Вариант 1 Зенитная батарея состоящая из k орудий производит залп по группе состоящей из l самолетов kl
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №1
Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.
Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.
В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 3 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?
Перед тем как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют его на выборке потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для некоторого товара известно, что проверка укажет на возможный его успех на рынке с вероятностью 0,75, если товар действительно удачный; проверка может также показать возможность успеха товара в случае, если он удачен, с вероятностью 0,15. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,6. Если новый товар прошел выборочную проверку и ее результаты указали на возможность успеха, то чему равна вероятность того, что это действительно так?
В первой урне содержится 5 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 3 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 1 зеленый шар.
В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? 2) хотя бы один счет будет с ошибкой?
Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов. Хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?
Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
|
xi
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
|
pi
|
0,10
|
0,20
|
0,35
|
0,20
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=1.
- Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистую массу больше 4,9 т и 25% – имеют массу меньше, чем 4,2 т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №2
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
- Вася и Лена условились встретиться в определенном месте между 19ч30мин и 19ч50мин. Вася будет ждать ее в течении 15 мин, а Лена 5 мин. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Алмазы, возможно, вскоре станут использоваться в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- и радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждение проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными выше свойствами. Должен ли обсуждать проект?
- Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?
- Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.
- Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершить ошибку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня. б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня? в) Чему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
- Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
- Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
pi
|
0,01
|
0,09
|
0,30
|
0,20
|
0,20
|
0,10
|
0,10
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=2, x2=4, x3=6, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=4,2 и ее квадрата M[X2]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=2.
- Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №3
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 12ч30мин и 13ч20мин. Пришедший первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Вероятность того, что завтра цены на потребительские товары вырастут, равна 0,3; вероятность того, что завтра поднимется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновременного роста цен на потребительские товары и серебро составляет 0,06. Являются ли цены на потребительские товары и серебро независимыми друг от друга? Поясните ответ.
- Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?
- Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
- Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок Аудитор случайно отбирает 5 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,07.
- В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=560 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №4
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.
- Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые Вы использовали при решении задачи.
- В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации пожелал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,5; одинаковой – в 0,3; а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособен, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?
- Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.
- В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,4
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 30 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №5
- N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
- Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела, каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p1, а для второго – p2. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок, если выигравшим считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 4 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,2 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одно из двух входящих вместе покупателей.
- Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,30, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6; 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
- В первой урне содержится 3 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.
- В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?
- Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0,8. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 300; б) больше 310, но меньше 330.
- В страховой кампании 5 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,005, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?
- Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
pi
|
0,15
|
0,20
|
0,30
|
0,10
|
0,10
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,8 и дисперсию D[X] =3,36.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=4 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Масса мандаринов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% ящиков имеют чистую массу больше 72 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 65 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №6
- N человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом вдоль одной из его сторон (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
- Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить самолет (вывести его из строя), достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Найти вероятность того, что самолет будет поражен, если вероятность поражения первого двигателя равна p1, второго – p2 и кабины пилота – p3.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 1,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,05 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, что респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот же человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.
- Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, наняты компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,73, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
- У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он закидывает удочку на первом месте, то рыба клюет с вероятностью 0,6, на втором месте – с вероятностью 0,7, на третьем – 0,8. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
- По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 65% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 11 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?
- Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 случайно отобранных деталей окажется непроверенных: а) ровно 110; б) от 90 до 115.
- В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?
- Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
|
xi
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
pi
|
0,05
|
0,15
|
0,30
|
0,20
|
0,15
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=1, x2=3, x3=5, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=2,2 и ее квадрата M[X2]=6,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=3 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (4;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 420 г2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 320кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №7
- Урна содержит шары с номерами 1, 2, ... , n. Из нее k (kn) раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют строго возрастающую последовательность.
- Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга m радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.
- Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 1 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 10 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 4 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?
- Для рыночного исследования необходимо проведение интервью с людьми, которые добираются на работу общественным транспортом. В районе, где проводится исследование, 75% людей добираются на работу общественным транспортом. Если три человека согласны дать интервью, то чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них добирается на работу общественным транспортом?
- Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
- Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,3 и 0,4.
- В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 11 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?
- Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,75. Найти вероятность того, что при 80 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 65 раз; б) не менее 55 и не более 70 раз.
- Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
- Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):
|
xi
|
–2000
|
–1000
|
0
|
1000
|
2000
|
3000
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,1 и дисперсию D[X] = 1,89.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=2 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (6;12), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=410 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 9560. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №8
- n различных предметов случайным образом распределяются среди m человек (m<n), причем таким образом, что каждый может получить любое число предметов из числа имеющихся. Какова вероятность того, что определенное число не получит ни одного предмета?
- Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна p1; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью p2. Стрельба ведется до поражения цели или израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас из n ракет (n>2). Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 13 и 14 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 15 мин, а второго – 20 мин.
- Иностранная фирма, производящая автомобили, интересуется российским рынком. Для изучения вкусов потенциальных покупателей проводится опрос, в котором выясняются наиболее желательные характеристики автомобиля. Предположим, что результаты опроса показали: 35% потенциальных покупателей в основном оценивают автомобиль по его техническим характеристикам, 50% – по его дизайну, 25% – считают важным и то, и другое. Основываясь на этой информации, ответьте, являются ли два вида предпочтений потенциальных покупателей независимыми друг от друга? Объясните.
- Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок земли будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,9 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, раной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяце будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?
- Два из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4.
- Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Чему равна вероятность того, что из 12 малых предприятий: а) не более двух в течение года прекратят свою деятельность? б) Чему равна ожидаемое число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года? в) Чему равно наивероятнейшее число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года?
- Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80%. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян число проросших будет: а) ровно 550; б) больше 545, но меньше 585.
- В страховой кампании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,0055, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет не более полови всех средств, поступивших от клиентов?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 2 до 4 грузовых судов (включая оба значения). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,9. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,7 и дисперсию D[X] = 0,81.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=2 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 90 г2. Известно, что 9% коробок имеют массу, меньшую 450г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №9
- Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каждый из n карманов своего костюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепится, и он начинает в случайном порядке свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что поиск k-го пряника начинается с пустого кармана.
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра устройства наладчиком, хотя бы один узел будет неисправным.
- Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна 5 мм, а расстояние между их осями равно 20 мм.
- Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будет заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, определите, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?
- При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
- В первой урне содержится 7 зеленых и 5 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.
- В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 7 счетов. Если 4% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? 2) хотя бы один счет будет с ошибкой?
- Посажено 250 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равно 0,7. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 190 семян; б) больше 165, но меньше 185 семян.
- Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21 году жизни равна 0,006. Застрахована на один год группа в 1000 человек 20-летнего возраста. Страховой взнос каждого из них составил 150 руб. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 12000 руб. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке?
- Процент людей, купивших новый стиральный порошок после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
|
xi
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
|
pi
|
0,20
|
0,25
|
0,20
|
0,20
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,7 и дисперсию D[X] = 0,21.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=10 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (5;9), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=6.
- Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 55% контейнеров имеют чистую массу больше 3,5 т и 35% – имеют массу меньше, чем 2,5 т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №10
- В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров. Из нее извлекаются с возвращением наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного.
- Производится стрельба двумя снарядами по четырем бакам с горючим, расположенных рядом друг с другом в одну линию. Каждый снаряд независимо от другого попадает в первый бак с вероятностью p1, во второй – с вероятностью p2 и т.д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак или по одному попаданию в соседние баки. Найти вероятность воспламенения баков.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 5сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной. Модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?
- Экономист полагает, что в течение активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, а период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста – равна 0,2. Предположим, что доллар подорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
- В первой урне содержится 6 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 3 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.
- Авиакомпания знает, что 7% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 270 билетов на самолет, в котором лишь 265 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 900 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 700; б) больше 710, но меньше 740.
- Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21 году жизни равна 0,006. В случае смерти застрахованного страховая компания выплачивает наследникам 12000 руб. Застрахована группа в 10 тыс. человек 20-летнего возраста. Какую минимальную стоимость страховых взносов следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховая кампания окажется в убытке, была не больше 0,1?
- Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
pi
|
0,02
|
0,08
|
0,25
|
0,25
|
0,20
|
0,15
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=–2, x2=1, x3=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=2,5 и ее квадрата M[X2]=10,3. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=9 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (4;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=5.
- Масса арбуза, выращенного в Астраханской области, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 9 кг2. Агрономы знают, что масса 75% фруктов меньше, чем 10 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного арбуза.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №11
- В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру/
- Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может иметь дефект, вероятность которого равно p. После изготовления изделие осматривается последовательно тремя контролерами. Первый контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью p1, второй – с вероятностью p2, третий – с p3. B случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятность того, изделие будет забраковано.
- Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 10ч20мин и 10ч40мин. Пришедший первым ждет другого в течение 5 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале "Коммерсант". По оценкам фирмы, 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?
- Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?
- Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 15, 10 и 5. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
- Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 6% ошибок Аудитор случайно отбирает 7 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Кандидат на выборах считает, что 30% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 55 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,06.
- В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=560 и неизвестным математическим ожиданием a. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 10500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №12
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 14 ч., причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 30 мин, а второго – 45 мин.
- Вероятность того, что выпуск продукции возрастет, если процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение определенного периода, равна 0,72. Вероятность того, что процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение того же периода, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что за интересующий нас период процентные ставки упадут, а выпуск продукции увеличится?
- В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации пожелал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,6; одинаковой – в 0,3; а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,1. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособен, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,8. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,5. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,3. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,25. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?
- Монету бросают 450 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 250 раз; б) больше 300, но меньше 400 раз.
- В страховой компании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,004, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 40 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,9?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением равным 40 г. Известно, что 7% коробок имеют массу, меньшую 400 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №13
- Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.
- Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим TV, рекламирующим две новые модели автомобилей; 34% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что 10% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком по крайней мере хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?
- Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,65, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,45, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,20, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,7; 0,2 и 0,1. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
- В первой урне содержится 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают три шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.
- В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?
- Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
- В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 800 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?
- Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
pi
|
0,10
|
0,20
|
0,30
|
0,10
|
0,10
|
0,15
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находится между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=1.
- Масса апельсинов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 85% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №14
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Предположим, 85% людей, которые интересуются возможными инвестициями (вложениями) в брокерскую фирму, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Также известно, что 28% интересующихся прерывают покупку ценных бумаг – как акций, так и облигаций. Некто интересуется делами компании; чему равна вероятность того, что он будет покупать либо облигации, либо акции, либо и то и другое?
- Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, наняты компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,89, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,65, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,27. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
- Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.
- По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 75% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 12 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
- В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Посажено 600 семян гороха. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
- Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
|
xi
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
pi
|
0,05
|
0,15
|
0,30
|
0,20
|
0,15
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=2, x2=4, x3=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=0,4 и ее квадрата M[X2]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=2.
- Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 420 г2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 320кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №15
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 1 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 8 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 3 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?
- В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения используют сорт А, а 9% – сорт В, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).
- Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- В среднем по 17% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 14 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,95, что доля проданных среди них отклонится от 0,6 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
- Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):
|
xi
|
–2000
|
–1000
|
0
|
1000
|
2000
|
3000
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=550 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 8500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №16
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.
- Консультационная фирма получила приглашение для выполнения двух видов работ от двух международных корпораций. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от фирмы А (событие А) равной 0,45. Также, по мнению руководителей фирмы, в случае, если фирма заключит договор с компанией А, то с вероятностью в 90% компания В даст фирме консультационную работу. С какой вероятностью компания получит оба заказа?
- Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок земли будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,8 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,4. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, раной 0,75, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяце будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- Предполагается, что 15% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Чему равна вероятность того, что из 14 малых предприятий: а) не более двух в течение года прекратят свою деятельность? б) Чему равна ожидаемое число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года? в) Чему равно наивероятнейшее число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года?
- Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.
- В страховой кампании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 900 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,0065, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет не более полови всех средств, поступивших от клиентов?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 2 до 4 грузовых судов (включая оба значения). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 500 г2. Известно, что 8% коробок имеют массу, меньшую 450г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №17
- Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.
- Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,1 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 12% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 8 человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?
- Перед тем как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют его на выборке потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для некоторого товара известно, что проверка укажет на возможный его успех на рынке с вероятностью 0,75, если товар действительно удачный; проверка может также показать возможность успеха товара в случае, если он удачен, с вероятностью 0,25. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,6. Если новый товар прошел выборочную проверку и ее результаты указали на возможность успеха, то чему равна вероятность того, что это действительно так?
- В первой урне содержится 5 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 3 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 1 зеленый шар.
- В первой урне содержится 5 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 3 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 1 зеленый шар.
- Посажено 700 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 650 семян; б) больше 635, но меньше 655 семян.
- Менеджер ресторана по опыту знает, что 75% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 22 заказа. Хотя в ресторане было лишь 18 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 18 посетителей придут на заказанные места?
- Процент людей, купивших новое лекарство после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
|
xi
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
|
pi
|
0,10
|
0,20
|
0,35
|
0,20
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 15% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=1.
- Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 75% контейнеров имеют чистую массу больше 4,5 т и 15% – имеют массу меньше, чем 3,2 т. Найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №18
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
- Вася и Лена условились встретиться в определенном месте между 20ч20мин и 20ч50мин. Вася будет ждать ее в течении 20 мин, а Лена 10 мин. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Алмазы, возможно, вскоре станут использоваться в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- и радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждение проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными выше свойствами. Должен ли обсуждать проект?
- Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?
- Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.
- Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершить ошибку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня. б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня? в) Чему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
- Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
- Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
pi
|
0,01
|
0,09
|
0,30
|
0,20
|
0,20
|
0,10
|
0,10
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=2, x2=4, x3=6, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=4,2 и ее квадрата M[X2]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=2.
- Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №19
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 12ч30мин и 13ч20мин. Пришедший первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Вероятность того, что завтра цены на потребительские товары вырастут, равна 0,35; вероятность того, что завтра поднимется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновременного роста цен на потребительские товары и серебро составляет 0,07. Являются ли цены на потребительские товары и серебро независимыми друг от друга? Поясните ответ.
- Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,73. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,38. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?
- Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
- Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 7% ошибок Аудитор случайно отбирает 6 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,09. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 9; б) больше 11, но меньше 15.
- Кандидат на выборах считает, что 35% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 55 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,05.
- В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=630 и неизвестным математическим ожиданием a. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 12300. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №20
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.
- Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 48 прохожих, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 15 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые Вы использовали при решении задачи.
- В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации пожелал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,5; одинаковой – в 0,3; а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособен, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?
- Имеются две урны: в первой находится 5 красных и 4 синих шара, во второй – 6 красных и 3 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?
- Монету бросают 400 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 190 раз; б) больше 175, но меньше 205 раз.
- В страховой компании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 800 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 65 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратичным равным 40 г. Известно, что 8% коробок имеют массу, меньшую 350 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №21
- N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
- Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела, каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p1, а для второго – p2. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок, если выигравшим считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 3,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одно из двух входящих вместе покупателей.
- Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,30, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6; 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
- В первой урне содержится 4 фиолетовых и 5 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 3 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.
- В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?
- Было посажено 450 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0,85. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 350; б) больше 310, но меньше 390.
- В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 40 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?
- Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
pi
|
0,15
|
0,20
|
0,30
|
0,15
|
0,10
|
0,05
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,8 и дисперсию D[X] =3,36.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=4 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Масса бананов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 75% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №22
- N человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом вдоль одной из его сторон (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
- Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить самолет (вывести его из строя), достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Найти вероятность того, что самолет будет поражен, если вероятность поражения первого двигателя равна p1, второго – p2 и кабины пилота – p3.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 1,2 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,2 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований – отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, – отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,84 верит, что респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероятность того, что этот же человек будет дома, равна 0,55. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет.
- Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, наняты компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,73, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
- У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он закидывает удочку на первом месте, то рыба клюет с вероятностью 0,5, на втором месте – с вероятностью 0,75, на третьем – 0,6. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
- По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 60% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 11 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?
- Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 случайно отобранных деталей окажется непроверенных: а) ровно 110; б) от 90 до 115.
- В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине)?
- Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
|
xi
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
pi
|
0,05
|
0,15
|
0,30
|
0,20
|
0,15
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=1, x2=3, x3=5, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=2,2 и ее квадрата M[X2]=6,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=3 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (4;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 390 г2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 450 г. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №23
- Урна содержит шары с номерами 1, 2, ... , n. Из нее k (kn) раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют строго возрастающую последовательность.
- Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга m радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.
- Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 0,5 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 8 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 4 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?
- Для рыночного исследования необходимо проведение интервью с людьми, которые добираются на работу общественным транспортом. В районе, где проводится исследование, 75% людей добираются на работу общественным транспортом. Если три человека согласны дать интервью, то чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них добирается на работу общественным транспортом?
- Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
- Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,25, 0,3 и 0,45.
- В среднем по 18% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 12 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?
- Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,75. Найти вероятность того, что при 80 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 65 раз; б) не менее 55 и не более 70 раз.
- Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,95, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
- Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):
|
xi
|
–2000
|
–1000
|
0
|
1000
|
2000
|
3000
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,1 и дисперсию D[X] = 1,89.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=2 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (6;12), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=410 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 8430. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №24
- n различных предметов случайным образом распределяются среди m человек (m<n), причем таким образом, что каждый может получить любое число предметов из числа имеющихся. Какова вероятность того, что определенное число не получит ни одного предмета?
- Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна p1; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью p2. Стрельба ведется до поражения цели или израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас из n ракет (n>2). Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 13 и 14 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 15 мин, а второго – 20 мин.
- Иностранная фирма, производящая автомобили, интересуется российским рынком. Для изучения вкусов потенциальных покупателей проводится опрос, в котором выясняются наиболее желательные характеристики автомобиля. Предположим, что результаты опроса показали: 35% потенциальных покупателей в основном оценивают автомобиль по его техническим характеристикам, 50% – по его дизайну, 25% – считают важным и то, и другое. Основываясь на этой информации, ответьте, являются ли два вида предпочтений потенциальных покупателей независимыми друг от друга? Объясните.
- Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок земли будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,9 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, раной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяце будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?
- Два из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4.
- Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Чему равна вероятность того, что из 12 малых предприятий: а) не более двух в течение года прекратят свою деятельность? б) Чему равна ожидаемое число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года? в) Чему равно наивероятнейшее число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года?
- Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80%. Найти вероятность того, что из 800 посаженных семян число проросших будет: а) ровно 650; б) больше 595, но меньше 645.
- В страховой кампании 20 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,0055, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет не более полови всех средств, поступивших от клиентов?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 2 до 4 грузовых судов (включая оба значения). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,9. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,7 и дисперсию D[X] = 0,81.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=2 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 250 г2. Известно, что 9% коробок имеют массу, меньшую 480 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №25
- Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каждый из n карманов своего костюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепится, и он начинает в случайном порядке свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что поиск k-го пряника начинается с пустого кармана.
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра устройства наладчиком, хотя бы один узел будет неисправным.
- Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна 5 мм, а расстояние между их осями равно 20 мм.
- Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, предполагает, что не более 5% счетов будет заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок 5% и 10 счетов отобраны в случайном порядке, определите, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок?
- При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
- В первой урне содержится 7 зеленых и 5 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.
- В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 7 счетов. Если 4% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? 2) хотя бы один счет будет с ошибкой?
- Посажено 250 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равно 0,7. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 190 семян; б) больше 165, но меньше 185 семян.
- Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21 году жизни равна 0,006. Застрахована на один год группа в 1000 человек 20-летнего возраста. Страховой взнос каждого из них составил 150 руб. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 12000 руб. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке?
- Процент людей, купивших новый стиральный порошок после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
|
xi
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
|
pi
|
0,20
|
0,25
|
0,20
|
0,20
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,7 и дисперсию D[X] = 0,21.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=10 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (5;9), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=6.
- Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 55% контейнеров имеют чистую массу больше 3,5 т и 35% – имеют массу меньше, чем 2,5 т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №26
- В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров. Из нее извлекаются с возвращением наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного.
- Производится стрельба двумя снарядами по четырем бакам с горючим, расположенных рядом друг с другом в одну линию. Каждый снаряд независимо от другого попадает в первый бак с вероятностью p1, во второй – с вероятностью p2 и т.д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак или по одному попаданию в соседние баки. Найти вероятность воспламенения баков.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 5сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной. Модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?
- Экономист полагает, что в течение активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, а период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста – равна 0,2. Предположим, что доллар подорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
- В первой урне содержится 6 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 3 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.
- Авиакомпания знает, что 7% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 270 билетов на самолет, в котором лишь 265 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 900 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 700; б) больше 710, но меньше 740.
- Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21 году жизни равна 0,006. В случае смерти застрахованного страховая компания выплачивает наследникам 12000 руб. Застрахована группа в 10 тыс. человек 20-летнего возраста. Какую минимальную стоимость страховых взносов следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховая кампания окажется в убытке, была не больше 0,1?
- Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
pi
|
0,02
|
0,08
|
0,25
|
0,25
|
0,20
|
0,15
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=–2, x2=1, x3=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=2,5 и ее квадрата M[X2]=10,3. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=9 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (4;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=5.
- Масса арбуза, выращенного в Астраханской области, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 9 кг2. Агрономы знают, что масса 75% фруктов меньше, чем 10 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного арбуза.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №27
- В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.
- Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может иметь дефект, вероятность которого равно p. После изготовления изделие осматривается последовательно тремя контролерами. Первый контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью p1, второй – с вероятностью p2, третий – с p3. B случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятность того, изделие будет забраковано.
- Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 10ч20мин и 10ч40мин. Пришедший первым ждет другого в течение 5 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале "Коммерсант". По оценкам фирмы, 60% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос показал также, что 85% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равен процент людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?
- Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?
- Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 15, 10 и 5. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
- Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 6% ошибок Аудитор случайно отбирает 7 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Кандидат на выборах считает, что 30% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 55 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,06.
- В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=560 и неизвестным математическим ожиданием a. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 10500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №28
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 14 ч., причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 30 мин, а второго – 45 мин.
- Вероятность того, что выпуск продукции возрастет, если процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение определенного периода, равна 0,72. Вероятность того, что процентные ставки снизятся более чем на 0,5% в течение того же периода, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что за интересующий нас период процентные ставки упадут, а выпуск продукции увеличится?
- В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации пожелал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,6; одинаковой – в 0,3; а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,1. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособен, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,8. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,5. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,3. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,25. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?
- Монету бросают 450 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 250 раз; б) больше 300, но меньше 400 раз.
- В страховой компании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,004, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 40 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,9?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением равным 40 г. Известно, что 7% коробок имеют массу, меньшую 400 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №29
- Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.
- Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим TV, рекламирующим две новые модели автомобилей; 34% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что 10% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком по крайней мере хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?
- Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,65, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,45, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,20, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,7; 0,2 и 0,1. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
- В первой урне содержится 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают три шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.
- В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?
- Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
- В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 800 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?
- Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:
|
xi
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
pi
|
0,10
|
0,20
|
0,30
|
0,10
|
0,10
|
0,15
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находится между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=1.
- Масса апельсинов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 85% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №30
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Предположим, 85% людей, которые интересуются возможными инвестициями (вложениями) в брокерскую фирму, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Также известно, что 28% интересующихся прерывают покупку ценных бумаг – как акций, так и облигаций. Некто интересуется делами компании; чему равна вероятность того, что он будет покупать либо облигации, либо акции, либо и то и другое?
- Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, наняты компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,89, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,65, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,27. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?
- Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.
- По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 75% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 12 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
- В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Посажено 600 семян гороха. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
- Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
|
xi
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
pi
|
0,05
|
0,15
|
0,30
|
0,20
|
0,15
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=2, x2=4, x3=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=0,4 и ее квадрата M[X2]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=2.
- Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 420 г2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 320кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №31
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 1 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 8 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 3 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?
- В ходе исследования потребительского рынка проводили опрос потребителей. В частности, один из вопросов касался сорта зубной пасты, которую использует потребитель. Если известно, что 14% населения используют сорт А, а 9% – сорт В, то чему равна вероятность того, что случайно выбранный человек будет использовать одну из двух паст. (Предполагается, что в данный момент человек использует только одну пасту).
- Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- В среднем по 17% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 14 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,95, что доля проданных среди них отклонится от 0,6 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
- Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):
|
xi
|
–2000
|
–1000
|
0
|
1000
|
2000
|
3000
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=550 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 8500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №32
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.
- Консультационная фирма получила приглашение для выполнения двух видов работ от двух международных корпораций. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от фирмы А (событие А) равной 0,45. Также, по мнению руководителей фирмы, в случае, если фирма заключит договор с компанией А, то с вероятностью в 90% компания В даст фирме консультационную работу. С какой вероятностью компания получит оба заказа?
- Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок земли будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,8 (если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться). Если экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок уменьшится до 0,4. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, раной 0,75, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяце будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- Предполагается, что 15% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Чему равна вероятность того, что из 14 малых предприятий: а) не более двух в течение года прекратят свою деятельность? б) Чему равна ожидаемое число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года? в) Чему равно наивероятнейшее число предприятий, которые прекратят свою деятельность в течение года?
- Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.
- В страховой кампании 15 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 900 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,0065, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет не более полови всех средств, поступивших от клиентов?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 2 до 4 грузовых судов (включая оба значения). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 500 г2. Известно, что 8% коробок имеют массу, меньшую 450г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №33
- Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (kl). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.
- Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.
- В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 3 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
- Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?
- Перед тем как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто проверяют его на выборке потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для некоторого товара известно, что проверка укажет на возможный его успех на рынке с вероятностью 0,75, если товар действительно удачный; проверка может также показать возможность успеха товара в случае, если он удачен, с вероятностью 0,15. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,6. Если новый товар прошел выборочную проверку и ее результаты указали на возможность успеха, то чему равна вероятность того, что это действительно так?
- В первой урне содержится 5 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 3 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 1 зеленый шар.
- В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? 2) хотя бы один счет будет с ошибкой?
- Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.
- Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов. Хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?
- Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:
|
xi
|
0
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
|
pi
|
0,10
|
0,20
|
0,35
|
0,20
|
0,10
|
0,05
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).
- Известны математическое ожидание a=8 и среднее квадратичное отклонение s=2 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=1.
- Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% контейнеров имеют чистую массу больше 4,9 т и 25% – имеют массу меньше, чем 4,2 т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №34
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
- Вася и Лена условились встретиться в определенном месте между 19ч30мин и 19ч50мин. Вася будет ждать ее в течении 15 мин, а Лена 5 мин. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Алмазы, возможно, вскоре станут использоваться в качестве полупроводников в спутниках связи. Теория предсказывает, что алмазные микросхемы будут более быстродействующими, термо- и радиационностойкими, что особенно важно для приборов, работающих в космосе. По оценкам экспертов, вероятности этих трех событий равны 0,9; 0,9 и 0,95 соответственно. Предполагается, что обсуждение проекта по разработке алмазных микросхем стоит вести лишь в том случае, если имеется хотя бы 70% уверенности в том, что они будут обладать всеми тремя указанными выше свойствами. Должен ли обсуждать проект?
- Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?
- Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.
- Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершить ошибку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня. б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня? в) Чему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?
- В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.
- Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
- Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
pi
|
0,01
|
0,09
|
0,30
|
0,20
|
0,20
|
0,10
|
0,10
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?
- Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1=2, x2=4, x3=6, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=4,2 и ее квадрата M[X2]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=2.
- Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг2. Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №35
- Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
- Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q1, второй – с вероятностью q2 и третий – с вероятностью q3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
- Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 12ч30мин и 13ч20мин. Пришедший первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?
- Вероятность того, что завтра цены на потребительские товары вырастут, равна 0,3; вероятность того, что завтра поднимется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновременного роста цен на потребительские товары и серебро составляет 0,06. Являются ли цены на потребительские товары и серебро независимыми друг от друга? Поясните ответ.
- Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?
- Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
- Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок Аудитор случайно отбирает 5 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?
- Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.
- Кандидат на выборах считает, что 20% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 64 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,07.
- В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,1
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0,1
|
а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=6 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (1;8), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=3.
- Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением s=560 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Э, МР, БМ, СМ
Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №36
- На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.
- Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.
- Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.
- Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые Вы использовали при решении задачи.
- В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации пожелал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он оценивает вероятность более высокой конкурентной способности нового товара по сравнению с аналогичными в 0,5; одинаковой – в 0,3; а вероятность того, что новый товар окажется хуже по качеству, – в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар более высокого качества и конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения таких опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособен, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как другие аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, то вероятность того, что опрос укажет на товар более высокого качества, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно конкурентоспособный?
- Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают три шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.
- В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?
- Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.
- В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?
- Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,4
|
0,1
|
0,1
|
0,1
|
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?
- Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1<x2. Вероятность того, что X примет значение x1 равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.
- Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).
- Известны математическое ожидание a=5 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;6), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
- Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 30 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?