У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Непрерывность функции в точке

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-01-17

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.3.2025

ТЕМА: «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ»

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Это определение означает выполнение трех условий:

1) функция f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2) функция имеет предел при xx0;

3) предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Непрерывная функция

Не определена в точке

Определена, но не имеет предела

Определена, имеет предел, но значение предела не совпадает со значением функции

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятие приращения аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (a;b). Возьмем произвольную точку x0(a;b). Для любого х(a;b) разность x-x0 называется приращением аргумента x в точке x0 в точке x и обозначается Δх. Тогда Δх= x-x0 . Отсюда x=x0+Δx. Разность соответствующих значений функции f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается Δy: Δy= f(x) – f(x0)= f(x0+Δx) – f(x0).

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции, если она определена в точке x0 и выполняется равенство , т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример_1. Доказать непрерывность функции у=3x2-2x+1 в точке x0=3.

Приращение аргумента x=x0+Δx. Соответствующее приращение функции Δу= f(x) – f(x0) = 3(x0+Δx)2-2(x0+Δx) +1-(3(x0)2-2x0+1)=3(x0)2+6x0· Δx+3(Δx)2-2x0 -2Δx+1-3(x0)2+2x0-1= 6x0· Δx+3(Δx)2-2Δx.

Тогда: функция непрерывна в точке.

Пример_2. Исследовать на непрерывность функцию y=sin(x).

Функция y=sinx определена при всех действительных числах. Возьмем произвольную точку x0 и найдем приращений функции:

Тогда: sin (x) непр. в x0

Свойства непрерывных функций

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного, за исключением тех значений аргумента, для которых делитель равен нулю);

2) Пусть функции u=φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y=f(u) непрерывна в точке u0=φ(x0). Тогда сложная функция f(φ(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x0;

3) Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна  на [a;b] оси 0х, то обратная функция y=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси 0y.

4) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a;b) и в точке x=a непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т.е. )

Теоремы о непрерывных функциях на отрезке

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие из теоремы Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограниченна на этом отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие из теоремы Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(c)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси 0x на другую, то он пересекает ось 0x.

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции. Они разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

а) если А12, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва;

б) если А1≠А2, то точка x0 называется точкой конечного разрыва. Величину | А12| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка устранимого разрыва

  

Точка конечного разрыва

Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

 

Пример. Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x=3. Очевидно, что . Следовательно, и . Поэтому в точке x=3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен

1-(-1)=2.




1. Вариант 2 В аудитории мединститута зафиксированы следующие параметры- температура воздуха 19С влажнос
2. Специфика пространственно-временной организации географических систем
3. прижала тех кто на неё жалуется потому что несмотря на конкуренцию очень немногие имеют достаточно вол
4. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук
5. Автоматизация технологических процессов на ТЭС Автоматизация технологического процесса совокупность ме
6. Система учета и проблемы критериев оценки работы органов внутренних дел
7. уголовный возникло на основе древнерусского слова голова отсюда убийца именовался
8. Собственность и ее роль в экономике
9. В рыночных условиях конкурентную борьбу выигрывает тот кто сможет предоставить товар или услугу с большим
10. Италия в России Петровского времени