Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
При решении задач проектирования и управления промышленными роботами приходится определять как положения его звеньев относительно неподвижной системы координат— абсолютные положения звеньев, так и их относительные положения — обобщенные координаты. Напомним, что первая задача называется прямой, а вторая – обратной задачей о положениях манипулятора.
При известных обобщенных координатах решение прямой задачи о положениях манипулятора сводится к перемножению матриц, определяющих относительные положения звеньев, или выполняется с применением формул конечного поворота вектора.
Определение обобщенных координат при заданном положении выходного звена манипулятора является более сложной задачей, так как это связано с решением нелинейных систем алгебраических уравнений. Эффективным методом решения прямой и обратной задачи о положениях манипулятора является векторно-матричный метод. В этом методе основные условия связей между заданными и неизвестными величинами используются в векторной форме, а преобразование проекций векторов осуществляется в матричной форме.
3.1. Специальные системы координат
Осью вращательной пары (i, i+ 1), составленной из звеньев i и i+1, является ось цилиндрического шарнира, жестко связанная со звеном i, вокруг которой вращается звено i+1. Для поступательной пары (i, i + 1) осью является любая прямая, параллельная вектору скорости поступательного движения звена i + 1 относительно звена i.
Пронумеруем все звенья манипулятора от стойки (звено 0) до схвата (звена n) и свяжем с каждым из них свою систему декартовых координат, выбранную следующим специальным образом [48]: ось zi, идет по оси кинематической пары (i, i + 1); начало координат системы i, жестко снизанной со звеном i, лежит на общем перпендикуляре к осям zi-1, и zi, либо в точке их пересечения, если таковая имеется, либо в любой точке оси кинематической пары, если ось zi, совпадает с осью zi-1,_, или параллельна ей; ось хi, идет по общему перпендикуляру, проведенному к осям zi-1 и zi и направлена от точки пересечения этого перпендикуляра с осью zi-1 к точке его пересечения с осью zi, (или в любую сторону по нормали к плоскости, содержащей оси zi-1 и zi, если они пересекаются, или произвольным способом, если zi-1 и zi идут по одной прямой); ось yi выбирается по правилу правой тройки векторов.
Начало координат системы 0, т. е. системы, жестко связанной со стойкой, может лежать в любой точке оси пары (0, 1); ось x0 направляется произвольным образом.
Выбор системы п тоже выпадает из общего правила, так как звено п + 1 отсутствует. Поэтому предлагается вообразить любого типа пару (п, п + 1) и после этого выбрать систему по общему правилу. Начало выбранной таким образом системы называется центром схвата.
3.2. Расширенная матрица перехода для кинематической пары
Специальный выбор систем координат звеньев манипулятора позволяет с помощью лишь четырех параметров (а не шести, как в общем случае) описать переход из одной системы в другую. Систему i – 1 можно преобразовать в систему i с помощью поворота, двух сдвигов (переносов) и еще одною поворота, выполняемых в следующем порядке:
1) поворот системы i– 1 вокруг оси zi-1 на угол i, до тех пор, пока ось xi-1 не станет параллельной оси xi;
2) сдвиг повернутой системы вдоль оси zi-1 на величину si, до тех пор, пока оси xi-1 и хi не окажутся на одной прямой;
3) сдвиг вдоль оси хi на величину аi, до тех пор, пока не совпадут начала координат;
4) поворот вокруг оси хi на угол i до совмещения оси zi-1 с осью zi.
Каждому из этих элементарных движений соответствует одна из В-матриц: либо матрица вращения, либо матрица сдвига (см. Приложение II). Результирующая матрица перехода, связывающая системы i– 1 и i, является произведением этих матриц:
(3.1)
После перемножения получаем
В cooтветствии с формулой (П.34) с помощью матрицы Аi , можно связать радиусы-векторы одной и той же точки в системах i и i — 1:
(3.3)
где Ri, = [xi, yi, zi 1]T — матрица-столбец, определяющая положение произвольной точки звена i в системе о i счета, жестко связанной с этим звеном; a Ri=[xi-1, yi-1, zi-1 1]T — матрица-столбец, определяющая положение той же точки в системе, жестко связанной со звеном i – 1.
В матрицу Ai входят четыре параметра: i, si; аi, i. Для любой кинематической пары три из них должны быть константами и только один – переменной величиной. Для вращательной пары переменной величиной является угол i, а для поступательной пары – перемещение si,. Таким образом, каждая матрица Ai, содержит только одну переменную величину, которую будем называть в дальнейшем обобщенной координатой и обозначать qi.
Для решения многих задач необходимо знать производную от Ai по обобщенной координате. Считая, что пара (i – 1, i) вращательного типа, и поэтому дифференцируя (3,1) по параметруi„ играющему роль обобщенной координаты, получаем
(3.4)
или с учетом [1(П.47)]
Если кинематическая пара (i – 1, i) поступательного типа, то роль обобщенной координаты играет параметр si, и
или, принимая во внимание [1(П.49)] и [1(П.50)],
(3.5)
Maтрицу Ai стоящую справа в (3.5), можно было, согласно [1(П.50)], не писать. Она записана для возможности объединения (3.4) и (3.5) в одну формулу:
(3.6)
Рис. 1
где 1, это либо сд либо вр в зависимости от типа кинематической пары (i- 1, i).
Пример 1. Составить таблицу кинематических пар и параметров, а также вычислить матрицы Ai, для манипулятора, кинематическая схема которого изображена на рис. 1, а.
Манипулятор имеет пять степеней свободы, которым соответствуют пять обобщенных координат: s1, 2, s3, 4, 5.Специальные системы отсчета выбраны в соответствии с указаниями и показаны на конструктивной схеме (рис. 1,б). Тип кинематических пар и значения параметров сведены в табл. 1.
Таблица –1
|
Кинема-тическая пара |
Тип пары |
Номер Звена |
Параметры |
|||
|
|
|
s |
a |
|||
|
0,1 |
Поступательная |
1 |
0 |
0 |
s1 |
a1 |
|
1,2 |
Вращательная |
2 |
2 |
-/2 |
s2 |
0 |
|
2,3 |
Поступательная |
3 |
0 |
0 |
s3 |
0 |
|
3,4 |
Вращательная |
4 |
4 |
-/2 |
s4 |
0 |
|
4,5 |
» |
5 |
5 |
-/2 |
0 |
a5 |
В соответствии с этой таблицей и формулой (3.2) определяем матрицы Аi,:
Навык в составлении таблиц, подобных таблице 1, совершенно необходим, поскольку такие таблицы исчерпывающим образом описывают кинематические схемы манипуляторов и являются входной информацией для кинематического расчета на ЭВМ. Что касается матриц A, то их запись требуется лишь для тестирования программ, а в данной книге, где решение примеров в целях обучения проводится вручную, без них невозможно продолжение кинематического анализа.
3.3. Прямая задача о положениях
Прямая задача кинематики манипуляторов формулируется так: задана кинематическая схема манипулятора и в некоторый момент времени известны значения обобщенных координат, определяющие положение всех звеньев манипулятора друг относительно друга. Требуется определить положение и ориентацию последнего звена манипулятора (схвата) в системе отсчета, связанной со стойкой. Геометрические размеры звеньев считаются известными.
Задача решается с помощью формулы, аналогичной [1(П.35)]:
(3.7)
где Тn– матрица, равная произведению матриц Аi:
(3.8)
В формуле (3.7) Rn и R0– матрицы-столбцы размером 4х1, первые три элемента которых – это координаты произвольной точки cхвата соответственно в системах n и 0.
Столбцы матрицы Tn имеют геометрическое толкование. Первые три элемента первого, второго и третьего столбцов представляют собой направляющие косинусы соответственно осей хn, уn, zn в системе 0, а три элемента четвертого столбца – это координаты x*, у*, z* центра схвата в той же системе:
(3.9)
Таким образом, решение прямой задачи кинематики манипуляторов сводится к тому, что, задавшись значениями обобщенных координат, вычисляются с помощью (3.8) и (3.2) значения элементов матрицы Tn, а следовательно, согласно (3.9), определяются положение и ориентация схвата в системе координат, жестко связанной со стойкой манипулятора. Если обобщенные координаты заданы не значениями, а функциями времени, то и элементы матрицы Tn – функции времени.
Если требуется определить положение и ориентацию не схвата, а некоторого промежуточного звена i и радиус-вектор его точки в системе 0, то следует воспользо ваться формулами, аналогичными (3.7) и (3.8):
(3.10)
где
(3.11)
По таким же формулам можно определить положение и ориентацию некоторого звена l по отношению к звену i:
(3.12)
где
(3.13)
Пример 1. Определить положение и ориентацию схвата манипулятора, кинематическая схема которого изображена на рис. 1. а.
Решение задачи заключается в нахождении 12 элементов матрицы
(3..14)
которая определяется, согласно (3.8), как произведение матриц Аi:
Перемножив матрицы Аi вычисленные при решении примера 3.1, получаем искомые величины:
Полученные выражения показывают связь матрицы Т, определяющей положение и ориентацию схвата, с обобщенными координатами манипулятора.
Задания для самостоятельного выполнения. Определить в системе 0, жестко связанной со стойкой, положение и
ориентацию схвата манипулятора как функции обобщенных координат и линейных размеров звеньев. Задание выполнить в следующем порядке:
определить число степеней свободы манипулятора;
на основе условной кинематической схемы нарисовать конструктивную кинематическую схему манипулятора и пронумеровать на ней звенья манипулятора;
выбрать специальные системы координат, жестко связанные со звеньями манипулятора, и показать их на рисунке;
составить таблицу типов кинематических пар и значений параметров манипулятора;
вычислить матрицы Ai;
определить элементы матрицы Тn ;
указать, чему равны координаты центра схвата и направляющие косинусы осей схвата в системе координат, связанной со стойкой.
Пример 2. Выполнить задание для манипулятора, кинематическая схема которого дана на рис. 2, а. Манипулятор
Рис.2
имеет одну вращательную и две поступательные кинематические пары, следовательно, число степеней свободы равно трем. Конструктивная кинематическая схема изображена на рис., там же проставлены номера звеньев.
Специальные системы координат выбираем в соответствии с указаниями. Ось Z0 идет по оси вращательной пары (0, 1), т. е. по оси вращения тела 1; ось z2 идет по оси пары (1, 2), вдоль которой тело 2 поступательно перемещается относительно тела 1; ось z2 идет вдоль оси поступательной пары (2, 3); ось zз идет так же, как ось z2;. Направление осей х и положения начал координат показаны на рис. .
Типы пар и значения параметров сведены в табл. 2
|
Таблиц |
а 3.2 |
|||||
|
Кинематическая пара |
Тип пары |
Номер звена |
Значения параметров |
|||
|
|
а |
.t |
а |
|||
|
0,1 |
Вращательная |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1,2 |
Поступательная |
2 |
|
/2 |
s3 |
0 |
|
2,3 |
» |
3 |
0 |
0 |
s3 |
0 |
Составляем матрицы Аi [в соответствии с (3.2)]:
Вычисляем элементы матрицы T3 :
Координаты центра охвата в системе, связанной со стойкой манипулятора, равны [что видно из сопоставления (3.16) с (3.9)]
Направляющие косинусы осей x3 и z3:
|
Вар. |
Кинематическая схема манипулятора |
Примечание |
|
1 |
с.85 |
|
|
2 |
||
|
3 |
||
|
4 |
||
|
5 |
||
|
6 |
||
|
7 |
с.93 |
|
|
8 |
||
|
9 |
||
|
10 |
||
|
11 |
||
|
12 |
||
|
13 |
с.122 |
|
|
14 |
с.125 |
|
|
15 |
с.129 |
|
|
16 |
с.139 |
|
|
17 |
||
|
18 |
с.140 |
|
|
19 |
||
|
20 |
с.162 |
Примечание: Линейные размеры звеньев, значения обобщенных координат выбрать самостоятельно.
Литература
1. 1. Механика промышленных роботов: Учебное пособие для втузов: В 3 кн./Под ред. К.В. Фролова, Е.И. Воробьева. Кн.1: Кинематика и динамика/Е.И. Воробьев, С.А. Попов, Г.И. Шевелева.–М.: Высш. шк., 1988.–304 с.