Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Геометрия.
№11. Гармонические четверки точек и их связь с полными четырехвершинниками.
Двойное отношение трех точек: (АВ,С)=. Опр. Двойным отношением четырех коллинеарных точек А, В, С, D наз. число, обозначаемое (АВ,СD)= (АВ,С)/(АВ,D)=. . [(AB,CD)>0, если С и D внутри или вне отр.АВ, (АВ,CD)<0, если одна внутри, др.вне отр.АВ]. Св-ва двойного отношения: 1) ,2) (АВ,СD)=(СD,АВ); 3) (АВ,СD)=1-(DВ,СА).
Четверка точек А, В, С, D прямой называется гармонической, если (АВ,CD)=-1.
Из свойств двойного отношения заключаем, что в случае гармонической четверки точек А, В, С, D их сложное отношение не меняется не только при перестановке пар точек, но и при перестановке точек одной пары: (АВ,CD)=-1(СD,AB)=-1,(BA,CD)=(AB,DC)=-1.
Пусть точки А, В, С, D на проективной плоскости не коллинеарны по три. Если через каждые две из них провести прямую, то получим шесть прямых.
Полным четырехвершинником называется фи гура, составленная из четырех точек плоскости, каждые три из которых не ле жат на одной прямой, и шести прямых, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами четырехвершинника (А,B,C,D), а соединяющие их прямые - сторо нами четырехвершиниика. Стороны четырехвершинника, не имеющие общих вер шин, называются противолежащими (противоположными): АВ и CD, AD и BC, BD и AC. Точки пересечения проти волежащих сторон называются диагональными точками (R,S,L), а прямые RS, SL, LR – диагоналями полного четырехвершинника.
Пусть М и N - точки пересечения диагонали SL с противоположными сторонами АС и BD, проходящими через третью диагональную точку R. Докажем, что (SL,MN)=-1 (1). Проектируя точки S, L, М, N на прямую АС из центра D, получим: (SL,MN)=(CA,RN) (2). Проектируя точки С, A, R, N на прямую SL из центра В, получим: (СА,RN)=(LS,MN) (3). Из (2) и (3) => (SL,МN)=(LS,MN)-1 (4). Но по свойству 1 двойного отношения (LS,MN)=(SL, MN)-1 (5). Из (4) и (5)=>(SL,МN)2=1=>(SL,МN)=. Но при (SL,MN)=1 точки М и N совпадают, а следовательно, совпадают прямые RM и RN, и точки А, В, С, D оказываются на одной прямой, что противоречит условию. Поэтому (SL,МN) =-1, из (1) и (2)=>(AC, RN)=-1=>(SA,SC; SR,SN) = -1.
Заметим, что в полном четырехвершиннике все его вершины равноправны, как равноправны и все диагональные точки. Поэтому справедлива Теорема. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:
№12. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Правильные многогранники.
Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.
Т. Эйлера: Для каждого выпуклого многогранника верно равенство: В-Р+Г=2, где В, Р, Г-количество вершин, ребер и граней. [Примечание: теорема Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, но и для таких многогранников, которые могут быть получены из выпуклых с помощью непрерывной деформации «без разрывов и склеиваний»]
Доказательство. Деформируем многогранник, увеличивая одну из его граней так, чтобы на нее можно было спроектировать взаимно однозначно остальные грани. Изобразим выбранную грань и спроектированные на нее оставшиеся грани.
Посчитаем двумя способами сумму всех плоских углов многогранника на рис.1 с учетом двухслойности. ni – число сторон i-ой грани.
1 сп.) Просуммируем углы по всем граням. Сумма углов =
[,т.к. каждая сторона будет посдчитана два раза (даже внешняя сторона нижнего слоя)]= π(2Р-2Г) = 2π(Р-Г) ()
2 сп.) Сумма углов = [Обозначим В'- количество вершин на границе рисунка, В''=В-В'- количество вершин, расположенных внутри рис.]=2π(В'-2)+ 2π(В-В')=2π(В-2) (). Сопоставляя результаты () и (), видим: 2π(Р-Г)= 2π(В-2), Р-Г=В-2, В-Р+Г=2. Ч.т.д.
Выпуклый многогранник называется правильным (ПМ), если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Покажем, что 5 видов ПМ. Убедимся, что только 5 различных видов топологически ПМ, т.е. таких многогранников, в которых к каждой вершине примыкает одно и то же количество ребер (m) и каждая грань содержит одно и то же количество (n) сторон. m3, n3.
Примеры топологически ПМ:
- их можно растягивать, т.е. деформировать и получить куб (рис.3), правильную пирамиду (рис.4).
Будем использовать обозначения: В, Р, Г. Bm=2P (1) - представим, что каждое ребро разрезано на две половинки, тогда к каждой из вершин будет примыкать ровно m половинок, причем каждая из половинок примыкает ровно к одной вершинесуммарное число половинок будет равно Вm. С другой стороны количество половинок равно 2Р. Гn=2P (2) - если начнем перебирать грани и будем упоминать ребра, ее окружающие, то количество упоминаний будет Гn, с другой стороны, каждое ребро будет упомянуто 2 раза.
(1)и(2), , В-Р+Г=2, , , m,n,PN; m,n3.
m=3 (3) .
Если n=3, то . (А) m=3, n=3, P=6B=4, Г=4.
Если n=4, то (Б) m=3, n=4, P=12B=8, Г=6.
Если n=5, то (В) m=3, n=5, P=30B=20, Г=12.
Если n=6, то .
Если n>6, то
m=4 (3) .
Если n=3, то (Г) m=4, n=3, P=12B=6, Г=8.
Если n=4, то .
Если n>4, то
m=5 (3) .
Если n=3, то . (Д) m=5, n=3, P=30B=12, Г=20.
Если n>3, то
m6 (3) и т.к.n3 .
№13. Аксиоматика Вейля. Непротиворечивость аксиоматики Вейля.
В основе аксиоматики Вейля лежат следующие понятия: точки (множество точек), векторы, теория вещественных чисел.
Аксиомы:
3а) для каждой точки АТ отображение А:ТV определяется по закону А(В)=(А,В) является биекцией [иньективно: В-> (если одну точку зафиксируем, тогда можно рассмотреть А-операция откладывания вектора от фиксированной точки), сюрьективно: ВТ: = (если представить какой-либо вектор , то его можно считать приложенным к точке А)].
Т.о. 3а) описывает операцию откладывания вектора от данной точки.
Вектор (А,В) обычно обозначают через . По 3а) АТ, VВT: =, причем такой элемент В единственный.
3б) Тождество Шаля: А,В,С: +=.
4. Скалярное произведение. симметричная положительная определенная билинейная квадратичня форма :VVR.
- скалярное произведение двух векторов – есть число. Форма g симметричная: . g – положительно определенная: V , =0. Билинейность означает линейность по первому и по второму аргументу (по первому: g(λ1ū1+λ2ū2,)=λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,), по второму аргументу: g(ū, μ11+μ22)=μ1.g(ū,1)+μ2. g(ū,2).
Непротиворечивость аксиоматики Вейля
Док-ся построением арифметической модели. Арифм. модель строится на базе веществ. чисел: точки обозначаются А(х,у,z), х,у,zR, векторы : <m,n,p> - тройка вещественных чисел. Определим :(A,B) ==<xB-xA,yB-yA,zB-zA>, где А(xА,yА,zА), В(xB,yB,zB). g:(<m1,n1,p1>,<m2,n2,p2>)m1m2+n1n2+p1p2.
Проверим, что аксиомы вып-ся. 1. Т: (1,0,0). 2. [В алг.] 3. А(x,y,z) -> <x-xA,y-yA,z-zA>. Биекция-разн.точки перех. в разн.в-р.? Если берем два набора, они считаются разными, если хотя бы одна компонента отлич.-она и даст новый в-р. Сюрьективность: называем произв. в-р,то ему можно сопост. точку, в кот. он перейдет. Рассм. точку M(xA+m,yA+n,zA+p). А: M-> <(xA+m)-xA, (yA+n)-yA, (zA+p)-zA>=<m,n,p>.
Тожд.Шаля: (А,С)=<xC-xA,yC-yA,zC-zA>, (А,B)= <xB-xA,…>, (B,С)= <xC-xB,…>.
(А,B)+ (B,С)= <(xB-xA)+(xC-xB),…>=<xC-xA,yC-yA,zC-zA>=(А,С).
4. g(λ1ū1+λ2ū2,)=λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,)-линейность по первому аргументу?
1=<m1,n1,p1>,2=<m2,n2,p2>,=<m,n,p>. λ1ū1+λ2ū2=< λ1m1+λ2m2, λ1n1+λ2n2,…>.
g(λ1ū1+λ2ū2,)= (λ1m1+λ2m2)m+(λ1n1+λ2n2)n+…= λ1 (m1m + n1n+p1p)+λ2 (m2m + n2n+p2p)= λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,). Симм-сть и «+» определенность (см.аксиомы) аналогично.
[Аксиоматика Вейля настолько непротиворечива, насколько достоверна аксиоматика веществ. чисел.]