Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Задача аппроксимации. Интерполяция.
Пусть величина является функцией аргумента . Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение . Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между и , т. е. невозможно записать эту
связь в виде некоторой зависимости . В некоторых случаях даже при известной зависимости она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.
Наиболее распространенным и практически важным
случаем, когда вид связи между параметрами и неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений функции (i=0,1…,n). Эти значения — либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться
значения величины и в других точках, отличных от узлов . Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.
Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра , поскольку точная связь неизвестна.
Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией . так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.
Для практики весьма важен случай аппроксимации функции многочленом
В дальнейшем будем рассматривать лишь такого рода аппроксимацию. При этом коэффициенты будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. Что касается самого понятия «малое отклонение», то оно будет уточнено в дальнейшем — при рассмотрении конкретных способов аппроксимации.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения па непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]) аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).
Точечная аппроксимация. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция f(x), т. е.
При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е. при . Точки называются узлами интерполяции, а многочлен— интерполяционным многочленом.
Таким образом, близость интерполяционного многочлена к
заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (сплошная линия на рисунке). Максимальная степень интерполяционного многочлена ; в этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен
используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента.
Интерполяционные многочлены могут строится для разных частей рассматриваемого интервала изменения . В этом случае имеем кусочную интерполяцию. При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения ф-ии в узлах интерполяции. Но иногда выполнение этого условия затруднительно и нецелесообразно.
Например, при большом количестве узлов интерполядии получается высокая степень многочлена (3) в случae глобальной интерполяции, т. е. когда нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (штриховая линия на рис.). Понятие «близко» уточняется при рассмотрении разных видов приближения. Одним из таких видов является среднеквадратичное
приближение функций с помощью многочлена (1). При этом случай соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирую-
щий многочлен как можно меньшей степени (как правило, 1, 2, 3).
Мерой отклонения многочлена от заданной функции f(x) на множестве точек () (i = 0, 1, … n) при среднеквадратичном приближении является величина равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:
Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты так, чтобы величина была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.