yn 0 1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
2. Дифференциальные уравнения высших порядков
2.1. Задача Коши для уравнения n-го порядка. Общее и частное решения. Теорема существования и единственности.
Дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде
F(x,y,y',y",...,y(n)) = 0. (1.1)
Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.1) называется задача отыскания решения у=у(х), удовлетворяющего начальным условиям
(1.2)
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записываются в виде
или в виде, разрешенном относительно старшей производной,
. (1.3)
Для уравнений, разрешенных относительно старшей производной, имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.
Теорема. Если в уравнении (1.3) функция и ее частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области, содержащей значения, то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .
Геометрический смысл начальных условий следующий: через заданную точку плоскости проходит пучок интегральных кривых, из которых выбирается единственная кривая, имеющая тангенс угла наклона касательной в этой точке, равный .
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция
,
зависящая от произвольных постоянных, удовлетворяющая уравнению при любых значениях постоянных, причем при заданных начальных условиях
постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.
Если нельзя получить явную зависимость в общем решении, то ограничиваются ответом в виде общего интеграла дифференциального равнения второго порядка .
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям ,
называется задачей Коши.
Сформулируем теорему теорема о существовании и единственности решения для уравнения произвольного порядка.
Пусть уравнение (1.1) разрешимо относительно старшей производной
(1.4)
тогда для него справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Теорема 2.1. Если функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные, то для каждой точки М существует и притом единственное решение у=у(х) уравнения (1.4), удовлетворяющее начальным условиям
.
Общим решением уравнения (1.4) называется такая функция у=(х,С1,....,Сn), которая при любых допустимых значениях параметров С1,...,Сn, является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (1.2) найдутся постоянные, определяемые из системы уравнений:
Для уравнения порядка n2 частное решение может быть задано с помощью условий не в одной точке, а в нескольких, естественно общее число условий должно быть равно порядку уравнений. Такие условия называют граничными или краевыми.
2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
1. Простейшим типом уравнений, допускающих понижение порядка, являются неполные уравнения, т.е. уравнения вида
Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием. После n-кратного интегрирования получаем общее решение
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем
2. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка k-1 включительно:
Порядок уравнения можно понизить заменой переменных Тогда уравнение примет вид
Из этого уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим y из уравнения k-кратным интегрированием.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции y и её производной, поэтому полагаем . После этого уравнение примет вид.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
Заменяя p через , получим
Интегрируя последовательно, будем иметь
и или
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение: Полагаем , . Тогда . Разделяя переменные, имеем:, . Интегрируя, получим , . Возвращаясь к исходной переменной, получим . Общее решение дифференциального уравнения равно .
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение: Полагая , преобразуем исходное уравнение к однородному дифференциальному уравнению первого порядка или .
Полагая , , получим уравнение или . Разделяя переменные и интегрируя , получим , или . Возвращаясь к переменной , приходим к уравнению, которое дает . Интегрирование по частям дает
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Данное уравнение не содержит y и y’. Положим =z, тогда и уравнение примет вид:
Это линейное уравнение первого порядка. Его общее решение . Следовательно
.
Проинтегрировав это равенство два раза получим
3.Уравнение не содержит независимого переменного
Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом p рассматривается как новая неизвестная функция от y: p = p(y). Выражаем все производные через производные от новой неизвестной функции p по y:
и т. д.
Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.
Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение: Положим , Для получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными , общее решение которого дает второе дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Интегрирование последнего дифференциального уравнения дает или .
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Выполняя замену
получим уравнение с разделяющимися переменными
, откуда p2 = y4 + C1 или
Разделяя переменные х и у, приходим к интегралу Это интеграл от дифференциального бинома. Здесь m = 0, n = 4, , т. е. неинтегрируемый случай.
Следовательно, этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако, если использовать начальные условия, то получим C1 = 0. Так что , откуда, учитывая начальные условия, окончательно находим .
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Уравнение не содержит независимого переменного x, поэтому полагая в данном уравнении, мы получим уравнение Бернулли
Подстановкой p2=z оно сводится к линейному уравнению
.
Применяя метод вариации произвольной постоянной, получим общее решение
Заменяя z через , получим
Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь
Откуда , где
Это есть общий интеграл данного уравнения.
2.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно. Линейное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид
, (2.1)
где - заданные на некотором интервале (а,b). Уравнение называется однородным, если (x)0, если (x) не обращается тождественно в нуль, то уравнение называется неоднородным. Всякое решение линейного уравне ния является частным, особых решений линейное уравнение не имеет.
Если коэффициенты непрерывны на отрезке , то правая часть непрерывна по х и по и кроме того имеет частные производные по равные - ограниченные на отрезке. Поэтому получаем теорему существования и единственности решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений.
Теорема. Если коэффициенты уравнения непрерывны на отрезке , то каковы бы ни были начальные условия
для каждой точки существует и притом единственное решение у=у(х) уравнения (2.1), удовлетворяющее этим условиям .
Отметим некоторые общие свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ).
1.Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений однородного линейного уравнения является также решением однородного линейного уравнения.
Легко проверить это свойство для уравнения второго порядка : если функция и является частными решениями уравнения , то решением этого уравнения является также функция , где и - произвольные постоянные.
2.ЛОДУ всегда имеет тривиальное решение. Следовательно, множество решений ЛОДУ образует линейное пространство, нулем которого является .
3.Если ЛОДУ имеет комплексное решение, то его действительная и мнимая часть в отдельности являются решениями.
4.Если известно какое-либо частное решение у1(х) однородного уравнения, то подстановка у(х)=у1(х)z(х) приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z'(х) = u(х), получаем линейное однородное уравнение порядка n-1 относительно функции u(х). Однако общих методов отыскания частных решений линейных однородных уравнений с коэффициентами, зависящими от переменной х, нет.
2.3. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Формула Остроградского –Лиувилля.
Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения используется
понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Определение. Система функций у1(х),у2(х),...,уn(х) называется линейно независимой на интервале (а,b), если линейная комбинация с постоянными коэффициентами
тождественно равна нулю только при нулевых значениях коэффициентов В противном случае функции называются линейно зависимыми на интервале (а,b).
Система двух линейно зависимых функций характеризуется свойством линейной пропорциональности функции и , т. е. для всех выполняется равенство , где - некоторая постоянная величина. Пример 1. Функции и линейно независимы, а функции и линейно зависимы.
Пример 2.
Для изучения свойства линейной независимости функций используется определитель, названный по имени польского математика Ю.Вронского ( вронскиан).
Определение. Определителем Вронского системы функций у1(х),у2(х),...,уn(х) называется определитель
составленный из функций у1(х),у2(х),...,уn(х) и их производных до порядка включительно.
Теорема 1. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Доказательство. Так как функции и линейно зависимы, то для любого . Тогда определитель Вронского равен нулю при любых :
.
Аналогично доказывается необходимое условие линейной зависимости для произвольного числа функций. Если функции у1(х),у2(х),...,уn(х) , имеющие производные до n -1 порядка включительно линейно зависимы на на (а;b) , то на этом интервале W(x) тождественно равен нулю.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 2. Если W(x) 0 хотя бы в одной точке (а;b), то функции у1(х),у2(х),...,уn(х) линейно независимы.
Пример
Теорема 3. Для того, чтобы решения у1(х),у2(х),...,уn(х) ЛОДУ с непрерывными коэффициентами была линейно независимы на интервале (а,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского этой системы
W(x)=
не обращался в нуль ни в одной точке х(а,b).
Докажем достаточность данного утверждения для уравнения второго порядка.
Теорема 4. Если функции и - линейно независимые решения уравнения
( 2.2)
на , то определитель Вронского на этом интервале не обращается в нуль ни в одной точке.
Доказательство. Так как и решения уравнения ( 2.2), то подставляя их в ( 2.2) получаем
Вычтем из первого уравнения второе, получим уравнение
относительно вронскиана , решая это уравнение и используя начальное условие, получаем формулу Остроградского – Гаусса
.
Формула справедлива и для уравнения произвольного порядка.
Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала тогда и только тогда, когда частные решения дифференциального уравнения линейно независимы.
Определение. Всякая система из n линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Например, легко можно проверить, что функции и образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения , потому что линейно независимы и каждая из них обращает дифференциальное уравнение в тождество.
2.4. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения ( ЛОДУ).
Теорема. Если известна фундаментальная система решений уравнения (2.1), то общее решение этого уравнения имеет вид
где С1, С2,...,Сn- произвольные постоянные.
Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения).
Общим решением в области a<x<b, |y(k)|< + ∞, k = 0, 1, 2, n-1 линейного однородного дифференциального уравнения
(1)
с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами pk (x), k = 1, 2, … , n, является линейная комбинация
(2)
n, линейно независимых на интервале (a, b)частных решений yi (x), i = 1, 2, … , n, этого уравнения (C1, C2, … , Cn – произвольные постоянные).
Д о к а з а т е л ь с т в о
Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что функция удовлетворяет условиям 1) и 2) этого определения.
Функция y(x), определенная формулой (2), является решением дифференциального уравнения (1) при любых значениях постоянных C1, C2, … , Cn . Это следует из того что любая линейная комбинация частных решений линейного однородного уравнения есть снова решение этого уравнения.
Для уравнения (1), при x выполнены условия теоремы 7.1, поэтому остаётся показать, что всегда так можно подобрать постоянные С1, С2, …, Сn , чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия
,
где .
Ограничимся случаем, когда n = 3. Потребовав, чтобы решение
y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + C3 y3(x)
удовлетворяло постоянным начальным условиям, получим систему трёхлинейных алгебраических уравнений относительно С1, С2, С3:
(3)
Определитель этой системы есть определитель Вронского W(x0) линейно независимой системы решений однородного уравнения (1), и, следовательно, отличен от нуля при любом , в частности при x = x0 . Поэтому система уравнений (3) однозначно разрешима относительно постоянных C1, C2, C3 при любом и при любых правых частях, т.е. при любых А это означает возможность выбора таких значений чтобы частное решение удовлетворяло поставленным начальным условиям, каковы бы они ни были.
2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения ЛНОДУ.
Рассмотрим вначале линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
,
где - заданные, непрерывные на (a,b) функции.
Теорема 1. (Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка). Общим решением уравнения является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е..
Доказательство. Убедимся при помощи подстановки, что функция - решение уравнения
.
Так как есть решение уравнения
,
а - решение уравнения
,
то
.
Это означает, что функция является решением исходного дифференциального уравнения. Для доказательства того, что функция является общим решением уравнения надо доказать, что из решения можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям .
Это означает, что функция является решением исходного дифференциального уравнения. Для доказательства того, что функция является общим решением уравнения надо доказать, что из решения можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям .
Продифференцировав функцию и подставив и в начальные условия получим систему уравнений относительно и :
где . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции и в точке . Функции и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений,
т. е. . Следовательно, система имеет единственное решение для и . Поэтому решение является частным решением уравнения , удовлетворяющим заданным начальным условиям, что и требовалось доказать.
При нахождении частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений используется следующая теорема.
Теорема 2. (Теорема о наложении решений). Если правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций: и , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является решением данного уравнения.
Действительно,
2.6. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
,
где и – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения по методу, предложенному Л. Эйлером, а именно в виде , где - подлежащая определению константа. Используя и подставляя выражения для , , в дифференциальное уравнение, имеем
Так как то получается характеристическое уравнение Для его составления достаточно в уравнении заменить y′′, y′, y соответственно на к2, к, 1.
При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая.
1 случай: 1. Характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня и ()(D = p2/4 – q > 0). В этом случае частными решениями дифференциального уравнения являются функции и . Они образуют фундаментальную систему решений, т. к. их вронскиан
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид .
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение: Составим характеристическое уравнение , которое имеет два различных действительных корня , . Запишем общее решение дифференциального уравнения в виде .
Случай 2: Характеристическое уравнение имеет действительный двукратный корень = . В этом случае известно лишь одно частное решение . Однако, можно с помощью подстановки показать, что функция также является решением дифференциального уравнения. Действительно,
.
Поскольку , т.к. является корнем характеристического уравнения, а , т.к. по условию , то , т.е. функция является вторым решением дифференциального уравнения. Функции и образуют фундаментальную систему решений: . Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального
уравнения .
Решение: Составим характеристическое уравнение , которое имеет два одинаковых действительных корня . Запишем общее решение дифференциального уравнения в виде .
Случай 3. Корни и характеристического уравнения являются комплексными: , . В этом случае частными решениями дифференциального уравнения является функции и , которые образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения, но не удобны для конкретного использования
Применяя формулы Эйлера , можно получить два действительных частных линейно независимых решения дифференциального уравнения и :
,
.
Функции и являются решениями дифференциального уравнения по теореме о свойстве решений этого уравнения и образуют фундаментальную систему решений, так как . Поэтому общее решение дифференциального уравнения в третьем случае запишется в виде
.
Пример 3 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение: Составим характеристическое уравнение , которое имеет два комплексных корня и . Запишем общее решение дифференциального уравнения в виде .
Задача нахождения общего решения ЛОДУ произвольного порядка (n >2) с постоянными коэффициентами
yn + p1y(n-1) + p2y(n-2) +…+pny = 0 (1)
где рi, i = 1,…,n, — числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (1) также ищем в виде у = ekx, где k -постоянное число.
Характеристическим для уравнения (1) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида уравнение n-го порядка вида
kn + p1k(n-1) + p2k(n-2) + …+ pn = 0. (2)
Уравнение (2) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть комплексные). Обозначим их через k1, k2, ….,kn
Случай 1: Корни k1, k2, ….,kn уравнения действительные и различные.
В этом случае частными решениями уравнениями уравнения (4.1) являются функции у1 = ек1х , у2 = ек2х,… уn = екnх Они образуют фундаментальную систему решений (линейно не зависимы).
Следовательно, общее решение уравнение (1) имеет вид
у = с1ек1х + с2eк2х + …+. с nекnх
Случай 2: Корни к1 и к2 характеристического уравнения действительные, но не все простые. Тогда каждому простому корню соответствует одно решение, а каждому корню k кратности m соответствует m частных решений вида
у1 = екх, у2 = хекх ,…, уm = хm-1 екх.
Доказательство.
Пример 4. Решить уравнение
y'v - у'" — Зу" + 5у' — 2у = 0.
Решение: Характеристическое уравнение
k4 - k3 - 3k2 + 5k - 2 = (k + 2)(k - 1)3 = 0
имеет корни k1 = - 2, k2 = 1, k3 = 1, k4 = 1. Следовательно,
у = c1e-2x + c2ex + c3x ex + c4x2ex
- общее решение уравнения.
Случай 3. Среди корней уравнения (2.7) есть комплексно -сопряженные корни. Тогда каждой паре a±βi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения еαxcosβx и еαxsinβx, а каждой паре а ± βi корней кратности т > 1 соответствуют 2т частных решений вида
eαxcosβφ, xeαxcosβφ,…, xm-1eαxcosβφ;
eαxsinβφ, xeαxsinβφ,…, xm-1eαxsinβφ.
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.
2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения ЛНОДУ.
Теорема
Для того, чтобы частные решения y1(x), y2(x), …, yn(x) линейного однородного дифференциального уравнения
y(n) + p1(x)y(n-1) + … + pn(x)y = 0 (1)
с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами были линейно независимыми на отрезке (a, b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W(x) системы решений был отличен от нуля.
Д о к а з а т е л ь с т в о
Н е о б х о д и м о с т ь
Если линейно независимые на интервале (a, b) функции y1(x), y2(x), …, yn(x) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения y(n) + p1(x)y(n-1) + … …+ pn(x)y = 0 с непрерывными на [a, b] коэффициентами pk(x) то определитель Вронского этой системы решений
не может обратиться в ноль ни в одной точке интервала (a, b).
Доказательство
Пусть n = 3. Допустим, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю: Составим систему трёх линейных однородных алгебраических уравнений относительно
(2)
Определитель этой системы в силу допущения равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение т.е. по крайней мере одно из чисел отлично от нуля.
Рассмотрим функцию
. (3)
Оно является линейной комбинацией решений уравнения (1), и, значит, сама есть решение этого уравнения.
Это решение в силу уравнения (2) удовлетворяет нулевым начальным условиям
(4)
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение уравнения (1) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно, на , причём хотя бы одно из отлично от нуля. Таким образом, решения оказываются вопреки условию теоремы линейно зависимыми. Противоречие возникло в связи с допущением, что обращается в ноль в точке . Значит, наше допущение верно и всюду в интервале .
Д о с т а т о ч н о с т ь
Достаточность условия вытекает из того, что при линейной зависимости функции y1(x), y2(x), …, yn(x) имеет Поэтому если , то функции y1(x), y2(x), …, yn(x) не могут быть линейно зависимыми, т.е. они в этом случае линейно независимы.
Теорема (необходимое условие линейной зависимости функций).
Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x), имеющие производные до порядка n- 1 включительно, линейно зависимы на интервале , то на этом интервале определитель
,
называемый определителем Вронского системы функций y1(x), y2(x), …, yn(x), тождественно равен нулю:
на .
Д о к а з а т е л ь с т в о (для случая n = 3).
Пусть дважды дифференцируемые функции линейно зависимы на интервале . Значит, на выполняется тождество
причём не все числа равны нулю. Для определённости пусть . Разрешим тождество относительно и дважды продифференцируем его:
(1)
(2)
Составим определитель Вронского системы функций
или с учётом (1), (2)
Первый столбец определителя является линейной комбинацией двух других при любом . Такой определитель, как известно, равен нулю; следовательно,
58
2. Інтернаціоналізація та стандартизація обліку у міжнародному масштабі- необхідність сутність та значення
3. Грибная поляна грибы маринованные шампиньоны ~ 1 баночка купить мясо можно куриное но лучш
4. Общая характеристика и способы защиты авторских и смежных прав
5. зелёные. Романтик
6. Тема- Числа в нашей жизни Цели урока Русский язык Ма
7. Ягодные растения
8. тематизацию молодежной политики
9. Маршрутизаторы Cisco в сетях Frame Relay.html
10. Князь ботаников
11. Юриспруденция квалификация степень бакалавр РОСТОВНАДОНУ 2012
12. 12 РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук
13. Социологические концепции менеджмента
14. Марино и Швейцарии республик в Европе
15. ВСТУП Однією із структур яка покликана забезпечити надходження коштів до дохідної частини бюджету є Де
16. Лекция 18 ВИРУСНЫЕ ИНФЕКЦИИ Эпидемиология
17. х конце 1930х годов С завершением Гражданской войны и переходом к нэпу наметились новые тенденции в развит
18. 06.06.11 Изм. Лист ’ докум.html
19. Информационные технологии управления для студентов 5 курса очного отделения преподаватель Кривушина О
20. Исаковский