Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный университет»
(ФГБОУ ВПО «ВятГУ»)
Факультет автоматики и вычислительной техники
Кафедра электронных вычислительных машин
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА. ВНУТРЕННИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ. ПРИМЕРЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Реферат по дисциплине
«Алгебра и геометрия»
Выполнил студент группы ИВТ-11 _______________/Пентин М.А./
Номер зачетной книжки: № Д10-ФАВТ-2012-81
Проверил старший преподаватель _______________/Серова А.С./
Киров, 2012 год
Определение. Пусть X — произвольное множество. Топологической структурой или топологией в множестве X называется совокупность Ω его подмножеств, для которой выполнены три условия:
1) объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω;
2) пересечение любых двух множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω;
3) пустое множество Ø и все множество X принадлежат совокупности Ω.
Условия 1 - 3 называются аксиомами топологической структуры.
Определение 1. Множество X с выделенной топологической структурой Ω называется топологическим пространством и обозначается (X, Ω) или просто X, если ясно, о какой топологической структуре идет речь. Элементы множества X называются точками пространства (X, Ω).
Определение 2. Множества, входящие в выделенную совокупность Ω, называются открытыми в X множествами.
Аксиомы топологической структуры выражают следующие основные свойства открытых множеств:
а) объединение любого семейства открытых множеств открыто; б) пересечение любых двух открытых множеств открыто. Заметим, что, как следует из б) : б') пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. в) Пустое множество и все пространство открыты.
Примеры.
1) Если Ω совпадает с множеством всех подмножеств множества X, то топологическое пространство (X, Ω) называется дискретным. Мы видим, что в дискретном пространстве все множества открыты.
2) Если Ω содержит всего два множества: Ø и X, то топологическое пространство (X, Ω) называется антидискретным пространством или пространством с тривиальной топологией. В антидискретном пространстве только два открытых множества: пустое множество и все пространство.
3) Пусть X есть луч [0, +∞),а Ω состоит из Ø, X и всевозможных лучей (a , +∞), где a ≥ 0.
Для совокупности Ω аксиомы 2 и 3, очевидно, выполнены, а аксиома 1 просто означает, что объединение любого семейства таких лучей снова есть луч. Пространство (X, Ω) называется стрелкой.
Определение 3. Множество называется замкнутым в пространстве (X, Ω), если его дополнение X\F открыто, т. е.
Примеры.
1)В дискретном пространстве все множества замкнуты.
2) В антидискретном пространстве только два замкнутых множества: пустое множество и все пространство.
3) В стрелке замкнуты пустое множество Ø, весь луч [0, +∞) и отрезки вида [0, а], где а ≥0.
Расположение точки относительно множества. Принадлежность произвольной точки пространства замыканию, внутренности или границе множества может быть описана на языке окрестностей.
Определение 4. Пусть - произвольная точка. Точка х называется (рис. 2):
а) внутренней точкой множества А, если она лежит в А вместе с некоторой своей окрестностью;
б) граничной точкой множества А, если всякая ее окрестность пересекается и с множеством А, и с его дополнением
X\A.
Внутренние или граничные называются точками прикосновения множества A. Таким образом, точка точкой прикосновения множества A, если всякая ее окрестность пересекается с множеством А.
2.Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений:
Данный метод применяется для решения систем линейных уравнений, в которых основная матрица системы – невырожденная, а ее ранг равен числу неизвестных, и основан на приведении системы линейных к компактной матричной форме вида:
,
где A – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
A =
X = - вектор – столбец из неизвестных x,
B = - вектор – столбец из свободных членов b,
с последующим умножением обеих частей системы на матрицу, обратную матрице A ( ) слева или справа (слева и справа).
Данный метод основан на приведении системы линейных уравнений к ступенчатому виду (обращение в нуль всех элементов матрицы, стоящих под главной диагональю) при помощи элементарных преобразований, с последующим выражением одной переменной через другую и нахождением общего и частного решения системы.
Для решения систем линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно рангу невырожденной основной матрицы системы используют метод Камера .
Данный метод решения основан на формулах Крамера:
где Δ - определитель основной матрицы системы, все – неизвестные, а все – определители матрицы, которые получаются путем замены i – го столбца на столбец, состоящий из свободных членов.
Список используемой литературы
Стр.474-476 (Топологическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Примеры.), стр. 484-485 (Внутренние и граничные точки.).
Стр. 29-37 (Решение систем линейных алгебраических уравнений).