Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1вопрос.
Событие образует полную группу событий, если они попарно не совместны, и в результате опыта происходит одно и только из них.
Происходит опыт с n- исходами, которые можно представить в виде полной группы событий не совместных равновозможных событий.
Такие исходы называются случайными элементарными событиями.
Случай W который приведет к наступлению к А называется благоприятным событию А.
Вероятность события А называется число m-благоприятных событию А к общему числу n.
Из классической ОП! вероятности следует 0<=P<=1
0-невозможно
1-достоверность
2вопрос.
0<=P*(A)<=1
Р*(А)приблизительна равна Р(А).
3. Действия над событиями. Сложение событий. Сложные события.
Событие – факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Сумма (объединение) событий представляет собой сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Объединение событий обозначается как , или .
Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B.
Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.
Противоположным событием А, называется событие , которое происходит, когда не происходит А
4. Теорема сложения вероятностей. Следствия.
Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.
Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Вопрос 5.
Р(А*В)=Р(В/А)*Р(А)=Р(А/В)*Р(В)
вероятность двух событий равна произведению условной вероятности одного из них на безусловную вероятность другого.
Р(А*В*С)=Р(В/А)*Р(А)*Р(С/АВ)
Р(ф/В)=Р(А).
Вопрос 6.Формула полной вероятности:
Теорема:
Пусть событие а может произойти с одним из событий H1,H2…Hn, образующих полную группу событий называемых гипотезой.
см лекцию
7. Формула Байеса
Имеется событие А которое может произойти с одной из гипотез Н1,Н2…Нn которые образуют полную группу событий
Событие А произошло
Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
8. Повторные опыты. Формула Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа
Испытания или опыты называют независимыми, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту.
Пусть, в общем случае, производится независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в испытаниях наступит событие , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна .
Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие наступит, а в остальных испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий
,
где .
Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .
Таким образом, вероятность того, что событие наступит ровно в испытаниях определяется по формуле
, (3.3)
где .
Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.
Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?
Решение. По формуле Бернулли находим
Пусть в каждом из независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью , (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через вероятность ровно появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между и .
Локальная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где - функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Интегральная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а)
б) при больших верно .
Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
Решение. По условию , откуда
По таблицам найдем .
Искомая вероятность равна:
Вопрос 9.
закон дискрет.распределения:
Дискретное распределение удобно задавать таблицей:
|
Х |
а1 |
а2 |
… |
an |
|
Р |
Р1 |
Р2 |
… |
Pn |
Рi= P(x=ai), i=1,n сумма вероятностей =1.
Случ.вел. х имеет непрерывное распределение если существует неотрицательная функция f(x), такая что для любого промежутка (а,в) числовой прямой
Р(х(а,в))=
f(x)-плотность распределения.
Она должна удовлетворять:
1.f(x)>=0
2.
Вопрос 10.
Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.
F(x) = P (X <x).
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функции распределения есть неубывающая функция, х1<x2.F(x1)<=F(x2).
3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1)
4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то
F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b.
5. Справедливы следующие предельные отношения
Вероятность попадания случайной величины на заданном участке.
Для определенности условимся левый конец α включать в участок (α, β), а правый нет: α ≤ Х < β.
Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины Х. Для этого рассмотрим три события:
событие А, состоящее в том, что X < β;
событие В, состоящее в том, что X < α;
событие С, состоящее в том, что α ≤ Х < β.
Событие А по теореме сложения вероятностей равно А = В + С и его вероятность Р(А) = Р(В) + Р(С) или P(X < β) = P(X < α) + P (α ≤ Х < β). Но вероятность нахождения случайной величины левее некоторой текущей переменной есть ни что иное, как функция распределения:
F(β) = F(α) + P (α ≤ Х < β) откуда
P (α ≤ Х < β) = F(β) - F(α)т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределении на этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок (α, β), полагая, что β→α. В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение α:P(X=α) = limβ→α P(α ≤ Х < β) = limβ→α [F(β) - F(α)]
?11.Плотность распределения случайной величины. Свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.
Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:
. (6.7)
При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.(f(x))
Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.
Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения.
Значит, наряду с функцией распределения, плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задает ее закон распределения.
1. Плотность распределения – неотрицательная функция:p(t)0.
Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.
2. =1.
3. P(a<x<b)=F(b)-F(a) - Вероятность попадания случайной величины на заданный участок???
12. Числовые характеристики случайной величины. Центральные моменты. Дисперсия.
Математическое ожидание – среднее значение случайной величины. Сумма произведении всех возможных значений с.в. на вероятности этих значений. Центральный момент первого порядка
1.Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C, C – постоянная;
2. M[C•X]=C•M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y], если X и Y независимы.
Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероятности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Второй центральный момент с.в. Х
D(X)=M(X2)-M2(X)
для непрерывной случайной величины
Свойства:
1. D[C]=0, C – постоянная;
2. D[C•X]=C2•D[X]
3. D[X+Y]=D[X]+D[Y]
4. D[X-Y]=D[X]-D[Y]
5. D[X]0
Дисперсия числа появлений в n независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью р появления события в каждом испытании и вероятностью не появления события q вычисляется
по формуле
D(X) = n*p*q
Средний квадрат отклонения с.в.
Число, M[X-M[Xk]], центральный момент порядка k с.в. Х
Вопрос 13. Характеристики случайной величины: центральный момент и дисперсия
следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка:
Здесь m = М ( Х ).
Свойства дисперсии:
Вопрос14.
1)Биноминальное распределение:
2)Геометрическое распределение.
3)Распределение Пуасона.
15. Законы распределения – равномерный, показательный.
Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величину Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, т.е. f(x) имеет вид:
Функция плотности Функция распределения F(x)
вероятности f(x)
Вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал ), принадлежащий,( целиком отрезку [a, b]:
Пример. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.
Непрерывная случайная величина Х имеет Показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид
Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна
Кривая распределения Р(Х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.
Рис. 8.13
Для случайной величины, распределенной по показательному закону
; .
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону
.
Пример. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону
Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .
Решение. Поскольку , то
16. Нормальный закон распределения. Параметры нормального закона. Свойства.
Нормальный закон распределения.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и (обозначают ), если ее плотность вероятности имеет вид:
где , .
Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами и (обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.
Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.
1. Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х1;х2) используется формула:
.
2. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:
.
3. "Правило трех сигм". Если случайная величина , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры ( и ), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.
Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).
.
Вопрос 17:
данная функция представляет собой, функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами
Условимся называть функцию нормальной функцией распределения.
вероятность попадания случайной величины х на интервале от а до в:
Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины х, распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в данной формуле имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.
Свойства функции:
1.
2.
3.- не убывающая функция.
Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что .
На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины . Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле получим:
Вопрос 18. числовые характеристики системы двух случайных величин. Начальные, центральные моменты.
Найти начальный смешанный момент порядка (1;0)
1,0=М[x11;x20]=M[x1]
2,0= М[([1-mx1)2*(x2- mx2)0]=D[x1]
0,2= М[([1-mx1)0*(x2- mx2)2]=D[x2]
Особую роль имеет центральный смешанный момент порядка (1;1)
1,1= М[([1-mx1)1*(x2- mx2)1]= математическое ожидание произведения центрированных величин х и у.
1,1-называет ковариацией и обозначают cou(x1;x2).
19. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Чтобы привести ковариация (cov) к линейным единицам измерения, нормируют cov
Коэффициент корреляции
Корреляция, это степень зависимости между двумя случайными величинами X и Y. Для исследования подобных зависимостей пользуются конечным (выборочным) набором пар значений (x1 , y1) , (x2 , y2) ,…, (xn , yn)
где xk — k-е значение случайной величины Х, а yk — соответствующее ему значение случайной величины Y.
Корреляция - величина, отражающая наличие связи между явлениями, процессами и характеризующими их показателями.
Корреляционная зависимость - определение зависимости средней величины одного признака от изменения значения другого признака.
Коэффициент корреляции величин х и у (rxy) свидетельствует о наличии или отсутствии линейной связи между переменными:
где (-1; 1). Если: = -1, то наблюдается строгая отрицательная связь; = 1, то наблюдается строгая положительная связь; = 0, то линейная связь отсутствует.
- ковариация, т. е. среднее произведение отклонений признаков от их средних квадратических отклонений.
Коэффициент корреляции может служить мерой зависимости случайных величин.
20. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент линейной регрессии.
Вероятность зависимости означает, что с изменением с.в. Х, с.в. Y имеет тенденцию также изменяться.
Уравнение линеной регрессии Y на Х – уравнение Y= ax+b, параметры которого минимизируют остаточную дисперсии.
S(a,b)=M[(Y-(ax+b)2]mina,b
Точка является решением этой системы, будет доставлять минимум S(a,b)
Коэффициенты линейной регрессии.
b=-amx+my
Подставим коэффициенты в уравнение линеной регрессии
Y-mx=xy*(x-mx)
Вопрос 21.
Если СВ зависимы м/у собой то для характеристики их зависимости вводиться понятие условного закона распределения.
Условный закон распределения одной из СВ входящих в систему ХУ называется ее закон распределения найденный при условии что другая СВ принела определенное значение.
Условная плотность, условное мат.ожидание обладает всеми св-ми плотности и мат.ожидания.
Вопрос 22.
Ранее было приведено понятие линейной регрессии, более общее понятие когда нет основания предполагать наличие линейной зависимости.
Регрессией ХУ- называется условное мат.ожидание.
Пример: