Экспериментальная и теоретическая физика ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТО
Работа добавлена на сайт samzan.net:
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Приборостроительный факультет
Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Методические указания к лабораторной работе № 5
по дисциплине «Общая физика»
раздел «Механика. Молекулярная физика»
Минск 2013 г.
Указание по мерам безопасности
при выполнении лабораторной работы
Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.
Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.
К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.
Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:
- усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;
- ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;
- проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;
- проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;
- в случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;
- получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.
Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.
При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:
- не оставлять без присмотра включенные приборы;
- не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;
- при работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.
замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.
Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру
По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.
Лабораторная работа № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Цель работы:
ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов;
изучить условия образования и особенности стоячей волны.
Задачи работы
определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны;
определить для воздуха отношение изобарической теплоемкости к изохорической.
Понятие о волнах.
Процесс распространения возмущений (колебаний) в среде называется волновым движением или просто волной. В упругих средах (средах сопротивляющихся их растяжению-сжатию или сдвигу) под возмущением понимают периодически изменяющуюся деформацию и (или) связанное с ней отклонение частиц среды от положения равновесия. При рассмотрении процессов распространения волн в различных средах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают среды как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний.
Важно отметить, что распространение волн не вызывает переноса вещества (частиц среды), хотя при этом переносится энергия, с определенной скоростью, называемой скоростью волны. Скорость колебательного движения частиц отличается от скорости волны.
В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике в о л н а м и называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.
В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о волнах продольной или поперечной.
Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).
Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются в средах, в которых возможна деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны могут распространятся на границе раздела двух сред (например, волны на поверхности воды ).
В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности, т.е под возмущением можно понимать изменение давления (и соответственно плотности), которое воспринимается слуховым аппаратом человека.
Уравнение плоской волны. Фазовая скорость
Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых в данный момент времени доходят колебания. Фронт волны разделяет области пространства уже вовлеченную в волновой процесс и еще не вовлеченную. Волновых поверхностей существует бесконечное множество и они неподвижны, а фронт волны один и он перемещается с течением времени.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0, перпендикулярной направлению распространения волны, начинают в момент t=0 совершать колебания по гармоническому закону относительно исходного положения равновесия. Это значит, что смещение частиц от их положения равновесия ξ изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:
, (1)
где ξ - смещение данных частиц от их исходного положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.
Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, соответствующей произвольному значению x>0. Пусть волна распространяется в направлении возрастания координаты х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости x, волне требуется время
(2)
где υ -скорость перемещения постоянной фазы (фазовая скорость).
Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ и будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ, а именно:
(3)
С учетом (2), выражение (3) преобразуется:
(4)
Уравнение (4) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х. Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия).
Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (4) преобразуется к виду:
(5)
Расстояние , на которое волна распространяется за период колебаний Т, называется длиной волны.
Учитывая, что
(6)
где k – волновое число. Уравнение волны (4) можно записать в виде:
(7)
Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.1).
Как отмечено выше, упругие волны в газах представляют собой чередующиеся области с более высоким и более низким давлением и плотностью. Это иллюстрируется рис 1, на котором представлены для некоторого момента времени смещение частиц (а), скорости их колебаний (б), давление или плотность (в) в различных точках пространства. Частицы среды колеблются со скоростью (не путать с фазовой скоростью υ). Слева и справа от точек A1, A3, A5 и др. скорости частиц направлены к этим точкам. Поэтому в данных точках образуются максимумы плотности (давления). Справа и слева от точек A2, A4, A6 и др. скорости частиц направлены от данных точек и в них образуются минимумы плотности (давления).
Смещение частиц среды при распространении в ней бегущей волны в различные моменты времени представлены на рис. 2. Как видно, имеется аналогия с волнами на поверхности жидкости. Максимумы и минимумы отклонений от положения равновесия перемещаются в пространстве с течением времени с фазовой скоростью υ. С такой же скоростью перемещаются максимумы и минимумы плотности (давления).
Фазовая скорость волны зависит от упругих свойств и плотности среды. Формулы для фазовых скоростей продольной и поперечных волн выведены в Приложении I. Скорость распространения продольной волны:
(8)
Скорость распространения поперечной волны
(9)
где E – модуль растяжения и сжатия(модуль Юнга), G - модуль сдвига, ρ – плотность среды.
Рис. 1
Рис. 2
Звуковые волны в воздухе являются продольными. Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга в формулу (8) входит объемный модуль упругости, который равен отношению отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема
(10)
Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагая изменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать
(11)
При распространении волн в газах периодическое изменение давления и плотности приводит к изменению температуры различных участков среды, так как сжатие и разрежение происходят быстро, то смежные участки не успевают обменяться энергией. Такие процессы, происходящие без теплообмена с окружающей средой, называются адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона
(12)
Параметр γ называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении Cp и постоянном объеме Cv :
.
Взяв дифференциал от обеих частей равенства (12), получаем
,
откуда следует:
. (13)
Подставив (13) в (11), получим для модуля упругости газа
. (14)
Подставив (14) в (8), найдем скорость упругих волн в газах:
(15)
Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить плотность газа
, (16)
где - молярная масса.
Подставляя (16) в (15), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:
, (17)
где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.
Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.
Преобразуя формулу (17), получим:
(18)
Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.
В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (7), уравнение бегущей волны можно представить в виде:
(19)
где - волновое число.
Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:
(20)
Стоячие волны.
Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна.
Пусть падающая волна описывается уравнением (19), а отраженная – уравнением (20). По принципу суперпозиции суммарное смещение равно сумме смещений, создаваемых обеими волнами. Сложение выражений (19) и (20) дает
(21)
Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:
, (22)
где множитель
(23)
является амплитудой стоячей волны. Как видно из выражения (23), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).
Так как функция может принимать значения от 0 до 1, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения от Аs = 0 до Аs = 2А.
Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определить из равенства =1 или . Тогда для координат пучностей имеем
, (24)
где m = 0, 1, 2,... Координаты узлов определяются из равенства =0, откуда следует, что или они удовлетворяют условию:
(25)
Из (24) и (25) следует, что расстояние между соседними узлами, как и расстояние между соседними пучностями равно , а расстояние между соседними узлом и пучностью равно .
Из уравнения (22) следует, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. В частности, они достигают максимального отклонения в один и тот же момент времени. Для бегущей волны как следует из (19), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между стоячими и бегущими волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180о.
Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне подробно рассмотрено в Приложении II.
При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину, где . – плотность среды, - скорость упругих волн в среде. Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел (рис. 3). В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.
Рис.3.
В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.
Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).
Пусть плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра (см.рис.4 ), при этом один из краев цилиндра открыт, а другой закрыт поршнем. В столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем всегда будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.
В этом случае в цилиндре буду устойчивыми лишь такие колебания, для которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн , т.е. выполняется условие:
(26)
где m - любое целое число, большее нуля.
Из этого условия можно выразить длину волны
, (27)
или частоту колебаний
. (28)
Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (28), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой ν0 называют основным тоном, а остальные, с частотами 3, 5, 7, … - обертонами.
Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь, таким образом, выполнения условия (26). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно .
Методика определения скорости звука в воздухе.
Возникновение собственных колебаний в столбе воздуха можно использовать для нахождения скорости распространения звука в воздухе. Эту скорость можно определить, зная длину волны λ распространяющейся от источника колебаний с известной частотой , по формуле:
. (29)
Для измерения длины волны используется экспериментальная установка, состоящая из стеклянной цилиндрической трубы, внутри которой может перемещаться подвижной металлический поршень Р, перекрывающий сечение трубы. На противоположном конце трубы укреплен микрофон М (рис. 4). Он превращает акустические колебания в электрические, которые можно наблюдать на экране осциллографа (зависимость электрического сигнала от времени).
На поверхности трубы имеется узкое отверстие, через которое из динамика D в замкнутый объем (резонатор) поступает звуковая волна. При определенных положениях поршня возникает стоячая волна, аналогичная той, которая возникала бы при падении на поршень плоской волны, распространяющейся вдоль оси трубы (назовем ее осью х) и отражении от него. Перемещая поршень, можно добиться максимального сигнала в микрофоне. В этом случае положение пучности совпадает с положением мембраны микрофона, а на границе воздух-поршень образуется узел. Если частота фиксирована, то устойчивые колебания устанавливаются только при определенных расстояниях L между поршнем и мембраной, которые, как казалось бы, можно определить из формулы (28).
Рис. 4
Однако она справедлива только для идеального случая. Имеется несколько причин, по которым эта формула на практике оказывается весьма неточной.
Во-первых, данная формула соответствуют так называемым идеальным границам: акустическое сопротивление второй среды стремится к бесконечности (закрытая граница) или оно стремится к нулю (открытая граница). Второй причиной, по которой формула (28) оказывается неточной, являются так называемые волноводные эффекты, усиливающиеся по мере роста диаметра трубы. И также, поглощение энергии звуковой волны воздухом также вносит коррективы в указанную формулу.
По указанным причинам формула (27) соответствует только идеальным условиям и на практике точно не выполняется. Однако можно воспользоваться следующим обстоятельством.
Пусть при некотором минимальном значении расстояния между поршнем и микрофоном L=Lmin в нашем резонаторе возникают устойчивые колебания, о чем будет свидетельствовать максимальное значение сигнала в микрофоне (положение пучности совпадает с координатой мембраны xmic). Координату соответствующей границы поршень-воздух (или координату узла) обозначим х1 (рис 4.). По указанным выше причинам, зависимость амплитуды стоячей волны от пространственной координаты х вдоль оси трубы в интервале между х1 и xmic не будет точно описываться формулой (23) и расстояние между данными точками не равно λ/4. Как показывает опыт, в нашем случае, как и в ранее рассмотренном идеализированном, при увеличении длины столба воздуха на величину, равную точно λ/2, снова возникают устойчивые колебания и в микрофоне снова достигается максимум интенсивности. Увеличение длины столба воздуха достигается перемещением отражающей границы (поршня) в направлении от микрофона в новое положение х2. При этом модуль разности х1-х2 (равный разности длин столбов воздуха), уже с высокой степенью точности равен λ/2.
В пространстве между х1 и х2 образуется обычная стоячая волна, для которой зависимость амплитуды вдоль оси трубы уже хорошо описывается формулой (23). Распределение же амплитуды вдоль оси трубы в промежутке между х1 и xmic будет таким же, как и в первом случае. При достаточно длинной трубе возможно несколько положений поршня левее точки х2, при которых достигается максимум сигнала в микрофоне, и расстояние между любыми такими соседними положениями поршня с высокой степенью точности будет составлять λ/2(например, положение х3 на рис. 4).
Задание
1. Включить осциллограф. На звуковом генераторе установить значение первой из указанных частот и включить генератор.
2. Перемещая поршень в направлении от микрофона, определить два соседних положения поршня, х1 и х2, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе, с которым соединен микрофон. За положение поршня принимается координата плоскости поршня, от которой отражается волна (т.е. плоскости, обращенной к микрофону).
3. Определить скорость звука в воздухе, используя формулу
, (30)
где - частота колебаний звукового генератора, - измеренное расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе (т.е. расстояние между соседними узлами).
4. Повторить пункты 2-3 для двух других частот.
5. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности измерения скорости звука.
6. Рассчитать показатель адиабаты для воздуха по формуле (18).
7. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности измерения показателя адиабаты.
Таблица 1
Номеризмерения |
υ= Гц |
υ= Гц |
υ= Гц |
|||||||||
|
Х1,м |
Х2,м |
l,м |
Δl,м |
Х1,м |
Х2,м |
l, м |
Δl,м |
Х1,м |
Х2,м |
l, м |
Δl, м |
|
|
1 2 3 |
||||||||||||
|
Среднее Значение |
Таблица 2
|
μ, |
R, |
Т,К |
Таблица 3
|
υ, Гц |
ευ |
Δυ, Гц |
, м |
, м |
v, м/c |
εV |
Δv, м/c |
γ |
εγ |
Δγ |
Контрольные вопросы
- Что такое волна?
- Какие волны называются продольными, а какие поперечными?
- Приведите формулы для скоростей продольных и поперечных волн.
- Напишите уравнения бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х и в противоположном направлении. Что определяется величиной у?
- Что такое длина волны?
- В каком случае возникают стоячие волны? Напишите уравнение стоячей волны.
- Какие особые точки имеются у стоячей волны?
- Чем стоячие волны отличаются от бегущих?
- Как определяется длина волны, используя методику стоячих волн?
- Приведите схему лабораторной установки.
Литература
- Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов /
Т.И. Трофимова - М.: Высш. шк., 2007. - С. 253-258. - Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие: в 3-х т. / И.В. Савельев - Механика. Молекулярная физика. - Т.1. - М.: Наука, 1987. – С. 181 – 198.
- Петровский И.И. Механика / И.И. Петровский. - Мн.: Изд-во Белорус. ун-та, 1973.– 352 с.
- Сивухин Д.В. Механика: Учеб. пособие для вузов / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. – 576 с. – Общий курс физики. - Т.1.
Приложение I.
Фазовая скорость волны зависит от упругих свойств и плотности среды. Предположим, что имеется длинный упругий стержень (рис. 3) с площадью поперечного сечения, равной S , в котором распространяется продольное возмущение вдоль оси х с плоским волновым фронтом. Пусть за промежуток времени от t0 до t0+Δt фронт переместится от точки А до точки В на расстояние АВ = υ Δt, где υ – фазовая скорость упругой волны. Длительность промежутка Δt возьмем настолько малой, что скорость движения частиц во всем объеме (т.е. между сечениями, проходящими перпендикулярно оси х через точки А и В) будет одинаковой и равной u. Частицы из точки А за указанный промежуток времени переместятся на расстояние u Δt. Частицы же, расположенные в точке В, в момент t0+Δt только начнут движение и их перемещение к данному моменту времени будет равно нулю. Пусть первоначальная длина участка АВ равна l. К моменту t0+Δt она изменится на величину u Δt, которая и будет величиной деформации Δl. Масса участка стержня между точками А и В равна Δm = ρSυΔt, ρ – плотность материала упругого стержня. Изменение импульса этой массы за промежуток времени от t0 до t0+Δt равно
Δр = ρSυuΔt (31).
Силу, действующую на массу Δm, можно определить из закона Гука: относительная деформация пропорциональна нормальному напряжению F/S, коэффициент пропорциональности 1/E, E – модуль растяжения и сжатия(модуль Юнга):
По второму закону Ньютона , или . Приравни-
вая правые части последнего выражения и выражения (31), получим:
откуда следует:
. (32)
Скорость распространения поперечной волны
(33)
где G - модуль сдвига.
Рис. 5
Приложение II.
Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне приведено на рис. 6. За начальный момент времени принят момент, когда частицы среды максимально отклонены от исходного положения равновесия (кривая 1).
Рис. 6
Кривая 2 соответствует моменту. В момент отклонения всех частиц равны нулю (кривая 3). Далее при происходит отклонение в противоположном направлении. Так, для частиц, находящихся между узлами А1 и А3, смещение становится отрицательным, а для частиц, расположенных между узлами А3 и А5 –положительным. Кривая 4 соответствует моменту, а кривая 5 –моменту.
В данный момент времени достигается максимальное отклонение в противоположном направлении. Далее отклонения в моменты времени , , и , представленные кривыми 6, 7, 8 и 9, совпадают с отклонениями в соответствующие моменты первого полупериода (т. е. кривая 6 совпадает с кривой 4 и т.д.). Как видно, с момента смещение частиц снова изменяет знак.
PAGE 13
2. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора медичних наук Київ ~ Дисер
3. Три подхода к музыкальному наследию
4. Обработка табличной информации с помощью сводных таблиц средствами MicroSoft Excel
5. Развитие и размещение художественных промыслов на территории РФ
6. Биохимические сдвиги в организме при мышечной работе
7. тема культуры здоровья передаваемая по наследственной цепочке из века в век
8. Женщина при должности
9. Wee Free Men 2003 Перевод Ольги Владимировой Глава 1.html
10. Сияние Тренинг- Холодные звонки ~ алгоритм успеха 12 марта 2014 года с 1000 до 1800 Продажи по телефон
11. Бухгалтерский учет векселей в коммерческом банке
12. Тема- Путешествие в сказку со Снежной королевой
13. Заклинание1 амулеты и привораживание2 являются многобожиемrdquo;
14. относительно устойчивая структура умственных способностей индивида Психологический словарь
15. соотношения сил между синими и белыми воротничками
16. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ ~ Дисертац
17. модуль ПМ.01 Организация и управление торговосбытовой деятельностью Разработала
18. Курсовая работа- Психологическая сущность игры дошкольника
19. определение жизненно важных для России и достижимых стратегических и тактических целей Важность совпаден
20. темах управления качеством изделий является стандартизация ~ нормотворческая деятельность которая находит