Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Билет 1. Понятие функции и способы ее задания. Обратная функция. Сложная функция.
Понятие функции состоит из 3 частей: 1) Области определения D (совокупность значений x, для которых определяются значения функции у в силу правила f(x)); 2) Множества T, содержащего область значений E; 3) Правила, которое для каждого элемента из области D задаёт единственный элемент из области T.
Таким образом, функция есть зависимость, при которой каждому элементу x (- D соответствует единственный элемент y (- E. y=f(x), где х – независимая переменная, y – зависимая.
Способы задания функции: 1) Аналитический (математическая формула, дающая воз-
можность вычислить значение функции); 2) Графический (Графиком функции y = f(x)
называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
данному уравнению.); 3) При помощи таблицы; 4) При помощи словесного описания
Обратная функция: Пусть f: XY и g: Y X такие функции, что при х1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2). Тогда каждому y (- f(X) соответствует единственный элемент x (- X Такие образом g(x) является обратной функцией к f(x) и обозначается x=f-1(y)
Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X Y и g(y): Y Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена сложная функция φ: X Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f.
Билет 2. Предел функции в конечной точке и на бесконечности. Единственность предела в случае его существования.
В конечной точке: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Число А называется пределом f(x) в точке x0 и пишут lim f(x)=A (x x0), если для любого ε>0 существует δ(ε)>0 такое, что для любых х, таких что 0<|x- x0|<δ выполняется |f(x)-A| < ε
На бесконечности: Число А называют пределом f(x) при x ∞, если для любого ε>0 существует число М(ε)>0 такое, что для любых х, таких что |x| > M, выполняется |f(x)-A| < ε. Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим.
Геометрический смысл: Взяв значение аргумента, принадлежащего интервалу
((х0-δ); (x0+δ)), значения функции обязательно попадают в интервал ((А-ε); (A+ε))
Примеры вычисления пределов по определению.
Единственность предела: f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и lim f(x)=A,
lim f(x)=B (х x0). Тогда А=В, т.е.предел может быть только единственным.
Доказательство: Сначала напишем определение для А и В. Возьмём δ как наименьшее из
2ух чисел, т.е. рассмотрим δ=min(δ1, δ2) при |x-x0|<δ.
|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| = |f(x)-A| + |f(x)-B| <= ε+ε = 2ε A-B=0, A=B
Билет 3. Односторонние пределы.
Определение: Число А называется лево(право)-сторонним пределом функции y=f(x) в точке х0, если функция определена на интервале (x0-γ; x0) ((x0; x0+ γ)) для γ>0 и для всех ε>0 найдётся δ= δ(ε)>0 такая, что 0<x0-x< δ (0<x-x0< δ) |f(x)-A|< ε.
Обозначение: A=lim f(x) (xx0-0) (A=lim f(x) (xx0+0))
Для левостороннего предела рассматриваются значения аргумента слева от x0: (x0-δ; x0)
Для правостороннего: x (- (x0; x0+δ)
Теорема: Для существования конечного предела функции в конечной точке необходимо и достаточно существования односторонних пределов функции в этой точке и их равенства друг другу. При этом сам предел равен каждому из односторонних.
Билет 4. Бесконечно малые величины (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) величины. Свойства б.м. Связь б.б. и б.м. величин.
Функция α(х) называется бесконечно малой при х x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0).
Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), xx0.
Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости.
Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается
α(х) ~ β(x) при хx0.
Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))k = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x).
Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0)
Теорема о взаимосвязи: Пусть α =α(х) – б.м. в точке х0 (на ∞). Тогда β=1/ α(х) – б.б. в точке х0 (на ∞). И наоборот, если β= β(х) –б.б. в точке х0 (на ∞), то α(х)=1/ β(х) – б.м. в точке х0 (на ∞).
Доказательство:
Пусть α(х) определена в некторой точке х0 и б.м. в точке х0. Таким образом, для любого ε>0 найдётся δ =δ(ε) такая, что 0<|x-x0|< δ | α(х)|< ε. Возьмём М=1/ε и найдётся δ =δ(ε)=δ(М) такая, что 0<|x-x0|< δ |β(x)| =
|1/ α(х)| > 1/ ε = M β(x) по опр. б.б.
1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0)
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(ex-1)~ln(1+x)
1-cosx~x2/2
ax-1~xlna
Свойства б.м.:
Билет 5. Алгебраические свойства предела.
Пусть lim f(x)=A (xx0), lim g(x) = B (xx0), C-единственное число, тогда:
1) Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
.
Доказательство: Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно, f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).
Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
.
2) Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Доказательство: Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .
3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Доказательство: Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное
.
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0.
Билет 6. Предельные переходы в неравенствах.
Доказательство:
Докажем от противного. Пусть существует lim f(x) (xx0) = f0 = A+γ (γ-пол.число). Тогда для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что 0<|x-x0|< δ |f(x)-f0|<ε.
Возьмём ε = γ/2>0. Тогда, с одной стороны |f(x)-f0|< γ/2 при 0<|x-x0|< D(γ).
С другой стороны |f(x)-f0|>= γ, т.к. f(x)<=A, a f0=A+ γ.
Полученное противоречие доказывает утверждение:
Пусть для всех х (- Х выполняется неравенство f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = lim g(x) = A (x (- X). Тогда существует lim φ(x) = A.
Пусть для любого х (- Х f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = А, lim g(x) = B.
При этом, A<=B. Тогда, если существует lim φ(x) = С, то A<=C<=B
Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M (f(x)>=m) для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные результаты верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число
Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U0. lim f(U) (UU0) = f0. Тогда lim f(U(x)) = f0.
Билет 7. Теорема о существовании предела ограниченной монотонной функции.
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Теорема: Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M (f(x)>=m) для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные результаты верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число.
Билет 8. Теорема о пределе сложной функции.
Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X Y и g(y): Y Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена сложная функция φ: X Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f.
Теорема: Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U0. lim f(U) (UU0) = f0. Тогда lim f(U(x)) = f0.
Билет 9. Первый замечательный предел.
1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0)
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(ex-1)~ln(1+x)
1-cosx~x2/2
ax-1~xlna
Доказательство:
Рассмотрим односторонние пределыи и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Билет 10. Предел последовательности. Второй замечательный предел для последовательностей и функций.
Последовательность: Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество вещественных чисел x1, x2, x3, ..., xn мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {xn}.
Число А называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки А найдётся натуральное число N, что все значения xn, для которых n>N, попадут в ε-окрестность точки А.
2ой замечательный предел. Как известно, предел числовой последовательности
xn=(1+1/n)n, n (- N, имеет предел равный e: lim (1+1/n)n = e (n ∞).
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Билет 11. Сравнение б.м. Эквивалентные б.м. Таблица основных эквивалентностей. Порядок малости.
Функция α(х) называется бесконечно малой при х x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0).
Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), xx0.
Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости.
Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается
α(х) ~ β(x) при хx0.
Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))k = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x).
Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0)
Таблица основных эквивалентностей:
Если lim sinx/x = 1 (x0), тогда:
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(ex-1)~ln(1+x)
1-cosx~x2/2
ax-1~xlna
Билет 12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного (при условии, что знаменатель не обращается в 0) непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если: 1) f(x) определена в некоторой окрестности точки х0; 2) Существует lim f(x) (xx0); 3) lim f(x) = f(x0). Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Геометрический смысл. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Геометрически график непрерывной функции представляет собой непрерывную линию. Легко видеть, что функция непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда односторонние пределы функции в этой точке существуют и равны между собой, а также значению функции в этой точке.
Теорема о действиях с непрерывной функцией:
Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке х0.
Доказательство:
lim (f(x)+-g(x)) (xx0) = lim f(x) +- lim g(x) = f(x0) +- g(x0)
Непрерывность сложной функции. Пусть f(x) – непрерывная в т. х0, а g(t) в т. t0=f(x0). Тогда функция g(f(x)) непрерывна в точке х0. Доказательство вытекает из теоремы о пределе сложной функции.
Непрерывность элементарных функций. Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Билет 13. Точки разрыва и их классификация. Исследование функции на непрерывность.
Определение. Точки, в которых предел функции не существует или существует, но не равен значению функции в этой точке называются точками разрыва.
Устранимый разрыв (1ый род). Пусть существуют lim f(x) (xx0-) и lim f(x) (x x0+); они равны друг другу, но не равны значению функции в данной точке. Тогда x0 – устранимая точка разрыва
Разрыв типа скачок (1ый род). Пусть существуют конечные односторонние пределы функции f(x) в точке х0, не равные друг другу. Тогда х0 – точка разрыва 1го рода типа скачок
Разрыв второго рода. Пусть в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или равен бесконечности. Тогда х0 – точка разрыва 2го рода.
Билет 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Теорема 1. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда найдутся х1, х2 (- [a;b] такие, что для всех х (- [a;b] выполняется неравенство: m = f(x1) <= f(x) <= f(x2) = M. То есть непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего M.
Следствие: непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.
Теорема 2. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a)*f(b)<0 (т.е. на концах отрезка функция имеет разные знаки). Тогда найдётся такое x0 (- (a;b), что f(x0) = 0.
Теорема 3. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a) ≠ f(b). Тогда для любого y* (- [f(a); f(b)], если f(а) < f(b) или y* (- [f(b); f(a)], если f(b) < f(a) найдётся x* (- [a;b]: f(x*)=y*, т.е. если на концах отрезка функция принимает не равнее друг другу значения, тогда она принимает и все промежуточные между этими значения.
Теорема 4. Пусть f(x) (- C[a;b] и m-наименьшее, а M-наибольшее значения функции f(x) на [a;b]. Тогда для любого у* (- [m; M] найдётся х* (- [a; b] такое, что f(x*)=y*, т.е. непрерывная на отрезке функция не только принимает наибольшее и наименьшее значения, но и пробегает все промежуточные.
Для монотонной непрерывной функции всегда найдётся обратная!
Рисунки
Билет 15. Задача о нахождении мгновенной скорости. Производная функции в точке. Геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Задача. Пусть материальная точка M движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определённое расстояние OS=M до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истёкшего времени t, т.е. t=S(t). Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t – приращение времени) точка займёт положение М1, где ОМ1=S+∆S. Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t). Отношение ∆S/∆t выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t (Vср=∆S/∆t). Чем меньше ∆t тем точнее средняя скорость выражает мгновенную. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется мгновенной скоростью: V=lim ∆S/∆t (∆t0)
Определение. Предел отношения приращения функции y=f(x) к приращению аргумента
при x=x0 называется производной функции y=f(x) в точке х0, если он существует и
конечен. f ‘x при х=х0 = lim ∆f(x)/ ∆x (∆x0) = lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) (xx0)
Обозначение. y’, y’(x), f ‘(x), dy/dx итд.
Геометрический смысл. Если к графику функции y=f(x) в точке с абциссой x=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f’(a) выражает угловой коэффициент
касательной. k=f ‘(a), f ‘(a)=tgα
Касательная. Прямая называется касательной к графику функции y=f(x) в т. х0=(x0; f(x0)), если: 1) Прямая пересекается с графиком функции в точке х0; 2) В некоторой окрестности этой точки нет других пересечений; 3) Для всех х из этой окрестности график лежит по одну сторону от касательной. y=y0+f ‘(x0)(x-x0)
Нормаль. Нормалью к графику функции y=f(x) в точке х0 называется прямая перпендикулярная касательной к графику функции в этой точке. kнорм = -1/kкас = -1/f ‘(x0) y = -1/f ‘(x0)*(x-x0)+y0
Билет 16. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Логарифмическая производная.
Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она имеет (конечную) производную в этой точке.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки х0 её приращение имело вид: ∆y=A*∆x+α(x)*∆x, где А-конечное число, α(х)-б.м. в т. х0
Доказательство:
α(х)-б.м. в т. х0 lim α(х)=0
Пусть y=f(x) – диф. в т. х0, т.е. существует конечный lim ∆y/∆x = f ‘(x0). Обозначим f ‘(x0) = А < ∞. Рассмотрим функцию α(х) = -А+∆y/∆x. Тогда lim ∆y/∆x = lim (-A+ α(х)) = -A + lim ∆y/∆x = -A+A = 0. Следовательно α(х) – б.м. в точке х0.
Пусть в некоторой окрестности точки х0 ∆y = A*∆x + α(х)*∆x. lim ∆y/∆x = lim (A+ α(х)) = A+0 = А (существует и конечен). Т.е. функция диф. в т. х0.
Утверждение данной теоремы означает, что главной частью приращения диф. ф. является линейная часть. Нелинейная часть имеет более высокий порядок малости.
Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Если y=f(x) – дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство:
f(x) – диф. в т. х0 по теореме 1 ^ её приращение ∆y=A*∆x+α(x)*∆x. Тогда при ∆x0 получаем ∆y0. Т.е. f(x)f(x0) при xx0, а это означает что функция непрерывна lim f(x) = lim f(x0)
Логарифмическая производная. Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложнопоказательных.
(logax)’=1/(x*lna)
(lnx)’=1/x
Билет 17. Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения, частного дифференцируемых функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции.
Доказательство:
Пусть ∆x0. ∆(U+V)= ∆U+∆Vlim ∆(U+V)/ ∆x (∆x0) = lim (∆U+∆V)/∆x = lim ∆U/∆x + lim ∆V/∆x = U’ + V’
Доказательство:
Пусть ∆x0. ∆(U*V) = (U+∆U)(V+∆V)-UV = UV+U∆V+V∆U+∆U∆V-UV;
(UV)’ = lim ∆(UV)/ ∆x = lim (U∆V+V∆U+∆U∆V)/∆x = сумма лимитов = V*lim ∆U/∆x + U*lim ∆U/∆x + lim ∆U/∆x * lim ∆V (∆xбеск.) = VU’+UV’+U’*0.
Производная обратной функции. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, f ‘(x0) ≠ 0. Пусть также в некоторой окрестности точки y0=f(x0) определена и дифференцируема обратная функция x=g(y) (x=f-1(y)). Тогда производная обратной функции в точке у0 находится по формуле: x’(y0) = 1/f ’(x0) или g(y0)=1/f(x0), g-обр. f.
Доказательство:
g’(x) = lim ∆x/∆y (∆y0) = lim 1/(∆y/∆x) = 1/lim ∆y/∆x (∆x0) = 1/f(x0)
Производная сложной функции. Пусть функция x=φ(t) диф. в т. t0 и функция y=f(x) диф. в точке x0=φ(t0). Тогда сложная функция y(φ(t)) диф. в точке t0: yt’(t0) = fx’(x0)* φt(t0)
Доказательство:
y’(t0) = lim (∆y(φ(t)))/∆t (tt0) = lim (∆y*∆x)/( ∆x*∆t) = lim ∆y/∆x * lim ∆x/∆t = yx’(x0) * xt(t0)
Билет 18. Таблица производных. Вывод производных логарифмической, показательной, степенной и основных тригонометрических функций (sin x, tg x).
(C)’ = 0
(x)’ = 1
(kx+b)’ = k
(x2)’ = 2x
(xn)’ = n*xn-1
(кор. x)’ = 1/(2кор.x)
(1/x)’ = - 1/x2
(sinx)’ = cosx
sinα-sinβ = 2sin((α-β)/2)*cos((α+β)/2)
y’=lim (sin(x+∆x)-sinx)/∆x (∆x0) = lim (2sin(∆x/2)*cos((x+∆x)/2))/2*∆x/2 = cosx
(cosx)’ = -sinx
(tgx)’ = 1/cos2x
по правиду дифференцирования (деление)
(ctgx)’ = - 1/sin2x
(logax)’ = 1/(x*lna)
y’ = lim (loga(x+∆x)-logax)/∆x (∆x0) = lim (logax+∆x/x)/∆x = lim loga (1+ ∆x/x)/x*∆x/x = 1/x lim loga (1+∆x/x)x/∆x = 1/x lnae = результат
(lnx)’ = 1/x
(ex)’ = ex
(ax)’ = ax*lna
y=ax и x=logay – взаимообр. yx’ = 1/xy’, т.е. (ax)’ = 1/(1/y*lna) = ax*lna
(кор. х n-ой ст.)’ = 1/(n*кор х n-ой ст. из xn-1)
(|x|)' = x/|x|
(arcsinx)’ = 1/кор. из 1-x2
(arccosx)’ = -1/кор. из 1-x2
(arctg)’ = 1/(1+x2)
(arcctg)’ = -1/(1+x2)
(1/xc)’ = - c/xc+1
Билет 19. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.
Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования по х обеих частей выражения 1. Затем y’ выражаем через у и х.
Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём производную yx’: tx’=1/xt’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: yx’=yt’*tx’. В итоге получаем: yx’=yt’*1/xt’, т.е. yx’=yt’/xt’
Производные высших порядков. Производной 2го порядка называется производная от первой производной, если обе производные существуют. Производной n-ого порядка от функции y=f(x) называется производная от n-1 производной, если существуют все производные от 1го до n-го порядка включительно. y’’, yn
Билет 20. Дифференциал. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в точке х0 и обозначается dy = f ‘(x0)dx = f ‘(x0)∆x
Инвариантность формы первого дифференциала. Пишем определение. Пусть x=U(t); dx=U’(t)dt. Рассмотрим сложную функцию y=f(U(t)) и возьмём производную dy/dt fu’U * Ut’ dy = f ’(U)*U ’(t)dt =
= f ‘(U)*dU
Геометрический смысл. Дифференциал функции y=f(x) в точке х0 есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции в точке M0(x0; y0), при приращении аргумента, равном ∆x. При ∆x0 имеем ∆y≈dy, откуда получаем формулу приближённого вычисления значения функции в точке:
f(x0+∆x) ≈ f(x0)+f ‘(x0) ∆x или f(x) ≈ f(0)+f ‘(0)x
Примеры.
Билет 21. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования пох обеих частей выражение 1. Затем y’ выражаем через у и х.
Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём производную yx’: tx’=1/xt’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: yx’=yt’*tx’. В итоге получаем: yx’=yt’*1/xt’, т.е. yx’=yt’/xt’
Билет 22. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Геометрический смысл.
Точка х0 называется точкой локального минимума (максимума) ф. y=f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x)>=f(x0) (f(x)<=f(x0)). Максимум и минимум называются экстремумами функции.
Теорема Ферма. Пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и диф. на (a;b) и пусть точка х0 из (a; b) – точка локального максимума функции f(x). Тогда f ’(x0) = 0.
Геометрический смысл:
В точках локального экстремума касательная к графику функции параллельна оси Ох.
Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ и диф. во всех внутренних
точках (a; b) и f(a)=f(b). Тогда найдётся хотя бы 1 точка из этого интервала, что f ’(x0)=0.
Доказательство:
По свойству функции непрерывной на отрезке найдутся точки х1 и х2 такие, что m=f(x1)<=f(x)<=f(x2)=M для всех х из этого отрезка. Пусть обе точки попадают на концы отрезка x (- [a; b]. x1=a, x2=b f(a)=f(b)=f(x). Тогда m=M и f(x)=m=M=const для любого х (- [a; b]. Пусть хотя бы 1 из точек x1, x2 попадает внутрь отрезка. Тогда по теореме Фирма производная в этой точке равна 0.
Теорема Коши.
Пусть y=f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Аналогично, y=g(x) также непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b), но g’(x) ≠ 0 для любого х. Тогда имеет место следующее утверждение: найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что (f ‘(b) – f ‘(a))/(f(b) - f(a)) = f ‘(ξ)/g’(ξ)
Теорема Лагранжа. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Тогда найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что f(b) – f(a) = f(ξ)(b-a)
Доказательство:
Возьмём g(x) = x. По теореме Коши найдётся ξ (- (a;b) такая, что (f(b)-f(a)) / (b-a) = f ‘(ξ)
Геометрический смысл:
Билет 23. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
Определение. Пусть функции f(x) и g(x) диф. в некоторой окрестности точки b. Одновременно являются б.м. или б.б. в т. b и пусть существует lim f ‘(x)/g’(x) (xb). Тогда существует lim f(x)/g(x) (xb) = lim f ‘(x)/g’(x).
Доказательство:
Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x0; x], лежащего в окрестности точки х0. Тогда f(x)-f(x0)/g(x)-g(x0) = f ‘(c)/g’(c). Учитывая что f(x0) и g(x0) = 0 получаем формулу. И при x x0 величина х в пределе также стремится к х0.
Замечания:
Билет 24. Монотонность функции на промежутке. Достаточное условие монотонности. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. 1-е и 2-е достаточные условия экстремума. Исследование функции на монотонность и экстремум.
Определение. Функция монотонна на промежутке Х, если она возрастает (убывает) на всём промежутке.
Достаточное условие монотонности. Пусть для всех х (- Х f ‘(x)>0 (f’(x)<0). Тогда на Х функция возрастает (убывает)
Доказательство:
x1, x2 (- X, x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа найдётся ξ (- (x1; x2) такая, что f(x2)-f(x1) = f ‘(ξ)(x2-x1). x2>x1 f(x2)>f(x1)
Локальные экстремумы. Точка х0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство: f(x)<f(x0). Максимум и минимум – точки экстремума. Функция может иметь экстремум лишь во внутр. точках.
Необходимое условие экстремума. Пусть функция y=f(x) диф. на Х и имеет во внутренней точке этого промежутка локальный максимум. Тогда f ‘(x0) = 0.
Доказательство: по теореме Фирма.
1ое достаточное условие экстремума. Пусть х0 – критическая точка функции f(x) и пусть f(x) диф. в некоторой проколотой окрестности Uε точки х0. Пусть далее в этой окрестности f ‘(x) больше 0 при х<x0 и f ‘(x)<0 при х>x0. Тогда х0 – точка локального максимума.
2ое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) дважды непрерывна, диф. в некоторой окрестности стационарной т. х0, т.е. f ’(x0) = 0. Тогда если f ‘’(x0)>0, x0 – точка локального минимума, а если <0 – максимума.
Исследование функции на монотонность и экстремум.
Билет 25. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: схема нахождения и пример.
Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [A; B] и диф. на (a; b). Тогда наиб. и наим. значения функции f(x) на [a; b] могут достигаться только в точках локального экстремума или на концах отрезка
Схема нахождения.
Билет 26. Выпуклость, вогнутость функции – геометрическое и аналитическое определения. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) функции. Достаточное условие перегиба.
Кривая называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для всех точек этого интервала касательная лежит выше (ниже) точек кривой за исключением точки касания.
Геометрическое определение. Функция называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если на этом интервале её график является выпуклой (вогнутой) кривой.
Аналитическое определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для любых х1, х2 из этого интервала (х1<x2) выполняется неравенство: f((x1+x2)/2) > (f(x1)+f(x2))/2 (для вогнутой первое выражение с – и <)
Достаточное условие выпуклости. Пусть y=f(x) дважды непрерывна и диф. на (a; b) и f ‘’(x)>0 (f ‘’(x)<0) для любого х из этого интервала. Тогда f(x) вогнута (выпукла) на (a; b)
Перегиб. Точка х0 называется точкой перегиба функции или графика функции y=f(x), если в этой точке график меняет своё направление выпуклости.
Достаточное условие перегиба. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды непрерывна и диф. в проколотой окрестности этой точки. Пусть в т. f ‘’(x) меняет свой знак. Тогда х0 – точка перегиба f(x).
Доказательство:
Пусть f ‘’(x)<0 слева и f ‘’(x)>0 справа от т. х0. Тогда функция выпукла слева и вогнута справа от т. х0. Тогда х0 – точка перегиба по определению.
Схема исследования функции на выпуклость и перегиб.
Билет 27. Асимптота. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.
Асимптота. Пусть существует такая прямая, что расстояние до неё от точки М (x; f(x)) графика функции y=f(x) стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика функции
Вертикальная. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов lim f(x) (xx0-) или lim f(x) (x0+) равен бесконечности.
Горизонтальная. Пусть существует lim f(x) = b (x+∞) < ∞ (lim f(x) = b (x-∞) < ∞). Тогда прямая y=b называется право (лево) сторонней горизонтальной асимптотой.
Наклонная. Если f(x) ∞ при х +∞ (-∞), то может существовать наклонная асимптота.
Теорема. Если lim f(x)/x (x+∞, x-∞) = k – const<∞ и lim f(x)-kx (x+∞, x-∞) = b –const, то y=kx+b является правосторонней асимптотой (лево-)
Билет 28. Схема исследования функции и построения ее графика.
Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости, вогнутости. Таблица!
Билет 29. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Достаточное условие интегрируемости. Свойства неопределенного интеграла.
Первообразная. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F’(x)=f(x) для всех х (- X.
Неопределённый интеграл. Если Ф(x) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x), то Ф(х)=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c
Геометрический смысл.
Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда любая другая первообразная имеет вид Ф(х)=F(x)+C
Доказательство:
Свойства неопределённого интеграла:
Доказательство:
(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)
Доказательство:
d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)’*dx = f(x)dx
Доказательство:
Продифференцируем обе части:
(∫C*f(x)dx)’ = C*f(x)
(C*∫f(x)dx)’ = C*f(x)dx
Билет 30. Таблица неопределенных интегралов.
Билет 31. Непосредственное интегрирование. Формула замены переменной. Метод
интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование. Используются свойства интеграла, а также преобразование подынтегральной функции с помощью алгебраических, тригонометрических формул. Цель интегрирования: получить ответ в виде функции!
Метод замены переменной. Частным случаем этого метода является так называемое подведение под дифференциал. Из инвариантности 1го дифференциала dy=f ‘(x)dx=f ‘(U)dU следует: ∫f(x)dx=∫f(U)dU
Метод интегрирования по частям. Пусть U(x), V(x) непрерывны и диф. на Х. Тогда, на Х: ∫UdV = UV-∫VdU
Доказательство:
d(U(x)*V(x)) = формула = U’(x)dx/dU(x) * V(x) + U(x) * V’(x)dx/V(x) UdV=dUV-VdU
Выбор U и dV.
∫e2xsinxdx = (e2x(2sinx-cosx)/5)+C
Билет 32. Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.
Многочлен – алгебраическое выражение вида a0+a1x+a2x2…anxn
Рациональная дробь. Обозначим Pm(x) и Qn(x) многочленами степени m и n. Рациональная дробь R(x) – отношение двух этих многочленов: R(x) = Pm(x)/Qn(x). Если дробь правильная, то m<n, если неправильная, то m>=n. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть делением числителя на знаменатель уголком.
Разложение рациональной дроби на простейшие. Qn(x) = an*(x1-c1)ν1*(x2-c2)ν2*(xl-cl)νl*(x2+px+qn) νn (1)
Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей 4 типов:
A/(x-a), A/(x-a)k, (Mx+N)/(x2+px+q), (Mx+N)/(x2+px+q)k
В разложении Pm(x)/Qn(x) на элементарные дроби сомножителю (x-a)k будет соответствовать сумма k дробей вида A1/(x-a) + A2/(x-a)2 + … + Ak/(x-a)k (метод неопределённых коэффициентов)
Интегрирование простейших дробей.
Интегрирование рациональных дробей. Неопределённый интеграл от нерациональной дроби существует на любом промежутке, где её знаменатель не обращается в 0 и представляется в виде суммы рациональных функций, log, arctg итд.
Схема интегрирования рациональных дробей.
Билет 33. Интегрирование тригонометрических выражений.
1) ∫R(sinx, cosx)dx
Подстановка tg(x/2)=t, sinx = 2t/(1+t2), cosx = (1-t2)/(1+t2), dx = 2dt/(1+t2)
2) ∫R(sinx, cosx)dx
Подстановка tgx=t, sinx = t/(корень из 1+t2), cosx = 1/(корень из 1+t2), dx = dt/(1+t2)
3)∫R(sinx)cosxdx
Подстановка sinx=t, cosxdx = dt
4)∫sin2mxcos2nxdx
Подстановка cos2x = (1+cos2x)/2, sin2x = (1-cos2x)/2, sinxcosx = 1/2sin2x
5)∫sinmxcosnxdx
n=2k+1, (cos2x)k , затем подстановка sinx = t
6)∫sinαx sinβx = ½(cos(α-β)x – cos(α+β)x;
∫cosαx cosβx = ½(cos(α-β)x + cos(α+β)x;
∫ sinαx cosβx = ½(sin (α-β)x + cos(α+β)x
Билет 34. Интегрирование иррациональых функций.
Интеграл берётся с помощью замены ax+b/cx+d = tN, где N – наименьший общий знаменатель дробей
1) p – целое
2) m+1 – целое, подстановка axn+b=ts, где p=r/s
3) m+1/n+p – целое, подстановка axn+b=tsxn,
6) Подстановки Эйлера R(x, (корень из ax2+bx+c)
1) Если а>0, то корень из ax2+bx+c = t+-кор. из ах
2) Если а<0, то корень из ax2+bx+c = xt+-кор. из c
3) Если ax2+bx+c имеет различные действительные корни х1 и х2, то корень из ax2+bx+c = t(x-x1)
Билет 35. Нахождение пути по скорости. Интеграл Римана. Алгебраические свойства интеграла. Свойства, связанные с отрезками интегрирования. Интегральные неравенства и оценки, 1-я теорема о среднем.
Определение пути по заданной скорости. S=Vt (равномерное прямолинейное движение). Рассмотрим движение материальной точки. ∆t – малый промежуток времени. V(t) ≈ V(t0).
∆S=S(t0+ ∆t)-S(t0). Разобьём промежуток [t0; t] на n частей: [t0; t1] итд. и обозначим
∆k = tk-tk-1. Тогда приближённый путь равен: S(t)-S(t0) = ∆S ≈ V(T1)(t1-t0) + V(T2)(t2-t1)
и т.д., если max ∆k0, D и E∆S
Определение. Пусть f(x) задана на [a; b] и пусть существует конечное I такое, что для для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что |I- δ |< ε при условии, что параметр разбиения с отмеченными точками λ (P; ξ)< δ . Тогда функция называется интегрированной по Римену на [a;b], число I называют пределом инт.
Пределы интегрирования.
Свойства.
∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех ξ (- [a; b] верно неравенство:
f(ξ) = ∫f(x)dx / (b-a)
Билет 36. Геометрический смысл. Основные классы интегрируемых функций.
Геометрический смысл. Для простоты возьмём f(x) > 0, непр. на [a; b]. Интеграл предста
вляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y = 0, x = a, x = b, y = f(x)
Отрезок AB разобьём на n частичных отрезков (точками x1, x2 итд). В каждом отрезке берём произвольную точку ξ. Сумма всех произведений f(ξ1)*∆x1 + итд. будет равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна S. С уменьшением всех величин х, точность полученной формулы увеличивается.
Sabcd = ∫f(x)dx, если интеграл определён.
Классы интегрируемых функций .
1.Непрерывные функции.
Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.
2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.
Теорема 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.
Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.
Билет 37. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Формула замены переменной. Пусть х = φ(t) непрерывна и диф. на T = {α; β}. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] = [x(α); x(β)]. Тогда ∫f(x)dx (a; b) = ∫f(φ(t))*φ’(t)dt (α; β)
Интегрирование по частям. Пусть U(x) и V(x) непрерывны и диф. на отрезке [a; b]. Тогда имеет место формула: ∫UdV = UV|ab - ∫VdU
Доказательство: такое же как в неопр. интеграле
Билет 38. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех х (- [a; b] определена функция Ф(х) = ∫f(t)dt (a; x), которая называется интегралом с переменным верхним пределом. На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.
Теорема. Если f(x) непрерывна на [a; b], то Ф’(x) = (∫f(t)dt)’ (a; x) = f(x), для всех х (- [a; b]
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) непрерывна на [a; b], F(x) – какая либо первообразная для неё, тогда:
∫f(x)dx = F(x)|ab = F(b) – F(a)
Билет 39. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Геометрический смысл.
Определение. При введении понятия определённого интеграла предполагали следующие условия: а) отрезок интегрирования [a; b] является конечным; б) подынтегральная функция f(x) – ограничена на отрезке интегрирования. В этом случае интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным, т.е. ∫f(x)dx называется несобственным, если а=-∞ или b=+∞ (или невзаимоискл.)
Сходимость / расходимость. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a; b] (b>a). Обозначим I(b) = ∫f(x)dx, фиксируя нижний предел а. Функцию I(b) рассмотрим как интеграл с переменным верхним пределом.
Геометрический смысл. Пусть f(x)>0. Несобственный интеграл определяет площадь под кривой в соотв. пред., в данном случае [a; + ∞)
Несобственный интеграл 2го рода. Пусть функция f(x) задана на [a; b), не ограничена при
xb и для любого ε>0 найдётся ∫f(x)dx (a; b-ε). Несобственным интегралом 2го рода от функции
f(x) называется lim ∫f(x)dx (a; b-ε) (ε0+) = ∫f(x)dx (a; b)
Геометрический смысл: также только площадь под графиком.
Билет 40. Свойства несобственных интегралов. Признаки сходимости. Эталонные ряды.
Свойства. 1) Если сходится несобственный интеграл ∫f(x)dx (a; ∞), то найдётся такая b>a, что несобственный интеграл будет сходится и ∫f(x)dx (a; ∞) = ∫f(x)dx (b; a) + ∫f(x)dx (b; ∞)
2)Если сходятся интегралы ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), то сходятся и интегралы ∫(αf(x)+-βg(x))dx (a; ∞), где α и β=const и <M.
Признаки сходимости.
Доказательство:
Для всех b (- (a; +∞) интеграл ∫f(x)dx (a; b) <= ∫g(x)dx (a; b). а) Перейдём к пределу при b∞. По теореме о предельных переходах в неравенстве существует предел: lim ∫f(x)dx (a; b) (b∞). Существование этого предела эквивалентно существованию интеграла. б) Аналогично из расходимости 1го интеграла вытекает несуществование пределов ∫f(x)dx (a; b) (b∞) и ∫g(x)dx (a; b) (b∞)
Эталонным называется интеграл, который сходится на одном промежутке, а расходится на другом.
Билет 41. Нахождение площади плоской фигуры.
Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x) (f(x) >= 0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя вертикальными прямым x=a, x=b, осью абцисс, определяется формулой S = ∫f(x)dx
Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора AOB, ограниченная дугой кривой и двумя полярными радиусами OA и OB, выразится интегралом S = ½ ∫(ρ(φ))2dφ
В параметрической форме.
S = ∫ψ(t)*φ’(t)dt, где x = φ(t), y = ψ(t)
Билет 42. Нахождение объема тела вращения.
a) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением y = y(x), где y(x) - непрерывная однозначная функция на [a; b], осью Ох и прямыми x=a и x=b вычисляется по одной из формул: Vx = П∫f 2(x)dx (a; b) или
Vx = П ∫f 2(x)*x’(y)dy (c; d)
б) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции,
ограниченной кривой, заданной уравнением x = x(y), где x(y) - непрерывная
однозначная функция на [с; d], осью Оy и прямыми y=c и y=d вычисляется по
одной из формул: Vy = П∫f 2(y)dy (c; d) или Vy = П ∫x2*y’(x)dx
Билет 43. Длина дуги кривой.
a)В прямоугольных координатах.
Пусть на [a; b] y=f(x) диффер. непрерывна. Тогда существует предел: l = ∫корень из 1+(y’)2dx
б) В параметрической форме.
Пусть дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), x <= t <= β, то длина дуги кривой равна:
l = ∫кор. x’2(t)+y’2(t)dt, (t1; t2) – значения параметра, соответствующие концам дуги
в) В полярной системе
Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), φ (- [α; β], то длина дуги кривой
l = ∫корень из ρ2(φ)+ ρ’2(φ)dφ (α; β) – значения полярного угла в крайних точках дуги.