Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№14. Определенный интеграл. Геометрический и физический смысл опр. Интеграла.
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Площадь криволинейной трапеции (геометрический смысл ОИ).
Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn(х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).
Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:
С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0:
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Физический смысл ОИ.
Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:
Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):
Геометрический смысл (википедия):
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .