Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № 16
Решение дифференциальных уравнений и систем
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.
Задание к работе:
К работе допущен:
Работу выполнил:
Работу защитил:
Теоретическая часть
Решение дифференциальных уравнений и систем
Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность из решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что также позволяет MathCad. Для решения задач такого класса можно использовать ряд функций:
Odesolve(x,b,[step]) - возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x - переменная интегрирования, действительное число
b - конечная точка отрезка интегрирования
step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)
Rkadapt(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n;
rkfixed(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n.
Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом.
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью функции Rkfixed.
На рис.2 приведен пример применения функции rkfixed для решения дифференциального уравнения, описывающего процесс свободных затухающих колебаний вели чины электрического заряда q (К) на конденса торе с емкостью С (Ф), включенного в замкнутый контур, содержащий также сопротивление R (Ом) и индуктивность L (Гн).
Этот процесс описывается дифферен циальным уравнением второго порядка
где =d2q/dt2 – ускорение изменения заряда, К/с2;
=dq/dt – скорость изменения заряда, К/с;
b – коэффициент затухания, 1/с, ;
wc– круговая частота собственных колебаний контура, 1/с,
Исходные данные к решению задачи:
Начальное условие: t=0, Vq=0, q=q0.
|
Номер варианта |
R, Ом |
L, Гн |
C, Ф |
q0, K |
|
1 2 3 4 5 |
1 3 4 6 8 |
5 15 25 40 55 |
0,0050 0,0035 0,0040 0,0075 0,0070 |
1 2 3 4 5 |
Процесс затухания колебаний рассчитать до tk
Исходное дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Для этого введем подстановки:
q0=q
q1=
Дифференциальное уравнение второго порядка преобразуем в систему дифференциальных уравнений первого порядка:
Правые части системы дифференциальных уравнений записываются в вектор правых частей системы уравнений D(t,q).
Матрица Z размерности n строк по числу точек вывода результатов решения и m+1 столбцов, равным числу уравнений в системе. В столбцах матрицы содержатся значения переменных соответственно t, ,. На рис.2 представлен график изменения заряда от времени.
Практическая часть.
1 Найти частное решение y(x) дифференциального уравнения для своего варианта при произвольных начальных условиях и построить график решения.
2 Решите систему дифференциальных уравнений для своего варианта на отрезке [0,3]. Выведите значения искомых функций и их производных в точке с координатой х=1.5
Заключение
Я научился решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.
L
R
C