Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.
Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.
Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
. (1.1)
Если уравнение (1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:
y' (x) = f(x, y(x)). (1.2)
Решением уравнения (1.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Производную y'(x) в каждой точке (x, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.
k = tg = f (x, y).
Уравнение (1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:
y () = , (1.3)
где – начальное значение аргумента x, а – начальное значение функции.
Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.2) и начальному условию (1.3).
Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется решение этого уравнения, которое:
Решение называется частным решением уравнения (1.2), соответствующим начальным условиям (1.3).
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде:
(2.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:
. (2.2)
Решением уравнения (2.2) является дифференцируемая функция y(x), которая при подстановке в уравнение (2.2) обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения (2.2) называется решение этого уравнения, которое:
; (2.3)
можно найти такие значения постоянных и , что функция будет удовлетворять данным начальном условиям (2.3).
Решение называется частным решением уравнения (2.2), соответствующим начальным условиям (2.3).
|
Дифференциальные уравнения 1 порядка |
|
|
Вид уравнения |
Решение |
|
Уравнение с разделяющимися переменными |
; . |
|
Однородное уравнение а) , где - однородная функция нулевого измерения относительно x и y; б) ; в) ; где и - однородные многочлены одной и той же степени. |
Подстановка: , , , ; ; ; . |
|
Линейное уравнение , где и - заданные непрерывные функции от x. |
Подстановка: ; ; ; , 1) , , , : ; 2) , , , , , или: |
|
Дифференциальные уравнения 2 порядка |
|
|
ЛОДУ с постоянными коэффициентами |
Характеристическое уравнение:
а) : ; б) : ; в) : . |