Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6
Пособие предназначено для краткого повторения раздела “Статика” курса “Теоретическая механика”.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, АКСИОМЫ И ТЕОРЕМЫ СТАТИКИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1. Сила и система сил. Равновесие абсолютно твердого тела
В основе механики лежат опытные факты, полученные в результате наблюдений и экспериментов над объектами и явлениями материального мира. На основе обобщения фактов выработаны основные понятия, которые отражают фундаментальные свойства реальных объектов и явлений, относящихся к данному разделу науки, а также зависимости и отношения между основными понятиями. Они формулируются в виде системы аксиом. Аксиомы представляют собой формулировку простейших и общих законов механики, установленных многочисленными непосредственными наблюденями, а также опытной проверкой следствий, логически вытекающих из этих аксиом. Таким образом, аксиомы не могут быть доказаны логическим путем, но они не должны противоречить всем известным экспериментальным фактам. Принятая система основных понятий и аксиом должна отвечать ряду требований, в частности требованиям независимости, полноты и непротиворечивости. На базе основных понятий и аксиом логическим путем вводятся новые производные понятия, доказываются различные достаточно общие следствия —теоремы, выявляются новые связи и зависимости между объектами и явлениями.
Очевидно, что выбор системы основных понятий и аксиом не единствен —данные понятия можно трактовать как производные, а аксиомы как теоремы, и их можно логически обосновывать и доказывать с помощью других понятий и зависимостей. Тогда последние должны быть экспериментально подтверждены. Хотя в логическом отношении все правильно выбранные системы основных понятий и аксиом равноправны, практически используется та система, которая отвечает принципу “экономии мышления”, т.е. наиболее простая система в смысле дальнейшего применения и легче всего проверяемая экспериментом.
Основным понятием механики является понятие силы как меры механического взаимодействия материальных тел (объектов). В результате этого взаимодействия тела могут изменять свои ускорения или деформироваться (изменять свою форму), т.е. изменять свое состояние. Сила является вектором и, следовательно, характеризуется численным значением (модулем), направлением действия и точкой приложения ее к телу. Модуль силы измеряется или задается путем сравнения с эталонным значением, принятым за единицу. Направление и точка приложения силы зависят от характера взаимодействия рассматриваемых тел. Если известны направление и точка приложения силы, то тем самым задана линия действия силы, т. е. прямая, вдоль которой направлена сила.
В статике реальные тела часто заменяют некоторыми другими телами с идеальным свойством - абсолютно твердыми телами, у которых расстояние между любыми двумя точками в любые моменты времени остаются неизменными (независимо от действия тех или иных сил на эти тела).
Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Все, что ограничивает перемещения его в пространстве, называется связью. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным перемещениям, называется силой реакции связи или реакцией связи. В противоположность ей внешние силы, не являющиеся реакциями связей, называются активными силами. Если твердое тело взаимодействует с идеально гладкой (без трения) поверхностью другого тела, то реакция направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям. В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное тело (перемещения которого ограничены другими телами) можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к данному телу.
В статике вводится понятие покоя, т. е. отсутствия перемещения по отношению к системе (телу) отсчета. Покоящееся тело находится в положении равновесия, т. е. таком положении, которое сохраняется неограниченно долго, если только в начальный момент времени тело уже находилось в нем и скорости всех точек тела были равны нулю. Если движением тела отсчета можно пренебречь, то равновесие условно называют абсолютным; в противном случае оно относительно.
Совокупность сил, действующих на тело, называют системой сил. Если одну систему сил, действующих на свободное тело, можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то эти системы эквивалентны. Система сил, под действием которой тело может находиться в покое, считается уравновешенной.
Если система сил, приложенных к телу, эквивалентна одной силе, то последняя называется равнодействующей данной системы, а сила, равная ей по модулю, действующая по одной с ней прямой, но в противоположном направлении, —уравновешивающей силой.
1.2. Основные аксиомы статики
В статике приняты следующие аксиомы.
Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда силы равны по модулю и направлены по одной и той же прямой в противоположные стороны.
Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему.
Из этих двух аксиом вытекает важное следствие —действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если ее перенести вдоль линии действия в любую другую точку тела. Другими словами, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.
Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена к той же точке.
Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.
1.3. Сходящиеся силы и пары сил.
Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Следствием из аксиом 1—является возможность приведения системы любого числа сходящихся сил к одной равнодействующей, представляющей векторную сумму всех этих сил. Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на оси декартовой системы координат равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси. Кроме того, можно показать, что к равнодействующей силе сводится не только система сходящихся сил, но и система, включающая одинаково направленные параллельные силы, и две противоположно направленные параллельные силы с неравными модулями. Две параллельные, равные по модулю, но противоположно направленные силы называются парой сил. Пара сил не имеет равнодействующей; она представляет собой неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой.
1.3. Пространственная система сил.
Для описания равновесия в случае произвольной системы сил требуются дополнительные определения.
Моментом силы относительно какой-либо точки O (центра) называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы относительно точки O на вектор . Этот момент можно определить и как вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от точки O до линии действия силы, и направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через указанную точку и линию действия силы в ту строну, откуда “вращение”, совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Такой момент равен нулю тогда и только тогда, когда сила и ось лежат в одной плоскости. Момент , по определению, является свободным вектором, который может быть перенесен без изменения результата действия в любую точку тела.
Проекция этого момента на заданную ось z называется моментом силы относительно оси z. Момент может быть вычислен как момент проекции силы на перпендикулярную оси плоскость, который взят относительно точки пересечения оси с плоскостью. Заметим, что проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекциями начала и конца силы на рассматриваемую плоскость. Знак момента выбирается в соответствии с ранее оговоренным правилом (если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси, что проекция силы стремится повернуть тело вокруг рассматриваемой оси против хода часовой стрелки, то берется знак “плюс”, и в противном случае — знак “минус”).
Сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки, не зависит от положения этой точки и равна моменту пары. В соответствии с приведенными выше определениями можно отметить, что момент пары сил представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары (плоскости, в которой лежат обе силы), равный по модулю произведению модуля одной из сил на плечо пары (т.е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары) и направленный в ту сторону, откуда “вращение пары” видно происходящим против хода часовой стрелки. Момент пары полностью характеризует меру воздействия пары сил на абсолютно твердое тело. Справедливы следующие утверждения:
- две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны; другими словами, пара сил не изменяет оказываемого на абсолютно твердое тело действия при переносе ее в любую принадлежащую телу точку, если плоскость пары переносится параллельно самой себе;
- система нескольких пар приводится к одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов всех пар.
Термины «момент», «пара», «плечо» были введены в 1804 г. французским ученым Луи Пуансо (Роinsot, 1777-1859 г.г.).
Пользуясь понятием пары можно сформулировать лемму о параллельном переносе силы: сила, приложенная в какой-либо точке абсолютно твердого тела, эквивалентна системе, состоящей из такой же силы, приложенной в любой другой точке этого тела, и из пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения (рис. 1.1). Использование этой леммы дает возможность привести произвольную систему сил к некоторой произвольно фиксированной точке О, которая называется центром приведения. Все действующие на тело силы переносятся параллельно в центр приведения. Одновременно прикладываются пары сил, компенсирующие перенос. В результате исходная система сил оказывается за-мененной системой сходящихся в центре приведения сил и пар сил. Последние, допуская перенос, параллельный плоскости пары, могут рассматриваться приложенными также к точке приведения.
В соответствии со следствием из аксиом система сходящихся сил может быть заменена одной равнодействующей, равной векторной сумме всех сил и приложенной в центре приведения. Такая равнодействующая называется главным вектором системы. Все пары сил могут быть геометрически просуммированы. Получающийся в результате момент называется главным моментом системы относительно центра приведения. Численно он равен геометрической сумме моментов всех действующих на тело сил, взятых относительно центра приведения. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое известно как основная теорема статики (теорема Пуансо): всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту системы всех сил относительно центра приведения.
В результате приведения системы сил к некоторому центру получаем так называемые главный вектор и главный момент. Но почему мы здесь используем слово «главный»?
Эти старые термины не совсем хороши, поскольку могут дезориентировать кого-то из студентов. Они возникли в результате неверного перевода французского слова «generate», обозначающего «общий», а вовсе не «главный». Эти термины имеют слишком большой «стаж». Они закрепились в великом множестве изданных книг и стали уже традиционными.
Выше описан закон эквивалентной замены произвольной системы сил простой системой (одной силой и одной парой) на основе геометрического способа (суммирования). Общим способом подобной замены является и аналитический способ. В соответствии с ним проекции главного вектора на координатные оси декартовой системы с началом в центре приведения O находятся как суммы проекций , и сил , составляющих исходную систему:
; ; , .
Модуль главного вектора вычисляется по формуле
,
а направление определяется направляющими косинусами
Для вычисления проекций главного момента имеем
где и - координаты точки приложения силы .
Модуль и направляющие косинусы вектора равны
;
1. 4. Условия равновесия пространственной и плоской систем сил
Для равновесия свободного тела под воздействием произвольной системы сил необходимо и достаточно равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил, действующих на тело, относительно произвольно выбранной точки приведения, т.е. и .
В проекциях на координатные оси эти условия сводится к требованию равенства нулю суммы проекций всех сил на каждую ось координат
; ; , ()
и суммы моментов всех сил, взятых относительно каждой оси
Такая форма записи условий равновесия тела наиболее употребительна при решении практических задач. Первые три уравнения соответствуют условиям отсутствия поступательных смещений тела вдоль любой оси, а три последних —отсутствию вращений вокруг осей, параллельных соответствующим координатным осям, если до приложения сил тело было в покое.
Условия равновесия могут быть использованы и для анализа равновесия несвободного тела. Для этого достаточно заменить связи реакциями и включить последние в состав системы сил, действующих на тело.
В случае расположения всех сил в одной плоскости равенство нулю суммы их проекций на ось, перпендикулярную этой плоскости, обеспечивается всегда. Момент каждой силы относительно оси, лежащей в плоскости действия сил, равен нулю. Поэтому из уравнений равновесия второй группы два удовлетворяются тождественно и в группе остается только одно уравнение. Таким образом, для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую из двух взаимно перпендикулярных осей координат, лежащих в плоскости действия сил, и сумма алгебраических моментов этих сил относительно любой точки данной плоскости были равны нулю.
Кроме этой первой формы условий равновесия плоской системы сил часто используются еще две формы (которые следуют из уравнений первой формы).
Вторая форма: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов сил системы относительно трех произвольных точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.
Третья форма: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, равенства нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенства нулю суммы проекций этих сил на ось, лежащую в этой плоскости и не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки плоскости.
1.5. Понятие устойчивости равновесия тела. При некоторых определенных значениях внешних сил тело может иметь несколько положений равновесия. Оказывается, что эти положения равновесия могут отличаться по качественным показателям. Например, одни из них устойчивы, другие нет. Оценка устойчивости равновесия механической системы, как правило, не может быть выполнена в отрыве от анализа возмущений этого равновесия и чувствительности системы к возмущениям. При одних значениях некоторых параметров системы ее чувствительность выражена сильно, при других –слабо.
Рассмотрим три качественно различных состояния равновесия. Если после возмущающего воздействия на тело, повлекшего вывод его из состояния равновесия, действующая на тело система сил стремится вернуть его в исходное равновесное положение, то рассматриваемое положение равновесия является устойчивым. В противном случае положение равновесия неустойчиво. Наконец, если система сил не стремится ни вернуть тело в исходное положение, ни еще больше отклониться от него, имеется безразличное равновесие. Так, тела, изображенные на рис. 1.2 (шар на поверхностях с различной кривизной, а также звено, состоящее из плоского тела и горизонтально оси, на которой оно закреплено), могут находиться под действием сил тяжести в условиях равновесия лишь тогда, когда их центры тяжести занимают самое низкое или наивысшее положение. В первом случае равновесие устойчиво (силы тяжести стремятся вернуть рассматриваемые объекты с отклоненными вправо или влево центрами тяжести в исходные равновесные положения, изображенные на рисунках), во втором неустойчиво. Частные случаи, когда шар лежит на горизонтальной плоскости или центр тяжести звена лежит на оси вращения, дают представление о безразличном равновесии.
Заметим, что сами возмущения могут быть качественно различными. Равновесие системы может быть устойчиво к возмущениям одного вида и неустойчиво по отношению к другим. Например, при сравнительно малых отклонениях от положения равновесия система может возвращаться в него, а при больших отклонениях не возвращаться; она может быть нечувствительна к статическим возмущениям, но чувствительна к динамическим.
|
Устойчивое равновесие |
Неустойчивое равновесие |
Безразличное равновесие |
|
Рис. 1.2. Положения шара на опорной поверхности и плоского тела с осью вращения при устойчивом, неустойчивом и безразличном равновесии. |
7