Замечание- Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференци

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Дифференциальные уравнения

1.  Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию  и ее производные  или дифференциалы.

Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.

Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

                                                                 .                                                                      (1.1)

Если уравнение (1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

                                                                  y' (x) = f(x, y(x)).                                                                  (1.2)

Решением уравнения (1.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.                                      

Производную y'(x) в каждой точке (x, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.   

                                              k = tg = f (x, y).

Уравнение (1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

                                                                y () = ,                                                                          (1.3)

где – начальное значение аргумента x, а  – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.2) и начальному условию (1.3).

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется решение  этого уравнения, которое:

1.  зависит от произвольной постоянной с;
2.  для всякого начального условия (1.3) можно найти такое значение постоянной , что функция  будет удовлетворять данному начальному условию.

Решение  называется частным решением уравнения (1.2), соответствующим начальным условиям (1.3).

1.  Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде:

                                                                                                                             (2.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

                                                                    .                                                                       (2.2)

Решением уравнения (2.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (2.2) обращает его в тождество.

 Общим решением дифференциального уравнения (2.2) называется решение  этого уравнения, которое:

1.   является решением ДУ для фиксированных значений ;
2.  при заданных начальных условиях

                                                         ;                                                              (2.3)

можно найти такие значения постоянных  и , что функция  будет удовлетворять данным начальном условиям (2.3).

Решение  называется частным решением уравнения (2.2), соответствующим начальным условиям (2.3).

Дифференциальные уравнения 1 порядка
Вид уравнения	Решение
Уравнение с разделяющимися переменными	; .
Однородное уравнение а) , где - однородная функция нулевого измерения относительно x и y; б) ; в) ; где  и  - однородные многочлены одной и той же степени.	Подстановка: , , , ; ; ; .
Линейное уравнение , где  и  - заданные непрерывные функции от x.	Подстановка:    ; ; ; , 1)  ,      , , : ; 2)  , ,      , , , или:
Дифференциальные уравнения 2 порядка
ЛОДУ с постоянными коэффициентами	Характеристическое уравнение:     а) :           ; б) :     ; в) :    .

1. Курсовой проект по прикладной механике Эл
2. Освобождение от наказания
3. а Там складывается цена ресурсов труда определяются условия ее найма в том числе величина заработной платы
4. Религия -Укр.
5. ЛЕКЦИЯ 1 Молодёжь в системе социологического знания
6. по теме Весна с использованием картин обеспечить развитие связной речи артикуляционной моторики и
7. Реферат- О простом смысле экономики
8. психологические методы управления
9. Реферат- Реформы Солона.html
10. Банкрутство в країнах з розвинутою ринковою економікою.html
11. Реферат на тему- Храмовый комплекс в Дельфах Кафедра Дизайн архитектурной среды студентк
12. Реферат- Пути развития современных ТЭС
13. Реферат- Bios
14. ФАБРИКА НАТЯЖНЫХ ПОТОЛКОВ ВАШ ВЫБОР.html
15. застройщика Функции инвестора строительства объекта Функции генерального подрядчика О.
16. Тема 4 ГРОШОВІ ПОТОКИ ПІДПРИЄМСТВА Питання 3
17. Глава муниципального образования
18. Environmentlly responsible List resons why compnies re sometimes ginst environmentl lws
19. Управление собственным капиталом
20. Тема- Положительные и отрицательные стороны труда сварочного производства Автор работы- Устинов Ев

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе