Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 6
Занятие 6. Векторы в , . Скалярное произведение векторов.
6.1. Вектор как направленный отрезок. Проекции вектора, длина вектора, направляющие косинусы.
6.2. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.
6.3. Скалярное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Условие ортогональности двух векторов.
6.1. Вектор как направленный отрезок. Проекции вектора, длина вектора, направляющие косинусы.
Напомним основные определения. Вектором называется направленный отрезок. Согласно этому определению начальная точка вектора не имеет особой важности, главное – направление вектора и его длина. Фактически, под вектором понимается множество векторов, выпущенных из всех точек плоскости (пространства) и имеющих одно и то же направление и одну и ту же длину. Обозначим пространство с декартовой системой координат , ( - плоскость с декартовой системой координат ). Пусть - вектор в пространстве . Координатами вектора называются его проекции на оси соответственно. (Координатами вектора на плоскости являются его проекции на оси ). Если - вектор в пространстве с началом в точке и концом в точке , то
. (1)
Координаты вектора однозначно определяют направление и длину вектора , т.е. сам вектор . Этот факт фиксирует запись . Чтобы увидеть направление вектора , надо на осях отметить точки и по трем взаимно перпендикулярным отрезкам построить прямоугольный параллелепипед. Диагональ этого параллелепипеда (рис. 1) с началом в точке и концом в точке как раз и есть искомый вектор . Длина вектора находится по формуле:
. (2)
Направление вектора однозначно определяют направляющие косинусы вектора . Углы - углы между вектором и положительными направлениями осей соответственно.
. (3)
Единичными векторами или ортами называются векторы, имеющие длину, равную 1.
- единичный вектор (орт) оси на плоскости .
- единичный вектор (орт) оси на плоскости .
- орты осей в пространстве .
Вектор , начало которого совпадает с концом, называется нулевым вектором. Этот вектор имеет нулевую длину и не имеет определенного направления. Все координаты нулевого вектора равны нулю: - нулевой вектор на плоскости ; - нулевой вектор в пространстве .
Пример 1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора , определенного точками .
Решение. . По формулам (1), (2), (3) последовательно находим:
,
, .
Если вектор лежит в плоскости и - вектор с началом в точке и концом в точке , то ,
, , .
Здесь - направляющие косинусы вектора ( - углы между вектором и положительными направлениями осей соответственно). Все эти формулы вытекают из формул (1), (2), (3), если считать, что плоскость лежит в пространстве . В этом случае точки считаются точками , т.е. , . Такой переход означает перевод вектора из плоскости в пространство .
Пример 2. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора , определенного точками .
Решение. , , , .
Отметим еще, что при сравнении двух векторов между ними могут стоять знаки и не могут стоять знаки .
1) тогда и только тогда, когда и имеют одинаковое направление и , в противном случае, .
2) Запись типа не имеет смысла.
6.2. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.
Сложение векторов производится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника. Результатом сложения векторов является вектор: . Эта операция обладает следующими свойствами: 1) - свойство коммутативности;
2) - свойство ассоциативности.
Если векторы заданы своими координатами: , то
, где . При решении задач обычно пишут так: .
Умножение числа на вектор дает вектор , т.е. .
При этом: если , то имеет то же направление, что и ; если же , то имеет противоположное направление вектору . Длина вектора , в том и другом случае одна и та же, и вычисляется по формуле .
Если вектор задан своими координатами , то .
Умножение числа на вектор совместно с операцией сложения векторов обладает свойствами:
1) ; 2) ; 3) , где .
Вычитание векторов по определению выполняется по правилу: .
Пример 4.
Найти длину и указать направление вектора , если ,.
Решение. .
. , где единичный вектор (орт) оси . Следовательно, вектор направлен в противоположную сторону направлению оси . К тому же результату приводят направляющие косинусы вектора : - углы между вектором и осями .
Пример 5.
Найти длину и направляющие косинусы вектора, если ,.
Решение. .
. .
Условие коллинеарности (параллельности) двух векторов:
- коллинеарны тогда и тогда, когда существует число такое, что .
На языке кванторов условие параллельности векторов запишется так: . Если векторы заданы своими координатами , то условие коллинеарности этих векторов означает пропорциональность координат: или на языке кванторов: .
Пример 6. Найти орт вектора .
Решение. Ортом вектора является вектор того же направления, что и , и имеющий длину, равную 1. В силу определения операции умножения вектора на число искомым вектором будет .
Другое решение этой задачи вытекает из условия параллельности векторов . В силу сонаправленности векторов . Т.к. , заключаем, что . Отсюда выводим: .
Пример 7. Выяснить, лежат ли три точки на одной прямой?
Решение. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. неколлинеарны не лежат на одной прямой.
Пример 8. При каких значениях параметров точки лежат на одной прямой?
Решение. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. .
.
6.3. Скалярное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Условие ортогональности двух векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначается или . Далее используется первое обозначение: .
Свойства скалярного произведения. и выполнены равенства:
; ; .
С помощью скалярного произведения можно найти длину вектора: .
Координатное выражение скалярного произведения:
1) если , то
2) если , .
Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов на языке кванторов имеет вид , что означает: вектор перпендикулярен вектору тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Пример 9. Вычислить скалярное произведение векторов .
Решение. Согласно координатному выражению в случае имеем:
.
Пример 10. Вычислить скалярное произведение векторов .
Решение. Согласно координатному выражению в случае имеем:
.
Пример 11. Найти угол между векторами .
Решение. .
.
Пример 12. Найти угол между векторами .
Решение. ,
.
Пример 13. Даны векторы . При каких значениях параметра вектор перпендикулярен вектору ?
Решение. Используем условие ортогональности векторов. ,
.
Пример 14. Даны векторы . При каком значении параметра векторы перпендикулярны друг другу?
Решение. Используем условие ортогональности векторов. .
.
Пример 15. Точки являются последовательными вершинами прямоугольника . Найти значения координат .
Решение. Значение найдем из условия перпендикулярности векторов .
. .
.
Координаты найдем из условия равенства векторов .
координаты векторов и совпадают.
Домашнее задание.
1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора , если .
2. При каких значениях параметров точки лежат на одной прямой?
3. - угол между векторами . Найти .
4. . При каком значении векторы ортогональны?
5. - вершины треугольника . Найти величину угла при вершине .