Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К практическим занятиям
По курсу «Математика. Раздел: Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Выпуск 8.
Тема 8: Точечное оценивание параметров распределений.
Для решения задач по данной теме необходимо освоить теоретический материал в соответствии с программой курса: раздел 4.2, подразделы 1 и 2. Для этого необходимо изучить разделы учебных пособий: [3], глава 2, [6],глава 11, [8],глава 8, [9],глава 4.2.
1. Решение типовой задачи. Рассмотрим задачу 13.
Функция максимального правдоподобия
.
Уравнение максимального правдоподобия:
.
Отсюда точечная оценка: .
Эта оценка – смещенная, так как несмещенной является оценка
.
В самом деле:
.
Делая здесь замену переменных: m–1 = l , n – 1 = k , получим:
.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Отказ прибора произошел при k-ом испытании. Найти МП-оценку вероятности отказа р при одном испытании и математическое ожидание оценки, Является ли оценка несмещенной?
Задача 2. Вероятность того, что событие А произойдет в m-ый раз при n-ом испытании, задается распределением Паскаля:
Pn = Cm-1n-1 pm (1-p)n-m, n=m, m+1, m+2,…
Найти МП-оценку параметра р.
Задача 3. Используя метод моментов, найти точечную оценку параметра k – числа степеней свободы хи-квадрат распределения по полной выборке с независимыми элементами.
Задача 4. Испытания 10 приборов проводились до двух отказов каждого. Суммарная наработка всех приборов составила 24000 час. Оценить среднее время безотказной работы одного прибора, если известно, что закон распределения случайного времени до отказа экспоненциальный.
Задача 5. За первые 10000 час наблюдения за 500 генераторами постоянного тока (ГПТ) отказало 12 из них в моменты: 80, 120, 180, 600, 680, 2100, 3200, 4300, 5000, 6800, 7800, 9300 час. Считая распределение времени до отказа экспоненциальным, найти МП-оценку среднего времени наработки ГПТ до отказа.
Задача 6. Независимые случайные величины Х1, Х2,…,Хn имеют распределение Пуассона с параметром . В эксперименте вектор принял значение (х1, х2,…,хn). найти МП-оценку параметра распределения. Исследовать несмещенность и эффективность.
Задача 7. Наблюдения за простейшим потоком автолюбителей, въезжающих на АЗС, показало, что за n часов заправилось х машин. Найти МП-оценку параметра потока и исследовать состоятельность, несмещенность и эффективность.
Задача 8. При помощи n различных приборов измерены n значений случайной величины Х. В предположении, что Х имеет нормальное распределение с матожиданием m, а дисперсия i-го измерения равна i2, найти МП-оценку для m. Показать, что оценка несмещенная, вычислить дисперсию.
Задача 9. Используя метод моментов, найти точечные оценки параметров распределения Вейбулла по простой случайной выборке.
Задача 10. Показать, что объединенные оценки мат. ожидания и дисперсии, полученные по двум независимым выборкам объемов n1 и n2 из одной генеральной совокупности, вычисленные по формулам:
X* = (n1X1 + n2X2)/(n1+n2), s2 = ((n1-1)s12+(n2-1)s22)/(n1+n2-2),
Являются несмещенными и состоятельными. Здесь:
n1 n1+n2 n1 n1+n2
X1= ( xi )/n1 , X1= ( xi )/n2 , s12= ( (xi-X1 )2 )/(n1-1) , s22= ( (xi-X2)2) )/(n2-1).
i=1 i=n1+1 i=1 i=n1+1
Задача 11. Пусть * является несмещенной и состоятельной оценкой параметра . Показать, что квадрат оценки (*)2 будет уже смещенной оценкой квадрата параметра 2 .
Задача 12. Пусть 2* является несмещенной и состоятельной оценкой квадрата параметра 2 . Показать, что * = ( 2*)0,5 будет уже смещенной оценкой параметра .
Задача 13. Пусть Т – число испытаний до m-го появления случайного события А в однородных испытаниях Бернулли. Эта случайная величина имеет распределение Паскаля:
.
Найти МП-оценку параметра р и исследовать ее на смещенность.