Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 16
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. .
Проверка:
.
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и интегрируем.
. Полагаем , получим . Полагаем , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка: .
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. . Полагая , получим , полагая , получим . Приравняем коэффициенты при : . Приравняем коэффициенты при : . Таким образом, .
Проверка:
. Ответ: .
6. . Делаем замену переменной и интегрируем.
.
Проверка: . Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: . Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл сходится. Ответ: . Интеграл сходится.
11. . Бесконечно большие величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин . Поэтому интеграл расходится.
Ответ: . Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это часть эллипса. Найдём точки пересечения линий: . Следовательно,
. Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (логарифмическая спираль).
. Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) (циклоида) вокруг оси OY.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OY.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
Ответ: .
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Определите массу шара радиуса r, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию её от центра шара.
Разрбъём шар на элементарные концентрические слои. Объём элементарного слоя будет равен . Масса элементарного слоя равна , где k – коэффициент пропорциональности.
Следовательно,
. Ответ:
20. Вертикальная плотина имеет форму треугольника, основание которого совпадает с уровнем воды и имеет длину a=50 м, высоту H=20м. Вычислите силу давления на плотину.
Разобьём плотину на горизонтальные полоски. На уровне y давление на элементарную полоску составит величину ΔF=γ(H-y)ΔS, где γ – плотность воды, а ΔS=zΔy. Найдём z из условия подобия треугольников: , т.е. Дифференциал силы давления будет равен . Тогда .
Ответ: т.
r
ρ
H
50
y
z
y