Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
«Распределение Стъюдента и его использование при построении доверительных интервалов»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….…3
1. Распределение Стъюдента…………………………………………………4
1.1.Сущность распределения Стъюдента………………………………….4
1.2.Использование распределение Стъюдента при построении доверительных интервалов…………………………………………………...7
ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………….21
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………….27
ВВЕДЕНИЕ
Целью работы является закрепление теоретических знаний по основам математической статистики, а также приобретение практических навыков в использовании методов математической статистики при решении прикладных задач.
Для достижения цели предполагается выполнить следующие задачи:
1) раскрыть понятие распределение Стъюдента и рассмотреть примеры его использования на практике;
2) применить теоретические знания в практическом задании.
Структура данной курсовой работы представляет собой введение, два раздела, заключение и список литературы.
Первый раздел работы – это теоретический материал по теме «распределение Стъюдента» и его использование при построении доверительных интервалов.
Математическая статистика – наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.
Проверка гипотез – система приёмов в математической статистике предназначенных для проверки соответствия опытных данных некоторой статистической гипотезе. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним тесно связано распределение Стьюдента (t-распределение).
1. Распределение Стъюдента
1.1. Сущность распределения Стъюдента
Распределения, близкие к нормальному, играют большую роль в проверке статистических гипотез. Рассмотрим одно из них более подробно.
В выборках небольшого объема (n < 30) характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из совокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В 1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить (t) и доверительную вероятность . При (n > 100), таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 < n < 100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).
Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, например, производственный и экономический эксперимент, связанный с экономическими затратами, проводится на небольшом числе испытаний.
Распределение Стьюдента (t-распределение) характеризует распределение случайной величины
, где u0, u1, …, uk взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента
.
Здесь – гамма-функция (интеграл Эйлера). Отсюда , при x ≥ 0 – плотность распределения Г α,λ, где α, λ – положительные параметры.
Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения f(t) – симметричная функция, и при большом числе степеней свободы похожа на нормальное распределение.
Область изменения аргумента t от –∞ до ∞. Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k–2) соответственно, при k >2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней и двусторонней критической области (см. Приложение 1).
Значения критических точек Z(a) распределения Стъюдента, применяемых для проверки статистических гипотез представлены в приложении (см. Приложение 1).
Рис. П.1. Односторонняя критическая область
Рис. П.2. Двусторонняя критическая область
Таким образом, распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k £ 30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов.
1.2. Использование распределения Стъюдента при построении доверительных интервалов
Распределение Стьюдента (t-распеределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднее квадратическое отклонение неизвестно и подлежит определению по опытным данным. Данное распределение применяется при построении доверительных интервалов, когда число измерений невелико (k £ 30). Применение же нормального закона распределения в этом случае приведет к неоправданному сужению доверительного интервала.
Докажем данные утверждения приведя примеры построения доверительных интервалов для оценки математического ожидания.
1. При известном средне квадратическом отклонении σ
Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения равное . Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью . Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину (она изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака как одинаково распределенные независимые случайные величины с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением . Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами . Потребуем, чтобы выполнялось равенство
Тогда имеем
Обозначим
Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2Ф(t)=γ, или Ф(t) = γ/2; по таблице функции Лапласа (см. Приложение 3) находят аргумент t, которому соот-ветствует значение функции Лапласа, равное γ/2.
Число стандартных отклонений, содержащихся на отрезке между а (математическое ожидание Х) и х, будет иметь стандартное нормальное распределение, так как из нормально распределенной величины выборочной средней вычитается постоянная и полученная разность делится на постоянную. Полагая , где 1– есть заданная доверительная вероятность, можно построить доверительный интервал для оценки значения а.
Пример 1.2.1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины по выборочным средним, если n = 36, =3 и задана надежность =0,95.
Из соотношения 2Ф(t)= 0,95 , откуда Ф(t) = 0,475 по таблице найдем t: t =1,96. Точность оценки
Доверительный интервал .
Пример 1.2.2. Найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность =0,3 и надежность = 0,975, если случайная величина распределена нормально и =1,2.
Из соотношения 2Ф(t)= 0,975 , откуда следует Ф(t) = 0,4875.
По Приложению 2 найдем t: t =2,24.
Из равенства выразим n: , подставим значения и получим минимальный объем выборки n =81.
Поправка на конечность генеральной совокупности
На практике часто ограниченная, но большая по объему совокупность теоретически рассматривается как бесконечная. При этом предполагается, что эта гипотетическая совокупность формируется под постоянным влиянием тех же факторов, что определяли состав, свойства и структуру действующей ограниченной совокупности.
Общая формула для построения доверительных пределов в случае бесконечной генеральной совокупности и известного значения σ имеет вид Объем выборки п при этом не оказывает существенного влияния на адекватность результатов оценки, полученных на основе данных формул.
Ввиду бесконечности генеральной совокупности можно считать, что случайные выборки извлекаются из нее по принципу "с возвращением" (повторная выборка). Однако на практике часто требуется проводить статистические заключения для ограниченной генеральной совокупности, имеющей заданный объем N. В этом случае имеет место отбор элементов в выборку по принципу "без возвращения элементов в генеральную совокупность" (бесповторная выборка). Это в свою очередь влияет на величину стандартной ошибки средней. Она уменьшается и принимает вид . Корректирующий множитель называется поправкой на конечность генеральной совокупности. Его включение в формулу для вычисления стандартной ошибки средней является обязательным. Однако если объем выборки п мал по сравнению с размером генеральной совокупности N, значение корректирующего множителя будет близко к единице и он не повлияет на стандартную ошибку средней. При расчетах во всех случаях, когда n 0,05N, корректирующий множитель полагается равным единице. Он учитывается, когда n>0,05N, т. е. объем выборки составляет более 5% от объема генеральной совокупности.
Общая формула для доверительных пределов при условии n>0,05N будет иметь вид
Пример 1.2.3 Компания производит определенный тип электри ческих приборов. Ранее были проведены исследования сроков службы приборов, которые показали, что стандартное отклонение σ для большой партии приборов составляет 50 ч. Партия произведенных приборов имеет размер N = 100. Из произведенной партии была извлечена выборка объемом п = 10 приборов.
Объем выборки п=10 превышает 5% объема генеральной совокупности: n/N= 0,1>0,05. Поэтому при определении доверительных пределов следует учитывать поправку на конечность генеральной совокупности. Вычислим стандартную ошибку средней:
час.
Найдем доверительные пределы (измеряемые в часах), соответствующие доверительным вероятностям 90, 95 и 99%:
364± 1,6415,03=384 ±25 или (359, 409);
364 ±1,9615,03 = 384 ±29 или (355, 413);
364 ±2,5815,03 = 384 ±39 или (345, 423).
2) При неизвестном σ
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов.
В этом случае σ заменяется соответствующей статистикой, т. е. выбо-рочным стандартным отклонением s. Полагая, что объем выборки постоянный, знаменатель , уже не будет постоянным, так как значение не является одинаковым для всех различных выборок заданного объема. Поэтому величину Z в этом случае нельзя считать нормально распределенной. Она подчиняется другому закону распределения.
По данным выборки можно построить случайную величину:
, где – выборочная средняя, s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с k =n –1 степенями свободы. Поскольку плотность распределения Стьюдента
где , явным образом не зависит от а и σ, то можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (–tγ , tγ ), учитывая четность плотности распределения, следующим
образом:
Отсюда получаем: –tγs/.
Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал (–tγs/,+tγs/), покрывающий, неизвестный параметр а с надежностью γ. По специальной таблице по заданным п и γ можно найти tγ (см. Приложение 2).
Пример 1.2.4 Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99.
Решение. Из таблицы находим, что tγ(γ=0,99; п=25)=2,797. Тогда , или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который попадает неизвестный параметр а с надежностью 0,99.
Пример 1.2.5 Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Объем выборки n = 16, выборочная средняя =20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Найдем tγ . Пользуясь таблицей, по γ = 0,95 и n =16 находим tγ =2,13. Найдем доверительные границы: (–tγs/, +tγs/), где
tγs/=2,130,8/4=0,426 Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626.
Степень отклонения t-распределения от нормального связана с объемом выборки п, для которой вычисляется величина стандартного отклонения s. Чем меньше объем выборки, тем больше отклонение от нормальности.
При неограниченном возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному закону. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением, для построения доверительных интервалов можно пользоваться распределением Z, а в качестве стандартной ошибки средней рассматривать статистику. Тогда для бесконечной генеральной совокупности формула вычисления доверительных пределов с доверительной вероятностью 1–α имеет вид или .
В случае конечной генеральной совокупности объема N при условии n/N>0,05 следует учитывать поправку на конечность генеральной совокупности: .
Однако для малых выборок (n < 30), в особенности для малых значений n, замена распределения нормальным приводит к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, если n = 5 и = 0,99, то, пользуясь распре-делением Стьюдента, найдем tγ = 4,6, а используя функцию Лапласа, найдем tγ = 2,58, т. е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.
Пример 1.2.6 Найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ =0,95, если дисперсия неизвестна. Объем выборки составляет n = 100. Среднее выборочное значение = 30, s=8,7. Объем заданной выборки достаточно большой, n = 100. Поэтому можно использовать как распределение Стьюдента, так и нормальное распределение. Рассмотрим оба варианта.
Вариант 1 (нормальный закон распределения). Будем полагать, что t, а = s=.8,7 По заданной надежности γ = 0,95 найдем, с помощью таблицы (см. Приложение 3), параметр t: t=2Ф(t)=0,95, откуда Ф(t)=0,475, t=1,96. Получим доверительный интервал для математического ожидания
, .
Проведем вычисления и получим, что (28,29<a<31,71 Таким образом, интервал (28,29; 31,71) покрывает параметр m =M(X)=a с надежностью γ = 0,95 при неизвестной дисперсии.
Вариант 2 (закон распределения Стьюдента). По заданной надежности γ = 0,95 найдем, с помощью таблицы (см. Приложение 2), параметр t (γ; n). t (0,95;100)=1,984. Запишем доверительный интервал для математического ожидания
, .
Проведем вычисления и окончательно получим, что 28,274<a<31,726 . Таким образом, интервал (28,274; 31,726) покрывает параметр m = M(X) =a c надежностью γ = 0,95 при неизвестной дисперсии.
Можно заметить, что если значение s близко к σ, то доверительный интервал, полученный с применением закона распределения Стьюдента, будет более широким, чем доверительный интервал, полученный с применением формул нормального распределения, так как tγ >t. Это объясняется тем, что распределение Стьюдента применяется при выборках малых объемов, содержащих недостаточный объем информации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При проверке статистических гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним также связано распределение Стьюдента. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента Z(a ).
При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов.
Распределение Стьюдента (t-распеределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, и при построении доверительных интервалов для М(Х), а именно тогда, когда среднее квадратическое отклонение σ неизвестно и подлежит определению по опытным данным.
2. Статистическая обработка результатов наблюдения и проверка гипотезы о нормальном распределении
Задание 8
Изучался рост объема количества заказов на товар за год в 100 однотипных фирмах, при этом были получены следующие результаты в процентах:
|
152 |
148 |
158 |
129 |
155 |
165 |
129 |
137 |
152 |
158 |
155 |
164 |
|
171 |
157 |
152 |
145 |
143 |
155 |
151 |
147 |
142 |
136 |
130 |
139 |
|
154 |
147 |
157 |
164 |
161 |
154 |
145 |
130 |
135 |
160 |
151 |
131 |
|
134 |
139 |
151 |
157 |
131 |
133 |
139 |
153 |
160 |
164 |
170 |
177 |
|
169 |
174 |
169 |
175 |
156 |
153 |
145 |
149 |
146 |
138 |
133 |
150 |
|
132 |
176 |
138 |
144 |
139 |
146 |
140 |
150 |
141 |
156 |
176 |
140 |
|
173 |
144 |
153 |
156 |
163 |
168 |
150 |
174 |
146 |
158 |
140 |
163 |
|
155 |
167 |
162 |
149 |
162 |
148 |
166 |
153 |
168 |
172 |
158 |
159 |
|
177 |
162 |
156 |
145 |
Провести статистическую обработку данных результатов
Решение
1. Составим интервальный ряд распределения, определив оптимальную длину интервала h .
Проанализировав количество заказов на товар за год в 100 однотипных фирмах, находим:
Объем выборки n = 100,
xmin = 129, xmax = 177.
Найдем hопт:
hопт =
Следовательно, выбираем длину интервала h = 6 ().
Тогда
(Можно сдвигать на величину ).
2. Построим гистограмму относительных частот.
.
3. Вычислим оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
|
N |
[xi-1; xi) |
xi* |
ni* |
ni*xi* |
ni*(xi*-xB)2 |
|||||
|
N |
[xi-1; xi) |
xi* |
ni* |
ni*xi* |
ni*(xi*-xB)2 |
|||||
|
1 |
[126;132) |
129 |
6 |
774 |
24,3 |
3542,94 |
1,8692 |
0,0694 |
3,20 |
11,24 |
|
2 |
[132;138) |
135 |
7 |
945 |
18,3 |
2344,23 |
1,4077 |
0,1476 |
6,81 |
7,19 |
|
3 |
[138;144) |
141 |
12 |
1692 |
12,3 |
1815,48 |
0,9462 |
0,2541 |
11,73 |
12,28 |
|
4 |
[144;150) |
147 |
15 |
2205 |
6,3 |
595,35 |
0,4846 |
0,3555 |
16,41 |
13,71 |
|
5 |
[150;156) |
153 |
19 |
2907 |
0,3 |
1,71 |
0,0231 |
0,3989 |
18,41 |
19,61 |
|
6 |
[156;162) |
159 |
15 |
2385 |
5,7 |
487,35 |
0,4385 |
0,3621 |
16,71 |
13,46 |
|
7 |
[162;168) |
165 |
11 |
1815 |
11,7 |
1505,79 |
0,9000 |
0,2661 |
12,28 |
9,85 |
|
8 |
[168;174) |
171 |
8 |
1368 |
17,7 |
2506,32 |
1,3615 |
0,1582 |
7,30 |
8,77 |
|
9 |
[174;180) |
177 |
7 |
1239 |
23,7 |
3931,83 |
1,8231 |
0,0761 |
3,51 |
13,95 |
|
Σ |
|
|
100 |
Σ1 = 15330 |
|
Σ2 =16731,00 |
|
|
|
Σ3= 110,07 |
является серединой i -го интервала.
– выборочное среднее.
– исправленная оценка дисперсии. Тогда – исправленное среднеквадратическое отклонение.
Вычислим .
4. Используя критерий согласия (критерий Пирсона) выясним, не противоречит ли принятая гипотеза о нормальном виде закона распределения опытным данным с уровнем значимости α =0,05.
Здесь надо находить по таблице (см. Приложение 1).
Значения npi находим по формуле npi = .
Находим;
где Тогда
Имеем 10,07 < 12,6, т.е. . Это значит, что принятая гипотеза о нормальном законе распределении не противоречит опытным данным.
5. Построим доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью (доверительной вероятностью) γ = 0,95 и γ = 0,99.
n = 100, = 153,3 , s = 13, γ = 0,95, γ = 0,99
Доверительные интервалы для математического ожидания :
t (0,95;100) = 1,984 – табличное значение (см. Приложение 3).
Далее определяем .
Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 равен , т.е.
или
– доверительный интервал с надежностью 0,95
t (0,99;100) = 2,627 – табличное значение (см. Приложение 3).
Далее определяем .
Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,99 равен , т.е.
153,3 – 3,415 < a < 153,3 +3,415. Следовательно
149,885 < a < 156,715 – доверительный интервал с надежностью 0,99.
Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения:
q1 = q (0,95;100) = 0,143– табличное значение (см. Приложение 4).
Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 равен s(1 – q1) < σ < s (1 + q1), т.е.
13(1 – 0,143) < σ < 13(1 + 0,143) или
11,141 < σ < 14,859 – доверительный интервал среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.
4) q2 = q (0,99;100) = 0,198 – табличное значение
(см. Приложение 4). Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,99 равен s (1 – q2) < σ < s (1 + q2), т.е.
13(1 – 0,198) < σ < 13(1 + 0,198) или
10,426 < σ < 15,574 – доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью 0,99.
6. Построим кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, и приведя в соответствие масштабы. Имеем
.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приложение 1
Критические точки распределения Стьюдента
|
k |
Уровень значимости a (двусторонняя критическая область) |
|||||
|
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
|
|
1 |
6,314 |
12,7 |
31,821 |
63,7 |
318,3 |
637,0 |
|
2 |
2,920 |
4,30 |
6,965 |
9,92 |
22,33 |
31,6 |
|
3 |
2,353 |
3,18 |
4,541 |
5,84 |
10,22 |
12,9 |
|
4 |
2,132 |
2,78 |
3,747 |
4,60 |
7,17 |
8,61 |
|
5 |
2,015 |
2,57 |
3,365 |
4,03 |
5,89 |
6,86 |
|
6 |
1,943 |
2,45 |
3,143 |
3,71 |
5,21 |
5,96 |
|
7 |
1,895 |
2,36 |
2,998 |
3,50 |
4,79 |
5,40 |
|
8 |
1,860 |
2,31 |
2,896 |
3,36 |
4,50 |
5,04 |
|
9 |
1,833 |
2,26 |
2,821 |
3,25 |
4,30 |
4,78 |
|
10 |
1,812 |
2,23 |
2,764 |
3,17 |
4,14 |
4,59 |
|
11 |
1,796 |
2,20 |
2,718 |
3,11 |
4,03 |
4,44 |
|
12 |
1,782 |
2,18 |
2,681 |
3,05 |
3,93 |
4,32 |
|
13 |
1,771 |
2,16 |
2,650 |
3,01 |
3,85 |
4,22 |
|
14 |
1,761 |
2,14 |
2,624 |
2,98 |
3,79 |
4,14 |
|
15 |
1,753 |
2,13 |
2,602 |
2,95 |
3,72 |
4,07 |
|
16 |
1,746 |
2,12 |
2,583 |
2,92 |
3,69 |
4,01 |
|
17 |
1,740 |
2,11 |
2,567 |
2,90 |
3,65 |
3,96 |
|
18 |
1,734 |
2,10 |
2,552 |
2,88 |
3,61 |
3,92 |
|
19 |
1,729 |
2,09 |
2,539 |
2,86 |
3,58 |
3,88 |
|
20 |
1,725 |
2,09 |
2,528 |
2,85 |
3,55 |
3,85 |
|
21 |
1,721 |
2,08 |
2,518 |
2,83 |
3,53 |
3,82 |
|
22 |
1,717 |
2,07 |
2,508 |
2,82 |
3,51 |
3,79 |
|
23 |
1,714 |
2,07 |
2,500 |
2,81 |
3,49 |
3,77 |
|
24 |
1,711 |
2,06 |
2,492 |
2,80 |
3,47 |
3,74 |
|
25 |
1,708 |
2,06 |
2,485 |
2,79 |
3,45 |
3,72 |
|
26 |
1,706 |
2,06 |
2,479 |
2,78 |
3,44 |
3,71 |
|
27 |
1,703 |
2,05 |
2,473 |
2,77 |
3,42 |
3,69 |
|
28 |
1,701 |
2,05 |
2,467 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
29 |
1,699 |
2,05 |
2,462 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
30 |
1,697 |
2,04 |
2,457 |
2,75 |
3,39 |
3,65 |
|
40 |
1,684 |
2,02 |
2,423 |
2,70 |
3,31 |
3,55 |
|
60 |
1,671 |
2,00 |
2,390 |
2,66 |
3,23 |
3,46 |
|
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
3,17 |
3,37 |
|
∞ |
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,09 |
3,29 |
|
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
0,0005 |
|
|
Уровень значимости a (односторонняя критическая область) |
Приложение 2
Таблица значений функции распределения Стьюдента t = t (,n)
Приложение 3
Таблица значений функции Лапласа
|
x |
Сотые доли x |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
0,0 |
0,0000 |
0040 |
0080 |
0120 |
0160 |
0199 |
0239 |
0279 |
0319 |
0359 |
|
0,1 |
0398 |
0438 |
0478 |
0517 |
0557 |
0596 |
0636 |
0675 |
0714 |
0753 |
|
0,2 |
0793 |
0832 |
0871 |
0910 |
0948 |
0987 |
1026 |
1064 |
1103 |
1141 |
|
0,3 |
1179 |
1217 |
1255 |
1293 |
1331 |
1368 |
1406 |
1443 |
1480 |
1517 |
|
0,4 |
1554 |
1591 |
1628 |
1664 |
1700 |
1736 |
1772 |
1808 |
1844 |
1879 |
|
0,5 |
1915 |
1950 |
1985 |
2019 |
2054 |
2088 |
2123 |
2157 |
2190 |
2224 |
|
0,6 |
2257 |
2291 |
2324 |
2357 |
2389 |
2422 |
2454 |
2486 |
2517 |
2549 |
|
0,7 |
2580 |
2611 |
2642 |
2673 |
2704 |
2734 |
2764 |
2794 |
2823 |
2852 |
|
0,8 |
2881 |
2910 |
2939 |
2967 |
2995 |
3023 |
3051 |
3078 |
3106 |
3133 |
|
0,9 |
3159 |
3186 |
3212 |
3238 |
3264 |
3289 |
3315 |
3340 |
3365 |
3389 |
|
1,0 |
0,3413 |
3438 |
3461 |
3485 |
3508 |
3531 |
3554 |
3577 |
3599 |
3621 |
|
1,1 |
3643 |
3665 |
3686 |
3708 |
3729 |
3749 |
3770 |
3790 |
3810 |
3830 |
|
1,2 |
3849 |
3869 |
3888 |
3907 |
3925 |
3944 |
3962 |
3980 |
3997 |
4015 |
|
1,3 |
4032 |
4049 |
4066 |
4082 |
4099 |
4115 |
4131 |
4147 |
4162 |
4177 |
|
1,4 |
4192 |
4207 |
4222 |
4236 |
4251 |
4265 |
4279 |
4292 |
4306 |
4319 |
|
1,5 |
4332 |
4345 |
4357 |
4370 |
4382 |
4394 |
4406 |
4418 |
4429 |
4441 |
|
1,6 |
4452 |
4463 |
4474 |
4484 |
4495 |
4505 |
4515 |
4525 |
4535 |
4545 |
|
1,7 |
4554 |
4564 |
4573 |
4582 |
4591 |
4599 |
4608 |
4616 |
4625 |
4633 |
|
1,8 |
4641 |
4649 |
4656 |
4664 |
4671 |
4678 |
4686 |
4693 |
4699 |
4706 |
|
1,9 |
4713 |
4719 |
4726 |
4732 |
4738 |
4744 |
4750 |
4756 |
4761 |
4767 |
|
2,0 |
0,4772 |
4778 |
4783 |
4788 |
4793 |
4798 |
4803 |
4808 |
4812 |
4817 |
|
2,1 |
4821 |
4826 |
4830 |
4834 |
4838 |
4842 |
4846 |
4850 |
4854 |
4857 |
|
2,2 |
4861 |
4864 |
4868 |
4871 |
4875 |
4878 |
4881 |
4884 |
4887 |
4890 |
|
2,3 |
4893 |
4896 |
4898 |
4901 |
4904 |
4906 |
4909 |
4911 |
4913 |
4916 |
|
2,4 |
4918 |
4920 |
4922 |
4925 |
4927 |
4929 |
4931 |
4932 |
4934 |
4936 |
|
2,5 |
4938 |
4940 |
4941 |
4943 |
4945 |
4946 |
4948 |
4949 |
4951 |
4952 |
|
2,6 |
4953 |
4955 |
4956 |
4957 |
4959 |
4960 |
4961 |
4962 |
4963 |
4964 |
|
2,7 |
4965 |
4966 |
4967 |
4968 |
4969 |
4970 |
4971 |
4972 |
4973 |
4974 |
|
2,8 |
4974 |
4975 |
4976 |
4977 |
4977 |
4978 |
4979 |
4979 |
4980 |
4981 |
|
2,9 |
4981 |
4982 |
4982 |
4983 |
4984 |
4984 |
4985 |
4985 |
4986 |
4986 |
|
3,0 |
0,49865 |
|||||||||
|
3,1 |
0,49903 |
|||||||||
|
3,2 |
0,49931 |
|||||||||
|
3,3 |
0,49952 |
|||||||||
|
3,4 |
0,49966 |
|||||||||
|
3,6 |
0,499841 |
|||||||||
|
3,8 |
0,499928 |
|||||||||
|
4,0 |
0,499968 |
|||||||||
|
4,5 |
0,499997 |
|||||||||
|
5,0 |
0,4999997 |
|||||||||
|
|
0,5 |