Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
в г.Таганроге
Отчет
По лабораторной работе № 1: «Численное интегрирование»
Вариант –6
Выполнил: студент группы Э-72
Акопджанян Г.Ж.
Проверил: Цирулик Д.В.
Таганрог 2013
Цель работы: Применить методы численного интегрирования для вычисления интеграла .
Описание методов.
Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов
|
(1.1) |
основанные на замене интеграла конечной суммой
|
(1.2) |
где – числовые коэффициенты и – точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (1.2) – квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы, а числа – коэффициентами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов. При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция предполагается достаточно гладкой.
Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек
,
и представим интеграл (1.1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
(1.3) |
на частичном отрезке и воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла.
Формула прямоугольников.
Пользуясь малостью , заменим интеграл (1.3) выражением , где .
Тогда получим формулу
|
(1.4) |
которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке .
Погрешность формулы (1.4) определяется величиной
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде
|
(1.5) |
и воспользуемся разложением
где . Тогда из (1.5) получим
Обозначая , оценим следующим образом:
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
|
(1.6) |
т.е. формула имеет погрешность при .
Заметим, что оценка (1.6) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (1.6) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем , и
Суммируя равенства (1.4) по от до , получим составную формулу прямоугольников (центральных прямоугольников):
|
(1.7) |
Погрешность этой формулы
равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,
Отсюда, обозначая , получим
|
(1.8) |
т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина .
В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
Замечание. Можно также использовать формулы прямоугольников при ином расположении узлов, например, такие формулы (формулы левых и правых прямоугольников соответственно):
Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является величиной .
Формула трапеций.
На частичном отрезке эта формула имеет вид
|
(1.9) |
и получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам , т.е. функцией
Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что
Отсюда получим
и, следовательно,
|
(1.10) |
Оценка (1.10) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .
Составная формула трапеций имеет вид
|
(1.11) |
где .
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей (см. (1.8)).
Формула Симпсона.
При аппроксимации интеграла (1.3) заменим функцию параболой, проходящей через точки , , т.е. представим приближенно в виде
,
где – интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,
|
(1.12) |
Проводя интегрирование, получим
Таким образом, приходим к приближенному равенству
|
(1.13) |
которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке формула Симпсона имеет вид
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
, , ,
и записать формулу Симпсона в виде
|
(1.14) |
Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (1.13), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство
Если , это утверждение нетрудно проверить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю.
Для оценки погрешности формулы Симпсона построим многочлен третьей степени такой, что
, ,
Известно, что такой многочлен существует и единственен. Он построен в явном виде. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена . Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим
|
(1.15) |
Представим теперь в виде
|
, |
(1.16) |
где – погрешность интерполирования многочленом . Интегрируя (1.16) и учитывая (1.15), получим
|
(1.17) |
Имеем
поэтому для погрешности получаем оценку
где .
Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке
|
(1.18) |
Погрешность составной формулы Симпсона (1.14) оценивается так:
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность , а на всем отрезке – .
Программная реализация численных методов
м е т о д п р а в ы х п р я м о у г о л ь н и к о в
м е т о д ц е н т р а л ь н ы х п р я м о у г о л ь н и к о в
м е т о д л е в ы х п р я м о у г о л ь н и к о в
м е т о д т р а п е ц и и
м е т о д С и м п с о н а
Вывод: В ходе проделанной работы мы применили методы численного интегрирования для вычисления интеграла, такие как: методом левых прямоугольников, методом правых прямоугольников, методом центральных прямоугольников, методом трапеции, методом Симпсона,