |
a13 |
0 |
2 |
0 |
-1 |
b23 |
a21 |
a22 |
0 |
a14 |
3 |
b31 |
0 |
-1 |
a31 |
a32 |
a33 |
0 |
Решение:
a) Система одновременных уравнений
В первом уравнение 3 эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует 2 экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
х1 |
x3 |
|
2 |
а21 |
а23 |
3 |
а31 |
0 |
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и первое уравнение идентифицируемо.
Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует
одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
y3 |
x2 |
|
1 |
b13 |
a12 |
3 |
-1 |
a32 |
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении три эндогенные переменные Н = 3. В нем отсутствует две экзогенных переменных D = 2. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
x3 |
x4 |
|
1 |
0 |
a14 |
2 |
a23 |
a24 |
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит, достаточное условие выполнено и третье уравнение идентифицируемо.
Следовательно, система идентифицирована.
б) Система одновременных уравнений:
В первом уравнение 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
y2 |
x4 |
|
2 |
-1 |
a24 |
3 |
0 |
0 |
Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и второе уравнение не идентифицируемо.
Во втором уравнении две эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует одна экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1 = H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
y1 |
x3 |
|
1 |
-1 |
a13 |
3 |
b31 |
a33 |
Определитель представленной в таблице матрицы не равен нулю. Значит,
достаточное условие выполнено и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении 2 эндогенные переменные Н = 2. В нем отсутствует 1 экзогенная переменная D = 1. Т.е. D + 1= H.
Проверка на достаточное условие:
Уравнение |
Переменные |
|
y2 |
x4 |
|
1 |
0 |
0 |
2 |
-1 |
a24 |
Определитель представленной в таблице матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено и третье уравнение не идентифицируемо.
Следовательно, система не идентифицирована.
Задача № 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:
Y1 = a0 + a1*Y2 + a2*X1 + e1;
Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X2 + e2.
n |
Y1 |
Y2 |
X1 |
X2 |
1 |
31,3 |
60,2 |
4 |
8 |
2 |
35,1 |
74,2 |
7 |
5 |
3 |
31,2 |
59,7 |
4 |
8 |
4 |
40,4 |
107 |
9 |
13 |
5 |
25,3 |
29,2 |
1 |
4 |
6 |
41,2 |
112,5 |
10 |
12 |
Решение:
Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.
Первое уравнение:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,99952 |
R-квадрат |
0,99904 |
Нормированный R-квадрат |
0,9984 |
Стандартная ошибка |
0,24327 |
Наблюдения |
6 |
Дисперсионный анализ |
|||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
2 |
184,6108 |
92,305399 |
1559,8 |
3E-05 |
Остаток |
3 |
0,1775359 |
0,0591786 |
||
Итого |
5 |
184,78833 |
|
|
|
|
Коэффи-циенты |
Станда-ртная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересе-чение |
22,8421 |
0,2702732 |
84,514996 |
4E-06 |
21,982 |
23,702 |
Переме- нная X 1 |
1,53938 |
0,0506404 |
30,398182 |
8E-05 |
1,3782 |
1,7005 |
Переме- нная X 2 |
0,27138 |
0,0480553 |
5,6472324 |
0,011 |
0,1184 |
0,4243 |
.
Второе уравнение:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,99996 |
R-квадрат |
0,99992 |
Нормированный R-квадрат |
0,99987 |
Стандартная ошибка |
0,36101 |
Наблюдения |
6 |
Дисперсионный анализ
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
2 |
4972,629 |
2486,3145 |
19077 |
7E-07 |
Остаток |
3 |
0,3909839 |
0,130328 |
||
Итого |
5 |
4973,02 |
|
|
|
|
Коэффи-циенты |
Станда-ртная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересе-чение |
12,6477 |
0,4010877 |
31,533424 |
7E-05 |
11,371 |
13,924 |
Переме-нная X 1 |
7,14066 |
0,0751508 |
95,017753 |
3E-06 |
6,9015 |
7,3798 |
Переме-нная X 2 |
2,33982 |
0,0713145 |
32,809859 |
6E-05 |
2,1129 |
2,5668 |
.
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:
Подставим это выражение в первое уравнение приведенной формы модели:
.
Таким образом, b12=0.12, a11=0.72.
Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:
. Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
.
Таким образом, b21=4.64, a22=1.09.
Свободные члены структурной формы находим из уравнения:
;
.
Вычислим средние значения:
Y1,cp = 34,0833;
Y2,cp = 73,8;
X1,cp = 5,83333;
X2,cp = 8,33333.
Таким образом,
A01 = 34.08-0.12*73.8-0.72*5.83 = 21,026;
A02 = 73.8-4.64*34.08-1.09*8.33 = -93,41.
Окончательный вид структурной модели:
Y1=21.03+0.12Y2+0.72X1;
Y2=-93.41+4.64y1+1.09X2.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3