Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Тема 5. Прямой МГЭ для уравнения Лапласа
Выведем решение уравнения Лапласа
в (3.15)
со смешанными граничными условиями (рис. 3.2)
на (3.16a)
на , (3.16b)
где . В литературе условие (3.16а) называется существенным или кинематическим, в то время как (3.16b) – естественным. Вместо граничных условий (3.16) мы можем использовать общее условие (3.6b), но сейчас ради простоты будем избегать этого.
Рис 3.2 Область со смешанными граничными условиями
Применяя тождество Грина (2.16) для функций и , которые удовлетворяют уравнениям (3.15) и (3.8) соответственно, и предположив, что источник находится в точке , получим
, (3.17)
где и .
В предыдущих уравнениях и далее точки внутри области , обозначены заглавными буквами, например , , в то время как точки на границе обозначены строчными буквами, например , . Нижние индексы дифференциалов, например , , и производных, например, обозначают точки, которые изменяются в процессе интегрирования или дифференцирования соответственно.
На основании уравнений (2.33) и (3.14) уравнение (3.17) можно записать в виде
. (3.18)
Функции и в предшествующем уравнении – известные величины. Это – фундаментальное решение уравнения Лапласа и его производная по нормали в точке границы, заданные следующим образом:
; (3.19)
, (3.20)
где и угол .
Выражение (3.18) - решение дифференциального уравнения (3.15) в любой точке внутри области , (не на границе ) в терминах граничных значений и ее производной по нормали . Соотношение (3.18) называется интегральным представлением решения для уравнения Лапласа. Из граничных условий (3.1ба) и (3.16b) видно, что в граничной точке может быть задана только одна из величин или . Следовательно, из интегрального представления (3.18) еще невозможно определить решение. Для этого нужно найти неизвестную граничную величину, не заданную граничными условиями (или или ), выведя интегральное представление для точек , лежащих на границе .
Рис. 3.3 Геометрическое представление негладкой границы относительно угловой точки
Изучим общий случай с негладкой границей, где – угловая точка (рис. 3.3). Будем рассматривать область , которая получается из после вычитания малой круговой части с центром радиуса , ограниченной дугами РА и РВ. Обозначим через дугу окружности АВ и через – сумму дуг АР и РВ. Внешняя нормаль к совпадает с радиусом и направлена к центру . Угол между касательными к границе в точке обозначим через . Очевидно, что
; ; .
Затем мы применим тождество Грина (2.16) в области для функций и , удовлетворяющим уравнениям (3.15) и (3.8) соответственно. Так как точка лежит вне области , где , то
и, следовательно, тождество Грина дает
. (3.21)
Далее исследуем поведение интегралов в вышеупомянутом уравнении при . Очевидно, первый интеграл принимает вид
, (3.22)
в то время как второй можно записать следующим образом:
. (3.23)
Для дуги окружности и . Кроме того, , потому что угол в положителен относительно движения против часовой стрелки, что противоположно увеличению . Следовательно, первый из двух результирующих интегралов уравнения (3.23) примет вид:
. (3.24)
Согласно формуле Лагранжа из интегрального исчисления значение интеграла равно значению его подынтегрального выражения в некоторой точке , лежащей внутри интервала интегрирования, умноженного на длину этого интервала. Следовательно,
.
При , точка дуги приближается к точке . Конечно, в этом случае производная не определена, но ограничена. Тем не менее
,
что означает, что
. (3.25)
Подобным способом второй интеграл в правой части (3.23) может быть записан в виде
или, применяя формулу Лагранжа,
и наконец,
. (3.26)
На основании (3.25) и (3.26), из (3.23) имеем
. (3.27)
Подставив теперь (3.22) и (3.27) в (3.21), а затем устремив , получим
. (3.28)
Последнее выражение – интегральное представление решения уравнения Лапласа (3.15) в точках , где граница негладкая. Для точек , где граница гладкая, соответственно и, таким образом, уравнение (3.28) примет вид
. (3.29)
Сравнивая (3.18) и (3.28), можно видеть, что функция разрывна, когда точка стремится к точке . Это дает скачок, равный для точек угла (3.28), или для точек на гладких частях границы (3.29). Когда точка расположена вне области , тождество Грина (2.16) дает
. (3.30)
Уравнения (3.18), (3.29) и (3.30) могут быть объединены в одно общее уравнение
. (3.31)
где – коэффициент, который зависит от положения точки и определяется следующим образом:
Уравнение (3.29) представляет собой соотношение совместимости между граничными значениями и и означает, что только одна из величин и может быть задана в каждой точке границы. В то же время, уравнение (3.29) можно рассматривать как интегральное уравнение на границе , которое является граничным интегральным уравнением, считая неизвестными те величины, которые не заданы граничным условием.
Далее будем предполагать, что граница гладкая. Таким образом, для задачи Дирихле (на ), (3.29) можно записать в виде
, (3.32a)
где единственной неизвестной является функция на . Для задачи Неймана () (3.29) примет вид
(3.32b)
с единственной неизвестной – функцией на . Для задач со смешанными граничными условиями (3.29) рассматривается как два отдельных уравнения (3.16), а именно:
на ; (3.33a)
на . (3.33b)