Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 17
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: .
. Проверка: .
Ответ: .
3. . Интегрируем после преобразований. .
Проверка:
.
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка: .
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. : . Полагая , получим , полагая , получим . Приравняем коэффициенты при : . Приравняем коэффициенты при : . Таким образом, .
Проверка: . Ответ: .
6. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной.
.
Проверка: .
Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем после предварительных преобразований. .
Проверка: . Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл расходится. Ответ: . Интеграл расходится.
11. Интеграл расходится.
Ответ: . Интеграл расходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это астроида. Найдём точки пересечения линий: . . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (гиперболическая спираль).
.
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: .
Ответ: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Найдите работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если для удлинения её на 1 см нужно затратить силу F=3 кГ.
Для растяжения пружины на длину x требуется сила . Тогда на участке (x, x+dx) буде совершена работа . Следовательно, .
Ответ: кГм.
20. Вычислите работу, необходимую для выкачивания воды из сосуда, имеющего форму прямого кругового конуса с вертикальной осью, обращённой вершиной вниз, если R=3 м, H=8 м.
Уравнение образующей конуса . Объём элементарного слоя воды на уровне y будет равен . Если плотность воды равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды будет . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y, равна . Следовательно, . Ответ: кГм.
R
x
y