Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Математическое программирование
Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х, x, ... , xn) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).
(2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b min
Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные х, х, ... , хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x, ... , xr,0, ... ,0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
1 0 ... 0 ... 0 a,r+1 ... as ... an b
0 1 ... 0 ... 0 a,r+1 ... as ... an b
.................................................................
0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi
.................................................................
0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br
0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b
Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b,b, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b,b, ... ,br, 0, ... ,0) = b (см. Последний столбец !).
Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b, то соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е. сj 0 (j = r+1, n) => min f (b, ... ,b,0, ... ,0) = b.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais 0 ( i= 1,r ) => min f = -.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):
akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;
ais ais
bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail
ais ais
Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.
Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет условию
bi = min bk
ais0 aks0+
где s - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.
а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки;
б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;
Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие
Замечания.
5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных)
Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = cx1 + cx геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с,с).
Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.
На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.
Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:
Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А, А, ..., Аm соответственно в количествах а, а, ..., аmединиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В, В, ..., Вn соответственно в количествах b, b, ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы минимальны.
Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из Ai в Bjгруза Xij > 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij:
Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели
Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij№ 0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно r.
Случай открытой модели Σаi № Σbj легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=Σai-Σbj, либо - фиктивного поставщика Аm+1c запасом am+1=Σbj-Σai ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.
Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj, удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).
Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a=0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.
Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj Ј Ci j, то X является оптимальным планом транспортной задачи.
Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.
Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям:
Пустой клетке присваивают знак “+ ”, остальным - поочередно знаки “- ”и “+ ”.
Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}.Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:
Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X) Ј f(X); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.
а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;
б) находим одно из ее решений при a=0;
в) находим суммы ai+bj=Cўij (“косвенные тарифы”) для всех пустых клеток;
г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинных(Cўij Ј Cij) во всех пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.
Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу.
а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (Cўij= ai+bj > Cij );
б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки “+ ”, “- ”в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке “+ ”;
в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij- числа в заполненных клетках со знаком “- ”;
г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла
Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.