реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Ки
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Київський національний університет
будівництва і архітектури
Бусетта Мебарек
УДК 539.3
ПараМЕТРИЧНІ КОЛИВАННЯ ПЛАСТИН І ОБОЛОНОК
ПРИ ВИПАДКОВОМУ ЗБУДЖЕННІ
05.23.17 - Будівельна механіка
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ –2
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури (КНУБА) Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: -_доктор технічних наук, професор
Баженов Віктор Андрійович,
КНУБА, перший проректор, завідувач кафедри
будівельної механіки.
Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор
Сахаров Олександр Сергійович,
Національний технічний університет України “КПІ”,
професор кафедри хімічного, полімерного
та силікатного машинобудування;
- кандидат технічних наук, старший науковий співробітник
Фіалко Сергій Юрійович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,
старший науковий співробітник відділу
будівельної механіки тонкостінних конструкцій.
Провідна установа: - Донецький національний університет, кафедра
теорії пружності і обчислювальної математики, Міністерство освіти і науки України.
Захист відбудеться “”липня 2002 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д_26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03037, м. Київ, Повітрофлотський проспект, 31.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, м.Київ, Повітрофлотський проспект, 31.
Автореферат розісланий “4 ” червня 2002 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради,
к.т.н., с.н.с. Кобієв В.Г.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дослідження, пов'язані з аналізом параметричних резонансів у пружних системах, почали розвиватися у 20-х роках минулого століття. Серед перших розробок, у яких визначаються області динамічної стійкості стержнів при параметричному збудженні, були роботи М.М.Бєляєва, М.М.Крилова і М.М.Боголюбова. Систематичний виклад загальної теорії динамічної стійкості пружних систем приведений у монографії В.В.Болотіна. У цих дослідженнях вивчалися параметричні коливання детерміністичних систем. Далі, аналогічні питання розглядалися для стохастичних систем, поведінка яких описується за допомогою диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що випадково змінюються з часом. Задача формулюється як проблема стійкості тривіальних розв'язків цих рівнянь. Тут, перш за все, необхідно відмітити праці В.В. Болотина та його школи, монографії Р.Л. Стратоновича та Р.З. Хасмінського, а також роботи М.Ф. Діментберга, В.І. Кляцкина, С.Т. Ариаратнама та інші. В дисертації розглядаються питання стохастичної стійкості за сукупністю моментних функцій різних порядків. Така постановка дозволяє звести дослідження стійкості розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь до дослідження стійкості детерміністичних диференціальних рівнянь, які описують еволюцію моментних функцій.
Реалізація методу моментних функцій істотно залежить від вигляду стохастичного параметричного навантаження. Якщо зовнішнє навантаження є дельта-корельованим випадковим процесом, то детерміністичні диференціальні рівняння відносно моментних функцій можна одержати різними способами: шляхом почленного інтегрування рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), за допомогою методу варіаційних похідних або на основі прямого усереднення стохастичних рівнянь, використовуючи властивість некорельованості процесу, який задовольняє рівняння Іто, і випадкових збуджень типу білого шуму у відповідні моменти часу.
Задача ускладнюється при корельованому параметричному навантаженні. Якщо параметричне збудження є стаціонарним випадковим процесом із скінченною дисперсією і дробово-раціональною спектральною щільністю, то за рахунок розширення фазового простору питання про стійкість тривіального розв'язку вихідного стохастичного рівняння зводиться до вивчення еволюцій векторного дифузійного марковського процесу. При цьому задача стає нелінійною, що приводить до нескінченної послідовності моментних рівнянь. Постає проблема редукції цієї послідовності, яка до цього часу не знайшла адекватного вирішення.
При аналізі стійкості стохастичних систем, які описують параметричні коливання, збуджувані випадковим впливом із скінченним радіусом кореляції, перспективним уявляється функціональний підхід. У рамках цього підходу розглядається задача про стохастичний параметричний резонанс у пружних системах при експоненціально-корельованому параметричному збудженні.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до загального плану наукових досліджень, які виконувалися на кафедрі будівельної механіки і у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури. Тема роботи визначається дослідженнями, що проводилися в рамках теми 1ДБ-99 "Розвиток теоретичних основ і методів дослідження статичних і динамічних процесів деформування нелінійних систем при взаємодії з детерміністичними і стохастичними енергетичними полями різної природи" (№ держ. реєстрації 0199U002034), яка виконувалась за напрямком 04 "Екологічно чиста енергетика і ресурсозберігаючі технології". Автор брав безпосередню участь у виконанні цих науково-дослідних робіт як виконавець.
Мета і задачі дослідження полягають в розробці ефективного підходу до аналізу динамічної стійкості пружних систем для широкого класу стохастичних навантажень.
Основні задачі досліджень:
- формування математичних моделей, які описують параметричні коливання гнучких пластин і оболонок під дією випадкових навантажень;
- розробка ефективної методики побудови границь областей динамічної стійкості пружних систем для різних видів стохастичного навантаження, а саме, для дельта-корельованого, експоненціально-корельованого і комбінованого навантаження;
- розв'язання на основі запропонованої методики задач про параметричні коливання балок, пластин і оболонок;
- реалізація розроблених алгоритмів у вигляді програмного забезпечення;
- підтвердження вірогідності результатів, отриманих за допомогою запропонованої чисельної методики, в порівнянні з існуючими аналітичними та чисельними розв'язками.
Об'єктом дослідження є параметричні коливання деформівних континуальних систем при стохастичному збудженні.
Предметом дослідження є структура областей динамічної стійкості деформівних систем, збуджуваних стохастичним навантаженням.
Методи дослідження. Аналіз стохастичної стійкості пружних систем при параметричному навантаженні ґрунтується на дослідженні стійкості рівнянь від моментних функцій різних порядків. Процедура формування диференціальних рівнянь відносно моментних функцій істотно залежить від структури параметричного збудження. У випадку дельта-корельованого параметричного збудження побудова моментних рівнянь базується на методах теорії марковських процесів, а при експоненціально-корельованому параметричному збудженні –на апроксимації випадкового процесу сумою статистично незалежних телеграфних сигналів. При періодично нестаціонарних параметричних навантаженнях зазначені вище методи приводять до диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами. Для побудови границь областей стійкості відповідних систем застосовується розроблений у роботі метод продовження розв'язку за параметром.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:
- для широкого класу стохастичних параметричних навантажень розроблено ефективний підхід до аналізу динамічної стійкості пружних систем;
- розроблена чисельна методика формування систем диференціальних рівнянь відносно добутків фазових координат динамічної системи;
- на основі запропонованої методики створена алгоритмічна процедура побудови моментних рівнянь, які описують параметричні коливання пружних систем при дельта-корельованому, експоненціально-корельованому і комбінованому навантаженнях;
- на базі застосованого підходу з використанням методу продовження за параметром розроблена чисельна методика побудови границь областей динамічної стійкості пружних систем;
- побудовані області динамічної стійкості параметричних коливань балки, пластини та оболонки під дією випадкових зовнішніх навантажень різного типу;
- в результаті дослідження цих об'єктів виявлено, що структура областей динамічної стійкості істотно залежить від радіуса кореляцій параметричного навантаження.
Практичне значення одержаних результатів полягає в реалізації запропонованої чисельної методики у вигляді програмного забезпечення, за допомогою якого виконуються всі етапи досліджень, пов'язаних з аналізом стійкості параметричних коливань при стохастичному збудженні. Запропонована методика і створене на її основі програмне забезпечення може застосовуватися при аналізі динамічної стійкості силових елементів споруд та машин. В даний час розроблений програмний комплекс використовується у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури при виконанні досліджень, пов'язаних з проблемами параметричного резонансу у пружних системах при стохастичному навантаженні.
Особистий внесок здобувача. У дисертаційній роботі представлені результати досліджень, у яких особисто автору належить побудова математичних моделей, які описують параметричні коливання тонкостінних конструкцій, розробка чисельної методики дослідження стійкості параметричних коливань при стохастичному збудженні, створення алгоритмів і програм, проведення чисельних розрахунків на ПЕОМ та їх аналіз.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури: 53-ій (1993р.), 54-ій (1994р.), 57-ій (1997р.), 60-ій (2000р.) і 61-ій (2001р.).
Публікації. Основні положення дисертації і основні результати досліджень опубліковані у чотирьох працях, у тому числі в трьох працях у наукових фахових виданнях.
Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 135 найменувань на 10 сторінках і одного додатка. Загальний обсяг дисертації складає 207 сторінок, у тому числі основний текст на 151 сторінці, 51 рисунок, одна таблиця і додаток на одній сторінці.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтована актуальність теми, визначені мета і задачі досліджень, викладена загальна характеристика роботи.
У першому розділі приведений огляд літератури, присвяченої дослідженню динамічної стійкості деформівних систем при параметричному навантаженні. Показується, що ці задачі належать до однієї з найбільш теоретично складних і цікавих проблемних областей будівельної механіки, і в той же час вони мають велике практичне значення. Огляд дозволяє стверджувати, що в цій проблемній області питома вага досліджень, у яких розглядаються стохастичні навантаження, істотно менше тих, де вивчається детерміністична параметрична задача. Це пояснюється, по-перше, тим, що детерміністичні задачі почали розглядатися історично раніше, і, по-друге, значною складністю стохастичної постановки. Зокрема, якщо при дослідженні динамічної стійкості пружних систем при періодичному параметричному навантаженні, як правило, основним інструментом є апарат теорії Флоке, то при розгляді стохастичних задач таких універсальних способів немає. У цих задачах аналіз динамічної стійкості пов'язаний з низкою принципових труднощів. Так, при побудові систем рівнянь відносно моментних функцій постають проблеми, обумовлені появою нових невідомих. Ці проблеми строго вирішуються тільки для параметричних навантажень типу білого шуму. Можна стверджувати, що для навантажень із скінченним радіусом кореляції задовільного вирішення проблеми “нових невідомих”немає. Це одна з обставин, які обумовлюють актуальність проблем, розглядуваних у даній роботі. Друга обставина пов'язана з недостатньо широким використанням чисельних методів при дослідженні параметричних коливань континуальних систем.
Таким чином, усе сказане вище дозволяє стверджувати, що тема дисертаційної роботи, присвяченої розробці чисельних методів аналізу динамічної стійкості параметричних коливань пружних систем, збуджуваних корельованими стохастичними навантаженнями, є актуальною.
В другому розділі розробляються основні теоретичні положення, пов'язані з аналізом стійкості параметричних коливань динамічних систем при стохастичному навантаженні.
Нехай дискретна модель деякої континуальної системи, побудована, наприклад, методом скінченних елементів (МСЕ), записується у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь
Mu''+Cu'+Ku+ ц(t)KGu=0 (2.1)
де u(t)=(u1(t),u2(t),…,un(t))T - n-вимірний вектор узагальнених координат; M, C, K, KG - матриці мас, демпфірування, жорсткості і геометричної жорсткості відповідно; ц(t) - випадковий процес, який характеризує інтенсивність параметричного навантаження і визначається формулою
ц(t)= м0 + м1ц1(щt)+ м2z(t) (2.2)
де м0, м1, м2, щ - параметри навантаження; ц1(щt) - детерміністична -періодична функція; z(t)- або стаціонарний гауссів білий шум, або стаціонарний гауссів експоненціально-корельований випадковий процес. Саме тип випадкового процесу z(t) визначає спосіб побудови моментних рівнянь.
Вважається, що, параметричний резонанс настає при таких імовірнісних характеристиках випадкового процесу ц(t), при яких тривіальний розв'язок системи (2.1) стає нестійким у розумінні прийнятого означення стохастичної стійкості. Це може бути стійкість за імовірністю, стійкість у середньому, за сукупністю моментних функцій другого порядку, третього порядку і т.д.
Якщо параметричне навантаження являє собою білий шум, то при аналізі стійкості стохастичних систем можна використовувати методи теорії марковських процесів. При параметричному навантаженні із скінченним радіусом кореляції можна за рахунок розширення фазового простору так трансформувати вихідну стохастичну систему, що до неї будуть застосовні методи теорії марковських процесів, однак трансформована стохастична система стає нелінійною.
У випадку експоненціально-корельованих параметричних збуджень можна застосовувати підхід до побудови рівнянь для моментів, який базується на представленні випадкового параметричного навантаження у вигляді суми незалежних телеграфних сигналів.
Переходячи до фазових змінних x(t)=(x1(t),x2(t),…,x2n(t))T=(u1(t),u2(t),…,un(t), u' 1(t),u'2(t),…,u'n(t))T перепишемо систему (2.1) у вигляді:
dx'=Ax(t)+ ц(t)Bx(t) (2.3) dt
де
, , E - одинична матриця розмірності n*n.
Для системи (2.3) розглядається задача Коші зі початковими умовами
x(0)=x0 (2.4)
де вектор x0 = (x01, x02,…, x0n)T вважається детерміністичним.
Нижче, головним чином, розглядається стійкість відносно моментних функцій. Для аналізу стійкості стохастичного динамічного стану в цьому розумінні необхідно перейти від стохастичної системи (2.1) відносно фазових змінних до системи диференціальних рівнянь відносно моментних функцій. Одержана система вже є детерміністичною. До неї застосовні стандартні методи аналізу стійкості. Отже при такому підході основні труднощі у задачі дослідження стійкості динамічних систем зумовлені процедурою побудови рівнянь від моментних функцій. Особливості цієї процедури істотно залежать від вигляду функції ц(t), яка визначає характер зміни інтенсивності параметричного навантаження з часом.
Процедурі побудови рівнянь відносно моментних функцій передує етап формування рівнянь відносно добутків фазових координат системи (2.3), причому кількість множників у кожному добутку визначається порядком моментів, для яких будуються рівняння. Розглянемо це питання для випадку других моментів. Виходячи з (2.3), система рівнянь відносно матриці попарних добутків x(t)x(t)T має вигляд
dx(t)xT(t)=A x(t)xT(t)+ x(t)xT(t)AT+ ц(t)Bx(t)xT(t)+ ц(t)x(t)xT(t)BT (2.5)
dt
Необхідно зазначити, що якщо у виразі (2.2) - білий шум, то при виведенні системи (2.5) вважається, що це білий шум у розумінні Стратоновича.
Для системи (2.5) розглядається задача Коші з початковими умовами
x(0)xT(0)= x0x0T . (2.6)
Система (2.5) являє собою матричний запис (2n)2 скалярних диференціальних рівнянь. З них внаслідок симетрії матриці x(t)xT(t) незалежними є n(2n+1) рівнянь. Нижче для спрощення запису рівнянь відносно других моментів буде використовуватися також матричне представлення. Перехід від матричного запису до незалежних скалярних рівнянь індукується взаємно однозначним відображенням [.] множини F симетричних матриць порядку (2n)*(2n) на множину H n(2n+1)-вимірних векторів, яке кожній матриці F F ставить у відповідність вектор
h=[F]=(f11, f21,…, f2n1, f22, f32,…, f2n2n) TH, який є прямою сумою розташованих не вище головної діагоналі послідовних підстовпців матриць.
Отже вихідними співвідношеннями для побудови моментних рівнянь є співвідношення типу (2.5), (2.6). Перехід до моментних рівнянь здійснюється шляхом усереднень співвідношень (2.5) і (2.6) при побудові рівнянь для других моментів.
Для других моментів записується система рівнянь
d<x(t)xT(t)>=A <x(t)xT(t)>+ <x(t)xT(t)>AT+ B<ц(t) x(t)xT(t)>+ <ц(t)x(t)xT(t)>BT (2.7)
dt
Для системи (2.7) розглядається задача Коші з початковими умовами
<x(0)xT(0)>= x0x0T. (2.8)
Матриця других моментів має вигляд
m2=<x(t)xT(t)>=. (2.9)
Система (2.7) незамкнена відносно других моментів <x(t)xT(t)>=m2=|mij|i,j=1=|<xi(t)xj(t)>| i,j оскільки містить нові невідомі функції < ц(t)x(t)xT(t)>=|| <ц(t) xi(t)xj(t)>|| i,j. Вони є кореляціями у момент часу t випадкового процесу ц(t) з елементами матриці x(t)xT(t), які є розв'язком задачі Коші для системи (2.5). Ці елементи є функціоналами від процесу ц(t) в інтервалі [0,t]. Саме через наявність нових невідомих виникають проблеми при побудові рівнянь відносно моментних функцій від компонент вектора розв'язків x(t) системи (2.3). Якщо вдається записати систему диференціальних рівнянь відносно вектора ц(t)x(t) то при усередненні з'являються нові невідомі типу <ц2(t)xi(t)xj(t)> і т.д. У разі, коли у виразі (2.2) z(t) є білим шумом, внаслідок некорельованості z(t) і x(t) вказана проблема не виникає.
Процедуру побудови рівнянь для моментних функцій відносно компонент вектора x(t) розглянемо для випадку других моментів. З огляду на те, що стохастичні диференціальні рівняння у розумінні Стратоновича інваріантні відносно заміни змінної, аналогічно (2.5) система рівнянь для матриці попарних добутків x(t)xT(t) набирає вигляду
dx(t)xT(t)=A x(t)xT(t)+ x(t)xT(t)AT+ мz(t)(Bx(t)xT(t)+x(t)xT(t)BT)
dt (2.10)
Перейдемо до системи стохастичних диференціальних рівнянь
dx(t)xT(t)=A x(t)xT(t)+ x(t)xT(t)AT+ (1/2)м2 (BBx(t)xT(t)+Bx(t)xT(t)BT+BTB x(t)xT(t)+
dt
+x(t)xT(t)BT BT + мz 0(t)(B x(t)xT(t)+ x(t)xT(t) BT), (2.11)
що розглядаються у розумінні Іто. Усереднюючи (2.11), дістанемо
dm2 =A m2+m2 AT+(1/2)м2 (BB m2+2B m2BT+ m2BT BT) (2.12)
dt
де m2=|mij|i,j=1=<xi(t)xj(t)>|i,j - матриця других моментів компонент вектора x(t) розв'язків системи (2.10). Третій доданок у правій частині матричного рівняння (2.11) при операції усереднення зникає, тому що випадковий процес z 0(t) некорельований з елементами матриці x(t)xT(t) узятими в той самий момент часу .
Розглянута система являє собою матричний запис (2n)2 скалярних диференціальних рівнянь. З них унаслідок симетрії матриці m2 незалежними є n(2n+1) рівнянь, що одержуються з (2.12) за допомогою відображення [.]. Ще раз слід нагадати, що в роботі у відповідних викладках використовується “надлишковий”запис типу (2.12), хоча в дійсності мається на увазі система, одержувана шляхом зазначеного відображення.
Систему, аналогічну (2.12), можна одержати також, записавши рівняння ФПК для стохастичної системи диференціальних рівнянь у розумінні Іто і потім провівши багаторазове інтегрування в просторі фазових змінних. Застосовуваний у даній роботі підхід технічно простіший.
Система (2.12) являє собою систему лінійних автономних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Якщо всі характеристичні показники системи мають від'ємні дійсні частини, то тривіальний розв'язок системи (2.12) асимптотично стійкий, і можна сказати, що тривіальний розв'язок системи стохастичних диференціальних рівнянь (2.3) асимптотично стійкий відносно моментних функцій другого порядку (асимптотично стійкий у середньоквадратичному). Якщо хоча б один характеристичний показник системи (2.12) має додатну дійсну частину, то система (2.3) вважається нестійкою в середньоквадратичному. Границя зони динамічної стійкості в середньоквадратичному відповідає параметрам системи (2.3), при яких максимальна дійсна частина характеристичних показників системи дорівнює нулю. Рівняння відносно моментних функцій третього і вищих порядків будуються аналогічно системі (2.12).
Викладений підхід може бути застосований при дослідженні стійкості тривіального розв'язку системи
dx=Ax+z(t)Bx(t) (2.13)
dt
де z(t) - нормальний експоненціально-корельований випадковий процес з нульовим середнім і кореляційною функцією
K(ф)=у02exp(-б|ф|) (2.14)
Можливість реалізації такого переходу обумовлена тим, що гауссів процес з кореляційною функцією (2.14) апроксимується за допомогою суми незалежних телеграфних процесів.
Розглядається випадковий процес
оN(t)=z1(t)+ z2(t)+…+ zN(t), , (2.15)
де zi(t) - статистично незалежні телеграфні процеси із середніми значеннями, рівними нулю, і кореляційною функцією
< zi(t) zi(t+ф)>=(у02 /N)exp(-б|ф|) (2.16)
При переході до границі
lim оN(t)=z(t), (2.17)
причому кореляційна функція гауссового процесу z(t) задається виразом (2.14).
Утримуючи в виразі (2.17) скінченну кількість членів, можна для системи
dx(t)=Ax(t)+ оN(t)Bx(t) (2.18)
dt
побудувати послідовність рівнянь довжиною N відносно моментних функцій другого порядку. Для цього розглядається система (2.18), де випадковий процес оN(t) визначається виразом (2.15) і є N-членною апроксимацією нормального експоненціально-корельованого випадкового процесу з кореляційною функцією (2.14).
Вводяться позначення
m02(t)=<x(t)xT(t)>,m12(t)=<z1(t)x(t)xT(t)>,…,mk2(t)=<z1(t)z2(t)… zk(t)x(t)xT(t)>,…, ,mN2(t)=<z1(t),z2(t)… zN(t)x(t)xT(t)>. (2.19)
Відносно наведених матриць записується послідовність рівнянь
dm02=A m02+ m02AT+N(B m12+ m12BT ),
dt
…………………………………………………..
dmk2=(kу02 /N)(B m(k-1)2 + m(k-1)2 BT)+(A-бkE)mk2+ mk2AT+(N-k)(B m(k+1)2+ m(k+1)2BT),
dt
…………………………………………………….
dmN2=у02(B m(N-1)2 + m(N-1)2 BT)+(A-бNE)mN2+ mN2AT, k=1,2,…,N-1. (2.20)
dt
Для матриць-функцій (2.19) визначаються початкові умови
m02(0)= x0x0T, mk2(0)=0, k=1,2,…,N. (2.21)
Система (2.20) має блокову тридіагональну структуру.
Для побудови границь областей стійкості в середньоквадратичному тривіальних розв'язків системи (2.13) необхідно за допомогою системи (2.20) побудувати границі області стійкості в середньоквадратичному тривіальних розв'язків системи (2.18) із значенням N, яке збільшується доти, поки оцінка критичного рівня навантаження не перестає мінятися.
При аналізі стійкості розв'язків за допомогою системи (2.20) виникають проблеми, пов'язані з розширенням фазового простору, у якому досліджується стійкість траєкторії. Дійсно, побудова системи (2.20) пов'язана з переходом від простору U матриць моментних функцій типу (2.9) до простору U+V матриць моментних функцій типу (2.19). Відбувається розширення розглядуваного фазового простору. Параметри зовнішнього навантаження, які відповідають зоні динамічної стійкості в просторі U+V, будуть, природно, належати зоні динамічної стійкості в просторі U. Протилежне, взагалі кажучи, не обов'язково. Однак у силу нерівності Буняковського-Шварца для моментних функцій парного порядку зони динамічної стійкості в просторах U і U+V збігаються. Зокрема, це має місце для стійкості в середньоквадратичному.
Аналогічно тому, як будувалася послідовність матричних рівнянь (2.20) для моментів другого порядку, може бути побудована послідовність рівнянь для моментів порядку r>2.
Явний запис систем матричних рівнянь пов'язаний з певними технічними труднощами. В обчислювальному комплексі, на якому базується дана робота, ці рівняння формуються автоматично, виходячи з матриць A і B вихідної системи диференціальних рівнянь. При цьому будуються відображення з простору F симетричних матриць у простір H векторів. Слід зазначити, що структура, яка визначається співвідношенням m0r(t)=<xi1(t)xi2(t)…xir(t)>, при r=3 є тривимірною матрицею, при r>3 - багатовимірною матрицею з багатьма відношеннями симетрії.
Досліджуються умови стохастичної стійкості тривіальних розв'язків системи
dx(t)=Ax(t)+м0Bx(t)+ м1ц1(щt)Bx(t)+м2z(t)Bx(t) . (2.22)
dt
Нехай у системі (2.22) z(t) - стаціонарний нормальний процес типу білого шуму з нульовим середнім і одиничною інтенсивністю. Система стохастичних диференціальних рівнянь (2.22) розглядається у розумінні Стратоновича.
Як вже зазначалося, побудови, за допомогою яких була отримана система (2.12) відносно матриці m2=|mij|i,j=1=<xi(t)xj(t)>|i,j справедливі, якщо компоненти матриць A і B - детерміністичні функції часу, тому аналогічно (2.12) можна записати
dm2 =(A+м0E+м1ц1(щt)B)m2+m2(AT+ м0E+м1ц1(щt)BT)+(1/2)м2 (BB m2+2B m2BT+ m2BT BT ) (2.23)
dt
Оскільки функція ц1 має період 2р, коефіцієнти системи (2.23) -2р/щ-періодичні функції часу. Таким чином, аналіз стійкості тривіального розв'язку системи (2.23) можна провести на основі теорії Флоке.
Природно, що подібним чином можуть бути записані рівняння для матриці моментних функцій mr(t)=<xi1(t)xi2(t)…xir(t)> при r>2.
Тепер припустимо, що в системі (2.22) z(t) - нормальний експоненціально-корельований випадковий процес з нульовим середнім і кореляційною функцією (2.14). Використовуючи вираз (2.15), для набору матриць другого порядку моментних функцій (2.19) можна записати послідовність матричних рівнянь
dm02=(A+м0E+м1ц1(щt)B)m02+m02(AT+м0E+м1ц1(щt)BT)+N(B m12+ m12BT),
dt
………………………………………………………………………………..
dmk2=(kу02 /N)(Bm(k-1)2+m(k-1)2BT)+(A+(м0-бk)E+м1ц1(щt)B)mk2+mk2(AT+м0E+м1ц1(щt)BT)+
dt
+(N-k)(B m(k+1)2+ m(k+1)2BT),
……………………………………………………
dmN2=у02(Bm(N-1)2+m(N-1)2BT)+(A+(м0-бN)E+м1ц1(щt)B)mN2+mN2(AT+м0E+м1ц1(щt)BT)
dt k=1,2,…,N (2.24)
Система (2.24) записана для випадку м2=1, вважається, що рівень випадкового навантаження враховується стандартом у0. Система (2.24), як і (2.23), є автономною системою з 2р/щ -періодичними коефіцієнтами.
Таким чином, застосування методу моментних функцій при аналізі стійкості тривіальних розв'язків системи (2.3) приводить до задачі про стійкість тривіальних розв'язків системи детерміністичних диференціальних рівнянь типу (2.23) або (2.24) відносно моментних функцій. Ці рівняння являють собою лінійні автономні системи вигляду
=G(t)w (2.25)
де w=(w1,w2,…,wp)T - вектор, координати якого є компонентами матриць моментних функцій mr (у випадку білого шуму) або системи матриць m0r, m1r…,,mRr (у випадку експоненціально-корельованого процесу), матриця Gp має розмірність p*p.
Виконуючи редукцію, переходимо до алгебричної проблеми на власні значення для системи скінченного порядку
det(K*-hE*)=0, (2.26)
де E* і K* - редуковані матриці.
Викладені теоретичні положення та методи апробовані при дослідженні стійкості стохастичного аналога рівняння Мат'є-Хілла, яке є класичним об'єктом досліджень у розглядуваній тематиці:
u''+2ещ0u'+щ02 (1+ ц(t))u=0 (2.27)
де ц(t) - випадковий процес, що має структуру (2.2).
На рис. 2.1 для рівняння (2.27) з щ0=1 побудовані границі динамічної стійкості відносно моментів різних порядків r при випадковому параметричному навантаженні типу білого шуму. З рисунку видно, що для моментних функцій однакової парності із збільшенням порядку моментів умови стійкості стають жорсткішими. Дослідження показали, що із зростанням порядку моментів відмінність між відповідними границями стає все меншою. Результати, наведені на рис. 2.1, повністю збігаються з результатами, отриманими В.Г.Москвіним і А.І.Смірновим із використанням рівнянь ФПК. На рис. 2.2 зображені границі областей стійкості відносно моментів другого порядку для різних значень радіуса кореляції с=1/б при експоненціально-корельованому випадковому навантаженні. Видно, що із збільшенням радіуса кореляції область стійкості динамічних станів звужується. Для цього типу навантаження із зростанням порядку моментних функцій умови стійкості також стають жорсткішими (рис. 2.3). При побудові границь стійкості обчислювалися послідовні оцінки мkp із збільшенням N доти, поки вони переставали мінятися. На рис. 2.4 показана залежність оцінок
Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3
границь стійкості від кількості доданків N в апроксимації (2.15)(б=1). При N >119 оцінка практично не змінюється.
Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.6
Проводилось порівняння результатів, які отримані з використанням запропонованої методики для параметричних збуджень із скінченним радіусом кореляції, з результатами, одержаними на основі методу усереднення нелінійної механіки і методу формувальних фільтрів. При порівнянні з оцінками, одержаними за допомогою першого методу, для достатньо малих значень радіуса кореляції спостерігається майже повний збіг результатів. Це пояснюється тим, що при таких радіусах кореляції експоненціально-корельоване навантаження за своїми характеристиками стає близьким до навантаження типу білого шуму, на яке в основному і орієнтовані асимптотичні методи статистичної динаміки. Із збільшенням радіуса кореляції відмінності в оцінках критичних рівнів навантаження стають все більшими.
Використання другого методу, в якому зовнішнє параметричне навантаження представляється як реакція відповідного фільтра на збудження типу білого шуму, за рахунок розширення фазового простору приводить лінійну задачу до нескінченної системи зв'язних нелінійних рівнянь, для замикання якої використовується гіпотеза квазігауссовості.
На рис. 2.5 пунктирною лінією зображена границя області стійкості, одержана з використанням гіпотези квазігауссовості, а суцільною лінією - запропонованою методикою. Видно, що використання гіпотези квазігауссовості приводить до істотного підвищення критичного рівня параметричного збудження.
На рис. 2.6 для других моментів показані залежності критичних рівнів модуляції м1 детерміністичної гармонічної складової періодично нестаціонарного параметричного навантаження (2.2) від частоти, які відповідають різним фіксованим значенням інтенсивності м2 випадкової складової б =30щ0. Всі області стійкості розташовані зліва. Спостерігаються характерні для параметричних коливань клини, які відповідають головному і побічним резонансам. У разі, коли м2=0, задача стає детерміністичною, крива, природно, збігається з класичною діаграмою Айнса-Стретта.
У третьому розділі приведені результати досліджень динамічної стійкості конкретних пружних систем. Дискретні динамічні моделі будуються за допомогою прямих методів. Система рівнянь відносно узагальнених координат ui(t) (i=1,2,…) записується у вигляді
(3.1)
При деяких граничних умовах, а саме коли форми власних коливань і форми втрати стійкості збігаються, система (3.1) розпадається на окремі рівняння і критичні параметри зовнішнього впливу знаходяться для кожного рівняння окремо, а потім вибираються мінімальні значення. У загальному випадку система (3.1) є зв'язною. У таких задачах область стійкості має більш складну структуру, зокрема, при детерміністичному збудженні мають місце комбінаційні параметричні резонанси. У даній роботі в основному задачі підібрані таким чином, щоб система (3.1) не розпадалася. Уся складність аналізу стохастичної стійкості розподілених систем виявляється саме в задачах подібного роду.
Досліджується динамічна стійкість прямолінійного призматичного стержня, затиснутого одним кінцем і шарнірно опертого на іншому і стиснутого поздовжньою силою N(t). Параметри стержня (рис. 3.1): довжина l=0.2м, ширина a=0.01м, товщина h=0.002м, модуль пружності E=7.104МПа, коефіцієнт Пуассона н=0.3(3), щільність с=2700 кг/м 3. Прогин стержня представляється у вигляді :
W(x,t)=Уui(t)Шi(x) , (3.2)
де Шi(x) - власні функції, які визначаються у такий спосіб:
Шi(x)=[U(kix)-U(kil)V(kix)/ V(kil)]. (3.3)
Редукуючи континуальну систему, приходимо до системи диференціальних рівнянь (3.1), де щi –
власна частота, яка визначається за формулою щi2 =ki4EI/сF. Перші чотири власні частоти: щi =1139.41рад/с, щ2=3692.37рад/с, щ3 =7703.76 рад/с і щ4 =13173.8 рад/с.
Елементи матриці геометричної жорсткості gik визначаються у такий спосіб:
, (3.4)
де F - площа поперечного перерізу, с - щільність матеріалу.
Оскільки форми власних коливань і форми втрати стійкості не збігаються, редукована матриця жорсткості KG* не розпадається. Тому при дослідженні динамічної стійкості необхідно враховувати взаємний вплив різних форм власних коливань. Однак у зв'язку з тим, що спектр власних частот балки досить розріджений, в дійсності на результатах розрахунку буде позначатися тільки взаємний вплив тих форм коливань, що відповідають сусіднім частотам.
Далі побудовані границі динамічної стійкості балки відносно різних моментів у випадку, коли коефіцієнти м1, м2 у (2.2) дорівнюють нулю, а z(t) є білим шумом (рис.3.1) або експоненціально-корельованим процесом (рис. 3.2). У разі, коли м2#0, побудовані границі динамічної стійкості балки в області параметрів зовнішнього гармонійного навантаження відносно різних моментів при фіксованій інтенсивності навантаження типу білого шуму (рис.3.3) або експоненціально-корельованого процесу (рис. 3.4).
Одержані результати підтвердили характерну закономірність зменшення областей динамічної стійкості параметричних коливань при збільшенні радіуса кореляції.
У роботі також розглядалася задача про динамічну стійкість стержня при параметричному навантаженні ц(t), яке є сумою стискаючої статичної та змінюваної з часом випадкової складових. Досліджена залежність критичних рівнів випадкової складової від величини статичної складової.
Рис.3.2 Рис. 3.3 Рис.3.4
Досліджена стійкість параметричних коливань квадратної пластини, контур якої затиснутий, але допускає зсув у площині серединної поверхні (рис.3.5). Динамічне навантаження у вигляді двохосьового стиску рівномірно розподілене по торцях і змінюється з часом за законом, що задається функцією ц(t), яка має структуру (2.2). Характеристики пластини: сторона a=0.4м, товщина h=0.001м, модуль пружності E=7.104МПа, коефіцієнт Пуассона н=0.3, щільність с=2700кг/м 3. Розрахункова схема МСЕ складалася з 900 елементів (сітка 30*30). При такій густоті сітки досягалася внутрішня збіжність як за власними частотами , так і за компонентами редукованої матриці жорсткості KG*.
При формуванні розрахункової динамічної моделі використовувалися тридцять власних форм коливань (m=30). Перші дев'ять власних частот дорівнюють: 341.43рад/с, 703,74 рад/с, 1018,19 рад/с, 1293,9 рад/с, 1300,92 рад/с, 1563,7 рад/с, 2051,93 рад/с. Визначалися значення параметрів динамічного навантаження, при яких параметричні коливання пластини втрачають стійкість. Як і в попередній задачі, для пластини із зазначеними граничними умовами форми власних коливань і форми втрати стійкості не збігаються, тому система (3.1) не розпадається на окремі рівняння (2.27) типу Мат'є-Хілла і необхідно врахувати взаємний вплив форм власних коливань, які відповідають різним частотам.
Як і для балки, побудовані границі областей динамічної стійкості відносно різних моментів для білого шуму (рис.3.5), експоненціально-корельованого (рис.3.6) і періодично нестаціонарного навантажень (рис.3.7). Якісно характер одержаних результатів аналогічний залежностям, отриманим при дослідженні стохастичного аналога рівняння Мат'є-Хілла.
Рис. 3.5. Рис. 3.6. Рис. 3.7.
Досліджена також динамічна стійкість замкненої кругової циліндричної оболонки, шарнірно опертої по контуру. Закріплення допускає вільний зсув країв у поздовжньому напрямку, однак перешкоджає зсуву у дуговому. По торцях оболонки прикладене рівномірно розподілене навантаження (рис.3.8). Закон зміни його рівня з часом задається функцією ц(t), яка має вигляд (2.2). У цій задачі власні форми коливань збігаються з формами втрати стійкості при статичному навантаженні. Тому рівняння (3.1) розпадається на три окремі незв'язні групи рівнянь (рис.3.8). Рівняння, які належать до однієї групи, зв'язні, що обумовлено наявністю недіагональних елементів приведеної матриці жорсткості. Але внаслідок того, що для рівнянь однієї групи приведена матриця мас і матриця геометричної жорсткості відрізняються тільки множником, можна шляхом перетворення перейти до системи рівнянь, яка розпадається на окремі рівняння типу Мат'є-Хілла (2.27):
ui''+2ещiui'+щi2 ui +ц(t)giiui=0 i=1,3,5.
У цьому відношенні задача динамічної стійкості зазначеної оболонки істотно відрізняється від
двох попередніх задач. Оболонка має такі характеристики: довжина l=0.43м, радіус R=0.16м, товщина h=0.005м, модуль пружності E=7.104МПа, коефіцієнт Пуассона v=0,3, щільність =2700 кг/м3. При побудові розрахункової динамічної моделі використовується сітка МСЕ, що складається з 864 скінченних елементів (72 розбивки в окружному напрямку, 12 - у поздовжньому).
Використовуються шість перших згінних форм (рис.3.8). У всіх шести форм число півхвиль по довжині оболонки m=1. Відповідні власні частоти дорівнюють 4734 рад/с, 5263 рад/с, 7275 рад/с. Перша пара кратних форм має три хвилі в окружному напрямку (m2=3), друга - чотири (m2=4), третя - дві (m2=2).
Дослідження проводилися для різних частот власних коливань, але для всіх дальших розрахунків була прийнята найменша. Побудовані області динамічної стійкості циліндричної
Рис. 3.9. Рис. 3.10. Рис. 3.11.
оболонки відносно різних моментів при навантаженні типу білого шуму (рис.3.9) і при експоненціально-корельованому навантаженні (рис.3.10). У разі коли навантаження є періодично нестаціонарним корельованим процесом, в координатах щ-м1 побудовані границі областей стійкості для різних фіксованих значень параметрів інтенсивності випадкової складової (рис.3.11). З рисунку видно, що загальний вигляд діаграм і характер зміни областей стійкості при збільшенні м2 до критичного рівня цілком аналогічні, приведеним вище для рівняння Мат'є-Хілла.
ОСНОВНІ ВИСНОВКИ
1. У дисертації розроблено новий підхід до розв'язання задач, пов'язаних з аналізом впливу ступеня корельованості стохастичного параметричного навантаження на структуру областей динамічної стійкості пружних систем.
. Для широкого класу стохастичних навантажень розроблено ефективний метод для побудови границь втрати стійкості елементів тонкостінних конструкцій. Ефективність методу полягає у можливості послідовного уточнення одержуваних оцінок значення критичного навантаження.
. Розроблений підхід апробований на рівнянні Мат'є-Хілла із стохастичним збудженням. Показано, що при зменшенні радіуса корельованості збудження результати, одержані за допомогою запропонованого підходу, збігаються з відомими результатами для дії типу білого шуму. Встановлено, що зі збільшенням радіуса кореляції зона стійкості параметричних коливань звужується. При цьому показано, що ці оцінки істотно уточнюють відомі результати, одержані за допомогою формувальних фільтрів на основі теорії марковських процесів. Важливо, що уточнення відбувається у напрямку зменшення критичних навантажень.
. Побудовано границі областей динамічної стійкості для балки, пластини і циліндричної оболонки. Дослідження цих об'єктів підтвердило характерну закономірність зменшення області динамічної стійкості параметричних коливань при збільшенні радіуса кореляції навантаження.
. Розроблений підхід реалізовано у вигляді пакету прикладних програм для ЕОМ, за допомогою якого виконуються всі етапи досліджень, пов'язаних з аналізом стійкості параметричних коливань при стохастичному збудженні.
. Запропоновані методи і програмне забезпечення можуть бути використані для проведення розрахунків при проектуванні споруд і конструкцій.
. Розроблені методи і програмне забезпечення застосовувалися у Науково-дослідному інституті будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури при виконанні науково-дослідних робіт.
ПУБЛІКАЦІЇ
1. Баженов В.А., Бусетта М., Дехтярюк Є.С., Отрашевська В.В. Границі областей динамічної стійкості стиснутих силових елементів конструкцій, що піддаються додатковому поздовжньому випадковому навантаженню // Будівництво України. –К.: Укрархбудінформ, вип.2, -2001. –с. 43-47.
. Баженов В.А., Бусетта М., Дехтярюк Є.С., Отрашевська В.В. Динамічна стійкість пружних систем при стохастичному параметричному збудженні // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КНУБА., вип. 67, -2000. –с. 51-59.
. Бусетта М., Дехтярюк Є.С. Побудова границь областей динамічної стійкості стержнів, що піддаються поздовжньому випадковому навантаженню // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КНУБА., вип. 68 -2000. –с. 156-164.
4. V.A.Bagenov, E.S.Dekhtyaryouk, M.Boucetta Etude de la stabilitй dynamique des structures remplies de fluide, sous l'action des efforts alйatoires et stationnaires а rayon de correlation fini //Actes du premier colloque Maghrйbin sur l'hydraulique. COMHYD 95. ENSH de Blida (Algйrie). -1995. –pages 1-10.
У роботах [1,3] автором розроблена методика побудови границь областей стійкості параметричних коливань пружних систем при стохастичному збудженні і комбінованому збудженні, що має детерміністичні і стохастичні складові. У роботі [2] автором розроблений підхід для побудови границь областей стійкості тривіальних розв'язків стохастичного аналога рівняння Мат'є-Хілла. В роботі [4] автором подається функціональний підхід до побудови рівнянь, які описують параметричні коливання динамічних систем при стохастичному навантаженні.
АНОТАЦІЯ
Бусетта Мебарек. Параметричні коливання пластин і оболонок при випадковому збудженні. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 –будівельна механіка. Київський національний університет будівництва і архітектури (КНУБА), Київ, 2002 р.
Для широкого класу корельованих стохастичних навантажень розроблено підхід до аналізу динамічної стійкості пружних систем. На основі методу скінченних елементів розроблена методика формування математичних моделей, які описують параметричні коливання тонкостінних конструкцій. Пропонуються методи дослідження стійкості параметричних коливань при стохастичному збудженні. Чисельна методика реалізована у вигляді пакета прикладних програм для ЕОМ, за допомогою якого виконуються всі етапи побудови границь областей динамічної стійкості параметричних коливань балки, пластини, циліндричної оболонки при стохастичному збудженні. Показано, що для стохастичних навантажень із скінченним радіусом кореляції отримані результати істотно уточнюють раніше відомі.
Ключові слова: параметричні коливання, пружні системи, балка, пластина, циліндрична оболонка, метод скінченних елементів, корельоване стохастичне навантаження, динамічна стійкість, скінченний радіус кореляції.
АННОТАЦИЯ
Бусетта Мебарек. Параметрические колебания пластин и оболочек при случайном возбуждении. –Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 –строительная механика. Киевский национальный университет строительства и архитектуры (КНУСА), Киев, 2002 г.
Для широкого класса стохастических параметрических воздействий разработан подход к анализу динамической устойчивости упругих систем. На основе метода конечных элементов разработана методика формирования математических моделей, описывающих параметрические колебания тонкостенных конструкций.
Анализ стохастической устойчивости упругих систем при параметрическом воздействии базируется на исследовании устойчивости уравнений от моментных функций разных порядков. Процедура формирования дифференциальных уравнений относительно моментных функций существенным образом зависит от структуры параметрического возбуждения. В случае дельта-коррелированного параметрического возбуждения построение моментных уравнений базируется на методах теории марковских процессов. При экспоненциально-коррелированном параметрическом воздействии применение аппроксимации случайного процесса суммой статистически независимых телеграфных сигналов приводит к последовательности дифференциальных уравнений в расширенном фазовом пространстве. И в первом и во втором случае получаются автономные дифференциальные уравнения, к анализу устойчивости которых могут быть применены стандартные численные методы. При периодически нестационарных параметрических влияниях указанные выше подходы приводят к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. В этом случае для анализа устойчивости дифференциальных уравнений применяются методы, базирующиеся на обобщенных определителях Хилла. В случае анализа автономных систем и систем с периодическими коэффициентами при построении границ областей устойчивости применяется разработанный в работе метод продолжения решения по параметру.
В ходе выполнения исследований получены следующие научные результаты: на основе функционального подхода к анализу решений стохастических дифференциальных уравнений предложен метод исследования динамической устойчивости упругих систем при экспоненциально-коррелированном параметрическом возбуждении; предложена численная методика формирования систем дифференциальных уравнений относительно произведений фазовых координат упругой системы; на основе предложенной методики разработана эффективная процедура построения моментных уравнений, описывающих параметрические колебания упругих систем при дельта-коррелированном, экспоненциально-коррелированном и комбинированном воздействиях; на базе применяемого подхода, используя метод продолжения по параметру, разработана численная методика построения границ областей динамической устойчивости упругих систем; построены области динамической устойчивости параметрических колебаний балки, пластины и оболочки под действием случайных внешних воздействий различного типа; предложенная численная методика реализована в виде пакета прикладных программ для ПЭВМ, с помощью которого выполняются все этапы исследований, связанных с анализом устойчивости параметрических колебаний при стохастическом возбуждении.
Достоверность и эффективность предлагаемой методики определяется сравнением полученных результатов с результатами других авторов. Показано, что для стохастических воздействий типа белого шума имеет место хорошее совпадение, а для стохастических воздействий с конечным радиусом корреляции полученные результаты существенно уточняют ранее известные.
Ключевые слова: параметрические колебания, упругие системы, балка, пластина, цилиндрическая оболочка, метод конечных элементов, коррелированное стохастическое воздействие, динамическая устойчивость, конечный радиус корреляции.
SUMMARY
Boucetta Mebarek. Parametric vibrations of plates and shells under random excitements. –Manuscript.
The dissertation for obtaining Candidate Degree in engineering sciences by speciality 05.23.17 –Mechanic of structures. Kyiv National University of Construction and Architecture (KNUCA), Kyiv, 2002.
A method for analyzing the dynamic stability of elastic systems was elaborated for a large class of correlated and stochastic influences. Using the finite elements method, a numerical algorithm was developed to form mathematical models, which describe the structures' parametrical vibrations. A numerical method of studying the stability of parametrical vibrations under stochastic loads was elaborated. The proposed method was realized as an applied software for PC, which allows us to execute all the steps for constructing zones of parametrical vibrations' dynamical stability of a beam, a plate, a cylindrical shell under stochastic influence. That was proved that obtained results, for the systems under stochastic loads with a finite correlation radius, make significantly more precise the ones got by other authors earlier.
Keywords: parametrical vibrations, elastic system,, beam, plate, cylindrical shell, finite elements method, correlate stochastic influence, dynamic stability, finite correlation radius.
2. Детская психика
3. вступать в брак пока прежний брак не прекращен или не признан ничтожным
4. на тему- Операции коммерческих банков с векселями
5. Known by his stories which clled ldquo;Hobbitrdquo; the Trilogy ldquo;The lord of the ringsrdquo; nd their prehistory which clled ldquo;Silmrionrdquo; Tolkien ws n Oxford~s professor o
6. Понятие о патологическом агенте экзо и эндогенные патологические агенты Понятие об этиологии
7. Лабораторная работа 5 Рабочее оборудование машин для подготовительных работ Цель работы- Ознакомить
8. маркетинг лежит слово mrket что означает рынок
9. Конфликтология для студентов специальности 020400 Психология Автор- кандидат психол
10. Визначення потреби в кредитних ресурсах
11. 6летний возраст детей
12. Состояние и пути совершенствования учета продажи продукции, работ, услуг
13. Если не мы то кто же Да мы не социологи и не психологи
14. Мистическое в романе Булгакова «Мастер и Маргарита»
15. 1918 гг Часть 1 Русский народ обвенчался со Свободой Будем верить что от этого союза в нашей
16. Симпатичной мертвой девушки 1
17. 1вводныйпроводит специалист по охране труда 2первичныйпроводит руководитель на раб месте 3повторныйн
18. Введение8
19. а а также динамика процесса заучивания
20. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения специа